超定方程组
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设线性方程组b Ax =中，
n
m ij a A ⨯=)(,b
是 m 维已知向量，x 是n 维解向量，当m ＞n
即方程组中方程的个数多于未知量的个数时，称此方程组为超定方程组。一般来说 ，超定方程组无解（此时为矛盾方程组），这时需要寻找方程组的一个“最近似”的解。
记Ax
b r
-=，称使
2
r
即
22
r
最小的解*
x 为
方程组b Ax =的最小二乘解。可以证明如下
定理：
定理 *
x 是b Ax =的最小二乘解的充
分必要条件为：*
x 是b
A Ax
A T
T
=的解。
例1： 求超定方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=+=+=-=+7
26235311
4221212121x x x x x x x x
的最小二乘解，并求误差平方和
解：方程组写成矩阵形式为
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-7631112
21534221x x
正规方程组为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-7631112
5
4213212
21534212
5
4
2132
21x x
即
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4851463
31821x x
解得 2418
.1,
0403.321
==x x
此时：
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=+=+=-=+3224
.725239.529119.2530478.114221212121x
x x x x x x x
误差平方和为
34065942
.0)
3224.77()5239.56()9119.23()0478.1111(2
2
2
2
=-+-+-+-=I