一个新4维超混沌系统的行为特性及其同步

摘 要 ：提 出 了一 个 新 的 ４维 超 混 沌 系统 ，并 对 该 系 统 的基 本 动 力 学 特 性 进 行 了 深 入 研 究 ，得 到 系 统 的
Ｌａｕ ｏ ｙｐ ｎ ｖ维数 ，给 出了系统 的时域 图 、相 图、最大 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ指 数谱 及其分 岔 图，并用 非线性 反馈控 制方法 实现 了该超 混沌 系统 的同步 ．根据 系统 的稳定 性理 论，得到 了非线 性反 馈控制 器 的结构 和系统 达到 混沌 同步 时反馈 控制增 益 的取值 范围，数值模 拟结果 验证 了该方 法 的正 确性 ．
外许 多学 者对 混沌 的特性进行 了深 入地分 析和 研究，
发 现 了许 多新 的混沌 系统 ，￣ Ｃ ｅ 系统 、Ｌｕ Ｈ ｈｎ ｉ系统 和
Ｑｉ 系统 ．
时，系 统存在 一个典 型 的混沌 吸引子 ．
１ ． 理 论分 析 ２
３ 混沌系统结 构较为简单 ， 物理上实 现容易， 维 在 但 是这 样 的混 沌 系统用 于数字信 息加 密 工程 领域 的 效果 不是很 好 ． 数高 于３ 的混沌 系统可 以产生超 维 维 混沌 现象，而利用 超混沌 同步进行保 密通讯，具有更 好 的保 密性 能．因此，构建高维 超混沌 系统 并实现 高
三
－
在平 衡 点ｓ（，，，） 系统 （） 行 线 性 化得 到 ｏ ０００对 ｏ １进
其Ｊｃｂａ矩 阵 为 ａｏ ｉ ｎ
ｂ
一
衡 点 也是不 稳焦结 点．
由上述分 析可 知，系统 （） ３个平 衡点 都是不 １的
稳 定 的，其 中 为不 稳鞍结 点；而另外 ２个 平衡 点
０ —ｌ
１１ 新超 混沌 系统模型 ． 本文 构建 的新超混 沌 系统 的数 学模 型为
收稿 日期 ：２ １ －１１ ０ １ｌ．６
一
ｃ ｘ— ｘ ｚ一
ｘ —ｍｚ一 ＋ｇｗ ＝ ０ ｙ ，
ｒ 一 ） ， ｗ ＝０
基 金项 目：河北 省 自然科 学基 金（ ２ １ ０ １４ ） Ａ ０ ０ ０ ９ ２，河北 省教 育厅 科 学研 究计 划项 目（ ２ １ １７ 和河 北省 教 育学会 “ 二五 ” 划课 Ｚ ００６ ） 十 规
ｄ＝５ｍ＝４ｆ： ． ｇ＝５ｒ Ｏ时，存 在典 型 的混 沌 ， ， ４５ ， ， ＝２
令 ｄｔ ｏ ２ ） ｅ（ 一 １ ＝０， Ｊ 得到平衡点 （，００相应的４ ００ ，） ， 个特
征根分别 为 ＝ ４ ：４ ． ０ ＝一 ７０ ０ ， 一． ０、 １ ６ ５ ８、 ６ ． ６８
。
‘
混沌 吸引 子 的相 邻轨 线之 间呈 现 出彼此 排斥 的
趋势， 以指数速率相互分离， ｙｐ ｎｖ 并 而Ｌ ａｕｏ 指数是
定 量 描述 轨线 彼 此排斥 和吸 引 的量 ，特别 是 系统 的
最 大Ｌ ａ ｕ ｏ 指数 ，是 决定 系统性 质 的重要 特征 量 ． ｙｐ ｎ ｖ 图３ 出了在， ［０ ６时，系统 的最大Ｌ ａｕ ｏ 指数 给 ． １， ］ 为 ２ ｙｐ ｎ ｖ
∞ 如 ∞ 如 ∞ Ｏ
如
： ２ ｍ
Ｏ
２ ： ± ： ＋ 兰
： ０７３２． ２
．
２０５ ７９＋２ ． ７ ．８ ９ ３ ８４
新 系 统 的Ｌ ａ ｕ ｏ 维数 为 分数 ，验证 了该 系统 为混 ｙｐ ｎｖ
沌 系统 ．
１ ． 最 大 Ｌ ａｕ ｏ ５ ｙ ｐ ｎ ｖ指数 谱和分 岔 图
＝ 一
吸 引子．采 用 ４ 阶龙格 —— 库塔 离 散化算 法，得 到 新 系统 的混 沌吸 引子相 图如 图１ 所示 ，该 系统 的奇 怪
吸 引子 与 已有 混沌 系统 的奇 怪 吸引子 不 同．系 统（） １
２．， 中 为正实根， ０ 其 ０ 而 、 、 都是
负实 根，平衡 点 为不稳 鞍点 ． 在平衡 点 采用同样 的方法可得到相应 的特征根
Ｊ ａｎ．２ ２ ０１
文章 编号 ： ０ ０５ ６ （０ ２０ —０ ７０ １０ —８ ２２ １） １０ ８ ．５
一
个新 ４ 维超混沌 系统的行为特性及其同步
屈 双 惠，吴淑花 ，杨 志宏，于津 江，马 志春
（ 家庄 学 院物 理 学 系 ，电气 信 息 工 程 系 ，河北 石 家 庄 ０ ０ ３ ） 石 ５０５
动 固定在 一个 吸引 子上．
１ ． 平衡 点及稳 定 性 当参 数 日 ０５ｂ ８ ， ．２ ２ ＝２． ＝６． ， ８
ｃ ２ｄ：５ｍ＝ ， ４５ｇ＝５， ０ ＝４ ， ， ４ｆ＝ ． ， ， ：２ 时，令
以 ＋ ：０ ｂ ｙ ．
一Ｗ ＝ ０ ，
新 超 混沌系统 的基本 分析
图４
１ Ｏ １ ２ １ ４ １ ６ １ ８
ｒ
２ Ｏ
２ ２
２ ４
２ ６
变量 随 ， 化时 的分岔 图 变
随参 数ｒ 的变化情况，由图３ 可以看出，当，＞ １ 时， ． ５ 系
统 的最 大Ｌ ａｕ ｏ 指 数＞ ，系 统进 入混 沌状 态，在， ｙｐ ｎｖ ０
∞
∞ ∞ ∞ 如 ０
是 一对具 有负 实部 的共 轭 复根，因而 平衡点 是不 稳 焦结 点． 在 平 衡 点 ２ 用 同 样 的 方 法 也 可 得 到 相 应 采
的 特 征根 为 ＝３ ． ０ ＋ ３３００ 、 ５５ ４ ．６ ｉ ５８
４３３ ００ｉ ｚ ．６ 、 ３＝－６ ．０ ＋２ ９ ４８ｉ ０３ ０８ ７．６ 、
为 ＝３ ．６ １ ３ ． ５ ｉ ５４ ７ ＋ ９ ９ 、 ８ ０
＝ －
的时域 波形 具有 非 周期 性 ，解 的流对 初ห้องสมุดไป่ตู้始值 极为 敏 感 ，它的 时域 波形 如 图 ２ 所示 ．
１４ Ｌ ａ ｕ ｏ ． ｙ ｐ ｎ ｖ指 数和 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ维 数
３ ２ ２ １ １
∞∞如加ｍ ｏ 脚珈枷
０
１ ０
２ ０
３ Ｏ ｔ ／ ｓ
４ Ｏ
５ Ｏ
６ ０
０
１ ０
２ ０
３ ０ ｔｓ ／
４ ０
５ ０
６ ０
图 ２ 新 系统 的 、ｚ 列时域 波形 图 序
３
２
２
ｌ
ｌ
Ｄｊ 喜 ＋ａ２ Ｌ＋ ２ＥＥ ＝ 南 阿 ＝ ＬＬ ＋
题（２ ０ ３ ） 助项 目． １ １ １６资 １
作 者简介 ：屈双 惠（９ ８） １７． ，女，河北石 家庄人 ， 师，硕士 ，主要 从事 凝 聚态物理 方面 的研究 ． 讲
８ ８
江 西 师 范大 学 学 报 （ 自然 科 学 版）
２１ ０ ２拄
可得 到系统 （ 的３ １ ） 个平衡 点为：ｏ ，，０， ｌ ００ ８ ， Ｓ（ ０ ， Ｓ（ ． Ｏ ０） ３ ６０
３０ ０ ２５ ０ ２０ ０ ｔ１ ０ － ５ Ｉ １０ ０
５ ０
０
４ ０
Ｙ
（ 平面奇怪 吸引子 ｃ ）
（） － ｚ ｄｘ－ ｙ ￣面奇怪吸引子
图 １ 新 系统 的奇 怪 吸引子 图
第１ 期
屈双惠，等： 一个新 ４维超混沌系统 的行为特性及其 同步
８ ９
一
２．６ ｉ 中 ＾、 是一 对具 有正实 部 的共 轭 复 ７９４８ ，其
根 ，以、 是一对 具有 负实部 的共 轭复根 ，同 ，平
５１３ ４ ～ ． ３８ ５９ ３ ６， （１１ １９ ５５ ７ ８ ． ， １ ３ ，１ ． ） ３ ．１ ， ． ， ８ ６ ９ ７ １６ ２０ ３ ．３ ） ．６ ， ４９ ２ ． ４
数 形式 ｄ ／ ｔ － ＋ Ｖ ｄ ＝ｅ（ 卅 Ｊ 口 收敛．即体积元 在时 刻
本 文 构 建 了 一个 新 的４ 超混 沌 系统 ，该 系统 维 含 有 多个参 数 ．通过 分 析 系统 的相 图 、Ｌ ａ ｕ ｏ 维 ｙｐｎｖ 数 、Ｐ ｉｃｒ ｏｎ ａｅ映射 图 、最大Ｌ ａ ｕ ０ 指数 谱 以及 分 ｙｐ ｎ ｖ 岔 图研 究 了该 系统 的基 本 动力 学特 性 ．提 出 了利用 非 线 性反 馈 控制 方 法 实现 ４ 维超 混 沌 系统 混 沌 同步 的方 法，并 通过数 值仿真 验证 了该方 法 的有 效性 ．
第３卷 第 １ ６ 期
２１ ０ ２年 １ 月
江西 师 范 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊｕ ａｏ ａｇ ｉ ｏｍ ｌ ｎ ｅｓｙ（ａ ｒ ｃ ｎｅ ｏｒ ｌ ｆｉ ｘＮ ｒ ａＵ ｉ ｒ ｔ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｎ Ｊｎ ｖ ｉ ｕｌ ｅ
Ｖ １３ ０ ． ６Ｎｏ １ ．
２ ． ｂ ６ ． Ｃ ２ｄ＝ ， ４ｆ：４ ， ５ｒ ０ 时 ０ ， ＝ ８８ ：４ ， ５ｍ＝ ， ５ ， ． ｇ＝ ，＝２ ５
Ｌ ３ ２ ． ７ ，Ｅ Ｅ ＝一 ０５ Ｌ ４＝一 ９３ ８ ．该 系 统具 有 ２个 ８９ ２． ４ ７ 正的 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ指数，具 有超混 沌 的特征 ． 混沌 系 新 统 的 Ｌ ａｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ维数 为
＝３ ． ７ — ９８ ５ ｉ ５ ６ １ ３， 、 ４ ９０
６ ２１ ＋２ ．３ ｉ、 ４ ０． ７１ ７６ ７９ ４＝ 一６ ． ７１ ０２１ —２７６ ７９ｉ ．３ ，
其 中 、 是一 对具有 正实部 的共 轭复根 ，
、
利 用 奇 异 值 法 计 算 系 统 （） 参 数 ａ＝ １在 的 Ｌ ａｕ ｏ ｙｐ ｎ ｖ指数分别为 ：Ｅ ＝３２ ２ ， Ｅ ：０ ４ ， Ｌ １ ．１ Ｌ ２ ． ３ ０ ４ ２
—
Ｙ ｘ
２ ． ６ ． ０５ ８８
４ ２ ４５ ． Ｏ —５ ０ ０
一
０
０
ｄ
ｘ
０
４ ０
一ｌ
５ － ０ ２
和 都是 不稳 焦结点 ．
１ ． 混沌 吸引子 ３
—ｍ ｇ
０
Ｏ
一． ，
系 统 （）的 参 数 为 ａ＝２ ． ｂ＝６ ． Ｃ ２ １ ０ ， ８ ， ＝４ ， ５ ８
ｔ 收 缩 为 体 积 元 ｅ 时 一
肿 ，这 意 味 着 ，当 Ｊ ，
ｆ ０ ，包 含 系 统 轨 迹 的 每 个 体 积 元 以 指 数 率 ０时
一
＋ｄ＋ ｍ＋， 收缩到零 ．因此 ，所有 系统轨 迹线最 ＿ ） ’
终 会 被 限制在 一个 体 积 为零 的集 合上 ，且 它渐 进运
关键词 ：超混沌系统； ｙｐｎｖ维数； Ｌ ａｕ ｏ 非线性反馈；同步
中 图分 类号 ： １ Ｏ４５
文献 标志码 ： Ａ
＝ 一ａ ｘ＋ ｂ ｙ．
０ 引 言
混沌 属于 非线 性 的范 畴，在现 实生 活 和实 际工 程 技 术 问题 中，混沌 是 无 处 不在 的．近年 来 ，国 内
ｚ ＝
ｘ －， ｙｍ ＋ｗ ｚ Ｗ 二 ｇ
一 一 ＋ ， ，
（） １ 、
：ｒｘ 一 ） （ ｗ ，
其 中 口ｂＣｄ ｍ； ， ， 为 实 常 数 ． 当 参 数 日 ，，， ， ｆ ｇｒ ：
２ ． ｂ ８ ， ＝４ ， ０５ ＝６ ． ｃ ２ｄ＝５ｍ＝４ｆ＝４ ， ， ８ ， ， ． ｇ＝５， ０ ５ ， ＝２ ．
维 系统的混沌 同步 是一项具有实 际意义 的工作 【 Ｊ ｌ． 。
１ ． 耗散 性 和吸 引子 的存 在性 由于 ．１ ２
ＶＶ： 兰＋ ＋ ＋ 三 ：一 一ｄ一，一，： 口 ” ．
／ ｇ ｗ
一
２ ５— ５—４—２ ０． ０＝ － ９．． － ５ ４
当 ａ ｄ＋ ＞０ 时 ，系统 （）是 耗 散 的，且 以 指 ＋ ｍ＋ １
：３ ．５ ５ ０＋ ５ ８
＝－６ ．０ ０３ ０８—
３ Ｏ
２ Ｏ
１ ０ ０
－
１ ０ ２ ０
－
－
３ ０
４ Ｏ
—
５ Ｏ—４ ０－３ ２ ０－ ０－１ ０ １ ２ ３ ４ ５ ０ ０ ０ Ｏ ０ ０
（ ａ ）
面奇怪吸引子
（） ｂ 评 面奇怪吸引子