抽象函数题型汇编

抽象函数常见题型汇编

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

(一)已知()f x 的定义域，求(())f g x 的定义域．

解法：若()f x 的定义域为[]a b ，，则(())f g x 中()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为(())f g x 的定义域．

例1 设函数()f x 的定义域为[01]，，则

(1)函数

2()f x 的定义域为 ；(2)函数2)f 的定义域为 ． 解析：(1)由已知有201x ≤≤，解得11x -≤≤，故2()f x 的定义域为[11]-，； (2)由已知，得021≤，解得49x ≤≤，故2)f 的定义域为[49]，．

(二)已知(())f g x 的定义域，求()f x 的定义域．

解法：若(())f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定()g x 的范围即为()f x 的定义域． 例2 函数[lg(1)]y f x =+的定义域为09x ≤≤，则()y f x =的定义域为 ． 解析：由09x ≤≤，得1110x +≤≤，所以0lg(1)1x +≤≤，故填[01]， (三)已知(())f g x 的定义域，求(())f h x 的定义域．

解法：先由(())f g x 定义域求()f x 定义域，再由()f x 定义域求得(())f h x 定义域． 例3 函数(1)y f x =+定义域是[23]-，，则(21)y f x =-的定义域是 ． 解析：先求()f x 的定义域，∵(1)f x +的定义域是[23]-，，∴23x -≤≤ ∴114x +≤≤，即()f x 的定义域是[14]-，

再求[()]f h x 的定义域，∵1214x --≤≤，∴502x ≤≤

∴(21)f x -的定义域是502⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，． (四)运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集． 例4 函数()f x 的定义域是(01]，，求()

1()()()02g x f x a f x a a =+⋅--<≤的定义域．

解析：∵由已知，有0101x a x a <+⎧⎨<-⎩≤，≤，即11a x a a x a -<-⎧⎨<+⎩

≤，

≤，

∴函数的定义域由(1)(1]a a a a --+I ，，确定 ∵102

a -<≤

∴11a a a a -<+-≤≤

∴函数()g x 的定义域是(1]a a -+，．

【巩固1】已知函数2()f x 的定义域是12［，］，求()f x 的定义域． 解析：2()f x 的定义域是12［，］，是指12x ≤≤， 所以2()f x 中的2x 满足214x ≤≤ 从而函数()f x 的定义域是[14]，．

【巩固2】已知函数()f x 的定义域是[12]-，，求函数()

12

log (3)f x -的定义域．

解析：()f x 的定义域是[12]-，，意思是凡被f 作用的对象都在[12]-，中，由此可得 ()

()

2

1

12

11

111log (3)231224

x x x ---⇒-⇒≤≤≤≤≤≤

所以函数()

12

log (3)f x -的定义域是1114⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【巩固3】()f x 定义域为(01)，，则()

1()()||2y f x a f x a a =++-≤定义域是 ．

解析：因为x a +及x a -均相当于()f x 中的x ，所以011011x a a x a x a a x a <+<-<<-⎧⎧⇒⎨⎨<-<<<+⎩⎩

，，

，，

(1)当102a -≤≤时，则(1)x a a ∈-+，； (2)当102

a <≤时，则(1)x a a ∈-，

．二、解析式问题 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力． 例5 已知 ()211x f

x x =++，求()f x ．

解析：设1x u x =+，则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x

-=-． 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x ．此解法简洁，还能进一步复习代换法．

例6 已知(

)

3311f x x x x

+=+，求()f x 解析：∵()()()()()()2

2

2

1111113f x x x x x x x x x x

+=+-+=++-

又∵11||||1||

x x x x +=+≥，∴23()(3)(||)13f x x x x x x =-=-≥，

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数． 例7 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4，求()f x ． 解析：设()f x =2ax bx c ++，

则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ 22222()24ax bx a c x x =+++=++