习题课(中值定理和导数的应用)
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
中值定理导数应用习题课(11级
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点 ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
柯西中值定理
如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开 区间(a,b)上可导，且g'(x)≠0，那么在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得(f'(ξ))/(g'(ξ))=(f(g(x))f(g(a)))/(g(b)-g(a))。
中值定理的重要性
中值定理是微分学中的基本定理之一，它们揭示了函数在 某一点处的导数与函数值之间的关系，对于研究函数的单 调性、极值等问题具有重要意义。 中值定理是解决一些数学问题的有力工具，例如求函数的 极值、证明不等式等。
中值定理在经济学、工程学等领域也有广泛的应用。
中值定理的历史背景
罗尔中值定理是由法国数学家 罗尔提出的，时间是18世纪的 末期。
02 03
详细描述
在数学中，极值问题一直是研究的重点之一。利用中值定理求函数的极 值时，通常需要分析函数在区间上的性质与区间内某一点的值之间的关 系，然后利用中值定理的结论找到函数的极值点。
举例
例如，要找到一个函数在某个区间上的最小值点，可以通过构造一个辅 助函数，利用中值定理找到该函数在区间上的某个点的值最小，从而得 出所需的最小值点和对应的函数值。
详细描述
在实际生活中，导数有许多应用场景。例如，在物理中，速度和加速度是导数的应用；在经济学中， 导数可用于研究成本、收益和利润等；在工程中，导数可用于优化设计、控制过程等。
03 中值定理的应用
利用中值定理证明等式
总结词
详细描述
举例
利用中值定理证明等式是一种常见的 数学问题，通过选取适当的辅助函数 和区间，结合中值定理的结论，可以 推导出所需的等式关系。
辽宁工业大学高数习题课(3)
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析 当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或
型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项 佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解
第3章中值定理与导数的应用内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：5(01)12,ξ±=，∴5(01)12,ξ∃=∈，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
第03章微分中值定理与导数的应用习题详解
M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。
可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。
—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。
可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。
「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。
导数的应用习题课
所确定， 【例2】设可微函数 y = f ( x ) 由方程3 x 3 + y 3 4 x + y = 0 所确定， 】 的单调区间。 试确定此函数 y = f ( x ) 的单调区间。 求导， 解: 在方程两边对 x 求导，得 9 x 2 + 3 y 2 y′ 4 + y′ = 0 ，即
ln sin x 【例2】计算 lim 】 2 π x → (π 2 x )
2
解：
ln sin x lim 2 π x → (π 2 x )
2
cos x = lim π x → sin x [ 4(π 2 x )]
2
1 cos x = lim 4 x→π π 2 x
2
（
型）
1 1 sin x = lim = π 4 x→ 2 8
f ( x ) 在 [a , b]上连续 在 ( a , b ) 内可导 则至少存在一ξ ∈ ( a , b ), 上连续, 内可导,
使
f ( b ) f ( a ) = f ′(ξ )(b a ).
二、判别
的方法
若 f ′( x ) ≡ 0 ，则 f ( x) ≡ C
三、两个定理之间的内在联系
凹弧与凸弧的分界点 ( x 0 , f ( x 0 )) 。
3．函数凹凸性的判别 ．
f ′′( x ) > 0 凹 ；f ′′( x ) > 0 凸。
三、函数极值的充分条件
1．第一充分条件 ．
（1）若 x ∈ ( x 0 δ , x 0 ) 时，f ′( x ) > 0 ） 而 x ∈ ( x 0 , x 0 + δ ) 时，f ′( x ) < 0 处取得极大值； 则 f ( x ) 在 x 0 处取得极大值；
高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用
（3）
中值定理与导数的应用
第二课 中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理； 会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等 式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳 林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、 拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件， 则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。 证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x
第三章中值定理与导数应用习题课课件
第三章中值定理与导数的应用(习题课)题组一： 中值定理1.考察函数 22-21()1-1⎧≤⎪=⎨>⎪⎩x x f x x x 在[ 0 , 2 ]上关于拉格朗日定理的正确性.解: (1) 验证 f (x )在 x = 1处的连续性 。
(2) 验证 f (x )在 x = 0处右连续; x = 2处左连续。
(3) 验证 f (x )在 x = 1处的可导性。
2. 求下列极限1ln(1)(1)limcot π→-x x x解:1ln(1)lim cot x x x π→-=∞∞型1121lim csc xx xππ--→-211sin lim 1x x x ππ→=-00型112sin cos lim1x x x ππππ→⋅⋅=-0=（2） 0lim 42(1)x x x x e πππ→⎛⎫- ⎪+⎝⎭0(12)lim 4(1)xx x e x e πππ→+-=+1(0)xe x x ππ-→0lim4(1)x x xx e πππ→⋅=+2401lim 1xx e ππ→=+28.π=0lim 42(1)x x x x e πππ→⎛⎫- ⎪+⎝⎭解:（3） 112lim 2n nn n a a -→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭0⋅∞型112()lim 2xxn f x x a a-→∞⎛⎫=+- ⎪⎝⎭设112lim ()lim 2xxx x f x x a a -→∞→∞⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭11122limx x x a a x -+-→∞=00型111ln 2limx xxa a ax --→∞=211ln 2lim()a x xx a a -→∞=+00型2ln .a =112lim 2nnn n a a-→∞⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭2ln .a =解:（4）2222211lim(cos )sin →+-+-x x x xx e x解: 因为21x +=1122(1)244122!1(),-+++x x o x 2=x e 221(),++x o x cos =x 222!1(),-+x o x 2sin x(0)→x 2x所以 原式 = 221lim→+-x x 1122(1)244122![1()]-+++x x o x 222!1()-+-x o x 22(1())++x o x 2[]x44844302()lim ()→+=-+x x o x x o x 1.12=-3. 设 f ( x ) 在 0()0,''≠f x 证明:当 0∆→时,x 000[()()]/()'+∆-∆-∆与f x x f x x f x x是同阶无穷小. 证明:0000()()()limx f x x f x f x x x∆→+∆-'-∆∆00020()()()lim ()x f x x f x x f x x ∆→'+∆--∆⋅=∆0型x 0的某一邻域内具有二阶导数,且接3.000()()lim2x f x x f x x∆→''+∆-=∆01().2f x ''=且0()0.f x ''≠0000()()()lim x f x x f x f x x cx∆→+∆-'-∆∴=∆(非零常数)故当 0∆→时,x 000[()()]/()'+∆-∆-∆与f x x f x x f x x是同阶无穷小.4. 证明:当 x >1时, 212arctan arccos 214π-=+x x x 证明: 212()arctan arccos 214x f x x x π=--+设22221112()()()12121()1xf x x xx x ''=--⋅++-+22222211111(1)x xx x x +-=-⋅+-+0=()()f x c c ∴=为常数接4.取 x = 1 得(1)c f =12arctan1arccos 2114π=--+0=()0f x ∴=212arctan arccos .214x x x π-=+即5. 证明函数 ()()ln[sin()1]=--+f x x a b x 的导 数在 ( a , b )内必有零点.证明: ()()0f a f b ==Rolle 定理(,)()0.a b f ξξ'∃∈=使6. 设 f ( x )可导, ()()'+f x f x 的零点.证明: 1212()()0.f x f x x x ==<设且()(),xF x e f x =⋅设显然 F (x )在[ x 1 , x 2 ]上满足Rolle 定理, 12(,)()0.x x F ξξ'∴∃∈=使(()())0e f f ξξξ'+=即()()0.f f ξξ'+=故试证在 f ( x )的两个零点之间必有7. 设 f ( x ) 在 ()1,'>f x ()0,<f a 试证方程 ()0=f x 在 (,())-a a f a 内有唯一实数根.证明: 先证根的存在性.()[,()],f x a a f a -显然在上满足拉格朗日中值定理(())()()(())f a f a f a f f a ξ'∴--=-(,())a a f a ξ∈-(())()(1())f a f a f a f ξ'-=-即()0,()1f a f x '<>而(())0f a f a ->故[ a , +∞ ) 上连续,在 ( a , +∞ ) 内可导且接7.由零点定理知 ()0=f x 在 (,())-a a f a 内有实数根.再证根的唯一性()1,f x '>因为()(,()).f x a a f a -所以在上单调增加故 ()0=f x 在 (,())-a a f a 内有唯一实根. 综合以上两部分可知结论成立.8. 设 f ( x ) 在 (0)(1)0,==f f 11,2⎛⎫= ⎪⎝⎭f 试证:在( 0 , 1 )内至少 有一点 ξ , 使 () 1.ξ'=f 证明: ()(),F x f x x =-设11(1)-1,().22F F ==则由零点定理得: (,1)()0.F ηη∃∈=1使2(0)0,F =又知在[0 , η ]上应用Rolle 定理得: ()0,(0,).F ξξη'=∈()10.f ξ'-=即[ 0 , 1 ]上连续,在( 0 , 1 )内可导且9. 设 f ( x ) 和g ( x ) 且对一切 x ∈( a , b )有 ()0,'≠g x (,)ξ∈，a b 则必存在 使 ()()().()()()ξξξξ'-='-f f f a g g b g 证明: ()()()()()()()()0f g g f g b f f a g ξξξξξξ''⋅+⋅''-⋅-⋅=将结果变形为:()()()()()()()F x f x g x g b f x f a g x =--设()[,]:F x a b 对在上应用拉格朗日中值定理得()()()(),(,).F b F a F b a a b ξξ'-=-∈在 [ a , b ]上连续,在( a , b )内可导接9.[()()]()[()()]()f f ag g b g f ξξξξ''-=-即()0g x '≠()0g ξ'∴≠()()0g b g ξ-=假设()()g b g ξ=即()[,]Rolle :g x b ξ对在上应用中值定理得(,)(,)()0.b a b g ηξη'∃∈⊂=使()0.g x '≠这与矛盾()()0.g b g ξ-≠故于是有 ()()().()()()ξξξξ'-='-f f f a g g b g10.设 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] (1)0,=f 试证:在( 0 , 1 )内至少 有一点 ξ , 使2()().f f ξξξ'=-证明: 2()()f f ξξξ'=-()2()0f f ξξξ'⋅+=2()2()0f f ξξξξ'⋅+⋅=2()()F x x f x =设，显然 F (x ) 在[0,1]上满足Rolle 中值定理. (0,1)()0,F ξξ'∴∃∈=使2()2()0f f ξξξξ'⋅+⋅=即上连续,在( 0 , 1 )内可导且 2()().f f ξξξ'=-故1. 讨论方程 21=x x 并求出它们所在的区间. 解: 题组二： 导数的应用()21,x f x x =-设()2(1ln 2).x f x x '=+则()0f x '=令1ln 2x =-得x()f x '()f x 1(,)ln 2-∞-1ln 2-1(,)ln 2-+∞-∞+∞-0-+-+的实数根的个数,接1. 1ln 2-x y o 因此方程有唯一实数根1(,).ln 2-+∞介于2. 设 f ( x ) 连续 0()lim 2,1cos →=-x f x x则在 x = 0 处 f ( x )为________. A. 不可导 B. 可导且 (0)0'≠f C. 取极大值D.取极小值解: (0)f '=0()(0)lim 0x f x f x →--0()1cos lim()1cos x f x x x x →-=⋅-0()1cos lim()1cos x f x x x x →-=⋅-01cos 2lim x x x→-=⋅0=且 f ( 0 ) = 0 ,接2.0()lim 21cos x f x x→=-1cos 0x -≥20>极限的局部保号性(0,)U δ∃(0,),x U δ∈当时()0f x >(0)f = x = 0为函数极小值点.3.设 f ( x ) 在 x = x 0的 如果 00()()0,'''==f x f x 而 0()0,'''≠f x 讨论 x = x 0为极值点还是( x 0 , f (x 0))为拐点.解: 0()f x '''=000()()lim x x f x f x x x →''''--00()lim x x f x x x →''=-0.≠000x x x x →+->时000x x x x →--<时00()()f x f x +-''''''=0()f x x ''在的左右方变号.( x 0 , f (x 0))为拐点.某一邻域内具有三阶连续导数,接3.由泰勒公式得()f x =20000033000()()()()()2!()()(())3!f x f x f x x x x x f x x x o x x '''+-+-'''+-+-00()()0f x f x '''==0()0f x '''≠330000()()()()(())3!f x f x f x x x o x x '''-=-+-000()()x x x x f x f x →+→--时与时变号( x 0 , f (x 0))不是极值点.4. 试确定常数 2=++y ax bx c与曲线 cos =y x 在 x = 0 处有相同的切线和曲率.解: a , b , c 使抛物线 记 21()y x axbx c =++2()cos y x x =因两曲线同过 0,x =所以有 12(0)(0)y y=1c =因两曲线在 0x =有相同的斜率， 所以有 12(0)(0)y y ''=02|x ax b =+=0sin |x x =-0b =接4.因两曲线在 0x =有相同的曲率， 所以有3322122212|(0)||(0)|(1(0))(1(0))y y y y ''''=''++又因为 12(0)(0)y y ''=所以 12|(0)||(0)|y y ''''=1||2a =5. 设f ( x ) 在 ()()ϕ=f x x x在 x = a (a ≠ 0)有极值,试证:曲线f ( x ) 在(a , f (a ) )处 的切线过原点. 证明: ( - ∞ , +∞ ) 上可微,函数 曲线 ()yf x =在 (,())a f a 处的切线为 ()()()y f a f a x a '-=-因为 ()x ϕ在 x a =取得极值， 所以 ()0a ϕ'=而 ()a ϕ'=()|x a x ϕ='()()|x a f x x='=2()()|x a f x x f x x='-=2()()f a a f a a '-=0=接5.所以()()f a f a a'=()()()y f a f a x a '-=-将其代入切线方程得 ()f a y x a=于是切线过原点。
《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)
第四章微分中值定理和导数的应用[单选题]1、曲线的渐近线为（）。
A、仅有铅直渐近线B、仅有水平渐近线C、既有水平渐近线又有铅直渐近线D、无渐近线【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察渐近线计算.因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。
[单选题]2、在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（）A、4B、2C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题]3、，则待定型的类型是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题]4、下列极限不能使用洛必达法则的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.[单选题]5、在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）.A、1B、2C、eD、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察中值定理的应用。
[单选题]6、如果在内，且在连续，则在上（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在上f(a)＜f(x)＜f(b).[单选题]7、的单调增加区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题]8、（）.A、-1B、0C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]9、设，则（）.A、是的最大值或最小值B、是的极值C、不是的极值D、可能是的极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由，我们不能判断f（0）是极值点，所以选D. [单选题]10、的凹区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】若求凹区间则就是求的区间，即6x+6>0，即x>-1.[单选题]11、的水平渐近线是（）.A、x=1，x=-2B、x=-1C、y=2D、y=-1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时，y的值就是水平渐近线，x趋于无穷时，y的值是2，所以y=2是水平渐近线；当y趋于无穷时，x的值就是垂直渐近线，本题中由于分母可以分解为（x+1）（x-1），所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1，x=-1都是垂直渐近线.[单选题]12、设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为，则P=4时的边际需求为（）.A、-8B、7C、8D、-7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，当P=4时，Q=-8.[单选题]13、设某商品的需求函数为，其中表示商品的价格，Q为需求量，a，b为正常数，则需求量对价格的弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由弹性定义可知，[单选题]14、设函数在a处可导，，则（）.A、B、5C、2D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】因为f(x)可导，可用洛必达法则，用导数定义计算.所以[单选题]15、已知函数（其中a为常数）在点处取得极值，则a=（）.A、1B、2C、0D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在点处取得极值，[单选题]16、某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定位10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p定为多少时利润最大？（）.A、9.5B、9C、8.5D、7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】设销量为Q，则Q=120+20(10-P)·2=520-40P利润此时即取得最大值.[单选题]17、若在（a,b）上，则函数y=f（x）在区间（a,b）上是（）A、增加且凹的B、减少且凹的C、增加且凸的D、减少且凸的【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]18、求极限=（）.A、2B、C、0D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数在区间上的极大值点=（）.A、0B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】令，当时，当时，当时，函数有极大值.[单选题]20、设某商品的供给函数为，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商品的供给价格弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]21、某产品产量为q时总成本C(q)=1100+，则q=1200时的边际成本为() A、0B、C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，q=1200时的边际成本为2.[单选题]22、已知函数f(x)=ax2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=()A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】，得到a=1.[单选题]23、极限=()A、-B、0C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先利用洛必达法则，分子分母分别求导，.[单选题]24、曲线y＝x3的拐点为（）．A、（0，0）B、（0，1）C、（1，0）D、（1，1）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】y＂＝6x，当y＂＝0时，x＝0，将x＝0代入原函数得y＝0，所以选择A．参见教材P108～109．（2015年4月真题）[单选题]25、曲线的水平渐近线为（）．A、y＝0B、y＝1C、y＝2D、y＝3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题因为，所以直线y＝1为曲线的水平渐近线．参见教材P110～111．（2015年4月真题）[单选题]26、函数y＝x3－3x＋5的单调减少区间为（）．A、（－∞，－1）B、（－1，1）C、（1，＋∞）D、（－∞，＋∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】y＇＝3x2－3y＇＝0时，x＝±1．在（－∞，－1）上，y＇＞0，为增函数；在（－1，1）上，y＇＜0，为减函数；在（1，＋∞）上，y＇＞0，为增函数．因此选B．参见教材P100～101．（2015年4月真题）[单选题]27、已知函数（其中a为常数）在处取得极值，则a＝（）．A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】∵在处，取得极值点，∴参见教材P102～104。
中值定理与导数的应用例题
中值定理与导数的应用例题1、曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是【 】()A (1,0)； ()B (2,0)； ()C (3,0)； ()D (4,0)．2、函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为【 】．()A 0； ()B 1； ()C 2； ()D 3．3、设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0,(0)0f x f '>=，则函数 ()ln ()z f x f y = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是【 】． ()A (0)1(0)0f f ''>> ； ()B (0)1(0)0f f ''><；()C (0)1(0)0f f ''<> ； ()D (0)1(0)f f ''<<． 4、使不等式1sin ln xt dt x t>⎰成立的x 范围是【 】()A (0,1).()B 1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()C ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭. ()D (,)π+∞.5、设函数(),()f x g x 具有二阶导数，且满足0()0,()g x g x a ''<=是()g x 的极值，则()()f g x 在0x 处取极大值的（一个充分）条件是【 】()A ()0f a '<；()B ()0f a '>； ()C ()0f a ''<； ()D ()0f a ''<．6、设()1010()ln ,(),()xf x xg x xh x e ===， 则x 当充分大时有【 】()A ()()()g x h x f x <<； ()B ()()()h x g x f x <<；()C ()()()f x g x h x <<； ()D ()()()g x f x h x <<．7、设函数()()()212f x x x x =--，则()f x '的零点个数为【 】()A 0； ()B 1； ()C 2； ()D 3．8、设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是【 】()A (0)f 是极大值，)2(πf 是极小值； ()B (0)f 是极小值，)2(πf 是极大值； ()C (0)f 是极大值，)2(πf 也是极大值； ()D (0)f 是极小值，)2(πf 也是极小值. 9、当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点. 【 】()A 2； ()B 4； ()C 6； ()D 8.10、设()(1)f x x x =-, 则【 】()A 0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. ()B 0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. ()C 0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. ()D 0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.11、函数2x y x =在区间(0,1]上的最小值为 ．12、若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-，则b =13、曲线()235y x x =-的拐点坐标为 ． 14、求极限()40sin sin sin sin lim x x x xx→-⎡⎤⎣⎦ 15、设函数()y y x =由参数方程3311331133x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点 ．16、设()2(1)n f x nx x =-，记()f x 在区间[]0,1上的最大值为n M ，求lim n n M →+∞。
第三章 微分中值定理和导数的应用习题66道
第三章 微分中值定理和导数的应用3．1 验证罗尔定理对函数21x y -=在区间]1,1[-上的正确性。
3．2 验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。
3．3 不用求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明0)(/=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。
3．4 试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
3．5 验证担格朗日定理对于函数x x f arctan )(=在区间[0，1]上的正确性。
3．6 对函数3)(x x f =及1)(2+=x x g 在区间[1，2]上验证柯西中值定理的正确性。
3．7 对函数x x f sin )(=，x x g cos )(=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π验证柯西中值定理的正确性。
3．8 对函数2)(x x f =，x x g =)(在区间[1，4]上验证柯西中值定理的正确性。
3．9 试证当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时，|tan |||x x ≤（等号只有在0=x 时成立）。
3．10 证明下列不等式：（1）b a b a -≤-arctan arctan ；（2）y x y x -≤-sin sin ；（3）)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<--- （y x n >>,1）；（4）如果20παβ<≤<，试证：αβαβαββα22cos tan tan cos -≤-≤-； （5）设0>n ，试证：1111arctan 1arctan 1)1(122+<+-<++n n n n 。
3．11 试证：21arctan arcsin xx x -= （11<<-x ）。
3．12 若k x f =)(/，k 为常数，试证：b kx x f +=)(。
高等数学习题课3-2
习题课（二） 习题课（
例2 证明当 x > − 1 时,
第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用
x2 x3 ln(1 + x ) ≤ x − . + 2 3 证 当 x > − 1 时, 2 3 x x 1 x4 ln(1 + x ) = x − + − x 3 4(1 + ξ )4 其中 ξ 介于 0与x之间. 之间.
-7-
习题课（二） 习题课（
第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用
上连续， 当 例6 设函数 f ( x ) 在 [a ,+∞ ) 上连续， x > a 时， f ′( x ) > k > 0, 且 f (a ) < 0, 证明： 证明： 方程 f ( x ) = 0 在区间
[a ,+∞ ) 有且仅有一个根。 有且仅有一个根。
第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用
x 的单调区间，极值， 例12 求曲线 y = x + 2 的单调区间，极值，凹凸 x −1 区间，拐点。 区间，拐点。
解
函数的定义域为( −∞ , −1) ∪ ( −1,1) ∪ (1, +∞ )
2 x ( x 2 + 3) y′′ = ( x 2 − 1)3
第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用
确定 a , b, c 使当 x → 0 时， x2 x 2 f ( x) = a − + e + x ln(1 + x ) + b sin x + c sin 2 x 2 的四阶无穷小。 为关于 x 的四阶无穷小。 x2 x3 x4 ex = 1+ x + + + + o( x 4 ) 解 2 6 24 x3 x ln(1 + x 2 ) = x 3 + o( x 4 ) sin x = x − + o( x 4 ) 6 3 4x 4 sin 2 x = 2 x − + o( x ) 3 1 b 4c 3 1 4 f ( x ) = a + 1 + (1 + b + 2c ) x + ( + 1 − − ) x + x 24 6 6 3 + o( x 4 ) 11 8 a = −1 b = − , c = 所以 3 6-5 例4
第三章中值定理与导数应用习题课课件培训讲学
显 然 f ( x ) 在 [ a , a f ( a ) ] 上 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ,
f ( a f ( a ) ) f ( a ) f ( ) ( f ( a ) )
(a ,af(a ))
即 f ( a f ( a ) ) f ( a ) ( 1 f ( ) )
综合以上两部分可知结论成立.
8. 设 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ]上连续,在( 0 , 1 )内可导且
f(0)f(1 )0,f
1 2
1
,试证:在( 0 , 1 )内至少
有一点 , 使 f()1.
证明:
设 F (x)f(x)x, 则F(1)-1,F(1)1. 22
由零点定理得: (1,1)使 F()0.又 知 F(0)0,
是同阶无穷小.
4. 证明:当 x >1时, arctanx1arccos2x
2 1x2 4
证明: 设 f(x ) a rc ta n x 1 2 a rc c o s 1 2 x x 2 4 f(x)1 1x21 2(1(1 1 2xx2)2)(1 2xx2)
1 1x2 1x2 0 1x2 1x2 (1x2)2
解: 因为
1 x2 1 1 2x21 2(2 1 2 !1 )x4 o (x4),e x 2 1x2o(x2), co sx1x22! o(x2), s in x 2 x 2 (x0)
所以
原式 = lim x 2 2 1[1 1 2x21 2(2 1 2 !1 )x4 o (x4)]
[ x 0 1x22!o(x2)(1x2o(x2))]x 2
而 f(a ) 0 ,f(x ) 1故 f(af(a))0
中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案
第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21xy = D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f =C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数)D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．97．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( )A ．()M x f ≥B ．()M x f >C ．()M x f ≤D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ9．若032<-b a ，则方程()023=+++=c bx ax x x f ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根10．求极限xx x x sin 1sinlim20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为xx 1lim0→不存在，所以上述极限不存在 C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数212x xy +=，在 ( ) A ．()+∞∞-,单调增加 B ．()+∞∞-,单调减少 C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少 D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加12．曲线xe y x+=1 ( )A ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( ) A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D ． 只有水平渐近线14．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 ( )A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值 15．求()201ln lim x x x x +-→16．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 0 17．求x xx 3cos sin 21lim6-→π18．求()xx x1201lim +→19．求xx arctgx ln 12lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→π20．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。
第四章中值定理导数应用习题课(11级)
个实根 .
证: 令 F (x) a0 a1x an xn , 则可设
F ( x)
a0 x
a1 2
x2
an n 1
x n 1
显然, F (x) 在 [0,1]上连续, 在 (0,1)内可导, 且 F (0)
F (1) 0, 由罗尔定理知存在一点 (0,1), 使 F ( ) 0,
即 a0 a1x an xn 0 在（0，1）内至少有一个实根 .
7. 有关中值问题旳解题措施 利用逆向思维,设辅助函数.
8. 经典例题
【例1】若方程 a0 x n a1 x n1 an1 x 0有一种正根
x x0 ,证明方程 a0nx n1 a1 (n 1)x n2 an1 0 必有一种不大于x0 旳正根.
分析 假如令 f ( x) a0nx n1 a1 (n 1)x n2 an1 ，无法鉴定 f (0) f (x0 ) 0 , 所以不能利用零点定理, 考虑利用罗尔定理证明。 首先构造一种函数F ( x), 使F ( x) f ( x)，其中 f ( x)是欲证方程
处理措施:
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例1. 求极限 lim 1 x tan x
x1
2
解
原式
1 x
lim
x1
cot
x
2
lim
x1
1
csc x
2
2
2
lim
x1
sin
2
x
2
2
2
1
例2. 求 lim x1 x .
( 1 )
解
x1
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例10. 求
解法1 利用中值定理求极限
a a 原式 lim n ( ) 2 n n 1 n 1
2
1
a a ( 在 与 之间） n n 1
n2 a lim n n( n 1) 1 2
a
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解法2 利用罗必塔法则
原式 lim
arctan a arctan b x x
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x
f ( x)
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arctan x ( x 0) . 例8. 证明 ln(1 x) 1 x 证: 设 ( x) (1 x) ln(1 x) arctan x , 则 (0) 0 1 ( x) 1 ln(1 x) 0 ( x 0) 2 1 x 故 x 0 时, (x) 单调增加 , 从而 ( x) (0) 0 arctan x 即 ln(1 x) ( x 0) 1 x 1 x ln(1 x) (0 x 1) 时, 如何设辅助 思考: 证明 1 x arcsin x 函数更好 ? 2 提示: ( x) (1 x) ln(1 x) 1 x arcsin x
二 课堂练习
1. 判断是非（共7个） 3. 计算题（共5个）
1. 掌握四个微分中值定理
罗尔中值定理：
[ 若 f ( x ) : (1)在闭区间a , b]上连续； (2)在开区间 a , b)内可导； (
(3) f (a)= f (b) ;
则至少存在一点 (a , b)，使得
f ( ) 0 .
1 2
1 cos x 1 o 1 . 及时求出已定式的极限. 原式 lim 2 x 0 3 x 2 1 sin x lim 2 x 0 6 x 1 1 1 2 6 12
2. 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？
.
2o. 需要先验证条件.
.
x sin x 1 cos x 例1 2. lim lim x x sin x x 1 cos x
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) f ( x0 ) f ( ) x x0 f ( x0 ) M (b a ) K
(定数) 可见对任意 x (a , b) , f ( x) K , 即得所证 .
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例2. 设
在
上连续, 在
内可导, 且 使
证明至少存在一点
证: 问题转化为证 f ( ) 2 f ( ) 0 .
设辅助函数
显然 少存在一点
( x) x 2 f ( x)
使
在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至
( ) 2 f ( ) 2 f ( ) 0
n
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例5. 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 试证必存在 (0, 3) , 使 f ( ) 0. (03考研)
证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故
m f (0), f (1), f (2) M
m
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
f (0) f (1) f ( 2) 3
M
f (0) f (1) f ( 2) f (c ) f1 3 f (0) (1) f ( 2) 1, f (3) 1 分析: 所给条件可写为 3 c ) f (c) f (3) 1, 且 f ( x) 在[c, 3] 上连续,f在)( , 32)内可导 , f (0) (1 f ( 想到找一点 c , 使 f (c) 3 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3) (0, 3) , 使 f ( ) 0.
f (b) f ( a ) f ( ) F (b) F ( a ) F ( )
o
a
b x
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微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
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有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理, 可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用 柯西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
几何解释： 曲线 y = f (x) 至少有一条切线平行于 连接曲线端点的弦。
.
推广： 用 F(x)代替 x.
柯西中值定理：
若 f ( x若 F ( x ) : )和 1 f
(1)在闭区间a , b]上连续； [ (2)在开区间 a , b)内可导； (
(3)F ( x ) 0
x (a, b).
x
则 故
( x) e x [ f ( x) f ( x) ] 0
在 上连续单调递增, 从而至多只有
一个零点 . 又因 e x 0 , 因此 f (x) 也至多只有一个零点 . 思考: 若题中 其它不变时, 如何设辅助函数? 改为 f ( x) f ( x) 0 ,
( x) e
第三部分 中值定理和导数的应用
第三部分 中值定理和导数的应用
基本思想：用导数研究函数 一 重点和难点： 1. 理解和掌握四个重要的微分中值定理：
罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及泰勒定理的内容；
中值定理的条件是定理成立的什么条件？中值定理中的 唯一吗？ 2. 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？ 3. 会判别函数单调性、凹凸性。能利用函数的单调性做证明题. 4. 熟练掌握求函数极值(确定极大还是极小)和最值的方法. 5. 求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线. 6. 会做y = f (x)的图形. 7. 正确求出函数在某点处的曲率. 2. 选择题（共7个） 4. 证明题（共7个）
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例6. 证明
证: ln f ( x) x ln(1 1 ) x
在
上单调增加.
x [ ln(1 x) ln x ]
令 F (t ) ln t , 在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, 得
ln(1 x) ln x
1
(0 x x 1)
1 x2
x
1 令t x
lim
t 0
arctan at arctan bt t2
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2. 用洛必达法则求未定式极限应注意什么？
1 sin x 1 x 例11. lim x 0 (sin x) 3 1 sin x x lim 3 x 0 x 1 sin x 1 x
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
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例1. 设函数
证明 在
在
内有界.
内可导, 且
证: 取点 x0 (a , b) , 再取异于 x0 的点 x (a , b) , 对 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
几何解释：
曲线 y=f(x) 至少有一条水平切线。 推广： 减少一个条件
.
拉格朗日中值定理：
[ 若 f ( x ) : (1)在闭区间a , b]上连续； (2)在开区间 a , b)内可导； (
(3) f (a)= f (b) ;
则至少存在一点 (a , b)，使得
f ) f ( ) f (b) f (a(1 0.)(b a ).
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二、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化
• 最值的判别问题
3. 其他应用 : 相关变化率; 求不定式极限 ; 证明不等式 ; 几何应用 ; 研究方程实根等.
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.
则至少存在一点 (a , b)，使得
f (b) f (a ) f ( ) f (b) f (a ) f ( )( a ). 1 ) F b ) . F (b) F (a (
几何解释：
曲线的参数式方程, x为参数.
. .
X F ( x) 曲线 Y f ( x ) 至少有一条切线平行于连接曲线端点的弦。
即有
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例3. 试证存在
且
f ( ) f ( ) f ( )(b a ) f ( ) , 即要证 . 证: 欲证 2 2 ab 2 2 b a 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 故有
f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b)
因为 lim cos x不存在 .
x
应该怎么做？
sin x 1 x 原式 lim 1. x sin x 1 x
3. 利用函数的单调性做证明题