常用的统计量抽样分布总结

常用的统计量抽样分布
一．正态分布
1. ∑==n
i i X n X 1
1EX →
2. 2
12
)(11∑=--=n i i X X n S ][112
1
2∑=--=n i i X n X n DX → 3. 定理：
X ～),(2σμN ，n X X X ,,,21Λ为X 的样本，则 (1). X ～),
(2
n
N σμ，
(2).
2
2
)1(σS n -～)1(2-n χ,
(3). X 与2S 相互独立。

二．2χ分布 1. 定义
设n X X X ,,,21Λ独立同分布，且～)1,0(N ，则)(~2122
n X n
i i χχ∑==
2. 性质：
(1). 若X ～)(12n χ，Y ～)(22n χ，且X ,Y 独立，则X +Y ～)(212n n +χ。

(2). 若X ～)(2n χ，则n EX =，2DX n =。

三．t 分布 1. 定义
设X ～)1,0(N ,Y ～)(2n χ，且X ,Y 独立，则n
Y X T =～)(n t 。

2. 定理：
设n X X X ,,,21Λ独立同分布，且～),(2σμN ，则
n
S X μ
-σ
σ
μS
n X )(-=1
)1()
(2
2
---=
n S
n n X σσ
μ～)1(-n t
（因为
n
X σ
μ-～)1,0(N ，
2
2
)1(σS n -～)1(2-n χ）。

3. 定理：
设1,,,21n X X X Λ为总体X ～),(21σμN 的样本，
1,,,21n Y Y Y Λ为总体Y ～),(22σμN 的样本，且Y X ,独立，则
2
12111)()(n n S Y X w
+---μμ～)2(21-+n n t ，其中
2
)1()1(212
2
22112-+-+-=n n S n S n S w。

证：因为
2
2
11)1(σS n -～)1(12
-n χ,
2
2
2
2)1(σS n -～)1(22-n χ，
所以
2
2
2
2211)1()1(σ
S n S n -+-～)2(212-+n n χ；
又X ～),
(1
2
1n N σμ，Y ～),
(2
2
2n N σμ，
所以X Y -～),
(2
2
1
2
21n n N σσμμ+
+，
所以
212111)
()(n n Y X +
---σμμ～)1,0(N ，所以 2
12111)()(n n S Y X w
+---μμ
2
12111)
()(n n Y X +---=
σ
μμ/
)2/()1()1(212
2
2
2211-+-+-n n S n S n σ
～)2(21-+n n t 。

四．F 分布 1. 定义
设U ～)(12n χ,V ～)(22n χ,且V U ,独立，则2
1n V
n U
F =～),(21n n F 。

2. 定理：
设F ～),(21n n F ，则F
1
～),(12n n F 3. 定理：
设1,,,21n X X X Λ为总体X ～),(211σμN 的样本，
1,,,21n Y Y Y Λ为总体Y ～),(2
22σμN 的样本，且Y X ,独立，则
)1,1(~//2122
222
121--=n n F S S F σσ。

常用的统计量抽样分布示例
例1 设2521X X X Λ，
，是来自总体()1~2
χX 的一个样本，则∑=25
1
i i
X 服从()252
χ
分布；
例2设随机变量21,X X ,3X 相互独立，1X ～)1,0(N ,2X ～)21,
0(N ,3X ～)3
1
,0(N ，则232
22132X X X ++服从)3(2χ分布。

例3 设总体X 服从)2,0(2
N ，而1521,,,X X X Λ为来自总体X 的简单随机样本,则随机变量
)
(22
152112
10
2221x X X X X Y ++++=ΛΛ服从)5,10(F 分布。

例4 设随机变量Y X ,相互独立且都服从)3,0(2
N ，而921,,,X X X Λ和921,,,Y Y Y Λ为分别来
自总体X 和Y 的简单随机样本,则统计量29
2
1
9
21Y
Y X X X U
++++=
ΛΛ服从)9(t 分布。

例5 设n X X X ,,,21Λ)2(≥n 为来自总体)1,0(N 的简单随机样本,X 是样本均值，2
S 是样本
方差，则 D .
(A). X n ～)1,0(N (B) 2
nS ～)(2
n χ
(C). S
X
n )1(-～)1(-n t (D) ∑=-n
i i X X n 2
2
21)1(～)1,1(-n F 解：
∑=-n
i i
X
X n 2
22
1)1(∑=-=
n
i i
n X
X 2
2211
/1
/～)1,1(-n F
例6 设总体X 服从),(2
1σμN ，总体Y 服从),(2
2σμN ，1,,,21n X X X Λ为来自总体X 的简单随机样本，2,,,21n Y Y Y Λ为来自总体Y 的简单随机样本，则
解：原式2
121)([211∑=--+=n i i X X E n n ])(21
2
∑=-+n
i i Y Y
又
2
2
1
)
(1
σ
∑=-n i i
X X
2
2
1)1(σ
S
n -=
～)1(12-n χ,故2
2
1
22
()[]1n i
i X
X E n σ
=-=-∑，从而
1
2
1
11()
11
n i
i X
X E
n n =-=--∑,同理2
2
1
22()
11
n i
i Y Y E
n n =-=--∑,所以原式=2σ。

例7. 设n
X X X ,,,21Λ)2(>n 为来自总体),0(2σN 的简单随机样本, X 是样本均值，记
X X Y i i -=，n i ,,2,1Λ= 。

求：
(1). i Y 的方差i DY ，n i ,,2,1Λ= ； (2). ),(1n Y Y Cov ； (3) }0{1≤+n Y Y P 。

(4）若2
1)(n Y Y c +是2
σ的无偏估计，求c 的值。

解：
（1）i DY )(X X D i -=（i X n
)1
1(-Θ与∑≠=n i k k k X n ,11独立） ]1)11[(,1∑≠=--=n i k k k i X n X n D 2
22221)1(1)11(σσσn n n n
n -=-+-=，n i ,,2,1Λ= 。

(2) 0)(11
=-==X X E EY EY n Θ,
1X Θ,n X 独立，)(1n X X E ∴01=⋅=n EX EX
而)
(X D ][
21n X X X D n Λ++=21
n
=)(1n DX DX ++Λ21σn =
=++=)}()()({1
)(121211n X X E X X E X E n X X E ΛΘ2211)(1σn
X E n =，
所以),(1n Y Y Cov )(X D =21σn -21σn -=2
1σn
-
（3）=+n Y Y 1)()(1X X X X n -+-∑-=--+-=1
2
1222n i i n X n X n n X n n 上式是相互独立的正态随机变量的线性组合，所以n Y Y +1服从正态分布，由于
,0)(1=+n Y Y E 所以5.0}0{1=≤+n Y Y P 。

（4）])([2
1n Y Y c E +)(1n Y Y cD +=)],(2[11n n Y Y Cov DY DY c ++=
2]211[
σn n n n n c --+-=2
)2(2σc n
n -=2σ=，故)2(2-=
n n c 。