傅里叶级数的起源和发展
广义傅里叶级数
通过傅里叶变换，图像的频率信息被提取出来，形成频谱图。频谱图能够揭示 图像中的纹理、边缘和噪声等特征。在频域中，可以对图像进行滤波、增强和 压缩等操作，改善图像质量或提取有用的信息。
在量子力学中的波函数表示
总结词
在量子力学中，广义傅里叶级数用于表示波函数，描述微观粒子的状态和行为。
详细描述
周期性
对于具有周期$T$的函数$f(x)$，其广 义傅里叶级数也具有相同的周期。
广义傅里叶级数的收敛性
收敛条件
广义傅里叶级数在一定条件下收敛， 即当函数$f(x)$满足一定条件时，其 广义傅里叶级数将收敛到$f(x)$本身。
收敛定理
存在多种收敛定理来判断广义傅里叶 级数的收敛性，如狄利克雷定理、魏 尔斯特拉斯定理等。
未来研究方向与展望
探索非周期函数的表示方法
01
针对无法表示非周期函数的局限，研究新的函数展开方法，以
更好地处理非周期函数。
改进对奇异性和不连续点的处理
02
研究如何处理具有奇异性或不连续点的复杂函数，提高广义傅
里叶级数在这些情况下的收敛性和精度。
加速高频分量收敛
03
针对高频分量对收敛性的影响，研究改进的算法和技巧，提高
傅里叶级数的起源与三角函数的发展 密不可分，三角函数在古代数学中已 有应用，而傅里叶进一步将其应用于 周期函数的表示。
傅里叶级数的应用领域
信号处理
傅里叶级数被广泛应用于信号处理领域，通过将信号分解为不同 频率的正弦和余弦波，可以对信号进行分析、滤波和合成。
振动分析
在机械工程和物理学中，傅里叶级数用于分析振动系统的周期性和 非周期性行为。
周期函数的广义傅里叶级数展开在信号处理、振动分析、图像处理等领域有广泛应用。
数学分析之傅里叶级数
的叠加
n
n
y y k A ksin (kx k).
k 1
k 1
(2 )
由于简谐振动 y k 的周期为T kT2π,k1,2, ,n,
所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠
加就得到函数项级数
A 0 A n sin (nxn ).
n 1
(3 )
若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运
π
( 6 ) (7)
而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
不等于零, 即
π ππ π1 co 2d sx 2n x2 dx π ππsin2nxdxπ,
(8)
若两个函数 与 在 [ a , b ] 上可积, 且
ab(x)(x)dx0
则称 与 在 [ a , b ] 上是正交的, 或在 [ a , b ]上具有正
有函数具有共同的周期 2 π . 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
的乘积在 [ , ]上的积分等于零,即
π
π
c o s n x d x s i n n x d x 0 ,
π
π
πππcsionsm mxxscionsnnxxddxx00((m mnn)),,
π π
cosmxsinnxdx0.
(9)式逐项积分得
π
f ( x)dx π a 2 0 π π d x n 1 (a n π π c o s n x d x b n π π s in n x d x ) .
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零.
所以
ππf(x)dxa 202πa0π,
即
a0
1 π
交性. 由此三角函数系(4)在 [π, π] 上具有正交性.
数学分析课件 傅里叶级数
03
工程学
在工程学中，傅里叶级数可以用于分析和设计各种周期性结构，例如在
机械工程和土木工程等领域中，可以通过傅里叶级数来描述和分析周期
性振动和波动等问题。
02
傅里叶级数的基本性质
三角函数的正交性
三角函数的正交性是指在一周期内，任何两个不同的三角函 数都不相交，即它们的乘积在全周期内的积分值为零。这一 性质在傅里叶级数的展开和重构中起到关键作用，确保了频 谱的纯净性和分离性。
三角函数的周期性使得我们能够将无限长的信号转化为有限长的频谱，从而方便 了信号的分析和处理。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性是指一个信号的傅里叶级数展开在一 定条件下能够无限接近原信号。这一性质保证了傅里叶级 数展开的精度和可靠性，使得我们能够通过有限项的级数 展开来近似表示复杂的信号。
收敛性的判定是数学分析中的重要问题，涉及到级数的收 敛半径、收敛域等概念。在实际应用中，我们需要根据信 号的特性和精度要求来选择合适的收敛域和级数项数，以 保证傅里叶级数展开的准确性。
首先，确定函数的周期和定义域；其次，计算正弦和余弦函数的系数；最后，将得到的系数代入正弦和余弦函数的线 性组合中，得到函数的傅里叶级数表示。
傅里叶级数的表示方法的优缺点
傅里叶级数具有简洁、易计算等优点，能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数。然而，傅 里叶级数也存在着一些缺点，例如在非周期函数的情况下，傅里叶级数可能无法得到正确的结果。
图像增强
利用傅里叶级数，可以对图像进行增 强处理，如锐化、降噪等，提高图像 的视觉效果。
数值分析中的傅里叶级数
数值逼近
傅里叶级数可以用于求解某些函数的 数值逼近问题，如求解函数的零点、 极值等。
《傅里叶级数》课件
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
傅里叶级数的推导
傅里叶级数的推导2016年12月14日09:27:47傅里叶级数的数学推导首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。
但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。
一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。
如下就是傅里叶级数的公式：不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。
单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。
能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程：１、把一个周期函数表示成三角级数：首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f(x)=A sin(ωt+ψ)这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相〔与考察时设置原点位置有关〕。
然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。
傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。
于是，傅里叶写出下式：〔关于傅里叶推导纯属猜想〕这里，t是变量，其他都是常数。
傅里叶级数及其性质
傅里叶级数及其性质是研究周期函数的一个重要分支。
傅里叶级数最初是由法国数学家傅里叶在研究热传导问题时提出的。
它主要用于将复杂的周期函数分解为一组简单的正弦函数的和，使得人们可以更加清晰地理解周期函数的性质。
傅里叶级数的表示形式为：$$f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)$$其中，$a_0$、$a_n$、$b_n$都是常数系数，$x$是自变量。
傅里叶级数表示了一个周期为$2\pi$的函数$f(x)$可以分解为多个周期为$\frac{2\pi}{n}$($n=1,2,3,\cdots$)的正弦和余弦函数的和。
其中$a_n$和$b_n$分别表示$f(x)$在一个周期内的偶函数和奇函数的系数，$a_0$表示$f(x)$在一个周期内的平均值。
傅里叶级数的推导过程需要借助于正交函数的思想。
将一组正交函数与一个函数进行内积运算，得到的系数就是该函数在这组正交函数上的投影。
傅里叶级数就是将正弦和余弦函数作为正交函数来分解一个周期函数$f(x)$的过程。
傅里叶级数的性质十分重要，它们不仅为理解周期函数提供了便捷的工具，同时也具有重要的数学意义。
下面将介绍傅里叶级数的四个主要性质。
1. 周期性傅里叶级数是一个周期为$2\pi$的函数，这一点可以从其表示形式看出。
由于正弦和余弦函数都是周期为$2\pi$的函数，所以傅里叶级数表示的周期函数也是周期为$2\pi$的。
这个周期可以通过对傅里叶级数中的每个正弦和余弦函数的周期求最小公倍数得到。
2. 收敛性傅里叶级数有可能不收敛，也有可能收敛于非周期函数。
关于傅里叶级数的收敛性，有一个重要的结论称为狄利克雷条件：如果一个周期函数在一个周期内满足狄利克雷条件，那么其傅里叶级数必定收敛于该函数。
狄利克雷条件是指周期函数在一个周期内必须满足以下两个条件之一：(1) 函数在一个周期内只有有限个极值点（包括最大值和最小值）；(2) 函数在一个周期内只有有限个不连续点（包括第一类和第二类不连续点）。
周期信号的分解-傅里叶级数
傅里叶级数
傅里叶级数是一种将周期信号分 解为不同频率的正弦和余弦函数 的数学方法。
三角函数系
傅里叶级数使用正弦和余弦函数 作为基底，将周期信号表示为这 些函数的线性组合。
频谱分析
通过傅里叶级数，可以分析周期 信号的频谱，了解信号中各个频 率分量的强度和分布。
周期信号的频谱分析
频谱图
频谱图是用来表示周期信 号中各个频率分量强度的 图形，横轴表示频率，纵 轴表示幅度。
傅里叶级数的发展经历了多个阶段， 包括早期的数学证明和后来的完善， 最终成为数学和工程领域中分析周期 信号的重要工具。
傅里叶级数的应用领域
1 2 3
通信领域
傅里叶级数用于信号处理和调制解调，例如在频 分复用（FDM）和调频（FM）中分析信号的频 谱特性。
振动分析
傅里叶级数用于分析机械振动，通过将振动信号 分解为不同频率的分量，可以研究振动的模式和 频率成分。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中广泛应用，通过将图像 信号表示为傅里叶级数，可以实现图像的滤波、 去噪、压缩等处理。
02 傅里叶级数的数学基础
三角函数和正弦函数三角Fra bibliotek数包括正弦函数、余弦函数、正切函数 等，它们在周期信号的分解中起着关 键作用。
正弦函数
正弦函数是周期函数，其基本周期为 $2pi$，在信号处理中常用于描述周 期信号。
周期信号的频谱分析
频谱分析
通过将周期信号分解为不同频率的正弦波分量，可以分析信号中各频率分量的 幅度和相位。
频谱密度函数
描述了信号中各频率分量的分布情况，其图形称为频谱图或频谱密度图。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数
是一个无穷级数，可以用来表示任何周期信号。
《高数-傅里叶级数》课件
02
该公式将复杂的函数f(x)表示为简单的三角函数之和，便于分析函数的性质和求 解相关问题。
03
展开公式中的系数a0、an、bn可以通过函数的积分得到。
傅里叶级数的展开步骤
01
第一步是将待展开的函数f(x)进行傅里叶级数的展开，得到展开式。
02
第二步是求解展开式中的系数a0、an、bn，可以通过函数的积分得 到。
傅里叶级数的应用领域
傅里叶级数在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用。
在信号处理、图像处理、振动分析、 量子力学等领域，傅里叶级数被用于 分析信号和系统的频率成分，以及进 行频域分析和处理。
02
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
收敛的条件
傅里叶级数在满足一定条件下收敛， 如狄利克雷条件和黎曼条件等。这些 条件限制了周期函数的波形和振幅， 以确保级数收敛。
傅里叶级数的对称性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的 性质和级数的运算规则。
傅里叶级数的周期性
周期性的应用
周期性在信号处理、图像处理等领域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中， 可以利用周期性来分析信号的频率成分和周期性变化。
周期性的证明
傅里叶级数的周期性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的周 期性和级数的运算规则。
03
第三步是将求解出的系数代入展开式中，得到函数的傅里叶级数展开 式。
04
第四步是利用傅里叶级数的性质和公式，对展开后的函数进行分析和 求解相关问题。
04
傅里叶级数的应用实例
信号处理中的傅里叶级数
信号分析
傅里叶级数提供了一种将复杂信号分解为简单正弦波的方法，有 助于信号的频谱分析和特征提取。
一般周期的傅里叶级数
FFT具有高效性、稳定性和易于实现 等优点，是数字信号处理领域的重要 算法之一。
FFT广泛应用于语音识别、图像处理 、频谱分析、雷达和声呐信号处理等 领域。
小波变换（Wavelet Transform）
定义
小波变换是一种时频分析方法， 它通过小波基函数的伸缩和平移 来分析信号在不同尺度上的变化 特性。小波变换能够提供信号在 不同频率和时间尺度上的信息， 具有多分辨率分析的特点。
周期函数的傅里叶级数展开可以通过傅里叶变换来实现，傅里叶变换将 时域信号转换为频域信号，提供了一种分析信号频率成分的有效方法。
非周期函数的展开
非周期函数的特性
非周期函数没有固定的重复模式，其波形不具有周期性。
非周期函数的近似展开
对于非周期函数，傅里叶级数展开式中的正弦和余弦函数具有连续的频率，这些频率覆盖了整个频域。通过选取一定 数量的频率分量，可以对非周期函数进行近似展开。
三角恒等式
正弦和余弦函数的线性组合
对于任意的实数$a$和$b$，有$sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b$和$cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b$。
三角恒等式的应用
在傅里叶级数展开中，三角恒等式用于将一个复杂的周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合。
其中，a0、an和bn为常数，n为整数 ，Σ表示求和符号，x为自变量。
傅里叶级数的一般形式为：f(x) = a0 + Σ[(an * cos(nx)) + (bn * sin(nx))]
傅里叶级数的历史背景
傅里叶级数的起源可以追溯到18世纪 初，法国数学家让-巴蒂斯特·约瑟夫· 傅里叶在研究热传导问题时提出了该 理论。
4.2-4.3 傅里叶级数
An、n 均为nω0的函数，分别组成 f(t) 的第 n 次 谐波分量的振幅和相位.
以振幅为纵坐标所画出的谱线图 振幅频谱 以ω为横坐标 频谱图 相位频谱 以相位为纵坐标所得到的谱线图
“频域分析”的概念 在整个第三章，将以正弦信号和虚指数信号ejwt为 基本信号，任意输入信号（周期、非周期）都可 以分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信 号之和； 由于系统分析的独立变量是频率，故称之为“频 域分析”。
4.3 指数形式傅里叶级数
例4.3-4 求周期冲激序列信号
δT (t )
n
δ(t nT )
的指数形式的傅里叶级数表示式。 解： 由式（4.3-8）可得，冲激串信号的复系数为
1 1 jn1t Fn δ(t )e dt T T
所以
T 2 T 2
1 jn1t δT (t ) e T n
t T1 T T1 t 2
f (t )
„„
T
T 2
T1 0 T1
T 2
T
t
图4.3-1 周期方波信号
求此信号的傅里叶级数表示式。
4.3 指数形式傅里叶级数
2π 解：信号的基波周期是T，基波频率就是 0 ， T
利用式（4.3-8）确定傅里叶级数系数。不妨 在 T , T 内进行积分：
an a n bn b n
2 t0 +T an = ò f (t )cos nw0tdt T t0 2 t0 +T bn = ò f (t )sin nw0tdt T t0
是 n 的偶函数
是 n 的奇函数
4.2 三角形式傅里叶级数
3. 周期信号的另一种三角级数表示：
傅里叶级数概念
傅里叶级数概念什么是傅里叶级数傅里叶级数是一种数学工具，用于将周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的和。
它是由法国数学家傅里叶在19世纪提出的，被广泛应用于信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
傅里叶级数的基本原理傅里叶级数的基本原理是任何一个周期函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的和。
具体而言，对于一个周期为T的函数f(t)，可以表示为以下形式的级数：其中，a0、an和bn是系数，可以通过计算积分得到。
an和bn表示了不同频率的正弦和余弦函数在级数中的权重。
傅里叶级数的应用信号处理傅里叶级数在信号处理中起到了至关重要的作用。
通过将信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的和，可以对信号进行频谱分析，从而了解信号的频率成分和能量分布。
这对于音频、视频等信号的压缩、滤波、特征提取等操作非常有用。
图像处理傅里叶级数在图像处理中也有广泛应用。
通过将图像看作一个二维函数，可以将其分解成一系列二维正弦和余弦函数的和。
这样可以对图像进行频域处理，例如图像去噪、边缘检测、图像增强等操作。
物理学傅里叶级数在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于描述周期性运动，如弦乐器的振动、电磁波的传播等。
此外，傅里叶级数还可以用于解决热传导方程、波动方程等偏微分方程的初值问题。
工程学在工程学中，傅里叶级数可以用于信号处理、控制系统分析、电路分析等方面。
通过将信号或系统分解成不同频率的正弦和余弦函数的和，可以对系统的频率特性进行研究和设计。
傅里叶级数的性质傅里叶级数具有许多重要的性质，这些性质使得它在各个领域中得到广泛应用。
线性性质傅里叶级数具有线性性质，即线性组合的函数的傅里叶级数等于各个函数的傅里叶级数的线性组合。
周期性质傅里叶级数适用于周期函数，并且周期函数的傅里叶级数也是周期函数。
当函数不是周期函数时，可以通过将其扩展为周期函数来应用傅里叶级数。
对称性质对称函数的傅里叶级数具有特殊的性质。
例如，奇对称函数的傅里叶级数只包含正弦函数，偶对称函数的傅里叶级数只包含余弦函数。
信号与系统傅里叶级数表示
信号与系统傅里叶级数表示信号与系统是电子信息类专业中的重要基础课程，是学习和理解信号的产生、传输和处理的基础。
傅里叶级数是信号与系统中非常重要的数学工具，能够将一个周期信号分解成若干个简单的正弦函数的叠加，从而对信号进行分析和处理。
傅里叶级数是由法国数学家傅里叶在19世纪初提出的。
他认为任何一个周期信号都可以表示成若干个正弦函数的叠加，这些正弦函数的频率是原信号频率的整数倍。
傅里叶级数的表达式是一个无穷级数，其中包含了信号的频率、振幅和相位等信息。
在信号与系统中，傅里叶级数的应用非常广泛。
首先，傅里叶级数可以用来分析和处理周期信号。
周期信号是指在某个时间段内重复出现的信号，比如正弦信号和方波信号等。
通过将周期信号展开成傅里叶级数的形式，可以得到信号的频谱信息，即信号中各个频率分量的振幅和相位。
傅里叶级数还可以用来分析和处理非周期信号。
非周期信号是指在无限时间内不重复出现的信号，比如脉冲信号和矩形信号等。
虽然非周期信号不能直接使用傅里叶级数展开，但可以通过对信号进行周期延拓，将其转化为周期信号，然后再利用傅里叶级数进行分析和处理。
除了信号的分析，傅里叶级数还可以用来实现信号的合成。
通过给定一组正弦函数的振幅和相位，可以将它们叠加起来，得到一个新的信号。
这种信号的合成在通信系统中非常重要，可以用来调制信号、生成频谱等。
傅里叶级数的应用不仅局限于信号与系统领域，还广泛应用于其他领域。
在图像处理中，可以将图像视为一个二维信号，利用二维傅里叶级数对图像进行分析和处理。
在音频处理中，可以将音频信号视为一个一维信号，利用一维傅里叶级数对音频进行分析和处理。
在视频处理中，可以将视频视为一个三维信号，利用三维傅里叶级数对视频进行分析和处理。
傅里叶级数是信号与系统中非常重要的数学工具，能够将一个周期信号分解成若干个简单的正弦函数的叠加。
通过傅里叶级数的分析和合成，可以对信号进行详细的频谱分析和处理。
傅里叶级数的应用不仅局限于信号与系统领域，还广泛应用于其他领域，如图像处理、音频处理和视频处理等。
傅里叶级数定理
傅里叶级数定理傅里叶级数定理是数学中的一项重要定理，它是法国数学家傅里叶在18世纪提出的。
傅里叶级数定理的中心思想是任意一个周期函数都可以表示成一系列三角函数的和，这些三角函数的频率是原周期函数的基本频率的整数倍。
这个定理在数学、物理和工程等学科中都有非常广泛的应用。
傅里叶级数定理的表述可以用以下方式来说明：设f(x)是一个周期为T的函数，那么f(x)可以展开成各个频率的三角函数幅度和相位逐渐递减的级数表达式。
这个级数中的三角函数是正弦函数和余弦函数，其频率为基频的整数倍。
傅里叶级数表达式如下：f(x) = A0 + Σ[An*cos(nωt) + Bn*sin(nωt)]在这个公式中，A0是基频分量的直流分量，An和Bn分别是基频分量的余弦和正弦分量。
ω是基频角频率，n是频率的整数倍。
这个定理是非常重要的，因为它告诉我们任意周期函数都可以用无穷多个正弦和余弦函数来逼近。
这个逼近的程度可以通过级数中各个分量的幅度来控制。
如果级数中的幅度越大，那么逼近的程度就越高，而如果幅度趋近于零，那么函数的表示也就趋近于原函数。
傅里叶级数定理的应用非常广泛。
在数学领域，它可以用于解决各种泛函方程，比如热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程等。
通过傅里叶级数的展开，我们可以将这些复杂的方程转化为简单的三角函数的运算。
在物理学中，傅里叶级数定理是研究振动和波动现象的重要工具。
通过将物理量表示为傅里叶级数，我们可以更好地理解光、声音等波动的性质。
在工程学中，傅里叶级数定理被广泛应用于信号处理和通信系统。
通过将信号进行频域变换，我们可以分析信号的频率成分，进而提取有用的信息。
傅里叶级数定理还有一项重要的推广，即傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个非周期函数表示成一系列连续频谱的方法。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，进而分析信号的频率特性。
傅里叶变换在数字信号处理、图像处理和音频处理等领域有着广泛的应用。
总结起来，傅里叶级数定理是数学中的一个重要定理，它告诉我们任意周期函数都可以表示成一系列三角函数的和。
《傅里叶级数 》课件
信号处理：用于 分析信号的频率 成分，如音频、 视频信号等
工程领域：用于 分析机械振动、 电磁场等物理现 象
数学物理：用于 求解偏微分方程、 热传导等问题
计算机科学：用 于图像处理、数 据压缩等领域
03 傅里叶级数的基本原理
三角函数的定义与性质
三角函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割 定义：以直角三角形的边长和角度为基础定义的函数 性质：周期性、奇偶性、对称性、单调性 应用：傅里叶级数、信号处理、工程计算等
傅里叶级数的历史背景
傅里叶级数是 由法国数学家 傅里叶在1807
年提出的
傅里叶级数是 傅里叶分析的 基础，是研究 信号处理、图 像处理等领域
的重要工具
傅里叶级数在 数学、物理、 工程等领域有 着广泛的应用
傅里叶级数在 信号处理、图 像处理等领域 的应用，推动 了这些领域的
发展
傅里叶级数的应用领域
06
傅里叶级数的扩展与展 望
傅里叶变换的推广与应用
傅里叶变换在信号 处理中的应用
傅里叶变换在图像 处理中的应用
傅里叶变换在语音 识别中的应用
傅里叶变换在金融 分析中的应用
傅里叶分析在其他数学领域的应用
信号处理：傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用，如滤波、频谱分析等。 数值分析：傅里叶级数在数值分析中用于求解微分方程、积分等。 概率论与统计学：傅里叶变换在概率论与统计学中用于分析随机信号、随机过程等。 量子力学：傅里叶变换在量子力学中用于描述量子态的演化和测量。
傅里叶级数的收敛性：傅里叶级数在满足一定条件下是收敛的 收敛条件：傅里叶级数的收敛性取决于其系数的绝对值之和是否收敛 证明方法：可以通过积分法、极限法等方法进行证明 收敛速度：傅里叶级数的收敛速度可以通过其系数的绝对值之和的收敛速度来衡量
傅里叶发现 傅里叶级数的故事
傅里叶发现傅里叶级数的故事傅里叶发现傅里叶级数的故事1. 引言在数学和物理学领域中，傅里叶级数一直以其独特的特性和广泛的应用而备受瞩目。
然而，很少有人知道傅里叶级数的发现背后隐藏着一段充满曲折和奇迹的故事。
今天，让我们一起来探寻这个引人入胜的故事，了解傅里叶是如何发现傅里叶级数的。
2. 傅里叶的早年生活傅里叶，全名约瑟夫·傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768年3月21日-1830年5月16日），是法国数学家和物理学家。
他出生于法国的一个贫困家庭，从小就展现出对数学和科学的浓厚兴趣。
傅里叶在学习数学和物理方面表现出色，最终获得了法国最高学府的教育机会，打下了坚实的数学基础。
3. 傅里叶的探索之路傅里叶在青年时期就展现出了非凡的数学天赋，他对数学问题的探索充满了求知欲和执着。
在法国大革命期间，傅里叶因为其出身的底层社会地位遭受了不公正的待遇，被迫流亡至伦敦。
然而，正是在这段流亡生活中，傅里叶开始了对数学问题更加深入的思考和探索。
4. 傅里叶级数的发现在伦敦的流亡生活中，傅里叶开始了对热传导问题的研究。
他通过对热传导方程的分析和求解，提出了傅里叶级数的概念。
傅里叶级数是指任意周期函数都可以用一组正弦和余弦函数的无穷级数来表示，这种表示方法在分析和解决周期性问题时具有重要意义。
傅里叶级数的发现，不仅为热传导问题的研究提供了重要的数学工具，也深刻影响了数学和物理学的发展。
5. 傅里叶级数的应用傅里叶级数不仅在数学理论中具有重要意义，还广泛应用于实际问题的求解中。
在工程、物理学、信号处理等领域，傅里叶级数都发挥着不可替代的作用。
通过对周期函数进行傅里叶级数展开，我们可以分析和理解周期现象的规律，进而解决各种实际问题。
6. 总结与回顾通过对傅里叶级数的发现和应用的探索，我们不仅理解了傅里叶数学思想的伟大，也感受到了科学探索的魅力和奇妙。
傅里叶级数的发现，不仅是数学史上的重要事件，也是人类对于自然规律探索的一个典范。
6.第二章 傅里叶级数
- 3 -第二章 傅里叶级数傅里叶级数是一类由三角函数列产生的三角级数，在数学与工程技术中有着广泛的应用．三角级数是分析学中一个重要的分支．在数学发展史上，法国数学家傅里叶在著作《热的解析理论》中，第一次系统地运用三角级数和三角积分来处理热传导问题．此后，众多数学家，如狄利克雷、黎曼、利普希茨等都曾从事于这一领域的研究，弥补了傅里叶工作的不足，极大地发展了傅里叶级数理论，扩大了其应用范围．使这一理论成为研究周期现象不可缺少的工具．2.1 傅里叶级数（三角函数)函数列1co s sin co s 2sin 2co s sin x x x x n x n x ，，，，，，，称为三角函数系．由于欧拉公式c o s sin ixe x i x=+，所以我们也称函数列{}(01)ikx e k=± ，，为三角函数系．三角函数系1co s sinco s 2sin 2co s sin x x x x n x n x ，，，，，，，具有以下特性：（1）周期性：三角函数系中所有函数具有共同的周期2π． （2） 正交性：三角函数系中各函数在长度为2π的任意区间[,2]I a a π=+上组成正交函数系，即222s in s in 0()c o s c o s 0()c o s s in 0a a a a a am x n xd x m n m x n xd x m n m x n xd x πππ+++=≠=≠=⎰⎰⎰，，．（3）三角函数系中任何一个函数的平方在[,2]a a π+上的积分都不等于零，即222222c o s s in 12a a aaa an xd x n xd x d x πππππ+++===⎰⎰⎰，．- 4 -（4）完全性：若存在定义在[,2]a a π+以2π为周期的可积函数()f x ,它在[,2]a a π+上与三角函数系的每一个函数正交，则()0..f x a e =，对三角函数系{}(0,1,)ikx e k=± 同样具有上述特性：（1）周期性：三角函数系中所有函数具有共同的周期2π． （2） 正交性：三角函数系中各函数在长度为2π的任意区间[,2]I a a π=+上组成正交函数系，即20()a im xin xaeed x m n π+=≠⎰，．（3）三角函数系中任何一个函数的平方在[,2]a a π+上的积分都不等于零，即20a im xim xaeed x π+=⎰．（4）完全性：若存在定义在[,2]a a π+以2π为周期的可积函数()f x ,它在[,2]a a π+上与三角函数系的每一个函数正交，则()0..f x a e =，我们称级数01(c o s s i n )2k k k a a k x b x ∞=++∑为实型傅里叶（三角）级数，其中0a ，k a ，k b ，(12)k = ，，是实数列，称为实型傅里叶（三角）级数的系数．我们称级数ik xk k c e∞=-∞∑为复型傅里叶（三角）级数，其中(01)k c k=± ，，，是复数列，称为复型傅里叶（三角）级数的系数．应用三角函数系的正交性，我们讨论傅里叶级数的和函数()f x 与级数的系数0n na ab ，，之间的关系．在整个数轴上01()(c o s s in )2k k k a f x a k x b x ∞==++∑，且等式右边级数一致收敛，得- 5 -1()c o s 0121()s in 12n n a f x n xd x n b f x n xd x n ππππππ--====⎰⎰，，，，，，，，．下面讨论周期为2l 的函数()f x 的傅里叶级数的和函数()f x 与级数的系数0n na ab ，，之间的关系.在整个数轴上01()(c o s s in )2k k k a f x a k x b x ∞==++∑，且等式右边级数一致收敛，得1()c o s0121()s in12ln l ln ln x a f x d x n l l n x b f x d x n llππ--====⎰⎰，，，，，，，，．2.2 傅里叶级数的收敛性2.2.1 Dirichlet 积分Dirichlet 积分，是研究傅里叶级数散敛性的重要工具． Dirichlet 积分:当0θ≠时，由三角函数的积化和差公式，有121s in12c o s 22s in2mn m n θθθ=++=∑，且1()c o s 0121()s in 12n n a f x n xd x n b f x n xd x n ππππππ--====⎰⎰，，，，，，，，．可得傅里叶级数的部分和为：- 6 -()()01111()(c o s s in )211()()c o s c o s ()s in s in 211()(c o s c o s s in s in )221s in (1112()c o s ()()2mm n n n mn mn mn a S x a n x b n x f t d t f t n td t n x f t n td t n xf t n t n x n t n x m t f t n t x f t πππππππππππππππ=---=-=-==++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦+⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰⎰∑⎰∑⎰)2s in22121s ins in1122()()()2s in2s in22xxx d tt x m m u u u t x f x u d u f x u d u u u ππππππππ-------++=-=+=+⎰⎰⎰设．通过上述方法就可以把部分和转化成积分形式，这个积分为Dirichlet 积分．一般的，将积分区间[,]ππ-分为[0,]π-和[,0]π-两部分，稍作变化，就可得到Dirichlet 积分的惯用形式[]21s in12()()()2s in2m m uS x f x u f x u d u u ππ+=++-⎰．如何使用Dirichlet 积分判断傅里叶级数的收敛性？一般的，已知下列等式121sin2212c o s 122sin2mn m u d u n u d u u ππππ=+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑⎰⎰，则对于任意给定的函数()x ρ，有[]21s in12()()()()2()2s in2m m uS x x f x u f x u x d u u πρρπ+-=++--⎰．可以记 (,)()()2(u x f x u f x u xρψρ=++--，- 7 -则()f x 的傅里叶级数是否收敛于某个()x ρ就等价于极限21s in2lim(,)2s in2m m u u x d uu πρψ→∞+⎰是否存在且等于零．因此，Dirichlet 积分，是研究傅里叶级数散敛性的重要工具．2.2.2 局部性原理局部性原理：可积或绝对可积函数()f x 的傅里叶级数在x 点是否收敛只与()f x 在(),x x δδ-+的性质有关，这里δ是任意小的正常数．由黎曼—勒贝格定理，可推得以下定理： 设函数()u ψ在[]0,δ可积且绝对可积，则成立2121s ins in22lim()lim()2s in2m m m m uuu d u u d u u uδδψψ→∞→∞++=⎰⎰．证明：令1102s in()200u u ug u u ⎧->⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 易验证()g u 是[]0,δ上的连续函数，由黎曼引理，当m→∞时，有()()01111s in ()s in 0222s in 2u m u d u u g u mu d u u u δδψψ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫-+=+→⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰．显然这里的δ可以取大于0的任意常数．2.2.3 傅里叶级数收敛性的证明以上推论进一步告诉我们，如果能找到适当的()x ρ，使得对于充分小的定数0δ>，有- 8 -(,)21lims in02m u x m u d u uδρψ→∞+⋅=⎰，则()f x 的傅里叶级数必定收敛于这个()x ρ，显然，对[],x ππ∈-，只要存在个δ>，使得()()()(,)2u x fx u fx u x uuρψρ++--=在(0,)δ可积且绝对可积，就可以由黎曼引理导出上面的结果．现假设()f x 在[],x ππ∈-至多只有第一类不连续点，而上述积分存在与否涉及(,)u x uρψ当0u→时的性质，要满足上述条件首先必有()()()0lim 20u f x u fx u x ρ→++--=⎡⎤⎣⎦或者()()()002fx fx x ρ++-=．于是问题最终转化为研究使得()()()()000s in lim22p fx fx p u f x u fx u d u uδ→+∞++-⎡⎤++--=⎢⎥⎣⎦⎰成立的条件，这是探索傅里叶级数收敛性的一把钥匙．所以，我们可以得到傅里叶级数收敛的条件： 设函数()f x 在[],ππ-可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则()f x 的傅里叶级数在x 收敛于(0)(0)2f x f x +++．（1）（Dirichlet-Jordan 判别法）()fx 在某个区间[],(0)x x δδδ-+>上是分段单调函数或若干个分段单调函数之和．- 9 -（2）（Dini-Lipschitz 判别法）()f x 在点x 处满足下述的指数为(0,1]α∈的H o ld er 条件． H o ld er条件：设函数()f x 在x 点连续或第一类间断，若对于充分小的正数δ，存在常数0L >和(0,1]α∈，使得成立()(0)(0)f x u f x L uu αδ±-±<<<，． 则称()f x 在x 点满足H o ld er 条件（当1α=称为Lipschitz 条件）．以上判断函数的傅里叶级数收敛的充分条件分别由德国数学家Dirichlet 和Lipschitz 得到，他们的结果经后人改善总结，表示成以上定理．2.3 傅里叶级数的性质2.3.1 傅里叶级数的逐项积分定理设()f x 在[],ππ-上可积或绝对可积，01()(c o s s in )2n n n a f x a n x b n x ∞=++∑，则()f x 的傅里叶级数可以逐项积分，即对于任意c ,[],x ππ∈-，01()(c o s s in )2xxx n n c ccn a f t d t d t a n x b n x d t ∞==++∑⎰⎰⎰．2.3.2 傅里叶级数的逐项微分定理()f x 在[],ππ-上连续，01()(c o s s in )2n n n a f x a n x b n x ∞=++∑，()()f f ππ-=，且除了有限个点外()f x 可导．假设'()f x 在[],ππ-上可积或绝对可积（'()f x 在有限个点可能无定义，并不影响可积性），则'()f x 的傅里叶级数可由()f x 的傅里叶级数逐项微分得到，即- 10 -'011()()(c o s s in )2(s in c o s )n n n n n n a d d f x a n x b n x d xd xa n n xb n n x ∞=∞=++=-+∑∑．2.3.3 傅里叶级数的平方逼近性质最佳平方逼近元素：设S 是一个定义了内积运算(),的线性空间，取S 中的范数为=T是S 的一个n 维子空间，记T 的一组正交基为12,,,n ϕϕϕ ，即{}12sp an ,,,n T ϕϕϕ= ．若对于x S∈，有1122Tn n x c c c Tϕϕϕ=+++∈ ，使得m in Ty Tx x x y∈-=-，则称T x 是x 在T 中的最佳平方逼近元素．傅里叶级数的平方逼近性质为： 设T 为n 阶三角多项式01(c o s s in )2nk k k A A k x B k x =++∑的全体，()f x 在[],ππ-上可积或平方可积，则()f x 在T 中的最佳平方逼近元素恰为()f x 的傅里叶级数的部分和函数01(c o s s in )2nn k k k a S a k x b k x ==++∑，逼近的余项为2222211()()2nnk k k a f S f x d x a b πππ-=⎡⎤-=-++⎢⎥⎣⎦∑⎰． 2.3.4 傅里叶级数的平方收敛性质平方收敛：若函数序列{}()n x ψ满足- 11 -2lim()()0n n f x x ψ→∞-=．这里()f x 是某固定的函数，则称{}()n x ψ按范数平方收敛于()f x ，简称()nx ψ平方收敛于()f x ．傅里叶级数的平方收敛性质为： 设()f x 在[],ππ-上可积或平方可积，则()f x 的傅里叶级数的部分和函数序列平方收敛于()f x ．2.4 傅里叶级数的应用2.4.1 贝塞耳（Bessel ）不等式若函数()f x 在[],ππ-上可积，则2222011()()2n n n a fx d x a b πππ∞-=≥++∑⎰．其中0(12)n n a a b n = ，，，，，为()f x 的傅里叶系数．2.4.2 帕塞瓦尔（Parseval ）等式若函数()f x 在[],ππ-上可积，且()f x 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于()f x ，则2222011()()2n n n a fx d x a b πππ∞-==++∑⎰．其中0(12)n n a a b n = ，，，，，为()f x 的傅里叶系数．2.4.3 帕塞瓦尔（Parseval ）等式的推广若函数()f x ，()g x 在[],ππ-上可积，且()f x ，()g x 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于()f x ，则0011()()()2n n n n n a f x g x d x a b ππααβπ∞-==++∑⎰．其中0(12)n n a a b n = ，，，，，为()f x 的傅里叶系数；- 12 -0(12)n n n ααβ= ，，，，，为()g x 的傅里叶系数．2.4.4 黎曼—勒贝格定理若为()f x 可积函数，则lim()c o s 0lim ()sin 0ba pb ap x p xd x x p xd x ψψ→∞→∞⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰．2.4.5 Wirtinger 不等式对任意有界区域[],a b ，若函数[]1,f Ca b ∈，且满足()()0f a f b ==，则有Wirtinger 不等式()222'2bbaab a fd x fd xπ-≤⎰⎰成立，式中的常数()22b a π-不能改进．。
高等数学第15章第1节傅里叶级数
第十五章 傅里叶级数§1 傅里叶级数傅里叶是法国最伟大的科学家之一．他对数学、科学以及我们当代生活的影响是不可估量的。
然而，他并不是一位职业数学家或科学家，他所做的巨大贡献都是忙里偷闲完成的。
傅里叶于１７６８年生于法国，幼年父母就去世了。
１３岁时他开始对数学十分着迷，常常一个人爬进教室，点着蜡烛研究数学问题到深夜。
后来，法国革命暴发，傅立叶于１７９３年参加了革命委员会，１７９５年先后两次被捕。
法国革命结束后，傅立叶到巴黎教书，之后随拿破仑到埃及并成为埃及研究院的长久负责人，在那里他写了一本关于埃及的书。
直到今天，仍然有人认为他是一位埃及学家，并不知道他对数学和物理学的重大贡献。
１８０２年，傅立叶回到法国，拿破仑任命他为巴黎警察局长长达１４年之久，他作为行政官员，工作十分出色，在政界享有崇高威望。
１８１７年，傅立叶被送入法国科学院，从此步入较为正规的学术研究阶段。
多年的政治生涯及颠簸不定的生活，并没有使傅里叶放弃研究数学的强烈兴趣。
事实上，早在１８０７年他就研究了现在称之为傅里叶分析的核心内容。
目前，傅里叶的思想和方法被广泛用于线性规划、大地测量以及电话、收音机、Ｘ射线等难以计数的科学仪器中，是基础科学和应用科学研究开发的系统平台。
所以，有的科学家称赞傅里叶分析是一首伟大的数学史诗。
傅里叶分析的贡献在于两点：（１）他用数学语言提出任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和余弦函数之和，这一无限和，现称之为傅里叶级数。
也就是说，任何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光滑曲线之和。
这种表达方式实际上是将信号函数投影在由正弦函数和余弦函数组成的正交基上，实施对信号的傅里叶变换。
（２）他解释了为什么这一数学论断是有用的。
１８０７年，傅立叶显示任何周期函数是由正弦和余弦函数叠加而成。
傅里叶分析从本质上改变了数学家对函数的看法，提供了某些微分方程的直接求解方法，为计算机和ＣＤ等数字技术的实现铺平了道路。
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把函数表示成幂级数是最自然不过的事，但是，能用幂级数表示的函数并不多，因
为要想用幂级数表示，起码这函数得无穷次连续可微，而且即使无穷次可微也不一定就 行。这傅里样叶，的要 科 想用无穷级数表示一般的连续函数，就得另觅他途，我们所熟悉的比多项
式稍复杂的函数就是三角函数。三角函数图像清楚，有表可查，当然是最有力的候补者。
学位论文原创性声明
本人所提交的学位论文《傅里叶级数的起源和发展》，是在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中标明。
本声明的法律后果由本人承担。
指霹嚣ｐ二篇：即畴≥ 论文作者（签名）：前嘲Ｐ
１８３０ ｔ０ ｔｈｅ ｅＩｌｄ ｏｆｔｈｅ １９ｔｈ ｃｅｌｌｔｕ哆ＩＩｌ Ｐａｎ ｏｎｅ ｏｎ ｍｅ ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ ｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ ｓ耐ｅｓ ｉＩｌ
ｔｈｅ １ ８ｔｌｌ ｃｅｌｌｔｕｌＭ Ｉ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔ１１ｅ Ｋｓｔｏｒｉｃａｌ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｉｔ ｃｏｍｅｓ ｆＩｏｎｌｌ．ＩＩｌ Ｐ眦ｔ、）Ｉ，ｏ ｏｎ ｍｅ １ｉｆｅ ｏｆ Ｆｏ嘶ｅｒ ａｎｄ ｍｅ ｂｉｒｔｈ ｏｆｈｉｓ ｔｈｅｏⅨＩ ｐｒｅｓｅｎｔ １１ｉｓ ｗｏｒｋ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｌｙ ａｎｄ ｔｈｏｒｏｕ曲１ｙ．
傅里叶讨论热问题所用的方法是真正的先驱，因为他运用了尚未真正建立的概念。 当别人还在讨论连续函数时，他已在研究不连续函数；当积分还处于简单地作为反导数 时，他已用积分作为面积；在收敛定义之前，他已谈到函数级数的收敛。在１８１１年他 获奖论文结尾时，他甚至积分一个在一点取值为∞而其它点均为０的“函数”。这种方 法在向电磁学、音响学、空气动力学等其它学科中证明是富有成果的。傅里叶的研究在 应用上的成功，使得有必要修改函数的定义，引入收敛的定义，重新检查积分的概念以 及一致连续与一致收敛的概念，它也诱导集合论的发现，它也是引导测度论思想的背景 并包含广义函数论的萌芽。本文第三部分在详尽占有材料的基础上，系统介绍了傅里叶 以后各位数学家如狄利克雷（Ｐｅｔｅｒ ＧｕｓｔａＶ Ｌｅｊｅｕｎｅ．Ｄｉｒｉｃｌｌｌｅｔ，１８０５—１８５９）、黎曼、勒贝格 （Ｈｅｎｒｉ Ｌ６０ｎ Ｌｅｂｅｓｇｕｅ，１８７５—１９４１）、康托尔（Ｇｅｏ唱Ｆｅｒｄｉｎａｎｄ Ｌｕｄｗｉｇ Ｐｈｉｌｉｐｐ Ｃａｎｔｏｒ，１８４５— １９１８）等的工作，分析了他们如何以傅里叶级数为基础，推动了１９世纪数学分析的进展， 甚至开创出作为数学基础的集合论。
ｚｚ＋＋一 ！ｚｚ２‘ ＋！＋ｚ一３ｚ＋３…＋… ：＝ｏ０
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然后他求这个方程的根。他从方程
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ｍａｍｅｍａｔｉｃｓ ｏｆ ｍｅ １ ９廿１ ｃｅｌｌｔｌⅡｙ，Ｉ ｈｏｐｅ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｕｓｅｍｌｔｏ ｍｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｓｅｒｉｅｓ．
本文围绕傅里叶级数的起源和发展这个中心，以三角级数进入数学前后思想变化为 线索，系统分析了傅里叶级数理论形成的历史背景，通过对主要人物以及他们的相关工 作的总结，概括了傅里叶级数理论的形成以及其对１９世纪整个数学的推动，以期为傅 里叶级数研究提供借鉴意义。
在具体内容上，本文主要由三部分构成。年代划分为１８世纪中叶至末期，１９世纪 初至１８３０年，１８３０年至１９世纪末。第一部分是１８世纪三角级数的探索，介绍了三角 级数产生的历史背景。第二部分是傅里叶和傅里叶级数的诞生，系统而全面地介绍了傅 里叶的工作。第三部分是傅里叶级数对整个数学的冲击，着重介绍了傅里叶的工作对数 学中（１）收敛与一致收敛；（２）函数的概念；（３）积分；（４）集合论等四方面的推动和发展。 关键词： 傅里叶三角级数热运动收敛 函数集合论积分
Ｔｈｅｏ巧ｏｆＦｏ嘣ｅｒ’ｓ Ｓ耐ｅｓ ａｎｄ Ｉｎｔｅｇｒａｌｓ》（“ｒｄ ｅｄｉｔｉｏｎ）一开始给出了傅里叶级数的起源和 发展的一个概要。本文在花费大量精力认真研读傅里叶原著的基础上，切实地概观了他 的研究成果，以及他表述和处理问题的风格，深入而细致地剖析了傅里叶在写作这本书
时如何产生出富于创造性的数学思想，并如何为以后诸多数学家的工作提供思想基础。 从而使我们对“傅里叶级数对１９世纪数学的进展所产生的巨大影响＂有一个更加清晰 地认识。
１８世纪的弦振动问题引起了历史上“一个任意的函数能否被表示为三角级数”的著名的
争论，其中主要涉及到以下几位数学家：丹尼尔·伯努利（Ｄａｎｉｅｌ Ｂｅｍｏｕｌｌｉ，１７００．１７８２）、
欧拉（ＬｅｏＩｌｌｌａｒｄ Ｅｕｌｅｒ，１７０７．１７８３）、达朗贝尔（Ｄ’Ａ１ｅＩｎｂｅｎ ＪｅａＩｌ Ｌｅ Ｒｏｎｄ，１７１７．１７８３）、拉格
ｅｑｕａｔｉｏＩｌｓ，ｔｈｅ ｍｅｏ巧ｏｆ
Ｆｏｕｒｉｅｒ’ｓ ｔｒｉｇｏｎｏｍ嘶ｃ ｓ甜ｅｓ ａｒｏｓｅ，ａｎｄⅡｌｅｌｌ ｉｔ ｂｒｏｕ曲ｔ ｄｅ印ｉｎｎｕｅｌｌｃｅ ｏｎ ｍｅ、地ｏｌｅ
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论文作者（签名）：研识Ｐ
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引言
容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶的名字命名。这些作为第二章 方式思考数学，另一方面他所留下的问题又对１９世纪数学的发展产生了巨
和理论物理学的发展都产生了巨大的影响。在书中，一方面，傅里叶按照１８ 理论》是傅里叶数学和物理贡献的代表作，被认为是数学的经典文献之 ２年出版《热的解析理论》Ⅲ，才将论文的第一部分编入其中。 运动理论》，但被当时科学院的审查委员会质疑不严密，而未能及时发表。
ｃｏｎＶｅｒｇｅ ｕ１１ｉｆｏｎｎｌｙ （２）ｍｅ ｃｏｎｃ印ｔ ｏｆ ｍｎｃｔｉｏｎ （３）ｉｎｔｅ伊ａｌ （４）ｓｅｔ ｔｈｅｏ哆
ｌ（ｅｙ ｗｏｒｄｓ： Ｆｏ嘶ｅｒ ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｄｃ ｓｅｒｉｅｓ ｍｏＶｅｍｅｎｔ ｏｆ ｈｅａｔ
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１血＇ｅｒ ｄｉｅ Ｄａｒｓｔｅ．１ｌｂ破ｅｉｔ ｅｉｎｅｒ Ｆｕｎｋｔｉｏｎ ｄｕｒｃｈ
天文理论研究。三角级数的插值问题可以确定行星在介于观测到的位置之间的位置。 １７５３年，欧拉发表了他在１７２９年发现的方法。他的问题的已知条件是：对每一个玎， 厂（以）＝ｌ，而要求一个周期解，对于整数工，它的值为１．他的推理很有趣，因为它反映
河北师范大学 硕士学位论文 傅里叶级数的起源和发展 姓名：武娜 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：邓明立
20080320
摘要
１８世纪的数学家广泛研究了三角级数，傅里叶的三角级数理论是从研究偏微分方程 起步的。傅里叶级数理论一经形成就对整个数学产生了深刻的影响，对１９世纪数学的 发展产生了巨大的推动作用。
是本篇论文
Ｂｅｍｈａｒｄ ｍｅｍ黜，１８２６．１８６６）在他的就职论文“论函数通过三角级数的可表示性＂。中，
对傅里叶级数的历史作了回顾，Ｊ．Ｈ耐ｖｅｌ的《Ｊｏｓｅｐｈ Ｆｏ耐ｅ卜砒ｅ Ｍ雏ａｎｄ ｍｅ ＰｈｙｓｉｃｉＳｔ》
按照时间顺序介绍了傅里叶的生平及其在各个领域的工作，Ｂｕ曲ａｒｄｔ在１９１４年发表的 一篇长论文中系统研究了三角级数的历史乜１，Ｈ．Ｓ．Ｃ躺ｌａｗ在他的《ＩＩ咖ｄｕｃｔｉｏｎ ｔ０ Ｔｈｅ
本文共分三部分。年代划分为１８世纪中叶至末期，１９世纪初至１８３０年，１８３０年 至１９世纪末。第一部分是１８世纪三角级数的探索，介绍了三角级数产生的历史背景。 第二部分是傅里叶和傅里叶级数的诞生，系统而全面地介绍了傅里叶的工作。第三部分 是傅里叶级数对整个数学的冲击，着重介绍了傅里叶的工作对数学中（１）收敛与一致 收敛：（２）函数的概念：（３）积分：（４）集合论等四方面的推动和发展。
出那个时期的分析学。他令厂（ｚ）＝ｙ，用Ｔａｙｌｏｒ定理写出
厂（工＋１）＝ｙ＋ｙ’＋三ｙ。＋丢Ｊ，＿＋…
（１．１）
由于／＠＋１）等于厂（ｘ），ｙ必须满足无穷阶的线性微分方程
Байду номын сангаас
夕’＋三ｙ。＋吉ｙ＿＋…＝ｏ
这时，他运用他在１７４３年发表的解有限阶线性常微分方程的方法１。这就是，他建立辅