4.1-FIR数字滤波器设计的窗函数法-数字信号处理

设 在计０一≤F｜IRω低｜通≤滤0.2波5π器之，间所为希１望，的在频0.率25响π＜应｜Hωd（｜e≤jπω） 之间为０，分别取Ｍ＝10，20，40，观察其幅频响 应的特点
由上式可得
sin[(n M)0.25]
当M=10时，求得
hd(n)
2 (n M)
h（0）＝h（10）＝-０.045, h（1）＝2h（9）＝０,
N
常用窗函数性质
窗的类型
矩形 Hann Hamming Blackman
主瓣宽度 近似过 渡带宽度
4 / N 1.8 / N
8 / N 8 / N 12 / N
6.2/N 7/N 11.4/N
dp，ds
0.09 0.0064 0.0022 0.0002
Ap(dB) As(dB)
0.82
(3) 计算IDTFT得hdh[n d[]n ] πcsicn[c(nM/2)]
(4) 截断hd[n] h[n]hd[n]wN[n]
可以是汉宁窗、哈明窗或Blackman窗
例：用非矩形窗设计截频为Wc =0.5的线性相位理想低通，并将设计结
果与利用矩形窗设计结果比较。
矩形窗和汉宁窗设计的低通对比
第4章 有限冲激响应数字滤波器设计
窗函数法设计FIR数字滤波器 频率抽样法 最佳一致逼近法
FIR数字滤波器
LTI系统
M
bjzj
H (z) j0
N
1
ai z i
i 1
若ai等于零，则系统为FIR数字滤波器。 若ai至少有一个非零，则系统为IIR 数字滤波器。
数字滤波器设计：
解：
4．2 窗函数
在信号处理中不可避免地要遇到数据截短问 题，例如，在应用DFT时，数据x（n）总是 有限长，在FIR滤波器设计中遇到了对理想 滤波器抽样响应h d（n）的截短问题，在功 率谱估计中也要遇到对自相关函数的截短问 题，总之，我们在实际工作中所能处理的离 散序列总是有限长，把一个长序列变成有限 长短序列不可避免地要用到窗函数，因此， 窗函数本身的研究及应用是信号处理中的一 个基本问题。
4．1 FIR数字滤波器设计的窗函数法
如果我们将hd（n）截短，例如仅取hd（M/2）…hd（0）…hd（M/2），并将截短后 的hd（n）移位，得
h(n)hd(nM 2), n0,1, M
那么hd（n）是因果的，且为有限长，长度
为M+1，令
M
H(z) h(n)zn
n0
4．1 FIR数字滤波器设计的窗函数法
常用窗函数
矩形w=boxcar(M+1))
w[k]10
0k M 其他
1.09 1
Ap =20lg(1dp) 0.82dB,
dp=ds=0.09
As = 20lg(ds ) 21dB
0.5
0.09
W Wc 1.8 π
N
常用窗函数
Hann(汉宁)窗(w=hanning(M+1))
0
-20
Square Hanning
-44 -60
-80
0
0.25
0.5
0.75
1
例：用非矩形窗设计截频为Wc =0.5的线性相位理想低通，并将设计结
果与利用矩形窗设计结果比较。
矩形窗和哈明窗设计的低通对比
0
-20
Square Hamming
-52 -60
-80
0
0.25
0.5
0.75
1
例：用非矩形窗设计截频为Wc =0.5的线性相位理想低通，并将设计结
A21
0.11(0 A28.7),
A50
0.58(4 A22)10.40.078(A826)1, 2 1A50
0,
A21
Kaiser(凯泽)窗
Kaiser窗设计FIR滤波器的MATLAB函数
[M,Wc,beta,ftype] = kaiserord(f,a,dev) f: 表示需设计的FIR滤波器的频带。 a: B个元素的向量, 表示FIR滤波器在B个频带中的
0.5
0 0
Kaiser(凯泽)窗——取不同值时窗的形状
=0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
=1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
=3
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Kaiser(凯泽)窗
N与 的确定
A= 20lg (min{dp，ds })
M A7.95 ,
2.28W 5p Ws
可得所设计的滤波器的转移函数，H(z)的频
率响应将近似Hd(ejw)，且是线性相位的。
若() M 2
hd(n)21
cejM 2ejndsinn(M 2)c
c
(nM)
2
h (n )h d(n ) n0 ,1 , M
4．1 FIR数字滤波器设计的窗函数法
h（2）＝h（8）＝０.075,
h（3）＝h（7）＝０.1592, h（4）＝h（6）＝ ０.2251, h（5）=0.25
4．1 FIR数字滤波器设计的窗函数法
吉布斯现象的产生是由于对h d（n）突然截短的结 果，将无穷长的h d（n）仅取长为0~M，等于在h d（n）上施加了长为(M+1)的矩形窗口，加窗的 结果，等于H d（ejω）和矩形窗频谱的卷积，H d （ejω），矩形窗频谱D（ejω）为sinc(ω)函数，它 有着较大的边瓣，正是这些边瓣在和H d（ejω）卷 积时产生了吉布斯现象。
0 .4 2 0 .5 co 2 π k s /M () 0 .0c8o 4 π k s /M () 0 k M
w [k] 0
其
1.0002
w[k] 1
dp=ds =0.0002
1-0.0002
0.0002
k
0
10
20
30
W
Wc
Ap 0.0017dB，As 74dB
11 . 4 π
M表示滤波器的阶数。 Wc表示理想FIR滤波器的B个频带。 ftype表示滤波器的类型，缺省值为空。 window是一长度为N+1的向量, Hamming窗。
例：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。
Wp=0.3, Ws=0.5，Ap=0.1dB, As=40dB。
窗函数的频谱
W(ej)ej(N1)/2ssiinN n((//22))
矩形窗的幅度
函数W(W)
W (W)
N
1. W(e)的主瓣宽度 4/N
3
N 0 2 4
NN
2. 旁瓣相对衰减为常数
W (0)
A 20 lg
W
W (3π )
N

=13dB
3dB带宽，最大边瓣峰值A（dB）,边瓣谱峰 渐近衰减速度D（dB/oct）
由上述设计过程可以看出，FIR DF设计的窗函数法不象IIR DF的设计那样能精确指定通带、阻带的边缘频率ωp,ωs，也不 能精确地给定在这两个带内的衰减αp，αs，而是仅给出通带截 止频率ωc（即ωp），其他几个参数是靠h（n）的长度M及所使 用的窗函数的性能来决定的。选定了窗函数后，可以不断地变 化M，以检查通带、阻带是否达到了希望的技术要求，直到满 意时为止。这些工作在计算机上是极易实现的。
由给定的系统频率特性, 确定M和N及系数ai, bj
FIR系统与IIR系统比较
数字信号处理研究的内容主要有以下三方面
1．FIR系统只有零点，要取得好的衰减特性， 一般要求h（z）的阶次要高，也即M要大。优 点：①系统总是稳定的。②易实现线性相位。 ③允许设计多通带（或多阻带）滤波器，目 前，FIR DF的设计方法主要是建立在对理想 滤波器的频率特性作某种近似的基础上的。
实际上，在对hd（n）自然截短时，H（ejω）是对 H d（ejω）在最小平方意义上的逼近。
4．1 FIR数字滤波器设计的窗函数法
为了减少吉布斯现象，我们应选取边瓣较小 的窗函数，如用汉宁窗或汉明窗来代替矩形 窗。
4．1 FIR数字滤波器设计的窗函数法
由于本设计方法是选取某种好的窗函数对h d（n）予以截短来 得（到 ejωh）（是n）以的２，π为所周以期该的设周计期方函法数称，为h“d（窗n函）数可法看”作又H 由d（于ejHω）d 在 频域展开为傅立叶级数时的系数，所以该方法又称“傅立叶级 数法”
解：
(1) 由给定指标确定待逼近理想低通的截频Wc 由于理想低通滤波器的|H(ejW)|在截频Wc处收敛
于0.5，因此常将截频Wc取在过渡带的中点
Wc =(Wp + Ws )/2=0.4
例：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。
Wp=0.3, Ws=0.5，Ap=0.1dB, As=40dB。
FIR系统与IIR系统比较
2．IIR系统零、极点全部包括，所以易取得 比较好的通带与阻带衰减特性，对于IIR DF 的设计方法，主要是借助与模拟滤波器的设 计方法，这些面向极点的设计方法不适用于 仅包含零点的FIR系统。
对于FIR DF的设计方法包括窗函数法、频率 抽样法及最佳一致逼近法 .
0.5 40.4c6o2π sk/(M ) 0kMw [k]Fra bibliotek 0其他
1.0022
w[k] 1
1
dp=ds =0.002 2
1-0.0022
0.0022
k