复合函数求导高阶导数

(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
思考:
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例4. 设
求
解:
y
cos x
sin(x
2
)
y
cos(
x
2
)
sin(x
2
2
)
sin(x
2
2
)
y
cos( x
2
2
)
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(
解 dy = 10(x2 - 1)9 (x2 - 1) dx
= 10(x2 - 1)9 2x
这一步可省略。
= 20x(x2 - 1)9
1
例9
求函数 y = e x
-
e
x
2
的导数。
1
y = (e x ) - (e x2 )
1
= ex(
-1 x2
) - 2xe x2
=
-1 x2
1
ex
- 2xe x2
所以 k = f (0) = 3 这样所求切线方程为
16
y - 1 = 3 (x - 0) 8 16
即 16y - 3x = 2
第三节 高阶导数
第二章
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度
即 v s
加速度
即
a (s)
x
n
2
)
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二、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数) n(n 1) 2!
n(n 1)(n k 1) k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
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例7.
求
解: 设 u e2x , v x2 , 则
u(k) 2k e2x ( k 1 , 2 ,, 20 )
1、引例 (1) 求 y = e2x 的导数
猜 已知 (e x，)则= e x (e2x ) = e2x ?
解 ： 因为e2x = e x e,x则 (e2x ) = (e x )e x + e x (e x )
= e x e x + e x e x = e2x + e2x = 2e2x 解1是错误的。y = e2x 是复合函数。
=2cosx (-sinx) = -sin2x 例7 求 y = sin(1 + x3 ) 的导数
解: y = cos(1 + x3 )(1 + x 3 )
= 3x2cos(1 + x3 )
例5. 设
求
解:
1 cos(e
x
)
(sin(ex )) ex
ex tan(ex )
思考: 若
存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
直接套用基本初等函数求导公式 求复合函数的导数是不行的。
2、法则
定理3.7 设 u = f(x)关于 x 可导，y = g(u) 关于 u 可 导，则由 u = f(x)，y = g(u)复合而成的 y = g(f(x)) 关 于 x 可导，且有
dy dx
=
dy du 或
du dx
yx
=
yu .ux
设
y eax, 求 y(n).
解: y aeax , y a2 eax , y a3eax , ,
y(n) aneax
特别有: (ex )(n) e x
例3. 设
求
y 1 1 x
y
1 (1 x)2
解:
y 1 , 1 x
y
1 (1 x)2
,
y
(1)2
1 (1
2 x)3
,
,
y(n)
链式法则
如：求 y = e2x 的导数， 令y = eu ,u = 2x ，
于是 yx = yu ux = (eu )u (2x)x
= eu 2 = 2e2x
例1 求 f(x) = sin5x 的导数
解：设 y = sinu,u = 5x f (x) = yx = yu ux = sinuu (5x)x
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定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导, 则称
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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例1. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
依次类推 , 可得
y(n) n!an
思考: 设 y x ( 为任意常数), 问
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例2.
所以 yx' = yu' ux' = eu sec2 x = etanx sec2 x
练习 2、求函数 y = lnsinx 的导数
解： y = lnu, u = sinxyx = yu 源自x = (lnu)u (sinx)x
= 1 cosx = 1 cosx = cotx
u
sinx
例4 求 g(x) = x2 + 1 的导数
解
2
g(x)
u= x +1
1 x2 + 1
g(x) = u 2 x 2 + 1
= 1 2x 2 x2 + 1
=x x2 + 1
通过这道题你有什么体会？
熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默 记在心，由外向内、由表及里逐层求导。
例6 求 y = cos2 x 的导数
解： y'=[(cosx)2]'=2cosx(cosx) '
练习 求下列函数的导数
1. 3 1 + x2
解
dy
=
1 (1 +
x2
2
)3
2x
dx 3
=
2
x(1 +
x2
2
)3
3
2. y = e2xsin3x
解： y = (e2x )sin3x + e2x (sin3x)
= 2e2x sin3x + 3e2xcos3x
例10 求曲线y = ( 2x + 1 )3 在点 (0, 1 ) 处的切线方程。
解：设 y = lnu 则 u = 1 - x2
因为
yu'
=
1 u
,ux'
=
-2x,
所以
yx'
=
yu'
ux'
=
1 u
(-2x)
-2x = 1- x2
=
2x x2 - 1
练习 1、求函数 y = etanx 的导数
解： 设 y = eu ,u = tanx
因为 yu' = eu ,ux' = sec 2 x
3x + 2
8
解 曲线在点 (0, 1 ) 处的切线斜率 k = f (0) ，且
8
因为
y
=
(
2x 3x
+ +
1 2
)3
=
(u3
) (
2x 3x
+ +
1 2
)
=
3u2
2(3x
+ 2) - 3(2x (3x + 2)2
+
1)
=
3(
2x + 1 3x + 2
)2
1 (3x +
2)2
=
3(2x + 1)2 (3x + 2)4
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
= cosu 5 = cos5x 5 = 5cos5x
例2 求函数 y = (3x + 2)5的导数
解：设 y = u5 则 u = 3x + 2,
因为 yu = 5u4 ,ux = 3, 所以 yx = yu ux = 5u4 3 = 5(3x + 2)4 3
= 15(3x + 2)4
例3 求函数 y = ln(1 - x2 )的导数
v 2x , v 2 ,
v(k) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
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作业
P103 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ;
课前复习
复合函数 y = sin(2x + 3) 可分解为 ?
令 u = (2x + 3) 则 y = sinu
所以复合函数 y = sin(2x + 3)可分解为：
y = sinu,u = (2x + 3)
一般的 y = f((x)) 可分解为
y = f(u),u = (x)
一、复合函数的求导法则
d f f ( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex )) dx
这两个记号含义不同
f (u) uln cos(ex )
练习: 设 y f ( f ( f (x))), 其中 f (x)可导, 求 y.
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例8 求 y = (x2 -的1导)10数。