斯托克斯方程

ur
1
p 2ur
r f
t
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3
斯托克斯近似
r u
U ur *
局部惯性力 粘性力
t2ur
t0
U
L2
t* *2ur *
L2 ＝Ns
t0
斯托克斯数
L2 ＝Ns
t0
Ns L2 = L LU =St Re
t0 Ut0
r u
1
p 2ur
r f
t
斯特鲁哈利（Strouhal）数
N-S方程
ur
ur
r u
1
p 2ur
r f
t
引入非定常特征时间 t0，特征长度L，特征速度U
对流惯性力
粘性力
ur ur
2ur
U 2 ur * * ur * L
U
L2
*2ur *
UL
Re
雷诺数
当雷诺数很小(Re → 0) 时，流体的对流惯性力远远小于粘
性力， N－S 方程中的非线性对流惯性项可略去
(, ) (, )
f ()g( ) 1 Ur2 sin2
2
边界由条件
(r, ) f (r) sin2
r a, ur u 0 r a, f f 0
ur
r2
1
sin
u
1
r sin
r
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函数f(y)方程
E2
2 r 2
sin
r2
1
忽略质量力
0 1 p 2ur
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斯托克斯方程与斯托克斯流动
简化后运动方程 连续方程
2ur 1 p
ur 0
斯托克斯方程
斯托克斯流动 满足斯托克斯方程和连续方程的流动 斯托克斯方程近似程度 单粒子在无界流体定常流动 Re < 0.1 悬浮液、单粒子在其他边界附近流动 Re > 1
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斯托克斯方程的各种表达型式
对斯托克斯方程两侧取散度
2 p 0 压强是调和函数 满足拉普拉斯方程
2ur 1 p
ur 0
对斯托克斯方程两侧 2运算
22ur 0
速度矢量是双调和函数
对斯托克斯方程两侧取旋度，注意到 p 0
r 2 0
涡量是调和函数
St L/(Ut0 )
表示宏观流动特征时间L/U 与非定 常特征时间(如振动周期）之比
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Ns 0
4
斯托克斯近似
Ns St Re
若流动的 St 不太大
Re → 0
ur
1
p
2ur
r f
t
Ns → 0
忽略N－S方程左侧的局部惯性力项，流动化为准定 常问题
sin
E2
2
r
2
sin r2
1 sin
f sin2
sin
2
d2 dr
f
2
2 r
f
2
sin
2
d2 dr 2
2 r2
f
E 2 E 2
E
2
sin
2
d2 dr
f
2
2 r
f
2
=
sin
2
d2 dr 2
2 r2
d2 dr 2
2 r2
f
E 2 E 2
运动学方程及边界条件中无流体的物性参数密
度和粘性
流场的运动学变 量，如速度、涡量、流线和涡线等与流体的
粘 性和密度无关。
在斯托克斯方程中只出现粘性而没有密度，
动力学变量，如压强、应力和物体所受合力等都只与粘性系数 有关而与密度无关。
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8.2 绕圆球的缓慢流动
第 八 章 小雷诺数流动
背景 石油化工、环境工程、水力工程、采矿、生物工程、气象等领域
微小粒子、液滴或气泡在粘性流体中的缓慢流动
粘性流体在微小尺寸通道内的缓慢流动，如地 下 水的流动，石油，页岩气在岩层中的流动
粘性薄液膜的流动，如滑动轴承中的润滑油膜的 流动等
小雷。诺数流动
雷诺数小，惯性力与粘性力相比可以 忽略不计，或只占次要地位
问题描述
球形颗粒、液滴在气体中，颗粒、 小气泡在液体中相对运动
半径为a的刚性微小圆球以速度U 在无界 静止的不可压粘性流体中运动
U
a
x
o
雷诺数 Re 2aU = 1 ，属于斯托克斯问题，采用斯托克斯 方程求解
坐标系建立
选取固连圆球相对坐标系，原点取在球心，x 轴与U方向 相反，转化为定常流动问题，且流动为轴对称流动
,
压强与流函数 关系
P
r
r2 sin
E 2
球坐标系上述关系式证明见例1（228-230）
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u
1
r sin
r
P E2
sin r
8
求解方法及解的特点
斯托克斯流动的速度场、压强场，涡量场可以 单独求解
运动学问题与动力学问题相互独立。可先求流函数或速度场， 确定压强场
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控制方程与边界条件
球坐标系下 斯托克斯方程
u 0
=0
2ur 1 p
边界条件
r , ur U cos , u U sin r a, ur u 0
速度与压强耦合在一起，需联立求解连续方程和斯托克斯方程.
（分离变量法求解见吴望一编著《流体力学》北京大学出版社）
流函数方程
E2E2 0
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流函数方程求解
E2E2 0
分离变量法
f (r)g( )
参考第五章理想流体绕圆球流动的流函数 表达式
1 U (r2 a3 ) sin2
2
r
P153 式5.23a
r 来自百度文库
1 Ur2 sin2
2
无穷远处粘性流体流动与理想流体流动的流函数相同
0
d2 2 d2 2
dr
2
r2
dr
2
r2
f
0
四阶欧拉方程
令 f rn
d2 dr 2
2 r2
r
n
n n 1 rn2
2rn2
n n
1
2 r n2
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函数f(y)方程的解
d2 dr 2
2 r2
d2 dr 2
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本章内容
介绍小雷诺数流动的近似解
8.1 斯托克斯近似 8.2 绕圆球的缓慢流动 8.3 奥辛近似 8.4 滑动轴承内润滑油的流动 8.5 通过多孔介质的缓慢流动
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8.1 斯托克斯近似
斯托克斯方程与斯托克斯流动
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二维不可压缩流动流函数方程
二维平面流动
rr
k2
P92 式4-5b
平面直角坐标系
22 0
2
2 x2
2 y 2
2ur 1 p
r 2 0
球坐标系（轴对称） E2E2 0
E2
2 r 2
sin
r2
1
sin
球坐标系下速度 和流函数关系
ur
1
r2 sin