切比雪夫不等式

不等式的其它形式
例1 估计
的概率
解
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。
≤
| x− |≥
∫ε µ
1
2
|x − µ |
2
ε
2
f ( x)dx
2
≤∫
|x − µ |2
≤
ε
∫ (x − µ)
f ( x)dx
σ = 2 ε
ε
2
f ( x)dx
2
是 于 P{| X − µ |< ε} ≥ 1−σ / ε
2
2
P{| X − µ |≥ ε } ≤ σ 2 / ε 2
P{| X − µ |< ε } ≥ 1−σ / ε
2 2
称此式为切比晓夫不等式. 称此式为切比晓夫不等式.
P{| X − µ |≥ ε } ≤σ 2 / ε 2
P{| X − µ |< ε } ≥ 1−σ / ε
2
2
证明：设X为连续性（离散型类似），其密度为 f ( x). 证明： 为连续性（离散型类似），其密度为 ），
P{| X − µ |≥ ε }
定理：（切比雪夫不等式） 定理：（切比雪夫不等式） ：（切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 EX = µ, 方 DX = σ 2 差 对任意 ε > 0 , 不等式
P{| X − µ |≥ ε } ≤ σ 2 / ε 2
或 成立， P{| X − µ |< ε } ≥ 1−σ / ε 成立，
2
2
切比雪夫不等式 证明切贝谢夫大数定律； 说明 （1）证明切贝谢夫大数定律； （2）表明D（X）描述了X偏离E（X）的离散程度； 表明D 描述了X偏离E 的离散程度； （3）给出X的分布未知时，事件 给出X的分布未知时， 概率的一个大致估计。 概率的一个大致估计。 大致估计 |X|X-E（X）|＜ε的
P{| X − µ |≥ ε} ≤ σ / ε
2
2
P{| X − µ |< ε}≥1−σ / ε
2
2
对未知分布X 对未知分布X，取
ε = 3σ, 2σ,
2 2
9 2 3 2 P{| X − µ |< 2σ } ≥ 1−σ / ( 2σ ) = = 0.75 4
P{| X − µ |< 3σ } ≥ 1−σ / ( 3σ ) = 8 = 0.89
之和在10至18之间的概率。 之和在10至18之间的概率。 10 之间的概率
用二项分布
P(6800 < X < 7200) =
用切比雪夫不等式
7200
K=6800 =
∑
K C104 0.7K0.310−K
2100 = 0.95 P(6800 < X < 7200) = P( X −7000 < 200) ≥1− 2 200
练习 随机掷四颗骰子， 随机掷四颗骰子，估计四颗骰子出现的点数