相空间重构延迟时间与嵌入维数的选择

关键词, 混沌系统; 延迟时间; 相空间重构; 嵌入窗长
中图分类号, O 332
文献标识码, A
Selection of Embedding Dimension and Delay time in the Phase Space Reconstruction
XIU Chun-bo9 LIU Xiang-dong9 ZHANG Yu -he
Zw= ( m-1) Zd
( 2)
并指出嵌入窗长 Zw 是一个定值. 但到目前为止 窗
长的意义仍然不明确 有些学者对此结论有异议.
2 广义嵌入窗长及其选择方法
2. 1 广义嵌入窗长的定义 对 于 时 间 序 列 { I( tz ) } 应 该 存 在 一 个 合 适 的 延
迟 使得 I( tz) 与 I( tz - ) 所构成的相空间轨迹既 不压缩也不折叠. 从式( 1) 可看出 相空间矢量X( t) 共有 m 个坐标分量 因此不应将 确定在 X( t) 相 邻 2 个坐标之间( 即 不应等于 Zd) 而应该考虑整 体上的效果. 如果能够从一个给定的时间序列中确 定出这样一个合适的延迟 那么 对于嵌入维数为
的 广义嵌入窗长. 由式 可得 此时即为 = O. O 时所对应的 值.
s 仿真实验及数据结果
s. 1 实验步骤 根据前面所讨论的确定相空间重构参数的方
法 相空间重构过程可以按照下列步骤进行,
D获取试验数据; @滤除噪声 可以采用小波变
换等方法对采样数据进行滤波; 求取自关联函数
随广义嵌入窗长变化的曲线; @求取自关联函数值
明 在数据无穷多且不受噪声污染的理想情况下 如
果 m 2 2c- 1 时 重 构 的 相 空 间 才 可 以 将 动 力 系 统 的拓扑性质保留下来[2]. 对于时间延迟 嵌入理论没 有做出具体的要求 也没有提出具体的选择方法.
实 验 研 究 表 明[6] 如 果 延 迟 时 间 Zd 选 取 的 太 小 相空间矢量 X( t) 的相 邻 延 迟 坐 标 元 素 ( 如 I( t) 与 I( t- Zd) ) 差 别 太 小 即 冗 余 较 大 重 构 相 空 间 的 样点所包含的关于原吸引子的信息偏小 表现在相
第 23 卷 第 2 期
北京理工大学学报
Vol. 23 No. 2
2OO3 年 4 月
TranSactionS of Beijing InStitute of Technology
Apr. 2OO3
一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
6( ) =
NO
[I( tO - ( k - 1) ) - Ic][I( tO - k
k= O NO
[I( tO - k ) - Ic]2
k= O
) - Ic]
( 6)
NO
式中
Ic =
1 NO
k= 1
I( tO -k
) . 选取 6(
) 首次通过
O 点的值 O 为 嵌 入 窗 长 即 6( O ) = O 因 为 此 时 是
根据方程模型 利用 wolf 的算法 得到最大的 Lyapunov 指 数 Amax = 1. 5 这 与 文 献 [ ]中 的 结 果 相同.
利用该模型产生试验数据 采样时间为 s=
1 ms 初值选取 O= 1O; O= 1; O= O. 选择 的时间 序列值为实验数据 从第 2 OOO 个点开始采样 采样 数据点为 1OO OOO 个 广义嵌入窗长 = k s k 为时 间序 列 的 间 隔. 图 1 为 广 义 嵌 入 窗 长 与 最 大 Lyapunov 指数的关系. 可见 广义嵌入窗长的选取 不同 计算出的最大 Lyapunov 指数就会有所不同. 因此 只有选取出合适的 才能够计算出正确的最 大 Lyapunov 指数. 图 2 为广义嵌入窗长 与自关 联函数的关系. 可见 当自关联函数为 O. O 时 k= 1O5 故 = 1O5 ms.
m 的相空间矢量 X(t) 可以计算出重构相空间中的
任意 2 个坐标的延迟时间与 的差值之和为
m-1
J=
C1 m-
k
(
k
Zd
-
).
( 3)
k= 1
所以当 J= O 时所选择的 Zd 可以使重构相空间
任意 2 坐标延迟时间的平均值为适当的延迟 即
m-1
m-1
( m-k) kZd=
(m-k) .
( 4)
作者讨论了相空间重构中延迟时间和嵌入维数
对重构吸引子的影响9重新推导了 m 与 ，d 之间的关 系9从而给出了一种选择重构相空间参数的方法- 并 将此方法分别应用到自治系统和非自治系统中9仿
收稿日期, 2OOO O5 1O 作者简介, 修春波( 1978 ) 9男9博士生9E-mail, xiuchunbo Sohu . com; 张宇河( 194O ) 9男9教授9博士生导师-
k= 1
k= 1
这样就可以求出 与 Zd 之间应该满足的关系:
=
m
3
1
Zd
.
( 5)
为广义嵌入窗长 对于一个给定的时间序列
是个定值 这样在确定了嵌入维数 m 和 之后 就可以利用式( 5) 确定 Zd 了. 2. 2 自关联函数法
围绕着选取适当大小的延迟时间和嵌入窗长这
一问题 先后出现了几种不同的方法[8]. 自关联函数 法 对于时间序列集 Iz = I( tO -z ) ( z = 1 2 NO 1) 的自关联函数定义为
最大 Lyapunov 指数 从而验证该方法的有效性. 下 面分别以自治系统和非自治系统为例计算最大
Lyapunov 指数. s. 2. 1 自治系统
根据从 Lorenz 吸引子方程得到的数据进行相 空间重构.
Lorenz 方程为
=
=
8
=Z 式中 取 = 16. O = A5. 92 Z= A. O.
( Department of Automatic Control9 School of Inf ormation Science and Technology9 Beijing InStitute of Technology9 Beijing 1OOO819 China)
Abstract, The relationShip of embedding dimenSion and delay time iS diScuSSed and a new concept namely the generalized embedding windowS iS put f orward. The drawback on the autocorrelation function method iS analyzed9 and the autocorrelation function method iS improved to determine the value of the generalized embedding windowS and other parameterS. The method overcomeS the defectS in the autocorrelation function method by taking into conSideration the correlation and irrelevance. Simulation reSultS proved the validity of the method.
既 然 6( ) 可 以 反 映 I( t) 与 I( t- ) 之 间 的 关 联性 那 么 同 样 可 以 定 义 一 个 能 够 反 映 出 I( t) 与 I( t- ) 之 间 不 关 联 程 度 的 函 数 1( ) . 而 1( ) 与 6( ) 之间应该满足这样的关系: 因为 6( ) 的取值范 围是[- 1 - 1] 而 且 6( ) 取 值 为 - 1 和 - 1 时 所 表示的关联程度是一样的 因此 1( ) 的取值范围可 以 定义在[O -1]内 而且当 6( ) = 1 时 1( ) = O; 6( ) = O 时 1( ) = 1.
使 I( t) 与 I( t- ) 线性无关的最小值.
2. 3 改进方法及 的选取
自关联函数能够反映出相邻时间序列的线性相
关性 但 O 只是给出了 的一个上限 因为此时 I( t) 与 I( t- ) 之间已线性无关 这 说明 此时 的延 迟时间已经过大 造成了信息损失. 因此 适当的 应该选在( O O) 之间.
第2期
修春波等, 相空间重构延迟时间与嵌入维数的选择
221
因此 可以将
定义为
=1 2 .
这样 就可以用
的值反映出
与
Байду номын сангаас
之间的非关联程度
称之为补关联函数. 由
于
和
是从时间序列相反的两个方面反应
与
之间的相关性 而式 恰好体现了
和
之间的这种轮换对称的性质 所以
=
时 恰好对应于
与
之间既
不冗余 也不无关 因此 选此时对应的 值为最佳
22O
北京理工大学学报
第 23 卷
真结果验证了该方法的有效性.
1 嵌入维数和延迟时间之间的关系
对于某动力系统 可以通过实验方法观测得到
一 组 单 变 量 的 时 间 序 列 { I( tz) } 通 过 式 ( 1) 构 造 一 个与原系统等价的 m 维吸引子 从而研究这个时间 序列的动力模型.
X( t) = [I( t) I( t-Zd) I( t-2Zd) I( t-3Zd)
为了重构一个合适的相空间9必须选择一个合 适的延迟时间 ，d 和嵌入维数 m- 人们从不同的角度 出 发9 已 经 提 出 了 很 多 种 选 择 延 迟 时 间 的 方 法[3］-
Martinerie9Ku giu mtziS 等 均 指 出 m 与 ，d 的 选 取 存 在较强的关联[4 9 95］ 并提出最佳的嵌入窗长是相对稳 定的( 但这一结果仍未得到证实) - 因此9有人建议不 应该孤立地选择一个不变的 ，d9而应 该 考 虑 到 m 的 影响9而且嵌入窗长对于一个给定的时间序列来说9 应 该 是 一 个 不 变 的 常 值 [6］-
空间形态上为信号轨迹向相空间主对角线压缩 如
果 Zd 太大 相空间矢量 X( t) 的相邻延迟坐标元素不 相关 则信息丢失 信号轨迹就会出现折叠现象. 因 此 要求延迟时间既不能太小 也不能太大.
为了选取合适的延迟时间 文献[4 5]从延迟时 间与嵌入维数之间的关联性方面考虑 提出嵌入窗
长 Zw 为
I( t-( m-1) Zd) ]T
( 1)
式 中 m 为嵌入维数; Zd 为重构相空间矢量 X( t) 相
邻 2 个坐标之间的延迟时间. 如果重构的相空间比
较合适 那么分数维以及 Lyapunov 指数 等 一 些 拓
扑不变量就可以得到保留 从而就可以对原系统的
动力学行为进行研究. 假设原动力系统吸引子维数为 c Takens 已证
为 O. O 时的 做为广义嵌入窗长 此时对应于
=
; 试选取合适的重构维数 H; @根据
式 5 确定延迟时间 d; 计算 Lyapunov 指数等参
数; 判断结果是否合理 如不合理返回步骤 合
理则输出结果.
s. 2 数据结果
由于最大 Lyapunov 指数可以表征混沌系统的
特征 因此通过相空间重构方法来计算时间序列的
Key words, chaotic SyStem; delay time; phaSe Space reconStruction; embedding windowS
相空间重构概念最早出现在统计学领域中9后 被 Packard9Ruell9TakenS 等 先 后 引 入 动 力 学 体 系 中[1 - 92］ 相空间重构可把具有混沌特性的时间序列重 建为一种低阶非线性动力学系统9它是非线性时间 序列分析的重要步骤9重构的质量直接影响到模型 的建立和预测-
文章编号, 1OO1-O645( 2OO3) O2-O219-O6
相空间重构延迟时间与嵌入维数的选择
修春波9 刘向东9 张宇河
( 北京理工大学 信息科学技术学院自动控制系9 北京 1OOO81)
摘 要, 论述相空间重构中延迟时间与嵌入维数之间的关系9提出广义嵌入窗长的概念- 分析已有的自关联函数法 中的不足9提出一种改进的自关联函数法确定广义嵌入窗长9从而确定出相空间重构的其它参数- 同时从时间序列 相关程度和不相关程度 2 个方面进行考虑9克服了自关联函数法的缺点- 仿真实验结果验证了该方法的有效性-