高等流体力学试卷及答案

上海海事大学高等流体力学复习题及答案

一,试列出流线微分方程、轨迹方程和涡线方程及说明涡线和流线的区别。

答：流线微分方程: d x u(x,y,z,t)

=

d y v(x,y,z,t)

=

d z

w(x,y,z,t)

轨迹方程:

d x d t =u(x,y,z,t),

d y d t

=v(x,y,z,t), d z d t

=w(x,y,z,t)

涡线方程： d

x dωx

=d

y dωy

=d

z

dωz

涡线与流线的区别：

1）涡线：先把涡量定义为矢量，再定义涡量连续相切的曲线称为“涡线”。换种说法：“涡线”就是通过连续涡量（元涡）的轴线。

2）流线：流体质点连续运动速度（矢量）与之相切的曲线称作“流线”

它们的区别：流线定义前提一维和无旋。这样在一条流线上，同一运动质团能量守恒。因此推定出知名的柏努利定理方程。这个定理在无旋流体计算中一直起着十分重要的作用。但是在传统理论的涡线上无论定义它是一个涡量还是一串涡量，能量都是不被考虑的因素。龙卷风可以按现理论定义成一个连续涡量的涡线，其象鼻状的各段截面涡量显然不相同。即“涡量通量”。如果运动有涡, 便存在涡线,运动无涡则不存在涡线。但是 只要有流体运动,不论是否有涡,流线总是 存在的

二、流体微团运动的主要运动并用数学方程表示。

答：平移：一个流体微团的所有流体质点都有相同的速度，即速度梯度为零。∆u

→ =

0 （这个表达式不正确）

=

=∂v ∂y , Dεz Dt =

∂w ∂z

剪切变形：

Dγxy Dt

=∂u

∂y +∂v

∂x ，

Dγyz Dt

=

∂v

∂z

+

∂w

∂y

Dγzx Dt

=

∂w ∂x

+∂u

∂z

旋转变形

⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫

∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=)(21)(21)(

21y u x u x u z u z u y u x y z z x y y z x ωωω及⎪

⎪⎪⎭

⎪⎪

⎪

⎬⎫∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=)(21)(21)(21θωωθωθθθθr u r u r u

r u z u

z u r u r z z r z r

三，试指出质点的随体导数、涡量、速度环量及斯托克定理的数学表达式及物理含义。 答：随体导数：Dη

Dt =

∂η

∂t

+u ∂η∂x +v ∂η∂y +w ∂η

∂z 式子中，∂η

∂t 是空间点上的η量的变化率，称为局部导数；u ∂η

∂x +v ∂η

∂y +w ∂η

∂z 则表示由于流体 质点在不均匀的η场内移动而引起的η量的变化率，称为对流导数；Dη

Dt 表示一个流体质点η量的总变 化率，它等于局部导数和对流导数之和，称为随体导数。

涡量： Ωx =

∂w ∂y

−∂v ∂z , Ωy =

∂u

∂z

−∂w

∂x

, Ωz =∂v ∂x −∂u

∂y 速度环量：z u y u x u s u z y s

x s

d d d d ++=⋅=⎰⎰

Γ 斯托克定理：∮udl =∫Ω∙n a dA

四、速度势和流函数同时存在的条件，及各自的性质 同时存在的条件：不可压缩流体的平面无旋流动

各自的性质：势函数：调和函数，任一曲线的速度环量为两端点势函数之差；

流函数：满足连续性方程；调和函数；任两条曲线间的流量等于流函数之差；

五、试列出牛顿流体的本构方程及牛顿流流体动力学方程，并指出其物理意义。（P 33） 六、试用环量的圆柱绕流原理说明乒乓球中的弧度球和旋涡理论说明龙卷风的性质。

七、已知某二维液流流速场为u x =Uy,, u y =Ux 。（1）证明平面流动为势流；（2）求其等势线方程式。 答：（1）证明，由题知道

ðu x ðt

=

ðu y

ðt

=0，ωz =12(ðu y ðx −

ðu x ðy

)=0, ∴该二维流为恒定流且为势流。

（2） 依题意有势函数的全微分d φ=u x dx +u y dy =Uydx+Uxdy,则势函数为φ=Uxy+C 0 那么等势线方程为：φ=Uxy+C 0=C （C 0和C 为任意常数） 八、已知速度势，求相应的流函数。（1）φ=x 2−y 2+x ;(2) φ=C cos θr

（其中C 为常数）。

答：（1）u x =

ðφ

ðx

=2x+1 , u y =

ðφðy

=−2y ，

则相应的流函数的全微分d ψ=-u y dx +u x dy =2ydx+(2x+1)dy,即ψ=2xy+y+C(C 为任意常数) （2）u r =ðφ

ðr = −C cos θr 2 , u θ=ðφrðθ=−C sin θr 2,则d ψ=d ψðr dr +∂ψ

ðθdθ=-u θdr+r u r dθ

即d ψ=

C sin θr 2 dr −

C cos θr

dθ,那么ψ=-

C sin θ

r

+C 0(C 0为任意常数)

九、已知二维速度场u=3x+y , v=2x-3y,求绕圆柱体（x −2）2

+（y −4）2

=16的速度环量 答：由于是二维速度场，根据斯托克定理有： 速度环量Γ=∬（ðv

ðx −ðu

ðy ）dA A =∬(2−1)A

dA=16π (在这里A 表示圆柱体的截面域)。

十、已知速度场u(x,t)=x/t,v=h,h 为常数，设流体的密度只是时间的函数ρ=ρ(t)。试求密度的表达

式。

答：列连续性方程：ðρ

ðt +

ð(ρu)ðx

+

ð(ρv)ðy

+

ð(ρw)ðz

=0

由于ρ=ρ(t)，v=h 为常数，且w=0,所以，ðρðt +ρ

t =0,解得ρ(t)= C

t （t ≠0且C 为常数） 当t=0时，ρ=ρ(t =0)

十一、已知有环量圆柱体绕流的复位势中a 为圆柱体半径，U 为来流速度，Γ为速度环量。

F(z)=U(a 2

z ⁄)-i Γln(z/a)试用伯努利方程求沿圆柱表面的压强分布p(a, θ)和流体对圆柱体的

作用力。

答：(1)W z =dF

dz =-U (a

z )2-i Γ

z ，将z=R e iθ代入有W z =-U (a

R )2e

−2iθ

-i Γ

R e −iθ=[-U (a

R )2e −iθ-i Γ

R ] e −iθ 又由e

−iθ

=cos θ-i sin θ，则W z ={-U (a R

)2

cos θ+i[U (a R )2

sin θ−Γ

R ]} e −iθ

又W z = (u R −iu θ)e

−iθ

，当R=a 时 ，u R = U cos θ，u θ= Γ

a - U sin θ 根据伯努利方程：p+1

2ρu 2

=C,则p=C-1

2ρu 2

=C-1

2ρ(u R 2+u θ2

)=C −ρ

2(U 2

−2UΓa

sin θ+Γ2

a 2)

(2)根据留数定理和布拉修斯公式：X-iY=iρ

2∮W 2dz ,

而由（1）有W z 2=U 2a 4

z 4

+i

2UΓa 2z 3

-Γ2z 2所以 X-iY=iρ

2∮(

U 2a 4z 4

+i

2UΓa 2z 3

−Γ2

z 2)dz =0（ 猜为0）

即X=0（表示圆柱体所受阻力，沿流动方向为0），升力Y 等于虚部的负值也为0.