李瀚荪编《电路分析基础》(第4版)第六章

uC () US
时间常数
RC
iL
()

US R
L
R
零状态响应线性：比例性、叠加性
6-2 零状态响应
例 电路如图(a)所示，已知电容电压uC(0-)=0。t=0 打开开关，求t0的电容电压uC(t),电容电流iC(t)以及 电阻电流i1(t)。
uC(0-)=0
Ro 300
i(t) 36 uL (t) 36 12e20t (1.5 0.5e20t )A
24
24
6-3 阶跃响应 冲激响应
单位阶跃函数
定义
(t)

(t
)

0 1
(t 0) (t 0)
1 0
t
单位阶跃函数的延迟
(t-t0)
1
0 t0
t
0
(t t0 ) 1
含有多个电阻电路元件时，怎么处理？ 例：电路如图所示，以iL为变量列出电路的微分方程。
第六章 一阶电路
解一：列出网孔方程
(
R1

R2 )i1
R2iL
uS
(1)

R2i1

L
diL dt

R2iL

0
(2)
由式(2)求得
i1

L R2
diL dt
iL
代入式(1)得到
整理
( R1
+
t t0 _ US uL (t)
L
L
R
6-2 零状态响应
RL、RC串联电路零状态响应分析
t
uC (t) US (1 e RC )
t
uC ()(1 e RC )
iL (t)

US R
Rt
(1 e L )
Rt
iL ()(1 e L )
稳态值：电容开路，电感短路
6-2 零状态响应
响应的波形曲线
t
uC (t) U S (1 e RC )
iC (t) C
duC (t) dt
US R
t
e RC
t
iC (0 )e RC
uC是连续的，iC是不连续的
6-2 零状态响应
能量关系
电源提供能量：
0
US
US R
t
e RC
dt

CU
2 S
电容储存：
1 2
CU
2 S
电阻消耗：
e i2R d t
(U S

t
RC
)2
R
d
t
0
0R
R
+
C
US -

1 2
CU
2 S
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量
储存在电容中。
6-2 零状态响应
RL串联电路
iL (t)

US R
Rt
(1 e L )
时间常数
R
iL (t)
R2 )L R2
diL dt
(R1

R2 )iL

R2iL

uS
(R1 R2 )L R1R2
diL dt
iL

uS R1
6-1 分解方法与动态电路分析
回忆前面的分解方法，求解非线性电路
iL (t)
含源
＋
电阻
u(t)
网络
－
N2，动态元件
N1
N2
Ro
＋
uoc (t)
－
iL (t)
uL (t)
1 iC
R
0 t0
t
注意 不要写为
1 R
e
－t RC
(
t
-
t0
)
6-3 阶跃响应 冲激响应
例 1 求图示电路中电流 iC(t)
10k
+
ic
us
10k
-
100F
+
10 (t)
-
us(V) 10
uC(0-)=0
+
10 (t 0.5)
-
0
0.5 t(s)
uS 10 (t) 10 (t 0.5)
iL (0 ) 0
解：开关闭合后的电路如图(b)所示，由于开关闭合瞬间电 感电压有界，电感电流不能跃变，即
iL (0 ) iL (0 ) 0
将图(b)中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电 路代替，得到图(c)所示电路。由此电路求得时间常数为
L 0.4 s 0.05s
第六章 一阶电路
重点内容
零输入响应 零状态响应 全响应
三要素法 时间常数 固有频率
第六章 一阶电路
含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然 受到KCL、KVL的拓扑约束和元件特性VCR的约 束。一般来说，根据KCL、KVL和VCR写出的电 路方程是一组微分方程。
由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 由n阶微分方程描述的电路称为n阶电路。
t
uC (t) (1 e RC ) (t)
i(t)
1
t
e RC
(t )
R
R
(t)
1 uuc C (0－)=0
1i
R
0
i
+
C
uC
–
t
t
6-3 阶跃响应 冲激响应
+
ε(t -t0)
-
R iC
+
C u–C
iC
=
1
-
e
R
t- t0
RC ε ( t - t0 )
时不变性
激励在 t = t0 时加入， 则响应从t=t0开始。
Ro 8
iL (t) 1.5(1 e20t )A
可以得到
iL (t) 1.5(1 e20t )A
(t 0)
uL (t)
L diL dt
0.41.5 20e20t
12e20tV
(t 0)
假如还要计算电阻中的电流i(t)，可以根据图(b)电路，
用欧姆定律求得
（2）延迟一个函数
f(t)
sin t (t )
f(t) sin( t t0 ) (t t0 )
0
t
（3）起始一个函数
0 t0
t
f(t) sinsi(nt()t )(t(t )t0 )
0
t0
t
6-3 阶跃响应 冲激响应
由单位阶跃函数可组成复杂的信号，分段信号
例1
f(t)
1
f(t)
(t)

uS R1
这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。
6-1 分解方法与动态电路分析
一阶电路可以用常系数非齐次一阶微分方程描述，动
态电路的分析转化为微分方程的求解。
ROC
duC (t) dt

uC
(t
)

uOC
(t)
C
duC (t) dt

GOuC
(t)

iSC
(t)
L
diL (t dt
)
对于图(b)所示RL并联电路，可以写出以下方程
iS(t) iR (t) iL (t) GuL (t) iL (t)
在上式中代入 ：
uL
(t)

L
diL (t) dt
得到
GL
diL (t) dt

iL
(t )＝iS
(t)
这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)是一阶电路。
第六章 一阶电路

ROiL
(t
)

uOC
(t
)
GO
L
diL (t dt
)

iL
(t
)

iSC
(t
)
微分方程的求解，结合电容和电感的初始条件，即可求
得状态变量 uC (t) , iL(t)，再利用置换定理即可求解整个电路。
6-2 零状态响应
电容初始电压
t t0, uc (t0 )
K t=t0 R
+
_ US
C
i
uC
第六章 一阶电路
解：对于图(a)所示RC串联电路，可以写出以下方程
uS(t) uR (t) uC (t)
Ri(t) uC(t)
在上式中代入:
i(t) C duC (t)
得到
dt
RC
duC (t) dt

uC
(t)＝uS (t)
这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。
第六章 一阶电路
6-2 零状态响应
当电路达到新的稳定状态时，电容相当于开路，由此求得
可以得到
U C () U oc 120 V
t
1104 t
uC (t) Uoc (1 e τ ) 120(1 e 3 )V
(t 0)
iC
(t)

C
duC dt

106
120
1
104 e


1 RC
t
US uC
1t
e RC
US
1t
uC (t) US USe RC
1t
US (1 e RC )
t0
6-2 零状态响应
t
uc (t) US (1 e RC ) t 0
指数项
t
e RC
时间常数
RC
RC电路的零状态响应曲线
6-2 零状态响应
指数函数
1
0
t0
t
0 t0
t
f (t) (t) (t t0 )
- (t-t0)
例2
f(t)
2
1
f (t) 2(t 1) (t 3) (t 4)
0 1 34t
6-3 阶跃响应 冲激响应
例3 －2
u(t) 1
已知电压u(t)的波形如图， 试画出下列电压的波形。
第六章 一阶电路Baidu Nhomakorabea
描述一阶动态电路的方程是一阶线性微分方程：
a1
dx dt

a0
x

e(t)
t0
动态电路的分析方法
（1）根据KVL、KCL和VCR建立微分方程
（2）求解微分方程
[注]：因本章所讨论的仍是线性电路，因此，线性电 路中所阐述的部分分析方法和定理仍然适用。
第六章 一阶电路
例：列出所示电路的一阶微分方程。
t0
duC 1 dt US uC RC
d (US uC ) 1 dt
US uC
RC
ln(US

uC
)

1 RC
t

k
iC' (t)
C
uC' (t)

6-2 零状态响应
ln(US
uC )

1 RC
t

k
uC (0) 0 k lnUS
ln(US
uC ) lnUS
第六章 一阶电路
• 电阻电路（代数方程） • 分析方法：KCL、KVL、VCR
• 动态电路分析方法? • 一阶电路（一阶微分方程）
第六章 一阶电路
6-1 分解方法在动态电路分析中的应用 6-2 零状态响应 6-3 阶跃响应 冲激响应 6-4 零输入响应 6-5 线性动态电路的叠加原理 6-6 三要素法 6-7 瞬态和稳态 6-8 正弦激励的过渡过程和稳态
等效电路 t t0
R
iC (t)
等效电路中存在两 个独立源，可利用 叠加定理求解
t t0
+ _ US
C
uC (t)


u1(t)
uc (t0 )
6-2 零状态响应
叠加定理
R
iC' (t)
零状态响应：
+ C
初始状态为零，输入单独 t t0 _ US uC' (t)
作用
零输入响应：
U oc 120 V
uC (0 ) 0
解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到
uC (0 ) uC (0 ) 0
先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维
南等效电路，得到图(b)所示电路，其中
U oc 120 V
电路的时间常数为
Ro 300
RoC 300106 3104s 300s
输入为零，初始状态单独 作用
R
iC'' (t)
uC'' (t) C

u1(t)
uc (t0 )
全响应＝零输入响应＋零状态响应
6-2 零状态响应
列写微分方程
RC
duC dt
uC
US
uC (0) 0 求解
R
+ t t0 _ US
duc (t) dt

1 RC
(U S
uc )
(t t0) (t t0)
6-3 阶跃响应 冲激响应
单位阶跃函数的作用
（1）在电路中模拟开关的动作
t = 0合闸 u(t) = E (t)
E K u(t)
E(t )
u(t)
i (t)
K Is
t = 0合闸 i(t) = Is (t)
I S (t )
u(t)
6-3 阶跃响应 冲激响应
1 u(t)
u(t) 1
0
2t
(1) u (t) (t)
0
2 t －1 0 1
tt
(2) u (t 1) (t)
u(t)
1
(3) u (t 1) (t 1)
1 u(t)
(4) u (t 2) (t 1) 0 1
tt 0 1 2
t
6-3 阶跃响应 冲激响应
阶跃响应
激励为单位阶跃函数时，电 路中产生的零状态响应。
isc (t)
iL (t)
Go
uL (t)
6-1 分解方法与动态电路分析
解二：将含源电阻单口用诺顿等效电路代替，得到图(b)电 路，其中
Ro

R1R2 R1 R2
iSC

uS R1
6-1 分解方法与动态电路分析
按照KCL和电阻、电感的VCR，可得
(R1＋R2 )L R1R2
diL dt
iL
+
10 (t 0.5)
-
10k 10k
ic 100F
uC(0-)=0
iC e 2t (t ) mA
iC e 2(t0.5) (t 0.5) mA
iC e 2t (t ) e 2(t0.5) (t 0.5) mA
1104 t 3
3
1104 t
0.4e 3 A
(t 0)
为了求得i1(t)，根据图（a）所示电路，用KCL方程得到
1104 t
i1(t) IS iC (t) (1 0.4e 3 )A
(t 0)
6-2 零状态响应
例 电路如图 (a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。 t=0闭合开关，求t0的电感电流和电感电压。
10k 10k
ic 100F
uC(0-)=0
10k
ic 10k
100F
uC(0-)=0
6-3 阶跃响应 冲激响应
+ 10 (t)
-
10k 10k
ic 100F
uC(0-)=0
等效
5k
+
5 (t)
ic 100F
- uC(0-)=0
RC 100106 5 103 0.5s