球的题型分类

P
P
P
c
c
c
c
A
b
C
a
B
A
C
b
a
B
C
b
A
a
B
B
b
a
A
C
图1-1
图1-2
图1-3
图1-4
数据关系：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)2 = a2 + b2 + c2 ，这时有 2R = a2 + b2 + c2 。 例题
1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是
2、在正三棱锥 S − ABC 中，M、N 分别是棱 SC、BC 的中点，且 AM ⊥ MN ,若侧棱 SA = 2 3 ,
心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆 是大圆； 结论 4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论 5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论 6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论 7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论 8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论 9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 3.求边角关系：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；
C1
O2
B1
F
O
O1 B
C E
图3-1
例题
1、 棱长为 1 的正方体内有一个球与正方体的 12 条棱都相切，则球的体积为
。
2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
3、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
球
一、有关定义 1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个
球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球
且该六棱柱的高为 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为 _________ ．
4、直三棱柱 ABC − A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 A=B A=C A= A1 2 , ∠BAC =120° ，则
此球的表面积等于
.
第二讲
第一节 三条棱两两垂直 位置关系：如图，可补成长方体求解。
柱体模型
P
。
2
3、《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P − ABC 为鳖臑，
PA ⊥ 平面 ABC ， PA = AB = 2 ， AC = 4 ，三棱锥 P − ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O
的表面积为
。
第三节 对棱相等的三棱锥 位置关系：如图 2-1，可补成长方体求解。 数据关系：设出长方体的长宽高分别为 a, b, c ， AD = BC = x ，
（3）正方体的棱切球，如图 3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重 合； 数据关系：设正方体的棱长为 a ，球的半径为 R，这时有2������������ = √2������������..
第二节 球与长方体 长方体的外接球，如图 2. 位置关系：长方体的八个顶点在同一个球面上；长方体中心与球心重合； 数据关系：设长方体的长宽高分别为������������、������������、������������，球的半径为 R，这时有2������������ = √������������2 + ������������2 + ������������2。
在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. 2.结论： 结论 1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论 2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体 的外接球相同； 结论 3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆
第三节 球与直柱体
直柱体的外接球，如图.
A1
位置关系：直棱柱的所有顶点在同一个球面上；直棱柱的外接球与该
棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 数据关系：设直柱体的底面外接圆半径为 r （用正弦定理可求得），侧 A
棱长即高为 h，球的半径为 R，这时有2������������ = √4������������2 + ℎ2。
Baidu Nhomakorabea
1、已知球 O 的面上四点 A 、B 、C 、D ，DA ⊥ 平面 ABC ，AB ⊥ BC ，A=D A=B B=C 3 ，
则球 O 的体积为
。
2、四棱锥 P − ABCD 的底面为正方形 ABCD ， PA ⊥ 底面 ABCD ， AB = 2 ，若该四棱锥的所
有顶点都在体积为 9 π 的同一个球面上，则 PA 的长为
的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 二、外接球的有关知识与方法 1.性质：
性质 1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质 2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质 3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质 4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质 5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：
第一讲 球与柱体
第一节 球与正方体 （1）正方体的内切球，如图 1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球 心重合； 数据关系：设正方体的棱长为 a ，球的半径为 R，这时有 2R= a .
（2）正方体的外接球，如图 2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心 重合； 数据关系：设正方体的棱长为 a ，球的半径为 R，这时有2������������ = √3������������.
则正三棱锥 S − ABC 外接球的表面积是
.
3、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6 、 4 、 3 ，那么它的外接球的表面 积是
第二节 侧棱垂直于底面 位置关系：如图，可补成柱体求解。
数据关系：设三棱锥的底面外接圆半径为 r （用正弦定理可求得），侧棱长即高为 h，球的半
径为 R，这时有2������������ = √4������������2 + ℎ2。 例题