动力学方程拉格朗日方程

现在我们 从达朗伯－拉格朗日方程出发，把各并不彼此 独立的坐标 ri 用各彼此独立的广义坐标 q ( 1,2,, s)
重新表述，从而导出适用于受理想约束的完整力学系所遵守的 动力学方程—拉格朗日方程。
设n个质点受k个约束，因是完整约束，体系的自由度数
应为 s＝3n－k。以广义坐标 ri 表出
则
ri
q1＝r，q2＝ 。与此两
广义坐标对应的广义力为 Q r 和Q 。求 Q r与Q , 用两种方法。
解 方法一：
y
Fy
j'
rP o
从定义式计算。
将定义式用于极坐标，因 粒子数 n＝1，则
Qr
F
r r
r
Q F
F
i'
Fx
x
又因 x＝ r cos，y＝r sin
则
x cos , y sin
mi
s
1
ri q
q
2
ri t
1 2
n i 1
mi
s
1
ri q
ri q
q q
n i 1
1
mi
s
1
ri q
ri t
q
1 2
n i 1
mi
ri t
2
1 s 2 1
n i 1
mi
ri q
ri
q
q
q
1
s
1
n i 1
s
1
令
n i 1
mi ri P Q
ri q
n
i 1
n
i 1
mFii riinq1riFqir（ i 广 qri
q
义力）
0
s
则
(P Q )q 0
1
因各 q 互相独立，所以 P＝Q
改写
n
P
i 1
mi ri
ri q
d dt
n i 1
mi
ri
P
Q
n
W1 (
Fi
r ) Q q i q2 q3 qs 0
11
i 1
n
Q1
W1 q1
(
i1
Fi
ri ) q2
q1
q3
qs 0
求任一广义力Q时
Q
W q
n
( F r ) i
i q 0， 1，2，，s,
i1
q
2、从定义式直接计算
Q
n i 1
Fi
ri q
[例3] 计算一自由质点取 平面极坐标的广义力。 设质点P受力，广义坐标
则
V q
0
令 L＝T－V ，则
L q
(T V q
)
T q
与
L (T V ) T V
q
q
q q
代入最顶上一式：
d dt
L q
L q
0,
1, 2,, s
L＝T－V 叫拉格朗日函数。一般 L 是广义坐标，广义速度 和时间的函数。
即 L L(q1, q2 ,, qs ; q1, q2 ,, qs ;t)
三、广义动量与广义力的计算
对于单个质点来说，动能对某速度分量的导数是对应的动量分量
T
x
x
1 2
m(
2 x
2 y
2 z
)
mx
与此类比，可以定义广义动量 p 为
T q
p
注意：广义动量可以是线动量，也可以是角动量等等，
视广义坐标的选择而定。 n 而广义力： Q i 1
Fi
ri q
其中a、a、a都仍是广义坐标q（＝1，2，…，s）及
函数，有时不显含t，但仍是t的隐函数，不然就不会出现
t的
q 了。
T
1 2
s
1
a q q
s
a q
1
1a 2
T2 T1 T0
1
对保守系的拉格朗日方程 两边乘 q ，再对 求和，得
s
1
d dt
T q
q
s T
1 q
q
s V
广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而 定。计算广义力的方法可以有两种：一种方法是从上定义式直 接计算，另一种方法是从主动力所作的虚功来计算。
1、从主动力所作的虚功来计算
W
n i 1
Fi
ri
sn
1 i1
Fi
ri q
s
q Q
1
q
如求Q1，令 q2＝ q3＝…＝ q s＝0，则
i 1
理想约束条件下：
n
Ri ri 0
i 1
则
n
(
mi ri
Fi
)
ri
0
i 1
这是达朗伯原理与虚功原理的结合 ，称为达朗伯——
拉格朗日方程，由 于存在约束，各 ri 并不彼此独立，因此 不能令上式中 ri 前面的所有乘式都等于零，否则就成为自由
质点的运动微分方程了。
二、基本形式的拉格朗日方程
分量式为
i
i xi
yi
j zi
k
Fix
V xi
,
Fiy
V yi
,
Fiz
V zi
,
i 1, 2,, n
现在把广义力与势能函数连系起来
Q
n i 1
Fi
ri q
n Fix i1
xi q
Fiy
yi q
Fiz
zi q
n
i 1
V xi
xi q
V yi
五、循环积分与能量积分
拉格朗日方程是 s 个二阶常微分方程组，我们希望也像牛顿 力学一样 ，若能首先对微分方程组积分一次 ，找出某些初积分 （ 或叫第一积分 ），使我们对某些问题的求解能简便些 。在某 些情况下，部分的第一积分容易得到。
1、循环积分
一般保守力学系的拉格朗日函数是全部广义坐标和 广义速度（广义动量）及时间 t 的函数，即
§1.3 拉格朗日方程
为了得到广义坐标表示的完整力学系的动力学方程–––– 拉格朗日方程，需要先导出达朗伯－拉格朗日方程。
一、达朗伯－拉格朗日方程
设受完整约束的力学体系有n个质点，体系中每一个质点都
服从如下形式的牛顿运动定律，设第i个质点受主动力，受约束
反力，则
miri
mi ri
miri
Fi Ri , i Fi Ri 0, i
在 j 方向的投影，第二项 是 Fy在 j 方向的投影。
所以两者之和就是 F 在 j
y
Fy
j'
rP o
方向的投影 F ，因此
F
i'
Fx
x
Q＝ r F（是力矩）
可见广义力的横向分量 Q 是力矩。
方法二：从主动力 所作的虚功来计算
x r sin cos r
y r cos sin r
L L(q1, q2 , , qs ; q1, q2 , , qs ; t)
若L中不显含某一广义坐标 q j ，则称 q j 为循环坐标 （也叫可遗坐标）。这时有
L 0 qj
代入拉格朗日方程
d dt
L q
L q
0,
1, 2,, s
则
d dt
L q j
0
pj
L q j
恒量
可见，当L函数中不含某广义坐标 q j 时，这个 q j 即循环坐标
1,
2,, n
1, 2,, n
：称为达朗伯惯性力或称有效力
注 那 并意里不：的相惯等这性，个力所达是以朗对这伯某里惯一并性非不力惯存与性在力系一学而个中言统定的一义，的过而非的上惯惯式 性性中系力各。不质是点一的个概ri念，
以
ri
点乘上式后，再对
i
取和，得
n
(
mi ri
Fi
Ri )
ri 0
yi q
V zi
zi q
V 1, 2, , s
q
代入基本形式的拉格朗日方程，则
d dt
T q
T q
V q
,
1, 2,, s
d dt
T q
T q
V q
,
1, 2, , s
注意：一般势能函数不显含时间和速度变量，即
V＝V（x1，y1，z1，…，x n，y n，z n）＝V（q1，q2，…，q s）
m 2
1 2
m(r2
r 22 )
V km r
L T V
1 m(r2 r22 ) km L(r, r,)
2
r
可见 L 函数中不含 ，所以 是循环坐标，则
p
L
恒量
p mr 2 恒量
2、能量积分
体系是否能量守恒的问题。由拉格朗日方程得到能量积分 需要一定的条件。
（1）若 n 个质点组成的受理想约束的完整系只受保守力作用，
mi
ri q
ri t
q
1 2
n i 1
mi
ri t
2
n
i1
n
i1
n
i1
mi
ri q
mi
ri q
mi
ri t
ri q
a
ri t
a
2
a
则
T
1 2
s
1
a
q
q
s
a q
1
1a 2
1
上式中的T2、T1和T0分别是广义速度的二次、一次、零次函数。
Wr
Qr
r
o
(F r ) 0
(Fx x Fy y) 0
y
Fy
j'
rP
Qr r Fx cos r Fy sin r
则
Qr
Wr r
Fx cos
Fy sin
Fr
F
i'
Fx
x
W Q (F r )r 0 (Fx x Fy y)r0
o
y
Fy
j'
rP
F
i'
Fx
ri q1
ri
ri (q1,
q2 , ,
qs , t)
q1
ri q2
q2
ri qs
qs
s 1
ri q
q
代入达朗伯－拉格朗日方程
n
i 1
(
mi ri
Fi
)
s a 1
ri q
q
0
n
i 1
(
mi ri
Fi
)
s a 1
ri q
q
0
上式中的两个取和号互不相关，故可以互易，则
x
r(Fx sin Fy cos ) rF
则
Q
Wθ
rF
两种方法的结果一致
四、保守力学系的拉格朗日方程Hale Waihona Puke Baidu
实际上，在很多情况下我们仅遇见保守力学系。
对于保守力学系，存在势能
V V (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 ,, xn , yn , zn )
则对任一个质点有
Fi iV
称为完整的保守的力学体系。设其自由度数为 s ，先求
体系以riq、qri(表q1示, q的2动, 能式, q。s因, t)
所以
ri
s
1
ri q
q
ri t
,
i 1, 2, , n)
则体系的动能
T
1 2
n i 1
mi (ri )2
T
1 2
n i 1
mi (ri )2
1 2
n i 1
简记为 L L(q , q , t)
而
L q
T q
p
仍是广义动量。
d dt
L q
L q
0,
1, 2,, s
这就是受理想约束的完整系在保守力作用下的拉格朗日 方程。因为用得较多，就直接称它为拉格朗日方程。当取广 义坐标和广义速度为独立变量时，只要知道了 L ，就可以求 出 q所满足的动力学方程，从而可求出体系的全部力学性质。 因此，我们说：取广义坐标和广义速度为变量时，拉格朗日 函数L是力学体系的一个特性函数。
1 q
q
其中第一项中
d dt
T q
q
d dt
T
q
q
T q
q
代入上式，得
d
dt
s 1
T q
q
s 1
T q
q
T q
q
s
1
V q
q
（2）对于稳定约束，而且T、V 不显含t 的完整保守力学系
的分析。
对稳定约束
ri
ri
(q1
,
q2
,
,
q
s
)
ri 0 t
T
1 2
s 1
a
q
1 2
mi ri 2
令
T
n i 1
1 2
mi ri 2
显然 T 是体系的动能，则有
P
d dt
T
q
T q
即
d dt
T q
T q
Q ,
1, 2, , s
这就是著名的拉格朗日方程，也称基本形式的拉格朗日 方程（或称第二类拉格朗日方程）。其中广义坐标 q＝q(t)， 所以上式是以 t 为自变量的广义坐标 q 的s 个二阶常微分方程 组。只要我们能写出以为变量时体系的动能T和广义力 Q1，Q2，…，Qs，就可以代入上式，从而得到体系的动力学 方程组，再求解，就可得到体系的运动方程。
n
mi
i 1
n Fi
i 1
ri
ri
q
ri
q
ri q
n i 1
mi ri
d dt
ri q
由
ri q
ri q
,
d
ri
ri
dt q q
P
d dt
n i 1
mi
ri
ri q
n i1
mi
ri
ri q
d dt
n i 1
q
1 2
mi
ri
2
n i 1
dt
dt
dt
s
1
V q
q
dV dt
dT dV 0 dt dt
T＋V＝E＝恒量 这就是力学体系的能量积分。
可见拉格朗日方程具有能量积分的条件是：受稳定 的理想约束的完整系，只受保守力而且T、V中不显含t， 这时体系的能量守恒。
（3）对于完整的保守的力学体系，受不稳定约束而且T、V
所对应的广义动量
pj
L q j
就是守恒量，称为循环积分。
这表明，对任一循环坐标，都对应有一个循环积分。
[例4] 求一自由质点在有心力场中的循环积分。
解 ： 设质点的质量为m，因为只有一个质点，故n＝1， 自由质点只受有心力作用时，作平面曲线运动，
所以 s＝2，取极坐标（r，）为广义坐标，则有
T
1 2
q
q
s
a q
1
1a 2
T2 T1 T0
1
a a 0
T T2
先应用一个结论 （后面证明）：
s
1
T q
q
s
1
T2 q
q
2T2
2T
因T、V中不显含t
d
dt
s 1
T q
q
s 1
T q
q
T q
q
s
1
V q
q
s
1
T q
q
T q
q
dT dt
d (2T ) dT dV
r
Qr
F
r r
r
Fx
x r
Fy
y r
y
Fy
j'
F
i'
r P Fx
o
x
Fx cos Fy sin Fr
可见广义力的径向分量就是的径向分量，说明 Qr 是一个力。
另外 x r sin , x r cos
Q
Fx
x
Fy
x
r(Fx sin Fy cos )
上式 括号中的第一项为 Fx