第二节简单几何体的表面积和体积(知识梳理)

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高考复习数学立体几何初步第7章第2节空间几何体的表面积与体积

第二节空间几何体的表面积与体积————————————————————————————————[考纲传真]了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(2)球的体积之比等于半径比的平方．()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD.32 cmB [S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)．] 3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图7-2-1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )图7-2-1A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛B [设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B.]4．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8πD ．4πA [设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A.]5．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图7-2-2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm 3.图7-2-2323 [由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm 的正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.](1)某几何体的三视图如图7-2-3所示，则该几何体的表面积等于( )图7-2-3A ．8＋22B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-4，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图7-2-4A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(1)B (2)A [(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为4＋22＋2＋2＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.][规律方法] 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练1] (2016·全国卷Ⅲ)如图7-2-5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )【导学号：31222245】图7-2-5A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.](1)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π(2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图7-2-6所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.图7-2-6(1)C (2)2 [(1)过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示．由于V 圆柱＝π·AB 2·BC ＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝13π·CE 2·DE ＝13π·12×(2－1)＝π3，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝5π3.(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V ＝13Sh ＝13×2×1×3＝2.][规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练2] 一个几何体的三视图如图7-2-7所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图7-2-783π [由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.]111V 的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B.9π2C．6π D.32π3B[由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，则r＝2.此时2r＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝3 2.故球的最大体积V＝43πR3＝92π.][迁移探究1]若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．[解]将直三棱柱补形为长方体ABEC-A′B′E′C′，则球O是长方体ABEC-A′B′E′C′的外接球，∴体对角线BC′的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13，故S球＝4πR2＝169π.[迁移探究2]若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解]如图，设球心为O，半径为r，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.[规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[变式训练3] (2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256πC [如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O -ABC ＝V C -AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O -ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O -ABC 最大为13×12R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.][思想与方法]1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2．求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高．[易错与防范]1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算．2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．课时分层训练(三十九)空间几何体的表面积与体积A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.22π3 B.42π3C．22πD．42πB[依题意知，该几何体是以2为底面半径，2为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝13π(2)2×22＝423π.]2．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()【导学号：31222246】A.32π3B．4πC．2π D.4π3D[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝12＋12＋(2)2＝2，解得R＝1，所以V＝4π3R3＝4π3.]3．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图7-2-8所示，则该几何体的体积为()图7-2-8A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD ．1＋26πC [由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.故选C.]4．某几何体的三视图如图7-2-9所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )【导学号：31222247】图7-2-9A ．2 B.92 C.32D ．3D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝12×(1＋2)×2＝3，∴V＝13x·3＝3，解得x＝3.]5．(2016·江南名校联考)一个四面体的三视图如图7-2-10所示，则该四面体的表面积是()图7-2-10A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2B[四面体的直观图如图所示．侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是2的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝2，AC＝2.设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝2，故△SAB与△SBC均是边长为2的正三角形，故该四面体的表面积为2×1 2×2×2＋2×34×(2)2＝2＋ 3.]二、填空题6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．【导学号：31222248】7 [设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7.]7．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12 [设正六棱锥的高为h ，棱锥的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.]8．某几何体的三视图如图7-2-11所示，则该几何体的体积为________．图7-2-11136π [由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.]三、解答题9．如图7-2-12，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D -ABC 的体积的最大值．图7-2-12[解] 由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，∵棱AD 与棱BC 相互垂直，设d 为AD 到BC 的距离，4分则V D -ABC＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ，当d 最大时，V D -ABC 体积最大.8分 ∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时， d 有最大值42－1＝15.此时V ＝215.12分10．四面体ABCD 及其三视图如图7-2-13所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图7-2-13(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．[解] (1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，3分∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.5分(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，8分∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图7-2-14所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图7-2-14A ．1B ．2C ．4D ．8B [如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.]2．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.14 [设点A 到平面PBC 的距离为h .∵D ，E 分别为PB ，PC 的中点，∴S △BDE ＝14S △PBC ， ∴V 1V 2＝V A -DBEV A -PBC＝13S △BDE ·h 13S △PBC ·h＝14.] 3．(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-15，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G.图7-2-15(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．[解] (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以AB ⊥PD.因为D在平面P AB内的正投影为E，所以AB⊥DE.3分因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，P A＝PB，所以G是AB的中点.5分(2)在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC内的正投影.7分理由如下：由已知可得PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC.又P A∩PC＝P，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝23CG.10分由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝23PG，DE＝13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PE＝2 2. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.12分。

第二节空间几何体的表面积和体积

(单位:cm3)是 ( )
A. +1
2
B. +3
2
C. 3 +1
2
D. 3 +3
2
考点突破
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(2)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为
.
考点突破
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答案 (1)A (2) 3
2
解析 (1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm,高为3 cm的半
个圆锥和三棱锥S-ABC组成的,如图,三棱锥的高为3 cm,底面△ABC中,
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方法技能求空间几何体的体积的常用方法 (1)公式法:对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解. (2)割补法:把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积. (3)等体积法:一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积.
割为两个三棱锥和一个四棱锥,易知三棱锥P-AED和三棱锥P-BCF都是
棱长为1的正四面体,四棱锥P-ABCD是棱长为1的正四棱锥.
∴V= 1 ×12× 2 +2×1 × 3 × 6 = 2 .
3
2 34 3 3
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命题方向三等体积法求体积典例4 如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底
A.6 B.3 3 C.2 3 D.3
答案 B 由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图, 该侧视图是底边为2,高为 3 的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h=

8.3简单几何体的表面积和体积说课稿2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修二

《简单几何体的表面积与体积》说课稿各位老师，大家好：今天我说课的内容是《简单几何体的表面积与体积》。

本节位于必修课程主题三几何与代数对应立体几何初步这一单元。

本节之前从形的角度认识了空间几何体，接下来将从度量的角度进一步认识空间几何体。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学分析、教学评价等六方面加以分析和说明。

一、说教材分析。

1. 内容结构：2.内容分析：本节主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法，是在前面学习了基本立体图形的分类、概念、结构特征、平面表示的基础上，从度量的角度进一步认识简单几何体．也是研究生产、生活中更复杂形状的物体的表面积和体积的基础。

本节内容包括棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．3.育人价值：在实际教学过程中，在对简单几何体的表面积与体积公式的了解与使用公式解决简单的实际问题过程中，提高学生逻辑推理、数学运算、直观想象等素养和空间想象等能力，让学生体会数学来源于生活，激发学习激情。

二、说学情分析。

1.学生在小学、初中阶段已经学习了正方体、长方体、圆柱的表面积和体积以及圆锥体积的计算方法．2.通过之前的学习，学生已经熟悉一些平面图形和空间几何体的互化的思想，尤其是空间几何问题向平面问题的转化。

3.学习圆的面积公式时“分割、近似替代、求和、取极限”这种思想已有体现，现在需要学生进一步体会这种重要思想方法。

三、说教学目标。

目标：1）.掌握简单几何体的表面积和体积公式，并能利用这些公式解决简单的实际问题；简单几何体的表面积和体积柱体、椎体、台体的表面积和体积球的表面积和体积（第三课时）圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积（第二课时）棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(第一课时) 球的体积球的表面积2）.柱体、锥体、台体、球的体积公式的推导过程，掌握探究过程中的类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法，并尝试使用这些数学思想方法进行数学学习．目标分析：（1）学生能结合基本立体图形的结构特征掌握简单几何体的表面积和体积公式；能从联系的角度认识柱体、锥体、台体的体积公式的联系。

简单几何体的面积与体积

例2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=3.（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积.题型2：锥体的体积和表面积例3.在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ，求四棱锥P－ABCD的体积.例4. 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55.（1）证明：SC⊥BC；（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（3）求三棱锥的体积V S－AB C.例5．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？例6.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定题型3：棱台的体积、面积及其综合问题例7. 在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（1）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）证明：EF ∥面ABCD ；（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是 V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.题型4：球的体积、表面积例8．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.例9. 如图，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积.DBAOCEF例10. 如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，P 在球面上，如果 163P ABCD V -=，（1）求球O 的表面积；（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积.题型5：球的经纬度、球面距离问题例11. 我国首都靠近北纬40纬线，（1）求北纬40纬线的长度等于多少km ？（地球半径大约为6370km ）（2）在半径为13cm 的球面上有,,A B C 三点，12AB BC AC cm ===，求球心到经过这三点的截面的距离. 随堂练习（一）选择题1. 如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（） A ．S S S '+=02B ．S S S '=0C ．2S 0＝S ＋S ′D ．S 02＝2S ′S2. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（） A ．323B ．283C ．243D ．2033. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（） A ．23B ．32C ．6D ．64. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( ) A ．1：2 B ．1：3 C ．1：4 D ．1：55. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ､△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为( ) A ．23B ．33 C ．43D ．326. 已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是( )A．42+ B．22+C．32+D．6（二）填空题7. 如图，三棱柱111CBAABC-中，若FE,分别为ACAB,的中点，平面11CEB将三棱柱分成体积为21,VV的两部分，那么21VV：= .8.已知三棱柱111CBAABC-的体积为V，E是棱CC1上一点，三棱锥E—ABC的体积是V1，则三棱锥E—A1B1C1 的体积是________.9. 已知某个几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是3cm.（三）解答题10. 如图在ABC∆中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.11.表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，（1）求这个正四棱柱的表面积.（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积.12.在北纬45圈上有,A B两点，设该纬度圈上,A B两点的劣弧长为24Rπ，求,A B两点间的球面距离.家庭作业（一）选择题1. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．ππ221+B．ππ441+C．ππ21+D．ππ241+2.如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′(a′+b=h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为（）A. 1+ba且a+b>h B. 1+ba且a+b<hC. 1+ab且a+b>h D. 1+ab且a+b<h3. 设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是（）4. 在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A．π29B．π27C．π25D．π235. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A．π3 B．π33C．π6 D．π9（二）填空题6. 如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR= .7.如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.8. 已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=________. （三）解答题9. 在右图所示的几何体中，平面PAC⊥平面ABC，PM∥BC，PA=PC，AC=1，BC=2PM=2，AB=5,若该几何体的侧视图的面积为3.4（1）求证：PA⊥BC；（2）画出该几何体的正视图，并求其面积S；（3）求出多面体A—BMPC的体积V.10. 如图，AA1是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A＝AB＝2. （1）求证：BC⊥平面A1AC；（2）求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．参考答案例题讲解例1．解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy ())2(1由（2）的平方得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x2+y2+z2=16，即l2=16，所以l=4(cm).点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系. 例2．解析：（1）如图，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD ，作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N.由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD.∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ，∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON. ∴点O 在∠BAD 的平分线上. （2）∵AM=AA 1cos3π=3×21=23，∴AO=4cosπAM =223. 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29， ∴A 1O=223，平行六面体的体积为22345⨯⨯=V 230=. 例3. 解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥ABCD ，得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角， ∠PBO=60°.在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1，由PO ⊥BO ，于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P －ABCD 的体积V=31×23×3=2. 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积.在能力方面主要考查空间想象能力. 例4. 解：（1）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°，∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C.又AB ∩AC =A ，∴SA ⊥平面AB C.由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，由三垂线定理，得SC ⊥BC .（2）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC .∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角.在Rt △SCB 中，BC =5，SB =55，得SC =22BC SB -=10.在Rt △SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =21105==SC AC ， ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°. （3）解：在Rt △SAC 中，∵SA =755102222=-=-AC SC ， S △ABC =21·AC ·BC =21×5×5=225，∴V S －ABC =31·S △ACB ·SA =631257522531=⨯⨯. 点评：本题较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理. 例5. 解：如图，取EF 的中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG.设点B 到平面EFG 的距离为h ，BD ＝42，EF =22， CO ＝344232×=. G O C O G C =+=+=+=222232218422(). 而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2. 由V V B E F G G E F B--=，得16EF GO h ··=13S E F B △·GC点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解.构造以点B 为顶点，△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算. 例6. 解：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFDV A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系.例7.（1）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B 1G ⊥PQ ，垂足为G .如图所示：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°， ∴AB ⊥PQ ，AB ⊥B 1P .∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作C 1H ⊥PQ ，垂足为H .由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形. ∴PG =21（b －d ），又B 1G =h ，∴tan B 1PG =d b h -2（b ＞d ），∴∠B 1PG =arctand b h -2，即所求二面角的大小为arctan db h-2. （2）证明：∵AB ，CD 是矩形ABCD 的一组对边，有AB ∥CD ，又CD 是面ABCD 与面CDEF 的交线，∴AB ∥面CDEF . ∵EF 是面ABFE 与面CDEF 的交线，∴AB ∥EF .∵AB 是平面ABCD 内的一条直线，EF 在平面ABCD 外，∴EF ∥面ABC D. （3）证明：∵a ＞c ，b ＞d ，∴V －V 估=h d b c a d b c a ab cd h 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++ =12h ［2cd +2ab +2（a +c ）（b +d ）－3（a +c ）（b +d ）］=12h （a －c ）（b －d ）＞0. ∴V 估＜V .点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题.考查了考生继续学习的潜能. 例8. 解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，则23232323O A '=⨯⨯=，在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+，∴222231()34R R =+， ∴43R =，∴26449S R ππ==. 点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系.例9. 解析：如图，设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O ′，球心到该圆面的距离为d.在三棱锥P —ABC 中，∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ， ∴AB=BC=CA=2a ，且P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心O ′. 由正弦定理，得︒60sin 2a =2r ，∴r=36a .又根据球的截面的性质，有OO ′⊥平面ABC ，而PO ′⊥平面ABC ，∴P 、O 、O ′共线，球的半径R=22d r +.又PO ′=22r PA -=2232a a -=33a ， ∴OO ′=R －33a =d=22r R -，(R －33a )2=R 2 – (36a )2，解得R=23a ， ∴S 球=4πR 2=3πa 2.点评：本题也可用补形法求解.将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=23a . 例10. 解：（1）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO=R ，22ABCD S R =，163P ABCD V -=，所以2116233R R ⋅⋅=，R=2，球O 的表面积是16π.（2）作轴截面如图所示，6CC '=，2623AC =⋅=，设球半径为R ，则222R OC CC '=+22(6)(3)9=+=∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球. 点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素. 例11. 解：（1）如图，A 是北纬40上一点，AK 是它的半径，∴OK AK ⊥，设C 是北纬40的纬线长，∵40AOB OAK ∠=∠=，∴22cos 2cos 40C AK OA OAK OA πππ=⋅=⋅⋅∠=⋅⋅42 3.1463700.7660 3.06610()km ≈⨯⨯⨯≈⨯所以北纬40纬线长约等于43.06610km ⨯．（2）解：设经过,,A B C 三点的截面为⊙O '，设球心为O ，连结OO '，则OO '⊥平面ABC ，∵32124323AO '=⨯⨯=，∴2211OO OA OA ''=-=，所以，球心到截面距离为11cm ．随堂练习（一）选择题1. 解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A ；2. 解析：正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6·43·22＝63，S 下＝6·43·42＝243， V 台＝328)(31=+⋅+下下上上S S S S h ，答案B.3. 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ；答案D.4. 解析：设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a ，b ，c ，则棱锥的体积V1=13×12abc=16abc.长方体的体积V=abc ，剩下的几何体的体积为V2=abc-1566abc =abc ，所以V1：V2=1：5，故选D. 5. 解析：将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥.在梯形ABFE 中，易知BN=32， ∴S △BCN=12BC·HN=12×1×22.24=故该几何体体积为24×1+2×1212,3423=⨯⨯选A. 6. 解析：该几何体为直三棱柱，其表面积为2×12×1×1+2×12+2×1=3+2，选C.（二）填空题7. 解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh.∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴S △AEF =41S ， V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127Sh ，V 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5.点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系.最后用统一的量建立比值得到结论即可.8. 解析：如图，过E 作AC ､BC 的平行线EF ､EG ，分别与AA1､BB1交于F ､G ，连接FG.∵三棱锥E —ABC 的体积是V1，∴三棱柱EFG —CAB 的体积是3V1，∴三棱柱EFG —C1A1B1的体积是V-3V1，∵VE —A1B1C1=13VEFG —C1A1B1， ∴VE —A1B1C1=13 (V-3V1)=3V -V1，答案：3V -V1 9.解析：该几何体由半个圆柱和一个正方体构成的组合体.其体积为23+12×π×2=(8+π) cm3，答案：8+π （三）解答题 10. 解：如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5.底面半径等于CO=125AC BC AB =，所以所得旋转体的表面积 S=π·OC·(AC+BC)=π·125·(3+4)=845π；其体积V=13·π·OC2·AO+13·π·OC2·BO=13·π·OC2·AB=485π. 评析：求一些组合体的表面积和体积时，首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成，再通过轴截面分析和解决问题.11. 解：（1）设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，2AC a =，又∵24324R ππ=，∴9R =，∴2282AC AC CC ''=-=， ∴8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表（2）如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H .由题设a GE AE AG 3622=-= ∵ △AOF ∽△AEG∴ a R a a R 233663-=，得a R 126= ∵ △AO 1H ∽△AOF∴ R r R a r R a =---36236，得a r 246= ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等.12. 解：设北纬45圈的半径为r ，则24r R =，设O '为北纬45圈的圆心，α=∠B AO '， ∴24r R απ=，∴2224R R απ=， ∴2πα=，∴2AB r R ==，∴ABC ∆中，3AOB π∠=，所以，,A B 两点的球面距离等于3R π．点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离. 家庭作业（一）选择题1. 解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr .∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S 侧=h 2=4π2r 2，∴ππ221+=侧全S S .答案为A. 点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识. 2. 解析：设酒瓶下底面面积为S ，则酒的体积为Sa ，酒瓶的体积为Sa+Sb ，故体积之比为1+,b a 显然有a<a′，又a′+b=h ，故a+b<h.选B.3. 解析：由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时间的变化是相同的，反映在图象上，选项B 符合题意.故选B.4. 解析：如图所示，该旋转体的体积为圆锥C —ADE 与圆锥B —ADE 体积之差，又∵求得AB =1.∴23133125331πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=--ADE B ADE C V V V ，答案D. 5. 解析：∵S ＝21ab sin θ，∴21a 2sin60°＝3，∴a 2＝4，a ＝2，a =2r ， ∴r ＝1，S 全＝2πr ＋πr 2＝2π＋π＝3π，答案A.（二）填空题6. 解析：水面高度升高r ，则圆柱体积增加πR 2·r .恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有34πr 3=πR 2r . 故 332=r R .答案为332. 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力.7. 解析：由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P —ABCD(如图)，其中PD ⊥平面ABCD ，因此该四棱锥的体积V=13×6×6×6=72，而棱长为6的正方体的体积V=6×6×6=216，故需要216372=个这样的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体. 答案：3评析：几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容，通过折叠与展开问题，可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力.解决折叠与展开问题时，关键是弄清楚折叠与展开前后，位置关系和数量关系变化的情况，画出准确的图形解决问题.8. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是2,6故该凸多面体的体积为216+.点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.（三）解答题9.解：（1）证明：AC=1，BC=2，AB=5，∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC.（2）设几何体的正视图如图所示：∵PA=PC，取AC的中点D，连接PD，则PD⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC.∴几何体侧视图的面积=12AC·PD=12×1×PD=34.∴PD=32.易知△PAC是边长为1的正三角形.∴正视图的面积是上､下底边长分别为1和2，PD的长为高的直角梯形的面积.∴S=12333.224=⨯+（3）取PC的中点N，连接AN，由△PAC是边长为1的正三角形，可知AN⊥PC，由(1)知BC⊥平面PAC，∴AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM.∴AN是四棱锥A—PCBM的高，且AN=3.2由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC.由PM∥BC，可知四边形PCBM是上､下底边长分别为1和2，PC的长1为高的直角梯形.其面积S′=32，∴V=13S′·AN=3.410. 解：（1）证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC.∵AA 1⊥平面ABC ，BC平面ABC ，∴AA 1⊥BC . ∵AA 1∩AC ＝A ，AA 1平面AA 1C ，AC 平面AA 1C ，∴BC ⊥平面AA 1C .（2）设AC ＝x ，在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0＜x ＜2)，故VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13·12·AC ·BC ·AA 1＝13x 4－x 2(0＜x ＜2)，即VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2(4－x 2)＝13－(x 2－2)2＋4. ∵0＜x ＜2，0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，三棱锥A 1－ABC 的体积最大，其最大值为23.。

课件2：简单几何体的表面积和体积

高
自
考
主落
1．(人教 A 版教材习题改编)已知圆锥的表面积为 a m2，体验
实且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是 ·
·
明
固( )
考
基
础
a
3πa
2 3πa
情
2 3a
A.2
B. 3π
C. 3π
D. 3π
【解析】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意
知 2πr＝πl，∴l＝2r，
明考
基
情
础某一个面上．
2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转
化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方
典例
法．
课
探究
3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥
后作
·
业
提知
的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利
能用“等积法”可求“点到面的距离”．
菜单
典
例探究
则圆锥的表面积 S 表＝πr2＋2πr2＝a，∴r2＝3aπ，∴2r＝
课后
作
· 提知
2 3πa 3π .
业
能
【答案】 C
菜单
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自
主落
(
实
·
固
基
础
2．正六棱柱的高为 6，底面边长为 4，则它的全面积为
高考
)
体
A．48(3＋ 3)
B．48(3＋2 3)
验 ·
菜单
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【尝试解答】 (1)由三视图知，该几何体的上面是一个高

高中数学必修二 8 简单几何体的表面积与体积(精讲)(含答案)

8.3 简单几何体的表面积与体积(精讲)考点一旋转体的体积【例1】(2021·山东莱西·高一期末)在ABC 中，2AB =，32BC =，120ABC ∠=︒，若将ABC 绕BC 边所在的直线旋转一周，则所形成的面围成的旋转体的体积是______．【答案】32π 【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以sin 602OA AB =︒==，1cos60212OB AB =︒=⨯=，所以旋转体的体积:()21332V OC OB ππ=⋅⋅-=故答案为：32π．【一隅三反】1．(2021·湖南省邵东市第三中学高一期中)圆台上、下底面面积分别是π、4π积是( )A B ．C D 【答案】D【解析】由题意1(4)3V ππ=+=．故选：D ．2．(2021·山东任城·高一期中)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有_______斛．【答案】12.5【解析】设圆柱的底面半径为r 尺，则14⨯2πr ＝6，∴r ≈4，∴圆锥的体积V ＝21134543⨯⨯⨯⨯＝20立方尺，∴堆放的米约有201.6＝12.5斛．故答案为：12.5．3．(2021·上海市七宝中学)已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的体积为________.【解析】由题意圆锥的母线长为2l =，设圆锥底面半径为r ，则22r ππ=，1r =，所以高为h体积为2211133V r h ππ==⨯=．．考点二旋转体的表面积【例2】(2021·吉林·延边二中高一期中)如图，圆锥的底面直径和高均是4，过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，(1)求剩余几何体的体积 (2)求剩余几何体的表面积【答案】(1)103π；(2)8π+. 【解析】(1)由题意知，因为O '为PO 的中点，所以挖去圆柱的半径为1，高为2，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小圆柱的体积，所以22110241233V πππ=⋅⨯⨯-⨯⨯=.(2)因为圆锥的底面直径和高均是4，所以半径为2，母线l =所以圆锥的表面积为2122(4S πππ=⨯+⨯⨯+，挖去的圆柱的侧面积为：22124S ππ=⨯⨯=，所以剩余几何体的表面积为12(4+4+8S S S πππ==+=+. 【一隅三反】1．(2021·广东·仲元中学高一期中)已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240︒，则该圆锥的侧面积为( )A B ．881πCD ．23π【答案】D【解析】将圆心角240︒化为弧度为：43π，设圆锥底面圆的半径为r 由圆心角、弧长和半径的公式得：4213r ππ=⨯，即23r = 由扇形面积公式得：22133S ππ=⨯⨯=所以圆锥的侧面积为23π.故选：D.2．(2021·全国·高一课时练习)已知圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180°，则这个圆台的侧面积为( ) A ．600π B ．300π C ．900π D ．450π【答案】A【解析】圆台的上底面圆半径10r '=，下底面圆半径20r =，设圆台的母线长为l ，扇环所在的小圆的半径为x ，依题意有：220()210l x x ππππ⨯=+⎧⎨⨯=⎩，解得2020x l =⎧⎨=⎩，所以圆台的侧面积20()()1020600+S r r l πππ'=⨯=+=. 故选：A3(2021·全国·高一课时练习)圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4，若母线长为10，则圆台的表面积为________．【答案】168π【解析】圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，高为h 则4h R r ==，则它的母线长为510l r =，所以2r，8R =．故()(82)10100S R r l πππ=+=+⨯=侧，22100464168S S r R ππππππ=++=++=表侧.故答案为：168π考点三多面体的体积【例3-1】(2021·全国·高一课时练习)如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D-ACD 1的体积是( )A ．16B ．13C ．1 2D ．1【答案】A【解析】三棱锥D-ACD 1的体积等于三棱锥D 1-ACD 的体积，三棱锥D 1-ACD 的底面ACD 是直角边长为1的等腰直角三角形，高D 1D=1，∴三棱锥D-ACD 1的体积为V=1132⨯×1×1×1=16.故选：A【例3-2】(2021·全国·高一课时练习)若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为( ) A ．8 B ．4C ．2D ．【答案】C【解析】如图，设棱台的上、下底面边长分别为2x ，8x ，斜高h '为5x ，则棱台的高h x ，由棱台的体积公式1()3V S S h '=得：2224161)31(6444++x x x x ⋅=，解得12x =，棱台的高为h =4x =2. 故选：C 【一隅三反】1．(2021·全国·高一课时练习)设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为( ) A ．12 B ．24 C ．4 D ．30【答案】C【解析】所求的体积为11324432⨯⨯⨯⨯=，故选：C.2．(2021·全国·高一课时练习)棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于( )A ．6B ．3+C ．6+D ．6【答案】C【解析】依题意，棱台的上底面面积2S '=，下底面面积4S =，高为3h =，故由公式可知，棱台的体积是()()11243633V S S h '==⨯⨯=+ 故选：C.3．(2021·全国·高一课时练习)若一个四棱锥的底面的面积为3，体积为9，则其高为( ) A ．13B ．1C ．3D ．9【答案】D【解析】设四棱锥的高为h ，则由锥体的体积公式得：13×3h =9，解得h =9，所以所求高为9. 故选：D4．(2021·广东·仲元中学高一期中)如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD '''-则棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为( )A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：2【答案】A【解析】由图知：13C A DD A DD V C D S'''''-''=⋅⋅，ABCD A B C D A D DA V C D S ''''''-''=⋅，而2A D DA A DD S S''''=，∴剩余部分的体积为53ABCD A B C D C A DD A DD V V C D S'''''''''--''-=⋅，∴棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为1：5.故选：A考点四多面体的表面积【例4】(2021·全国·高一课时练习)正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为积为()A ．4)B ．2)C ．1)D ．8)【答案】B【解析】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为12BB =，它的表面积为)16=2622sin 6222412223S S S π=+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯==表面积底面积矩形.故选:B. 【一隅三反】1．(2021·全国·高一课时练习)若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于( ) A ．12 B ．48 C ．64 D ．72【答案】D【解析】六棱柱的底面是边长为3的正六边形，故底面周长6318C =⨯=，又侧面是矩形，侧棱长为4，故棱柱的高4h =，∴棱柱的侧面积72S Ch ==，故选：D2．(2021·全国·高一课时练习)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A ．1∶1B ．1C ．1D ．1∶2【答案】C【解析】设正方体的边长为a ，则表面积216S a =，因为三棱锥11D AB C -的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线．，三棱锥D 1AB 1C 的表面积)222142S =⨯⨯=，所以2221::6S S a ==故选：C3(2021·全国·高一课时练习)长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体积与表面积分别为( ) A ．12，32 B ．12，24 C ．22，12 D ．12，11【答案】A【解析】长方体的体积为22312⨯⨯=，表面积为()222+23+2332⨯⨯⨯=，故选：A.4．(2021·全国·高一课时练习)(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为则下列叙述正确的是( )A ．正三棱锥高为3 BC D 【答案】ABD【解析】设E 为等边三角形ADC 的中心，F 为CD 的中点，连接,,PF EF PE ，则PE 为正三棱锥的高，PF 为斜高，又PF ==32EF ==，故3PE ==, 故AB 正确.而正三棱锥的体积为1393⨯=，侧面积为1332⨯⨯=故C 错误，D 正确. 故选：ABD.5(2021·全国·高一课时练习)(多选)在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11D AB C -的表面积与正方体的表面积的比不可能是( )A ．1:1B ．C ．D ．1:2【答案】ABD【解析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则正方体1111ABCD A B C D -的表面积为226S a =.三棱锥11D AB C -的正四面体，其中一个面的面积为212S ==，则三棱锥11D AB C -的表面积为2214S ==所以三棱锥11D AB C -的表面积与正方体的表面积的比为22126S S a ==::故选：ABD.考点五有关球的计算【例5-1】(2021·全国·高一课时练习)长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．16π【答案】C【解析】设长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，由题意得236ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2414S R ππ球＝＝．故选：C【例5-2】(2021·广东高州·高一期末)已知正四面体ABCD的表面积为A 、B 、C ，D 四点都在球O 的球面上，则球O 的体积为( ) A． BCD ．3π【答案】C【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a ，所以该正四面体的表面积为2142S a =⨯⨯=，所以a =1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，O 的体积为343π⨯=⎝⎭．故选：C. 【一隅三反】1．(2021·全国·高一课时练习)表面积为16π的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为( )A ．B ．C ．16πD ．8π【答案】A【解析】由题意可知，4πR 2＝16π，所以R ＝2，即球的半径R ＝2．设圆柱的底面圆半径为r 2R =，即2816r =，所以r ，∴V 圆柱＝πr 2·2r ＝2π·π．故选：A.2．(2021·全国·高一课时练习)若一个正方体内接于表面积为4π的球，则正方体的表面积等于( )A ．B ．8C ．D ．【答案】B【解析】设正方体棱长为x ，球半径为R ，则24π4πS R ==球，解得1R =，22R ==，解得x =所以该正方体的表面积为22668S x ==⨯=正.故选：B.3．(2021·全国·高一课时练习)(多选)我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是( ) A ．半径是3 B ．体积为18π C ．表面积为27π D ．表面积为18π【答案】ABC【解析】如图，PAC △是正四棱锥的对角面，设球半径为r ，AC 是半圆的直径，，棱锥体积为2312)1833V r r =⨯⨯==，3r =，半球体积为332231833V r πππ==⨯=，表面积为2223327S πππ=⨯+⨯=，故选：ABC ．4．(2021·全国·高一课时练习)一个球内有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π2，求球的体积和表面积．【答案】球的表面积为22500cm π，球的体积为362500cm 3π．【解析】(1)当截面在球心的同侧时，如图①所示为球的轴截面，由截面性质知12AO //BO ，1O ，2O 为两截面圆的圆心，且11OO AO ⊥，22OO BO ⊥，①设球的半径为R ，因为2249O B ππ=，所以27cm O B =，同理得120cm O A =.设1cm OO x =，则2(9)cm OO x =+，在1Rt O OA 中，22220R x =+，① 在2Rt OO B 中，2227(9)R x =++，② 联立①②可得15x =，25R =．所以2242500cm S R ππ==球，33462500cm 33V R ππ==球.(2)当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，12O A//O B ，1O ，2O 分别为两截面圆的圆心，且11OO O A ⊥，22OO O B ⊥．②设球的半径为R ，因为2249O B ππ⋅=，所以27cm O B =．因为21400O A ππ⋅=，所以120cm O A =．设1cm O O x =，则2(9)cm OO x =-．在1Rt OO A △中，22400R x =+，在2Rt OO B 中，22(9)49R x =-+，所以22400(9)49x x +=-+，解得15x =-(不合题意，舍去) 综上所述，球的表面积为22500cm π．球的体积为362500cm 3π．考点六综合运用【例6】(2021·全国·高一课时练习)一块边长为12cm 的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形(每个四边形中有且只有一组对角为直角)，然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器．(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积V 表示为关于x 的函数，并标明其定义域； (2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．请指出此时x 的值(不用说明理由)，并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积S ．【答案】(1)323(012)82x V x x =-+<<；(2)6cm x =，2S =侧．【解析】(1)结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得三棱柱的高6cm 2x h ⎫=-⎪⎝⎭，其底面积22cm S =，则三棱柱容器的容积232236624282x x x x V Sh x x ⎫⎛⎫==-=-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即所求函数关系式为323(012)82x V x x =-+<<；(2)此时6cm x =，而相应棱柱的高h ，故侧面积为236S =⨯=．【一隅三反】1．(2021·安徽镜湖·高一期中)如图所示，在边长为5的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥的底面，围成一个圆锥，求该圆锥的表面积与体积.【答案】表面积10π. 【解析】设圆的半径为r ，扇形的半径为R ，由题意，得(522R r Rr ππ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得r R ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以围成的圆锥的母线长为l =r =h ∴圆锥的表面积210S rl r πππ=+=；∴圆锥的体积为213V r h π==.2．(2021·全国·高一课时练习)有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积).【答案】36【解析】易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，1.考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平投影面积等于下底面最大正方体的底面面积.∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×[22＋2＋12]＝36， ∴该几何体的表面积为36.3．(2021·全国·高一课时练习)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高为4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m (高不变);二是高度增加4 m (底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪个方案更经济些?【答案】(1)2563π(m 3)，96π(m 3)；(m 2)，60π(m 2)；(3)方案二比方案一更加经济. 【解析】(1)若按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积为V 1=13S ·h=13×π×2162⎛⎫⎪⎝⎭×4=2563π(m 3).若按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积为V 2=13S ·h=13×π×2122⎛⎫⎪⎝⎭×8=96π(m 3).(2)若按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m.圆锥的母线长为l 1m )，则仓库的表面积为S 1=π×8×(m 2). 若按方案二，仓库的高变成8 m.圆锥的母线长为l 210(m )，则仓库的表面积为S 2=π×6×10=60π(m 2).(3)由(1)、(2)知，V 1<V 2，S 2<S 1，故方案二体积更大，表面积更小，所需耗材更少，即方案二比方案一更加经济.。

2023高考数学基础知识综合复习第18讲简单几何体的表面积与体积课件(共24张PPT)

分叫作棱台
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
圆柱
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
球
半圆或圆
直角腰所在的直线或等腰梯形
上下底中点连线所在的直线
直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其画法步骤为:
①画轴:在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴
3
4
3 = .故选 D.
考点一
考点二
考点三
本题考查四面体的体积的最大值的求法,涉及空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于难题.处理
此类问题时,往往先去找到不变的量,再根据题中的所给条件的变
化规律找到最值,从而得到体积的最值.
和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°);
②画线(取长度):平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画出与x'轴
平行(或重合)的线段,且长度不变,平面图形中与y轴平行(或重合)的
线段画出与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半;
③连线(去辅助线):连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
径,从而进一步求解.
考点一
考点二
考点三
◆角度3.体积最值问题
例5(1)(2019年1月浙江学考)如图,线段AB是圆的直径,圆内一条动
弦CD与AB交于点M,且MB=2AM=2,现将半圆沿直径AB翻折,则三
棱锥C-ABD体积的最大值是(
)
2
3
1
3
A.

高中数学简单几何体的表面积与体积考点及例题讲解

简单几何体的表面积与体积考纲解读 1.结合三视图求几何体的表面积与体积；2.利用几何体的线面关系求表面积和体积；3.求常见组合体的表面积或体积．[基础梳理]1．多面体的表面积与侧面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表面积与侧面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r ，母线长l ) 2πrl 2πr (l ＋r ) 圆锥(底面半径r ，母线长l ) πrl πr (l ＋r ) 圆台(上、下底面半径r 1，r 2，母线长l )π(r 1＋r 2)lπ(r 1＋r 2)l ＋π(r 21＋r 22) 球(半径为R )4πR 23.空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S ′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh .特别地，V 圆柱＝πr 2h (r 为底面半径)． (2)V 锥体＝13Sh .特别地，V 圆锥＝13πr 2h (r 为底面半径)．(3)V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．特别地，V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2)(r ，r ′分别为上、下底面半径)．(4)V 球＝43πR 3(球半径是R )．[三基自测]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144答案：A2．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．答案：1∶473．一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm ，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．答案：3365π cm 24．(必修2·1.3A 组改编)球内接正方体的棱长为1，则球的表面积为________．答案：3π5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)所有棱长都为2的三棱锥的体积为________．答案：223考点一几何体的表面积与侧面积|易错突破[例1] (1)(2018·九江模拟)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋23B ．8＋42C ．6＋6 2D ．6＋22＋43(2)某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.⎝⎛⎭⎫95－π2cm 2 B.⎝⎛⎭⎫94－π2cm 2 C.⎝⎛⎭⎫94＋π2cm 2 D.⎝⎛⎭⎫95＋π2cm 2 (3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．[解析] (1)直观图是四棱锥P ABCD ，如图所示，S △P AB ＝S △P AD ＝S △PDC ＝12×2×2＝2，S △PBC ＝12×22×22×sin 60°＝23，S 四边形ABCD ＝22×2＝42，故此棱锥的表面积为6＋42＋23，故选A.(2)该几何体的上下为长方体，中间为圆柱． S 表面积＝S 下长方体＋S 上长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝⎛⎭⎫122＝94＋π2(cm 2)． (3)由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示．长方体的长、宽、高分别为4,3,1，表面积为4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38，圆柱的底面圆直径为2，母线长为1，侧面积为2π×1＝2π，圆柱的两个底面面积和为2×π×12＝2π. 故该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38. [答案] (1)A (2)C (3)38 [易错提醒]1．以三视图为载体的几何体的表面积或侧面积问题，要分清三视图中的量是否为各表面计算面积所用的量．2．几何体切、割后的图形的表面，不一定是减少，甚至可能增加．3．组合体的表面积，要注意衔接部分分散在哪个面中来计算．[纠错训练]1．已知某斜三棱柱的三视图如图所示，求该斜三棱柱的表面积．解析：由题意知，斜三棱柱的直观图如图中ABC A 1B 1C 1所示．易知正方体的棱长为2.斜三棱柱的两个底面积的和为2S △ABC ＝2×12×AB ×AC ＝2，侧面ABB 1A 1的面积S 侧面ABB 1A 1＝2×1＝2，侧面ACC 1A 1为矩形，S 侧面ACC 1A 1＝AA 1·AC ＝25，侧面BCC 1B 1是边长为5的菱形，连接CB 1、BC 1，易得CB 1＝23，BC 1＝22，且CB 1⊥BC 1，所以S 侧面BCC 1B 1＝12CB 1·BC 1＝12×23×22＝26，所以斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的表面积为4＋2(5＋6)．2．(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，求它的表面积．解析：该几何体是一个球体挖掉18剩下的部分，如图所示，依题意得78×43πR 3＝28π3，解得R ＝2，所以该几何体的表面积为4π×22×78＋34π×22＝17π.考点二空间几何体的体积|方法突破[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(2)正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥C 1B 1DA 的体积为( )A ．3 B.32 C ．1D.32(3)(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．[解析] (1)法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V ＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V ＝π×32×7＝63π，选择B.(2) 在正△ABC 中，D 为BC 中点，则有AD ＝32AB ＝3， S △DB 1C 1＝12×2×3＝ 3.又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A B 1DC 1底面上的高．∴VC 1B 1DA ＝VA C 1B 1D ＝13S △DB 1C 1·AD ＝13×3×3＝1.(3)该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.[答案] (1)B (2)C (3)2＋π2[方法提升]求几何体的体积的方法方法解读适合题型直接法对于规则几何体，直接利用公式计算即可．若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解规则几何体割补法当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体不规则几何体等积转换法利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面．求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算三棱锥[跟踪训练]1．(2018·大连双基检测)如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．15B ．13C ．12D ．9解析：几何体的直观图如图所示，其中底面ABCD 是一个矩形(其中AB ＝5，BC ＝2)，棱EF ∥底面ABCD ，且EF ＝3，直线EF 到底面ABCD 的距离是3.连接EB ，EC ，则题中的多面体的体积等于四棱锥E ABCD 与三棱锥E FBC 的体积之和，而四棱锥E ABCD 的体积等于13×(5×2)×3＝10，三棱锥E FBC 的体积等于13×⎝⎛⎭⎫12×3×3×2＝3，因此题中的多面体的体积等于10＋3＝13，选B.答案：B2．如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________．解析：由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得 V圆台＝13×(π×AD 2＋π×AD 2×π×BC 2＋π×BC 2)×AB ＝13×π×(AD 2＋AD ×BC ＋BC 2)×AB＝13×π×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)， V 半球＝43π×AD 3×12＝43π×23×12＝163π(cm 3)，所以旋转所形成几何体的体积V ＝V 圆台－V半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)．答案：1403π(cm 3)考点三有关球的组合体及面积、体积最值问题|思维突破[例3] (1)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )A ．33 B.3 C ．2 6D ．23(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．(3)正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最________值，为________．[解析] (1)设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则可得a 2＋h 24＝9，即a 2＝9－h 24，那么正六棱柱的体积V ＝⎝⎛⎭⎫6×34a 2×h ＝332(9－h 24)h ＝332(－h 34＋9h )．令y ＝h 34＋9h ，∴y ′＝－3h 24＋9.令y ′＝0，∴h ＝2 3.易知当h ＝23时，正六棱柱的体积最大，故选D.(2)设球O 的半径为R ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，连接AO ，OB (图略)，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，∴V SABC ＝V ASBC ＝13×S △SBC×AO ＝13×(12×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(12×2R ×R )×R ，解得R ＝3，∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.(3)如图，截面图为长方形ACC 1A 1和其外接圆．球心为EE 1的中点O ，则R ＝OA .设正四棱柱的侧棱长为b ，底面边长为a ，则AC ＝2a ，AE ＝22a ，OE ＝b2，R 2＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭⎫b 22， ∴4R 2＝2a 2＋b 2，则正四棱柱的侧面积： S ＝4ab ＝2·2a ·2b ≤2(a 2＋2b 2)＝42R 2，故侧面积有最大值，为42R 2，当且仅当a ＝2b 时等号成立． [答案] (1)D (2)36π (3)大 42R 2 [思维升华]1．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．2．解决几何体最值问题的方法方法解读适合题型基本不等式法根据条件建立两个变量的和或积为定值，然后利用基本不等式求体积的最值(1)求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值；(2)求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小值函数法通过建立相关函数式，将所求的组合体中的最值问题最值问题转化为函数的最值问题求解，此法应用最为广泛几何法由图形的特殊位置确定最值，如垂直图形位置变化中的最值[跟踪训练](2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：△AOB 的面积为定值，当OC 垂直于平面AOB 时，三棱锥O ABC 的体积取得最大值．由16R 3＝36得R ＝6.从而球O 的表面积S ＝4πR 2＝144π.故选C.答案：C1.[考点二](2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π4解析：球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的12，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r＝1－(12)2＝32，故该圆柱的体积V ＝π×(32)2×1＝3π4，故选B.答案：B2.[考点一](2016·高考全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：由三视图知圆锥的高为23，底面半径为2，则圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为12×4π×4＝8π.圆柱的底面积为4π，圆柱的侧面积为4×4π＝16π，从而该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π，故选C.答案：C3.[考点二](2015·高考全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：设圆锥底面的半径为R 尺，由14×2πR ＝8得R ＝16π，从而米堆的体积V ＝14×13πR 2×5＝16×203π(立方尺)，因此堆放的米约有16×203×1.62×3≈22(斛)．故选B.答案：B4.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝142，因此球O 的表面积等于4πR 2＝14π.答案：14π5.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅰ改编)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，求所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值．解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC 的边长变化时，设△ABC 的边长为a (a >0)cm ，则△ABC 的面积为34a 2，△DBC 的高为5－36a ，则正三棱锥的高为⎝⎛⎭⎫5－36a 2－⎝⎛⎭⎫36a 2＝25－533a ， ∴25－533a >0，∴0<a <53，∴所得三棱锥的体积V ＝13×34a 2×25－533a ＝312×25a 4－533a 5.令t ＝25a 4－533a 5，则t ′＝100a 3－2533a 4，由t ′＝0，得a ＝43，此时所得三棱锥的体积最大，为415 cm 3.法二：如图，连接OD 交BC 于点G ，由题意知，OD ⊥BC .易得OG ＝36BC ，∴OG 的长度与BC 的长度成正比．设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，S △ABC ＝23x ·3x ·12＝33x 2，则所得三棱锥的体积V ＝13×33x 2×(5－x )2－x 2＝3x 2×25－10x ＝3×25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )>0，即x 4－2x 3<0，得0<x <2，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，52时，f (x )≤f (2)＝80，∴V ≤3×80＝415.∴所求三棱锥的体积的最大值为415.。

8.3简单几何体的表面积与体积(学生版)

第八章立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积一、知识回顾在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？二、探索新知知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积知识点三圆柱、圆锥、圆台的表面积知识点四圆柱、圆锥、圆台的体积V 圆柱＝πr 2h (r 是底面半径，h 是高)， V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高)，V 圆台＝13 πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)(r ′，r 分别是上、下底面半径，h 是高).知识点五球的表面积和体积表面积：S ＝4πR 2．体积：V ＝43πR 3．例1 如图8.31，四面体P ABC 的各棱长均为a ，求它的表面积．【练习1】若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.例2 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到30.01m）？【练习2】若圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（）A．π3B．π2C．πD．2π例3如图8.34，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（取3.14）am，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直【练习3】已知圆锥的表面积为2径.例4 如图8.36，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比．【练习4】一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面积为π，则球的体积为（）A．83πB．823πC．323πD．8π三、课后练习1、如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？2、将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积.3、一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有2000003cm的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？4、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积.5、在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.6、球的体积是323π，则此球的表面积是（）A. 12πB. 16πC. 163πD.。

[公开课优质课课件]第2课时空间几何体的表面积和体积

基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练
5．(教材改编)如图所示，在棱长为 4 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P 是 A1B1 上一点，且 1 PB1＝ A1B1，则多面体 P－BCC1B1 的体积为________． 4 1 1 16 2 解析：VP－BCC1B1＝ SBCC1B1· PB1＝ ×4 ×1＝ . 3 3 3 16 答案： 3
2 2 π(r1 ＋r2 ＋r1r2)h
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圆台
S 侧＝π(r1＋r2)l
直棱柱正棱锥
S 侧＝Ch′ 1 S 侧＝ Ch′(h′为 2 斜高)
V＝Sh 1 V＝ Sh 3 1 V＝ (S 上＋S 下＋ 3 S上S下)h
2 ．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是 ( ) A. 3 C．4 B．3 D．5
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4 3 解析：设球半径为 R，则 πR ＝4πR2，∴R＝3. 3 答案：B
3．若某几何体的三视图 (单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于( )
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◆有关球的组合体的两种位置，内切和外接如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题．
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空间几何体的表面积和体积(第二课时)

思维启迪
把圆柱沿这条母线展开，将问题转
化为平面上两点间的最短距离.
解
把圆柱侧面及缠绕其上
的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图所示），由题意知BC=3π cm，
AB=4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位
置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.
AC AB 2 BC 2 5 π cm, 故铁丝的最短长度为5π cm.
1.3 简单几何体的表面积和体积(二)
题型一
多面体的表面积及其体积
【例3】一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为 15，求这个三棱锥的体积.
思维启迪
本题为求棱锥的体积问题.已知底面
边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积
和高，再根据体积公式求出其体积. 解如图所示，正三棱锥S—ABC. 设H为正△ABC的中心，
（1）几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之. (2)几何体的“补形”
与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补
成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法, 由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积. （3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.
2
11 3 旋转所得到的几何体的表面积为 π R2. 2
4 1 1 又V球 π R 3 ,V圆锥AO1 AO1 π CO 2 π R 2 AO1 1 3 3 4 1 1 2 V圆锥BO1 BO1 π CO 1 π R 2 BO1 3 4 V几何体 V球 (V圆锥AO1 V圆锥BO1 ) 4 1 5 3 3 π R π R π R3. 3 2 6

第二节空间几何体的表面积与体积

第二节空间几何体的表面积与体积考试要求了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式．[知识排查·微点淘金]知识点1 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l[微拓展] 圆台、圆柱、圆锥之间的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝rS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 知识点2 空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底h 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13S 底h台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋ S 上＋S 下 V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球S ＝4πR 2V ＝43πR 3[微拓展]柱体、锥体、台体的体积公式间的联系：V 柱体＝Sh ――→S ′＝SV 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V 锥体＝13Sh . 常用结论几个与球有关的切、接问题的常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.[小试牛刀·自我诊断]1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高的乘积．(×) (2)球的体积之比等于半径比的平方．(×) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√) (4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .(√) 2．(链接教材必修2 P 27T 1)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．32cm解析：选B.S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， ∴r 2＝4，∴r ＝2.3．(链接教材必修2P 28A 组T 3)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体的体积的比为．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ·12b ·12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47. 答案：1∶474．(忘记分类讨论)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为．解析：分两种情况：①以长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，所以S底＝4π，S侧＝6π·4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3，所以S底＝9π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．答案：6π(4π＋3)或8π(3π＋1)5．(对组合体不能合理分割)如图所示，由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．解析：设圆柱底面半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由题中三视图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝22＋（23）2＝4，S表＝πr2＋ch＋12cl＝4π＋16π＋8π＝28π.答案：28π一、基础探究点——空间几何体的表(侧)面积(题组练透)1．(2021·新高考卷Ⅰ)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2B．22C．4D．4 2解析：选B由题意知圆锥的底面周长为22π.设圆锥的母线长为l，则πl＝22π，即l＝2 2.故选B.2．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A．6＋4 2B．4＋4 2C ．6＋2 3D ．4＋2 3解析：选C 由三视图还原几何体知，该几何体为如图所示的三棱锥P -ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AP ＝2，故其表面积S ＝⎝⎛⎭⎫12×2×2×3＋12×(22)2×sin 60°＝6＋2 3.3．如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为．解析：设正四棱柱的底面边长为m ，则4(42－m 2)＝60，解得m ＝1，则该几何体的表面积为42×4＋(42－12)×2＋4×1×4＝110.答案：1104．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为．解析：设圆锥的高为h ，母线长为l ，则圆锥的体积V ＝13×π·62·h ＝30π，解得h ＝52.所以l ＝r 2＋h 2＝62＋⎝⎛⎭⎫522＝132，故圆锥的侧面积S ＝πrl ＝π·6×132＝39π.答案：39π求空间几何体表面积时应注意(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用．二、综合探究点——空间几何体的体积(多向思维)[典例剖析]思维点1直接利用公式求体积问题[例1](1)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为．解析：圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，则圆台的高OO′＝OQ2－O′Q2＝52－42＝3. 据此可得圆台的体积V＝1π×3×(52＋5×4＋42)＝61 π.3答案：61π对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解. 要注意准确记忆基本体积公式．思维点2割补法求体积问题[例2]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”(已知1丈为10尺)该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为()A．12 000立方尺B．11 000立方尺C．10 000立方尺D．9000立方尺解析：由题意，将锲体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V 1＝12×3×2×2＝6，四棱锥的体积V 2＝13×1×3×2＝2，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V ＝V 1＋2V 2＝10立方丈＝10 000立方尺．故选C ．答案：C割补法求体积的解题思路首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算．思维点3 等积转换法求体积[例3] 如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1ABC 1的体积为( )A ．312 B ．34 C ．612D ．64解析：易知三棱锥B 1ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积，又三棱锥A -B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 答案：A等积转化法求体积的解题思路选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换．[学会用活]1．如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为36，E 为棱CC 1上的点，且CE ＝2EC 1，则三棱锥E -BCD 的体积是( )A ．3B ．4C ．6D ．12解析：选B 因为S △BCD ＝12S 四边形ABCD ，CE ＝23CC 1，VABCD A 1B 1C 1D 1＝S 四边形ABCD ·CC 1＝36，所以V E BCD ＝13S △BCD ·CE ＝13×12S 四边形ABCD ·23CC 1＝19×36＝4.故选B.2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π解析：选B 解法一：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π·32×4＋π·32×6×12＝63π.故选B.解法二：(估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又V 圆柱＝π·32×10＝90π，∴45π<V几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.3．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：选C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD A ′B ′C ′D ′所示，长方体的长、宽、高分别为4，2，3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×32×2＝15，故选C ．三、应用探究点——与球有关的切、接问题(多向思维)[典例剖析]思维点1 几何体的外接球问题[例4] 设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( )A ．123B ．18 3C ．24 3D ．54 3解析：由等边△ABC 的面积为93可得34AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D -ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.故选B.答案：B [拓展变式][变条件、变结论]若本例中的条件变为“直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．解：将直三棱柱补形为长方体ABEC -A ′B ′E ′C ′(图略)，则球O 是长方体ABEC -A ′B ′E ′C ′的外接球，∴体对角线BC ′的长为球O 的直径．因此2R ＝32＋42＋122＝13，故S 球＝4πR 2＝169π.处理“相接”问题，要抓住空间几何体“外接”的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．思维点2 几何体的内切球问题[例5] 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．解析：解法一：如图，在圆锥的轴截面ABC 中，CD ⊥AB ，BD ＝1，BC ＝3，圆O 内切于△ABC ，E 为切点，连接OE ，则OE ⊥B C ．在Rt △BCD 中，CD ＝BC 2－BD 2＝2 2.易知BE ＝BD ＝1，则CE ＝2.设圆锥的内切球半径为R ，则OC ＝22－R ，在Rt △COE 中，OC 2－OE 2＝CE 2，即(22－R )2－R 2＝4，所以R ＝22，圆锥内半径最大的球的体积为43πR 3＝23π. 解法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC ，其中AC ＝BC ＝3，AB ＝2，CD ⊥AB ，在Rt △BCD 中，CD ＝BC 2－BD 2＝22，则S △ABC ＝2 2.设△ABC 的内切圆O 的半径为R ，则R ＝2·S △ABC 3＋3＋2＝22，所以圆锥内半径最大的球的体积为43πR 3＝23π. 答案：23π处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．[学会用活]4．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球的表面积为．解析：因为长方体的外接球O 的直径为长方体的体对角线，长方体的长、宽、高分别为2，2，1，所以长方体的外接球O 的直径为4＋4＋1＝3，故长方体的外接球O 的半径为r ＝32，所以球O 的表面积为S ＝4πr 2＝9π.答案：9π5．已知正四面体P -ABC 的表面积为S 1，此四面体的内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝．解析：设正四面体的棱长为a ，则正四面体的表面积为S 1＝4×34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14×63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 答案：63π限时规范训练基础夯实练1．(2021·四川乐至中学月考)已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )A ．33π B ．2π C ．3πD ．4π解析：选B 由题意，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，即圆锥的底面圆的半径为r ＝1，母线长为l ＝2，所以该圆锥的侧面积为S ＝πrl ＝π·1×2＝2π. 故选B.2．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π解析：选C 由题意可知旋转后的几何体如图所示，直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·12×2－13·π·12×1＝53π，故选C ．3．(2021·云南昆明月考)某锥体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．533C ．433D ．233解析：选C 由三视图还原几何体得，原几何体是一个四棱锥E -ABCD ，如图所示，四棱锥的高为3，底面是边长为2的正方形，因此体积为13×2×2×3＝433，故选C ． 4. 《九章算术》中给出了一个圆锥体积近似计算公式V ≈l 2·h36，其中l 为底面周长，它实际上是将圆锥体积中圆周率近似取为3得到的，那么若圆锥体积近似公式为V ≈l 2·275·h ，则相当于圆周率近似取值为( )A ．227B ．217C ．238D ．258解析：选D 设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则l ＝2πr ，13πr 2h ＝275(2πr )2 h ，所以π＝258. 故选D.5．(2021·四川石室中学开学考试)某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，且S 1＝λS 2，则λ＝( )A ．1B ．23C ．43D ．32解析：选D 由已知可得，此柱体为底面直径与高相等的圆柱，设底面圆的半径为r ，则高为2r ，则S 1＝2πr 2＋2πr ·(2r )＝6πr 2，又此柱体内切球的半径为r ，则S 2＝4πr 2, 则λ＝S 1S 2＝6πr 24πr 2＝32，故选D. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．π＋43B ．2π＋4C ．3π＋4D ．4π＋43解析：选A 由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半圆柱，下半部分为正四棱锥，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面边长为2，高为1，∴该几何体的体积为12π·12×2＋13×22×1＝π＋43.故选A ．7．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且圆锥内切球的半径为1，则圆锥的表面积为．解析：因为圆锥的内切球与外接球的球心重合，所以圆锥的轴截面为等边三角形，设其边长为a ，则13×32a ＝1，a ＝23，所以圆锥的底面圆半径为3，从而利用圆锥的表面积公式可得S ＝πrl ＋πr 2＝π·3×23＋π·(3)2＝9π.答案：9π8．(2021·陕西渭南月考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体称为正八面体，则图中正八面体体积为．若图中正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为．解析：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的对角线是正方体的棱长2，故正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为2×13×(2)2×1＝43.由图中几何关系知正八面体的外接球，即正方体的内切球，故半径R ＝1，所以体积V ＝43π·13＝43π.答案：43 43π9．如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为1个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积．解析：由三视图知，该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为43π·13＋13π·22×7＝323π，设制成的大铁球半径为R ，则43πR 3＝323π，解得R ＝2，故大铁球的表面积为4πR 2＝16π.答案：16π综合提升练10．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年)．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸(注：1尺＝10寸)时，平地降雨量是( )A ．9寸B ．7寸C ．8寸D ．3寸解析：选D 由已知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，由积水深9寸知水面半径为12×(14＋6)＝10寸，则盆中水的体积为13π·9×(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)，所以平地降雨量为588ππ·142＝3(寸)，故选D.11．(2021·四川成都月考)一块边长为10 cm 的正方形铁片如图所示的阴影部分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积为( )A ．2894πB ．28916πC ．28948πD ．28964π解析：选A 由题设知：底面ABCD 的外接圆半径为r ＝32，且EO ＝4，令正四棱锥外接球的半径为R ，且外接球的球心必在直线EO 上，∴(R －EO )2＋r 2＝R 2，即R ＝174.∴正四棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝289π4.故选A ．12．(2021·安徽合肥一中模拟)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作一个机械零件模型，该零件模型是由两个相同的正四棱柱镶嵌而成的几何体，其三视图如图所示．这个几何体的体积为( )A ．16B ．403C ．16－423D ．163解析：选B 由三视图还原几何体如图所示，两个四棱柱的体积均为V 1＝12×2×2×4＝8，中间重复的部分为两个小正四棱锥，其体积为2V 2＝13×2×2×2＝83，故该几何体体积为V ＝16－83＝403，故选B.13．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是底面半径的2倍，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是底面半径的倍．解析：设圆柱的高为h ，底面半径为r ，圆柱的外接球的半径为R ，则R 2＝⎝⎛⎭⎫h 22＋r 2. ∵母线长l ＝2r ，∴圆锥的高为3r ，∴圆锥的侧面积为πrl ＝2πr 2，∴4πR 2＝4π⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫h 22＋r 2＝6×2πr 2，∴h 24＋r 2＝3r 2，整理得h 2＝8r 2，∴hr ＝2 2.答案：2 214．某市民广场有一批球形路障球(如图1所示). 现公园管理处响应市民要求，决定将每个路障球改造成方便市民歇脚的立方八面体石凳(如图2所示). 其中立方八面体有24条棱、12个顶点、14个面(6个正方形、8个正三角形)，它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．经过测量，这批球形路障球每个直径为60 cm ，若每个路障球为改造后所得的立方八面体的外接球，则每个改造后的立方八面体表面积为 cm 2.解析：由题意知，立方八面体表面有8个正三角形，再加上6个小正方形，且正方形边长与正三角形边长相等，路障球为立方八面体的外接球. 设立方八面体的棱长为a ，则外接球直径d ＝2a 2＋2a 2＝2a ＝60，则a ＝30.立方八面体表面积S ＝6a 2＋8×34a 2＝5400＋1800 3.答案：5400＋1800 315．如图1，在一个正方形S 1S 2S 3S 4内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形．将四个等边三角形折起来，使S 1，S 2，S 3，S 4重合于点S ，且折叠后的四棱锥S -ABCD 的外接球的表面积是16 π(如图2)，则四棱锥的体积是．解析：在题图2中，连接AC ，BD 交于点O ，连接OS ，如图，因为SD ＝SB ＝CD ，BD ＝2CD ，所以SD ⊥SB ，故OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OS ，则O 是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设棱长为x ，则外接球的半径是OA ＝22x ，所以4π⎝⎛⎭⎫22x 2＝16π，x ＝2 2.因此SO ＝OA ＝22x ＝2.故四棱锥S -ABCD 的体积是13·x 2·SO＝13×(22)2×2＝163. 答案：163创新应用练16．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是( )A ．2B ．4C ．26D ．4 6解析：选B 设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即23，根据截面圆的周长可得4π＝2πr ，得r ＝2，故由题意知R 2＝r 2＋(23)2，即R 2＝22＋(23)2＝16，所以R ＝4，故选B.17．(2021·安徽黄山二模)棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其能到达的空间的体积为( )A ．32＋22π3B ．36＋4π3C ．44＋13π3D ．12＋12π解析：选A 在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为8⎣⎡⎦⎤13－18⎝⎛⎭⎫4π3·13＝8－4π3，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个1×1×2的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为12×⎣⎡⎦⎤1×1×2－14（π·12）×2＝24－6π.其他空间小球均能到达．故小球不能到达的空间体积为⎝⎛⎭⎫8－43π＋24－6π＝32－223 π.∴小球可以经过的空间的体积V ＝43－⎝⎛⎭⎫12－π4·12×2×12－⎝⎛⎭⎫8－43 π＝32＋22π3.故选A ．。

立体几何教案02-简单几何体的表面积和体积

简单几何体的表面积和体积一、考纲要求及近三年高考分布柱、椎、台、球及其简单组合体，表面积和体积的求解，为高考中的A 级考点。

虽说难度较低，但有关本节的内容，在过去五年的江苏高考中均有涉及（10年为大题，其他各年为填空），可以说是个必得勿失的考点，二、知识点梳理1、柱体、台体、锥体的侧面积公式注意体会柱体、锥体、台体侧面积公式之间的统一性。

2、空间几何体的体积公式V 柱体= Sh ．V 锥体=13Sh ．V 台体=1('')3h S SS S ++．3、球的表面积和体积．24S R π=球面． V 球=343R π．FED CBA三、典型例题题型一：几何体的表面积和体积——注重几何体的“分割”与“补形” 例1、（2012泉州模拟）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为___________例2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________例3、如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．例4、如图所示，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截下部分的体积是____________．例5、正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为________．例6、一个圆锥形封闭容器，不计厚度，内部盛少许水，容器的高为h ，若将容器放置在水平面上，则水面高为1h ，且11h 3h =，现将圆锥倒置，水面高为2h ，则2h 为_________题型二：几何体的展开与折叠问题例1、将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为________例2、锥的半径为r ，母线长为4r ，M 是地面圆上任意一点，从Ｍ处拉一根绳子，环绕圆锥的侧面再回到M ，最短绳长为________例3、如图，正三棱柱ABC DEF -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达D 点的最短路线的长为____．c b aD 1C 1B 1A 1D CBA例4、如图，长方体1111ABCD A B C D -中，a AB =，b BC =，c BB =1，并且0>>>c b a ．求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线路的长．（趣味补充：正方体有11种展开图，感兴趣的话，你课后可以去查一查相关资料）四、同步练习㈠填空题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个_________2．棱长都是1的三棱锥的表面积为_________3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是_________4．正方体的内切球和外接球的半径之比为_________5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是_________6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________7．一个棱柱至少有_____________个面，面数最少的一个棱锥有_____________个顶点，顶点最少的一个棱台有___________条侧棱。

高中数学必修二 19-20 第8章 8 3 1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学习目标核心素养1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；棱锥的体积公式V＝13Sh(S为底面面积，h为高)；棱台的体积公式V＝13h(S′＋S′S＋S)．其中，台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h.思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？[提示]表面积变大了，而体积不变．1．棱长为3的正方体的表面积为()A．27B．64C．54D．36C[根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.]2．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为( )A ．6,22B ．3,22C ．6,11D ．3,11A [V ＝1×2×3＝6，S ＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22.] 3．棱长都是3的三棱锥的表面积S 为．93 [因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S ＝4×34×32＝9 3.]简单几何体的表面积【例1】现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解] 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64，∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．1．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( )A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2A [∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于22a ， ∴S 表＝34a 2＋3×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝3＋34a 2.]简单几何体的体积【例2】三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1-ABC ，三棱锥B -A 1B 1C ，三棱锥C -A 1B 1C 1的体积之比．[解] 设三棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1-ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ， VC -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V台＝13h(S＋4S＋2S)＝73Sh，∴VB-A1B1C＝V台－VA1-ABC－VC-A1B1C1＝73Sh－Sh3－4Sh3＝23Sh，∴体积比为1∶2∶4.求几何体体积的常用方法2．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C 上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为．16[利用三棱锥的体积公式直接求解．VD1-EDF＝VF-DD1E＝13S△D1DE·AB＝13×12×1×1×1＝16.]棱台与棱锥之间关系的综合问题是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．[解] 如图，E ，E 1分别是BC ，B 1C 1的中点，O ，O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，则O 1O ＝12.连接OE ，O 1E 1，则OE ＝12AB ＝12×12＝6， O 1E 1＝12A 1B 1＝3.过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ，则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3， HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3. 在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32＝32×17，所以E 1E ＝317.所以S 侧＝4×12×(B 1C 1＋BC )×E 1E ＝2×(6＋12)×317＝10817.在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？[解] 如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P .取B 1C 1，BC 的中点E 1，E ，则EE 1的延长线必过P 点(以后可以证明)．O 1，O 分别是正方形A 1B 1C 1D 1与正方形ABCD 的中心．由正棱锥的定义，CC 1的延长线过P 点，且有O 1E 1＝12A 1B 1＝3，OE ＝12AB ＝6，则有PO 1PO ＝O 1E 1OE ＝36，即PO 1PO 1＋O 1O＝12.所以PO 1＝O 1O ＝12.在Rt △PO 1E 1中，PE 21＝PO 21＋O 1E 21＝122＋32＝32×17，在Rt △POE 中，PE 2＝PO 2＋OE 2＝242＋62＝62×17，所以E 1E ＝PE －PE 1＝617－317＝317. 所以S 侧＝4×12×(BC ＋B 1C 1)×E 1E ＝2×(12＋6)×317＝10817.解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决．1．棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键．2．计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．1．判断正误(1)锥体的体积等于底面积与高之积．()(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差．()(3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.()[答案](1)×(2)√(3)√2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ACD的体积是()A.16 B.13C.12D．1A[三棱锥D1-ADC的体积V＝13S△ADC×D1D＝13×12×AD×DC×D1D＝13×12＝16.]3．已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1-ABC的体积为()A.14 B.12C.36 D.34[答案]D4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为．18a2[原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为13a，每个小正方体的表面积S1＝19a 2×6＝23a2，所以27个小正方体的表面积是23a2×27＝18a2.]5．如图所示，三棱锥的顶点为P，P A，PB，PC为三条侧棱，且P A，PB，PC两两互相垂直，又P A＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P-ABC的体积V.[解]三棱锥的体积V＝13Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△P AC作为底面求解．故V＝13S△P AC·PB＝13×12×2×4×3＝4.。

第九章立体几何9-2简单几何体的表面积和体积

(文)圆柱的侧面展开图是长 12cm，宽 8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( 288 3 A. cm π 288 3 192 3 C. π cm 或 π cm ) 192 3 B. cm π D．192πcm3
解析：分两种情况 6 (1)若 12 为底面圆周长，则 2πr＝12，∴r＝π，
6 288 2 · ∴V＝π· π 8＝ π (cm3)．
(2)连接 AE， AC， EC， E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G，过 1 则 EG⊥平面 ABCD，且 EG＝2PA. 在△PAB 中，AP＝AB，∠PAB＝90° ，BP＝2， 2 ∴AP＝AB＝ 2，EG＝， 2 1 1 ∴S△ABC＝2AB· BC＝2× 2×2＝ 2， 1 1 2 1 ∴VE—ABC＝3S△ABC· EG＝3× 2× 2 ＝3.

答案：C 点评：(1)等底面积与高的柱体(锥体)体积相等，且柱体体积是锥体体积的3倍，在求体积和等积变换中是经常用到的结论． (2)求棱锥的体积，关键找(求)出棱锥的高．

(理)如图，已知在多面体ABC－DEFG中， AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝ AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为( ) A．2 B．4 C．6 D．8

分析：(1)由E、F为中点易想到中位线获
证．

(2)求三棱锥E－ABC的体积，由于△ABC面
积易求，需看E到平面ABC的距离是否可求，
注意到E为PB中点，PA⊥平面ABCD，因此
只需取AB中点G，则EG为高，或由E为PB
中点知，E到平面ABC的距离等于P到平面 ABC的距离的一半．而P到平面ABC的距离为PA，也可获解．

2020版高考数学总复习第八章立体几何初步第2节简单几何体的表面积和体积课件文北师大版

(2)该几何体为一个半圆柱中间挖去一个四面体， ∴体积 V＝12π×22×4－13×12×2×4×4＝8π－136. 答案 (1)C (2)A
考点三多面体与球的切、接问题
典例迁移
【例3】 (经典母题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V
的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
故S球＝4πR2＝169π.
【迁移探究2】若将题目的条件变为“如图所示是一个几何体的三视图”，试求该几何体外接球的表面积.
解设外接球的半径为 R，由三视图可知该几何体是两个正四棱锥的组合体(底面重
合)，上、下两顶点之间的距离为 2R，正四棱锥的底面是边长为 2R 的正方形，由
R2＋

22R2＝32 解得
解析由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V＝12×(1＋2)×2×2＝6. 答案 6
考点一简单几何体的表面积
【例1】 (1)(2019·南昌模拟)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )
A.4 3
B.4 5
C.4( 5＋1)
答案 A
角度2 简单几何体的体积【例2－2】 (一题多解)(2018·天津卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________．
解析法一连接 A1C1 交 B1D1 于点 E，则 A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则 A1E⊥平面
BB1D1D，所以 A1E 为四棱锥 A1－BB1D1D 的高，且 A1E＝ 22，矩形 BB1D1D 的长和宽
【训练3】 (2019·广州模拟)三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝ PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为( )

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第二节简单几何体的表面积和体积复习目标学法指导1.柱、锥、台体的表面积和体积公式.2.球的表面积和体积公式.3.一些简单组合体表面积和体积的计算.4.柱、锥、台体之间关系.(发展要求)1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和底面积.2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开图.3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台,进一步求出面积、体积.4.所有公式均不要求记忆.空间几何体的表面积和体积公式如下表面积体积S表=S侧+2S底表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和棱柱的底面积为S,高为h,V=S·hV柱=S·hS=S′V台=13(S′+S S +S)h S表=S侧+S底棱锥的底面积为S,高为h,V=13S ·h S ′=0 V 锥=13S ·hS 表=S 侧+ S 上底+S 下底棱台的上、下底面面积分别为S ′,S,高为h, V=13(S ′+ S S+S)h圆柱的底面半径和母线长分别为r,lS 表=2πr 2+2πrl 圆柱的高为h,V=πr 2h圆锥的底面半径和母线长分别为r,l S 表=πr 2+πrl 圆锥的高为h,V=13πr 2h圆台的上、下底面半径和母线长分圆台的高为h,V=13π(r ′2+别为r,r′,l,S表=π(r′2+r2+r′l+rl)r′r+r2)h球球半径为R,S球=4πR2V球=43πR31.概念理解(1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.(2)求空间几何体体积的常用方法①公式法:直接根据相关的体积公式计算.②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.2.求面积或体积中相关联的结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①正方体的外接球,则3②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=222a b c ++.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( A )(A)4πS (B)2πS (C)πS (D)23πS 解析:由πr 2=S 得圆柱的底面半径是πS , 故侧面展开图的边长为2π·πS =2πS,所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.2.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC 的中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为 . 解析:如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, 因为AD ⊥BC,AD ⊥BB 1, BB 1∩BC=B,所以AD ⊥平面B 1DC 1. 所以11A B DC V-=1113B DC S ∆·AD=13×12×233=1. 答案:13.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm 3,表面积为 cm 2.解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥, 圆锥的底面半径为1,高为2,所以可得该几何体的体积为12×13×π×12×2=π3, 该几何体的表面积为12×π×12+12π×114++12×2×2=)51π2+2.答案: π3)51π2+24.已知正四棱锥O-ABCD 32,3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积是 . 解析:设O 到底面的距离为h,则13×3×32,解得32()()2233+62262h ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭6故球的表面积为4π×62=24π.答案:24π5.(2019·浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积为,该三棱锥的外接球体积为.解析:由三视图得几何体的直观图如图.所以S表=2×12×2×2+12×3512×3 1153如图,作DE⊥DB,以D为原点,DB所在直线为x轴,DE所在直线为y 轴,DA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则3设球心坐标为(x,y,z),因为(x-2)2+y2+z2=x2+y2+z2,①x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,②(x+1)23)2+z2=x2+y2+z2,③所以x=1,y=3,z=1,所以球心的坐标是(1,3,1), 所以球的半径是()222131++=5.所以球的体积是43π×(5)3=2053π.答案:4+15+32053π考点一几何体的表面积[例1] (1)(2018·金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,则此四面体的最大面的面积是( )(A)2 23(D)4(2)(2019·湖州模拟)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为( )(A)4π3(B)5π3(C)4π3(D)5π3(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为;(4)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD的体积取值范围为4383],则该四棱锥外接球表面积的取值范围是.解析:(1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为2223所以四面体的四个面的面积分别为12×2×2=2,12×2×2212×2×221 2×22sin π33因此四面体的最大面的面积是3.故选C.(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面积之和为2×12×2×3=23;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和为2×12×π×12=π,所以几何体的表面积为5π+16+23,故选D.(3)设圆锥底面半径为r,母线长为l,母线与轴夹角为θ, 则=22π122rl r l r⋅-2π,r l=3,即sin θ=3,θ=π3. 解析:(4)四棱锥S-ABCD 中,可得AD ⊥SA,AD ⊥AB ⇒AD ⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD,过S 作SO ⊥AB 于O,则SO ⊥平面ABCD, 设∠SAB=θ, 故S ABCDV-=13S 四边形ABCD ·SO=83sin θ, 所以sin θ∈[3,1]⇒θ∈[π3,2π3]⇒-12≤cos θ≤12, 在△SAB 中,SA=AB=2, 则有SB=221cos θ-,所以△SAB 的外接圆半径r=2sin SBθ=21cos θ-,将该四棱锥补成一个以SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=21r +⇒S=4πR2=4π(21cos θ++1), 所以S ∈[28π3,20π]. 答案:(1)C (2)D (3)π3答案:(4)[28π3,20π] (1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.1.(2019·浙江十校联盟)如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:cm),则该几何体的表面积为( C )(A)15π cm2(B)21π cm2(C)24π cm2(D)33π cm2解析:由三视图可知,则该几何体是一个圆锥,圆锥的底面半径为3,母线长为5,故该几何体的表面积为S表=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π(cm2).故选C.2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( A )(A)81π4(B)16π(C)9π(D)27π4解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,则(4-R)2+(2)2=R2, 解得R=94,所以球的表面积为4π×(94)2=814π.故选A.考点二几何体的体积[例2] (1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )(A)12cm3(B)1 cm3(C)16 cm3 (D)13cm3(2)(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H, M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.解析:(1)由题意,根据给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥, 如图所示,所以该三棱锥的体积为V=13×12×1×1×1=16(cm 3),故选C.解析:(2)依题意,易知四棱锥M-EFGH 是一个正四棱锥,且底面边长为2,高为12. 故M EFGHV=13×(2)2×12=112. 答案:(1)C 答案:(2)112(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( D )(A)60 (B)30 (C)20 (D)10解析:如图,把三棱锥A-BCD 放到长方体中,长方体的长、宽、高分别为5,3,4,△BCD 为直角三角形,直角边分别为5和3,三棱锥A-BCD 的高为4,故该三棱锥的体积V=13×12×5×3×4=10.故选D.考点三与面积、体积相关的综合问题[例3] (1)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则12S S = ;(2)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,点A,B,C,D 折叠后对应点为A ′,B ′,C ′,D ′,使B ′D ′=a,则三棱锥D ′-A ′B ′C ′的体积为 .解析:(1)设正四面体棱长为a,则正四面体的表面积为 S 1=43a 23a2,正四面体的高2233a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6a,由13r ·S 1=1332·h 知r=146a. 因此内切球的表面积为S 2=4πr 2=2π6a,则12S S 2236a a 63.解析:(2)如图所示,正方形ABCD 及折叠后的直观图.易知在直观图中,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′A ′=a, 且A ′D ′⊥D ′C ′,A ′B ′⊥B ′C ′, 取A ′C ′的中点E,连接D ′E,B ′E, 则D ′E ⊥A ′C ′,D ′E=EB ′=2a,所以D ′E ⊥EB ′,所以D ′E ⊥平面A ′B ′C ′. D ′E 即为三棱锥D ′-A ′B ′C ′的高. 故D A B C V''''-=13S △A ′B ′C ′·D ′E =13×12×a ×a ×2a=2a 3.答案:(1)63 答案:(2)2a 3(1)①解决与球有关问题的关键是球心及球的半径,在球中球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆周上一点、该点与球心的连线构成一个直角三角形.②解决多面体(或旋转体)的外接球、内切球问题的关键是确定球心在多面体(或旋转体)中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素之间的关系.有时将多面体补形为正(长)方体再求解.(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( C ) (A)3172 (B)210(C)132(D)310解析:如图,由球心作平面ABC 的垂线, 则垂足为BC 的中点M.又AM=12BC=52,OM=12AA 1=6, 所以球O 的半径 R=OA=22562⎛⎫+ ⎪⎝⎭=132. 故选C.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ,体积是 .解析:本题考查空间几何体的三视图、体积和表面积的计算.由三视图得该几何体为底面是以上底为1,下底为3,高为3的直角梯形,高为3的直四棱柱,则其表面积为2×3×1+32+3×3+1×3+3×3+3×13=33+313,体积为3×3×1+32=18.答案:33+31318考点四易错辨析[例4] (2019·浙江绍兴模拟)如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )(A)5π3 (B)8π3(C)10π3(D)12+2π3解析:由题得,几何体是水平放置的一个圆柱和半个球,所以该几何体的体积为V=43π×13×12+π×12×2=83π,故选B.正确解决此类问题应注意确认几何体的形状时,要紧扣三视图,不能凭感觉去确定.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4,且底面是边长为2的正三角形,用一平面截此棱柱,与侧棱AA1,BB1,CC1分别交于三点M,N,Q,若△MNQ 为直角三角形,则该直角三角形斜边长的最小值为( C ) 2(B)3 3(D)4解析:如图,不妨设N在B处,AM=h,CQ=m,则有MB2=h2+4,BQ2=m2+4,MQ2=(h-m)2+4,由MB2=BQ2+MQ2,得m2-hm+2=0.则Δ=h2-8≥0,即h2≥8,所以该直角三角形的斜边MB≥23.故选C.类型一几何体的表面积1.如图是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )(A)7π cm2(B)8π cm2(C)9π cm2(D)11π cm2解析:依题意,题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分,其中圆柱的底面半径是1 cm、高是 3 cm,球的半径是1 cm,因此该几何体表面积等于12×(4π×12)+π×12+2π×1×3=9π(cm2).故选C.2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( B )(A)28+65(B)30+65(C)56+125(D)60+125解析:根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图如图,此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=12×(2+3)×4+12×4×5+12×4×(2+3)+12×5415 5故选B.类型二几何体的体积3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π解析:由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体,所以其体积为V=12×43π×33+13π×32×4=30π.故选C.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )(A)π2(B)1+π2(C)1+π(D)2+π解析:由三视图可得,该几何体是一个长方体和半个圆柱的组合体,则该几何体的体积为V=12×2+12×π×12×2=2+π,故选D.5.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为3则三棱锥D-ABC体积的最大值为( B )3333解析:由等边△ABC的面积为3323,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=33AB=23.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=22R r-=1612-=2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183.故选B.6.(2019·名校协作体模拟)某几何体的三视图(单位:mm)如图所示,则它的体积是cm3,表面积是cm2.解析:由三视图得该几何体底面是一个以上底为2,下底为4,高为3的直角梯形,高为33的四棱锥,则其体积为13×33×2+42×3=93(cm3),表面积为1 2×3×33+2+42×3+12×3×2+12×3×4+12×5×33=(18+63)(cm2).答案:93(18+63)7.(2018·江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.解析:由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥=2×13×(2)2×1=43.答案:43类型三面积、体积综合问题8.(2018·浙江绍兴质量调测)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A )(A)83 (B)8 (C)203(D)6 解析:如图所示,在棱长为2的正方体中,题中的三视图对应的几何体为四棱锥P-ADC 1B 1,其中P 为棱A 1D 1的中点,则该几何体的体积11P ADC B V -=211P DB C V -=211D PB C V-=2×13×11PB C S∆×DD 1=83. 故选A.9.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( C )(A)33(B)23(C)3 (D)1解析:由题意知,如图所示,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一个角为30°的直角三角形,且3,SC=4,所以3作BD⊥3×3)2×3. SC于D点,连接AD,易证SC⊥平面ABD,因此V=13故选C.。