习题课(中值定理和导数的应用)

有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
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例1. 设函数
证明 在
在
内有界.
内可导, 且
证: 取点 x0 (a , b) , 再取异于 x0 的点 x (a , b) , 对 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
第三部分 中值定理和导数的应用

第三部分 中值定理和导数的应用
基本思想：用导数研究函数 一 重点和难点： 1. 理解和掌握四个重要的微分中值定理：
罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及泰勒定理的内容；
中值定理的条件是定理成立的什么条件？中值定理中的 唯一吗？ 2. 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？ 3. 会判别函数单调性、凹凸性。能利用函数的单调性做证明题. 4. 熟练掌握求函数极值(确定极大还是极小)和最值的方法. 5. 求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线. 6. 会做y = f (x)的图形. 7. 正确求出函数在某点处的曲率. 2. 选择题（共7个） 4. 证明题（共7个）
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x
f ( x)
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arctan x ( x 0) . 例8. 证明 ln(1 x) 1 x 证: 设 ( x) (1 x) ln(1 x) arctan x , 则 (0) 0 1 ( x) 1 ln(1 x) 0 ( x 0) 2 1 x 故 x 0 时, (x) 单调增加 , 从而 ( x) (0) 0 arctan x 即 ln(1 x) ( x 0) 1 x 1 x ln(1 x) (0 x 1) 时, 如何设辅助 思考: 证明 1 x arcsin x 函数更好 ? 2 提示: ( x) (1 x) ln(1 x) 1 x arcsin x
二 课堂练习
1. 判断是非（共7个） 3. 计算题（共5个）
1. 掌握四个微分中值定理
罗尔中值定理：
[ 若 f ( x ) : (1)在闭区间a , b]上连续； (2)在开区间 a , b)内可导； (
(3) f (a)= f (b) ;
则至少存在一点 (a , b)，使得
f ( ) 0 .
.
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其相互关系
罗尔定理 f ( ) 0
F ( x)y x(x) f f ( a ) f (b)
y
f (a) f (b)
拉格朗日中值定理
f (b) f (a ) f ( ) ba
F ( x) x
a b x 柯西中值定理
o
y
y f (x)
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例6. 证明
证: ln f ( x) x ln(1 1 ) x
在
上单调增加.
x [ ln(1 x) ln x ]
令 F (t ) ln t , 在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, 得
ln(1 x) ln x
1

(0 x x 1)
又因 f ( x) 及 x 2 在[ a, b] 上满足柯西定理条件 , 故有
①
②
ab f ( ), 将①代入② , 化简得 f ( ) 2
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, ( a , b)
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例4. 设实数
证明方程Байду номын сангаас
个实根 .
满足下述等式 an a1 a0 0 2 n 1 在 ( 0 , 1) 内至少有一
(x >1)
故当 x 1时，f ( x ) f (1) 0
1 所以， 2 x 3 . x
证毕.
f 注： ( x ) 0 f ( x )
推不出 f ( x ) 0 !
4. 求函数极值和最值
m f (0), f (1), f (2) M
m
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
f (0) f (1) f ( 2) 3
M
f (0) f (1) f ( 2) f (c ) f1 3 f (0) (1) f ( 2) 1, f (3) 1 分析: 所给条件可写为 3 c ) f (c) f (3) 1, 且 f ( x) 在[c, 3] 上连续,f在)( , 32)内可导 , f (0) (1 f ( 想到找一点 c , 使 f (c) 3 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3) (0, 3) , 使 f ( ) 0.
即有
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例3. 试证存在
且
f ( ) f ( ) f ( )(b a ) f ( ) , 即要证 . 证: 欲证 2 2 ab 2 2 b a 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 故有
f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b)
证: 令 F ( x ) a0 a1 x an x n , 则可设 an n 1 a1 2 F ( x ) a0 x x x 2 n 1 且 F (0)
F (1) 0 , 由罗尔定理知存在一点 (0 ,1) , 使
即 a0 a1x an x 0 在 0， 内至少有一个实根 . （ 1 ）
例10. 求
解法1 利用中值定理求极限
a a 原式 lim n ( ) 2 n n 1 n 1
2
1
a a ( 在 与 之间） n n 1
n2 a lim n n( n 1) 1 2
a
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解法2 利用罗必塔法则
原式 lim
arctan a arctan b x x
几何解释： 曲线 y = f (x) 至少有一条切线平行于 连接曲线端点的弦。
.
推广： 用 F(x)代替 x.
柯西中值定理：
若 f ( x若 F ( x ) : )和 1 f
(1)在闭区间a , b]上连续； [ (2)在开区间 a , b)内可导； (
(3)F ( x ) 0
x (a, b).
例2. 设
在
上连续, 在
内可导, 且 使
证明至少存在一点
证: 问题转化为证 f ( ) 2 f ( ) 0 .
设辅助函数
显然 少存在一点
( x) x 2 f ( x)
使
在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至
( ) 2 f ( ) 2 f ( ) 0
.
则至少存在一点 (a , b)，使得
f (b) f (a ) f ( ) f (b) f (a ) f ( )( a ). 1 ) F b ) . F (b) F (a (
几何解释：
曲线的参数式方程, x为参数.
. .
X F ( x) 曲线 Y f ( x ) 至少有一条切线平行于连接曲线端点的弦。
几何解释：
曲线 y=f(x) 至少有一条水平切线。 推广： 减少一个条件
.
拉格朗日中值定理：
[ 若 f ( x ) : (1)在闭区间a , b]上连续； (2)在开区间 a , b)内可导； (
(3) f (a)= f (b) ;
则至少存在一点 (a , b)，使得
f ) f ( ) f (b) f (a(1 0.)(b a ).
因为 lim cos x不存在 .
x
应该怎么做？
sin x 1 x 原式 lim 1. x sin x 1 x
3. 利用函数的单调性做证明题
1 例 13 求证 当x 1 时 2 x 3 x 1 令 f ( x) 2 x 3 证明 x 1 1 x x 1 ( x ) f 2 >0 2 x x x
1 x2
x
1 令t x
lim
t 0
arctan at arctan bt t2

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2. 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？
1 sin x 1 x 例11. lim x 0 (sin x) 3 1 sin x x lim 3 x 0 x 1 sin x 1 x
1 1 1 f 上单调增. ] 故当 x > 0 时,( x) [ ln(1 x) ln x ]在 x [ 从而 f ( x) 1 x x
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例7. 设
在
上可导, 且
证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .
证: 设 ( x ) e f ( x)
f (b) f ( a ) f ( ) F (b) F ( a ) F ( )
o
a
b x
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微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
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有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理, 可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用 柯西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) f ( x0 ) f ( ) x x0 f ( x0 ) M (b a ) K
(定数) 可见对任意 x (a , b) , f ( x) K , 即得所证 .
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例9. 设
递减 , 证明对一切
且在
有
上
存在 , 且单调
证: 设 ( x) f (a x) f (a) f ( x) , 则
( x) f (a x) f ( x)
所以当 令 x b, 得 即所证不等式成立 .
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n
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例5. 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 试证必存在 (0, 3) , 使 f ( ) 0. (03考研)
证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故
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二、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化
• 最值的判别问题
3. 其他应用 : 相关变化率; 求不定式极限 ; 证明不等式 ; 几何应用 ; 研究方程实根等.
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1 2
1 cos x 1 o 1 . 及时求出已定式的极限. 原式 lim 2 x 0 3 x 2 1 sin x lim 2 x 0 6 x 1 1 1 2 6 12
2. 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？
.
2o. 需要先验证条件.
.
x sin x 1 cos x 例1 2. lim lim x x sin x x 1 cos x
x
则 故
( x) e x [ f ( x) f ( x) ] 0
在 上连续单调递增, 从而至多只有
一个零点 . 又因 e x 0 , 因此 f (x) 也至多只有一个零点 . 思考: 若题中 其它不变时, 如何设辅助函数? 改为 f ( x) f ( x) 0 ,
( x) e