第八讲 函数的应用自主招生讲义

第八讲 函数的应用【知识引入】一．基本初等函数的单调性：1．反比例函数的单调性：)0(≠=k x ky ，由k 的符号确定； 2．分式函数的单调性：dcx bax y ++=；3．一次函数：)0(≠+=k b kx y ；4．二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y ；确定单调性要素⎪⎩⎪⎨⎧-的大小②、对称轴的符号①、a ba 2 5．耐克函数：)0(＞c x c x y +=；双增函数：)0(-＞c x c x y =；双减函数：)0(-＞c x xcy =； 6．幂函数)21-31212-1-321(⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=、、、、、、、a x y a7．指数函数)1,0(≠=a a a y x且＞；8．对数函数)1,0(log ≠=a a y xa 且＞；9．三角函数：x y sin =、x y cos =、x y tan =；10．其他函数：a x y -=、 b x a x y -+-=、 b x a x y --=-等。

二．复合函数的单调性：同增异减。

【知识拓展】一．函数的迭代：一个函数的自复合，叫做迭代。

我们用()kg x 表示()g x 的k 次迭代函数，即01(),()(())k kg x x g x g g x +⎧=⎪⎨=⎪⎩。

如果()(())()(1,2,,1)p k g x x g x x g x x k p ⎧=⎪⎨≠=-⎪⎩对一切使有定义的，则称()g x 有迭代周期p 。

迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。

一般说来，若()y g x =的图像关于直线y x =对称，则一定有(())g g x x =。

它的迭代周期是2.下面是几个常见函数的迭代周期。

27()1x g x x -=+，迭代周期是3；1()1x g x x -=+，迭代周期是4；1()2xg x x+=-，迭代周期是6.二．琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上：下凸函数定义：设连续函数()f x 的定义域是[]a b ，（开区间()a b ，或(－∞，＋∞)上均可），如果对于区间[]a b ，内的任意两点1x 、2x 和实数(0,1)λ∈有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，特别地，12λ=时，有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则称()f x 为[]a b ，上的下凸函数．如图(１)定理一．若()f x 是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点12n x x x 、、、，恒有：1212()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭上凸函数定义：设连续函数()f x 的定义域是[]a b ，（开区间()a b ，或(－∞，＋∞)上均可），如果对于区间[]a b ，内的任意两点1x 、2x 和实数(0,1)λ∈有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，特别地，12λ=时，有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则称()f x 为[]a b ，上的上凸函数．如图(2)定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点12...n x x x 、、、恒有：)](...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。

例如：容易验证12tan log y x y x ==，分别是(0,)(0,)2π+∞，上的下凸函数。

x 1x 2M(2)P Q x 1x 2M(1)P Qsin lg y x y x ==，分别是[0,](0,)π+∞，上的上凸函数。

如何判断一个函数是凸函数（凹函数）？除了定义之外，有下面的定理：设f 为I 上二阶可导函数，则f 为I 上的凸（凹）函数的充要条件是''()0(''()0)f x f x ≥≤。

【典例精讲】例1．（2006复旦）设12,0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12x x ≠，下列不等式中成立的是（ ）。

①12121(tan tan )tan ;22x x x x ++> ②12121(tan tan )tan 22x x x x ++<； ③12121(sin sin )sin 22x x x x ++>； ④12121(sin sin )sin 22x x x x ++<。

（A ）①③ （B ）①④ （C ）②③ （D ）②④ ►分析与解：这是一道与凸函数有关的问题，分别画出tan y x =，sin y x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的草图。

如图6-1，设11(,tan )A x x 、22(,tan )B x x ，C 是AB 的中点，过,,A B C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为111,,A B C ，1CC 与tan y x =交于D 点。

由1211121(tan tan )tan 22x x CC DC x x +>⇔+>。

同理，如图6-2，12121(sin sin )sin 22x x x x ++<。

故①、④正确，选B 。

注：tan y x =，sin y x =在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上分别是凸函数和凹函数。

例2．（2009清华）0,0,1a b a b >>+=，*n N ∈，求证：22212nn n a b -+≥。

►分析与解：构造函数2,*ny x n N =∈，先证明它是凸函数。

事实上，21'2n y nx-=，22''2(21)0n y n n x-=-≥，故2,*n y x n N =∈是(,)-∞+∞上的凸函数，从而22222221112222n nn n n nn a b a b a b -++⎛⎫⎛⎫≥=⇒+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证毕！ 例3．（2009浙大）已知12a ≥，设二次函数22()f x a x ax c =-++，其中,a c 均为实数。

求证：对于任意[0,1]x ∈均有()1f x ≤的充要条件是34c ≤。

►分析与解：22()11f x a x ax c ≤⇔-++≤，注意到()f x 的对称轴21122a x a a==≤，故221a x ax c -++≤[0,1]x ∈max 113()1()11244f x f c c a ⇔≤⇔≤⇔+≤⇔≤。

例4．（2003复旦）一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数21xy x=+（0x >）的图象上，如图6-3。

求此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值。

►分析与解： 解法一：令211()()11x f x f x x x x===++。

不妨设1x <，显然 矩形绕x 轴旋转而成的几何体为圆柱，记体积为()V x ，则221()1x V x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭22222211(1)(1)114x xx x x x x x x x x x πππ---=⋅=⋅=⋅+⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

令1t x x =-，则21444t V t t t πππ=⋅=⋅≤++（2t =，即12,x x x -==时等号成立） 解法二：设12,x x 是方程21x y x=+的两根，且12x x >，则212()()V y y x x π=-。

又2201x y yx x y x=⇒-+=+。

由韦达定理，12x x -=2112224V y πππππ===≤⋅=（等号成立当且仅当218y =时成立）。

注：相比较而言，此题以y 为自变量要方便些。

另外，解法一中222(1)()(1)x x V x x π-=⋅+最大值也可用如下三角代换法来处理。

222121()211x x V x x xπ-=⋅⋅++，令tan x t =，则 22221sin 2,cos 2,11x x t t x x-=++s i n 444V t ππ=⋅≤。

例5．已知A B C 、、为ABC ∆的三个内角，求C B A sin sin sin ++的最大值。

►分析与解：考察函数()sin f x x =，],0[π∈x ，对任意],0[,21π∈x x ，)]()([2121x f x f +2sin 2cos 2sin 2sin )sin (sin 21)2(212121212121x x x x x x x x x x x x f +--+=+-+=+- 0)12(cos 2sin2121≤--+=x x x x ，所以≥+)2(21x x f )]()([2121x f x f +。

因此)(x f 是上凸函数。

据琴生不等式C B A C B A C B A sin sin sin 3sin 3sin sin sin ++⇒++≤++233≤，当且仅当60===C B A 时取得最大值233。

►链接：用琴生不等式可以轻而易举得得到一系列三角不等式，例如ABC ∆中833sin .sin .sin ≤C B A ，2332cos 2cos 2cos ≤++C B A ，232sin 2sin 2sin ≤++C B A 。

练习1：已知A B C 、、为ABC ∆的三个内角，求C B A sin sin sin ++的最大值。

►分析与解：),0(,21π∈x x ，因为2sin sin 2sin sin 2121x x x x +≤+，而2sin 22cos 2sin22sin sin 21212121x x x x x x x x +≤-+=+，因此有2sin sin 2sin sin 2121x x x x +≤+。

此式说明函数x x f sin )(=在),0(π上是上凸函数。

据琴生不等式23.33sin 3sin sin sin =++≤++CB AC B A ，最大值为21452.3-例6．已知()f x 是一次函数，且10((()))10241023ff f ff x x =+重，求函数()f x 的解析式。

►分析与解：()(0)f x ax b a =+≠，记((()))()n n ff f ff x f x =重，则：22()[()]()(1)f x f f x a ax b a x b a ==+=++，2323(){[()]}((1))(1)f x f f f x a a x b a a x b a a ==++=+++，依次类推有：1010981010(1)()(1)1b a f x a x b a a a a x a-=+++++=+-。