(完整版)随机过程习题答案
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3
解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为
10000 111
00 333 P 01110
333
00111 333
00001
二步转移概率矩阵为
10 0 00 1 00 0 0
11 1 00 11 1 0 0
3 33
333
P (2)
111
111
0
00
0
33 3
333
00 1 11 0 01 11
333
333
00 0 01 0 00 01
（3） mX (t ) 1 cos( t) 1 2t 1 cos( t ) t
2
2
2
1 mX (1)
2
2 X
(t )
E[ X 2 (t)] [ EX (t )] 2
1 cos2 ( t )
1 ( 2t) 2
1 [ cos( t )
t]2
2
2
2
1 cos2 ( t) 2t 2 1 cos2 ( t) t 2 t cos( t)
。
解 （1） t
1
时，
X ( 1) 的分布列为
2
2
1
0
1
X( )
2
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 0
1
1
F ( , x) ,
2
2
1,
0 x1 x1
t 1 时， X (1) 的分布列为
-1
2
X (1)
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 1
1
F (1, x)
,
2
1,
1x2 x2
（2）由于 X ( 1)与X (1) 相互独立，所以
10000 42210 9999 12321
F ( x;t ) P{ X (t ) x} P{ e Y t x} P{ Yt ln x}
ln x
P{ Y
} 1 P{Y
t
对 x 求导得 X (t ) 的一维概率密度
ln x
ln x
} t
1 FY (
) t
ln x 1
f ( x; t) f Y (
) ，t 0
t xt
均值函数 mX (t ) E[ X (t )] E[e Y t ]
0, X (t) x
5
证明随机过程 Y (t) 的均值函数和相关函数分别为 X (t ) 的一维和二维分布函数。
证明 mY (t) E[Y(t)] 1 P{ X (t) x} 0 P{ X (t ) x}
P{ X (t) x} F X ( x;t)
(Y (t1 ), Y (t 2 )) 的取值为 (1,1), (1,0), (0,1),(0,0)
E ( X (t1 ) (t1)( X (t2 ) (t2 ) [m X (t1) (t1)][ mX (t2 ) (t2 )]
E[ X (t1) X (t 2)] mX (t1)mX (t 2 ) 其它项都约掉了
RX (t1, t 2 ) mX (t1 )mX (t 2 )
C X (t1, t2 ) 2.6 设随机过程 X (t ) A sin( t ) ，其中 A, 是常数， 在 ( , ) 上服从均匀分布，令
1 E cos(2 ) cos(4 t 2
4)
2
4
1 cos2
2 所以， RY (t ,t
)
A2 [1
1 cos 2
]
42
RXY (t, t ) E[ X (t)Y (t )] E[ X (t) X 2 (t )]
E[ A sin( t ) A 2 sin 2 ( t
)]
A3 E[sin( t
2
)(1 cos(2 t 2
cos t1 cos t 2E[ A2 ] sin t1 sin t2 E[ B 2 ]
2(cos t1 cos t 2 sin t1 sin t2 )
3
2 cos (t1 t2 ) 2.5 已 知 随 机 过 程 X (t) 的 均 值 函 数 mX (t ) 和 协 方 差 函 数 B X (t1 ,t 2 ), (t) 为 普 通 函 数 ， 令
T tT
1T f (u) f (u )du
T0
2.13 设 { X (t), t 0} 是正交增量过程， X (0) 0, V 是标准正态随机变量，若对任意的
t 0，
X (t )与 V 相互独立，令 Y (t) X (t) V ，求随机过程 {Y (t), t 0} 的协方差函数。
6
解 因 X (t ) 是正交增量过程， V ~ N (0,1) ，所以 E[ X (t)] 0, E[V ] 0, D[V ] 1，
st b 2 2.2 设随机变量 Y 具有概率密度 f ( y) ，令 X (t) e Yt ， t 0,Y 0 ，求随机过程 X (t) 的一维概率
密度及 EX (t ), RX (t1, t2 ) 。
解 对于任意 t
0 ， X (t)
e
Yt
是随机变量
Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，
Y (t) X (t) (t) ，求随机过程 Y (t) 均值和协方差函数。
解 均值 mY (t) E[Y(t)] E[ X (t ) (t )] E[ X (t )] (t) mX (t) (t ) 协方差 CY (t1 ,t 2 ) RY (t1 ,t 2 ) mY (t1)mY (t2 )
E[ Y (t1 )Y (t2 )] mY (t1 )mY (t 2 )
X (t)
2t,
t时刻抛得反面
1 试求：（ 1） X (t) 的一维分布函数 F ( , x)和F (1, x) ；
2 1 （2） X (t ) 的二维分布函数 F ( 2 ,1; x1 , x2 ) ；
（3） X (t ) 的均值 mX (t ), mX (1) ，方差
2 X
( t ),
2 X
(1)
D[ X (t )] D [Vt b] t 2DV t 2
所以 X (t) ~ N (b, t 2 ) ， X (t ) 的一维概率密度为
f ( x; t)
(x b) 2
1 e , 2t2 x ( , ) ， t (0, )
2t
均值函数 mX (t ) E[ X (t )] b
相关函数 RX (s,t ) E[ X (s) X (t)] E[(Vs b)(Vt b)] E[ stV 2 bsV btV b2 ]
P{ X (t1) x1, X (t 2 ) x2} F X (x1, x2; t1, t2 )
2.9 设 f (t) 是一个周期为 T 的周期函数，随机变量 Y 在（ 0，T）上均匀分布，令 X (t) f (t Y ) ，求
证随机过程 X (t) 满足
1T
E[ X (t ) X (t )]
f (t) f (t )dt
E[ X (t1) X (t 2 )]
E[( X
Yt1
Zt
2 1
)(
X
Yt 2
Zt
2 2
)]
因 X ,Y , Z 相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零
EX 2
t1t 2 EY 2
t12
t
2 2
EZ
2
1 t1t 2
t12
t
2 2
2.8 设 X (t) 为实随机过程， x 为任意实数，令
1, X (t) x Y (t )
4
2 ))
A2 E 1 cos( 2 t 2 ) cos(2 t 2 2 ) cos(2 t 2 ) cos(2 t 2 2 )
4
而 E[cos(2 t 2 )]
1 cos(2 t 2 )d
1 sin(2 t 2 )
0
2
4
同理 E cos(2 t 2
2) 0
利用三角积化和差公式
E cos(2 t 2 ) cos(2 t 2 2 )
RY (t1 ,t 2 ) E[Y (t1 )Y (t 2 )] 1 1 P{ X (t1) x1, X (t 2 ) x2}
1 0 P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2}
0 1 P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2}
0 0 P{ X (t1) x1, X (t 2 ) x2}
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E ( A cos( t1 ) B sin( t1))( A cos( t 2 ) B sin( t 2 ))
E A 2 cos t 1 cos t 2 B 2 sin t1 sin t 2 AB cos t1 sin t2 AB cos t 2 sin t1
解 因 A, B 独立， A ~ N (0, 2) ， B ~ N (0, 2 )
所以， E[ A] E[ B] 0, D [ A] D [ B] 2
均值 mX (t) E[ X (t )] E[ A cos( t ) B sin( t)]
相关函数
cos( t)E[ A] sin( t )E[ B] 0
T0
证明 Y 的密度函数为
fY ( y)
1 , y (0,T )
T 0, 其它
E[ X (t) X (t )] E[ f (t Y) f (t
Y )]
f (t y) f (t
y) fY ( y) dy
1T f (t y) f (t
T0
y)dy
1 tT
tyu
f (u) f (u )du
Tt
1t f (u) f (u ) du
相关函数
e yt f ( y)dy
0
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[e e Y t1 Y t2 ] E[e Y (t1 ] t2 )
e y( t1 f t2 ) ( 开始每隔 秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程
2
cos( t ), t时刻抛得正面
2 ))]
A3 E[sin( t
2
) sin( t
) cos(2 t 2
2 )]
A3 E[ 2 sin( t
4
) sin( t 2
而 E[ 2sin( t )] 1 sin( t
) sin(3 t 2 )d 0
3 )]
同理 E[sin( t 2
)] 0, E[sin( 3 t 2 3 )] 0
所以， RXY (t, t ) 0 2.7 设随机过程 X (t) X Yt Zt 2 ，其中 X ,Y , Z 是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差
为 1，求随机过程 X (t) 的协方差函数。
解 根据题意， EX EY EZ 0, DX EX 2 DY EY 2 DZ EZ 2 1 m X (t) E[ X (t)] E[ X Yt Zt 2 ] EX tEY t 2 EZ 0
C X (t1 ,t2 ) E[ X (t1 ) mX (t1)][ X (t 2 ) mX (t 2 )]
习题 2
随机过程部分习题答案
2.1 设随机过程 X (t) Vt b, t (0, ), b 为常数， V ~ N (0,1) ，求 X (t) 的一维概率密度、 均
值和相关函数。
解 因 V ~ N ( 0,1) ，所以 EV 0, DV 1， X (t ) Vt b 也服从正态分布，
E[ X (t )] E[Vt b] tEV b b
E[ X (t1) X (t 2 )] E[V 2 ]
2 X
[min(
t1 ,
t
2
)]
1
（利用正交增量过程的结论）
习题 4
4.1 设质点在区间 [0 ，4]的整数点做随机游动，到达 0 点或 4 点后以概率 1 停留在原处，在其它整数点分别
1
以概率 向左、向右移动一格或停留在原处，求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。
2
4
1 cos2( t) t 2 t cos( t) 4
[ 1 cos( t) t ] 2 2
2 X
(1)
9
4
2.4 设有随机过程 X (t) A cos( t ) B sin( t ) ，其中 为常数， A, B 是相互独立且服从正态分布
N (0, 2 ) 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。
1 ( X ( ), X (1)) 的分布列为
2
2
X (1)
-1
2
X (1/ 2)
0
1
1
4
4
2
1
1
1
4
4
二维分布函数
0,
1
,
1 F ( ,1; x1, x2 )
4
2
1
,
2
1,
x1 0或 x2 1 0 x1 1, 1 x2 2 0 x1 1, x2 2或 x1 1, 1 x2 2
x1 1, x2 2
Y (t ) X 2 (t ) ，求 RY (t,t ) 和 RXY (t ,t ) 。
解 RY (t ,t ) E[Y (t)Y (t )] E[ X 2 (t ) X 2 (t )]
2
2
2
2
E A sin ( t ) A sin ( t
)
A2 E (1 cos(2 t 2 ))(1 cos(2 t 2
有 mY E[Y (t )] E[ X (t ) V ] E[ X (t)] E[V ] 0
CY (t1, t2 ) E[Y (t1) mY (t1 )][ Y (t 2 ) mY (t 2 )]
E[ Y (t1 )Y (t2 )] E[( X (t1) V )( X (t 2 ) V )] E[ X (t1) X (t 2 )] E[V 2 ] E[ X (t1 )V ] E[ X (t 2 )V ] （因 X (t)与 V 独立， E[ X (t )] 0, E[V ] 0 ）
解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为
10000 111
00 333 P 01110
333
00111 333
00001
二步转移概率矩阵为
10 0 00 1 00 0 0
11 1 00 11 1 0 0
3 33
333
P (2)
111
111
0
00
0
33 3
333
00 1 11 0 01 11
333
333
00 0 01 0 00 01
（3） mX (t ) 1 cos( t) 1 2t 1 cos( t ) t
2
2
2
1 mX (1)
2
2 X
(t )
E[ X 2 (t)] [ EX (t )] 2
1 cos2 ( t )
1 ( 2t) 2
1 [ cos( t )
t]2
2
2
2
1 cos2 ( t) 2t 2 1 cos2 ( t) t 2 t cos( t)
。
解 （1） t
1
时，
X ( 1) 的分布列为
2
2
1
0
1
X( )
2
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 0
1
1
F ( , x) ,
2
2
1,
0 x1 x1
t 1 时， X (1) 的分布列为
-1
2
X (1)
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 1
1
F (1, x)
,
2
1,
1x2 x2
（2）由于 X ( 1)与X (1) 相互独立，所以
10000 42210 9999 12321
F ( x;t ) P{ X (t ) x} P{ e Y t x} P{ Yt ln x}
ln x
P{ Y
} 1 P{Y
t
对 x 求导得 X (t ) 的一维概率密度
ln x
ln x
} t
1 FY (
) t
ln x 1
f ( x; t) f Y (
) ，t 0
t xt
均值函数 mX (t ) E[ X (t )] E[e Y t ]
0, X (t) x
5
证明随机过程 Y (t) 的均值函数和相关函数分别为 X (t ) 的一维和二维分布函数。
证明 mY (t) E[Y(t)] 1 P{ X (t) x} 0 P{ X (t ) x}
P{ X (t) x} F X ( x;t)
(Y (t1 ), Y (t 2 )) 的取值为 (1,1), (1,0), (0,1),(0,0)
E ( X (t1 ) (t1)( X (t2 ) (t2 ) [m X (t1) (t1)][ mX (t2 ) (t2 )]
E[ X (t1) X (t 2)] mX (t1)mX (t 2 ) 其它项都约掉了
RX (t1, t 2 ) mX (t1 )mX (t 2 )
C X (t1, t2 ) 2.6 设随机过程 X (t ) A sin( t ) ，其中 A, 是常数， 在 ( , ) 上服从均匀分布，令
1 E cos(2 ) cos(4 t 2
4)
2
4
1 cos2
2 所以， RY (t ,t
)
A2 [1
1 cos 2
]
42
RXY (t, t ) E[ X (t)Y (t )] E[ X (t) X 2 (t )]
E[ A sin( t ) A 2 sin 2 ( t
)]
A3 E[sin( t
2
)(1 cos(2 t 2
cos t1 cos t 2E[ A2 ] sin t1 sin t2 E[ B 2 ]
2(cos t1 cos t 2 sin t1 sin t2 )
3
2 cos (t1 t2 ) 2.5 已 知 随 机 过 程 X (t) 的 均 值 函 数 mX (t ) 和 协 方 差 函 数 B X (t1 ,t 2 ), (t) 为 普 通 函 数 ， 令
T tT
1T f (u) f (u )du
T0
2.13 设 { X (t), t 0} 是正交增量过程， X (0) 0, V 是标准正态随机变量，若对任意的
t 0，
X (t )与 V 相互独立，令 Y (t) X (t) V ，求随机过程 {Y (t), t 0} 的协方差函数。
6
解 因 X (t ) 是正交增量过程， V ~ N (0,1) ，所以 E[ X (t)] 0, E[V ] 0, D[V ] 1，
st b 2 2.2 设随机变量 Y 具有概率密度 f ( y) ，令 X (t) e Yt ， t 0,Y 0 ，求随机过程 X (t) 的一维概率
密度及 EX (t ), RX (t1, t2 ) 。
解 对于任意 t
0 ， X (t)
e
Yt
是随机变量
Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，
Y (t) X (t) (t) ，求随机过程 Y (t) 均值和协方差函数。
解 均值 mY (t) E[Y(t)] E[ X (t ) (t )] E[ X (t )] (t) mX (t) (t ) 协方差 CY (t1 ,t 2 ) RY (t1 ,t 2 ) mY (t1)mY (t2 )
E[ Y (t1 )Y (t2 )] mY (t1 )mY (t 2 )
X (t)
2t,
t时刻抛得反面
1 试求：（ 1） X (t) 的一维分布函数 F ( , x)和F (1, x) ；
2 1 （2） X (t ) 的二维分布函数 F ( 2 ,1; x1 , x2 ) ；
（3） X (t ) 的均值 mX (t ), mX (1) ，方差
2 X
( t ),
2 X
(1)
D[ X (t )] D [Vt b] t 2DV t 2
所以 X (t) ~ N (b, t 2 ) ， X (t ) 的一维概率密度为
f ( x; t)
(x b) 2
1 e , 2t2 x ( , ) ， t (0, )
2t
均值函数 mX (t ) E[ X (t )] b
相关函数 RX (s,t ) E[ X (s) X (t)] E[(Vs b)(Vt b)] E[ stV 2 bsV btV b2 ]
P{ X (t1) x1, X (t 2 ) x2} F X (x1, x2; t1, t2 )
2.9 设 f (t) 是一个周期为 T 的周期函数，随机变量 Y 在（ 0，T）上均匀分布，令 X (t) f (t Y ) ，求
证随机过程 X (t) 满足
1T
E[ X (t ) X (t )]
f (t) f (t )dt
E[ X (t1) X (t 2 )]
E[( X
Yt1
Zt
2 1
)(
X
Yt 2
Zt
2 2
)]
因 X ,Y , Z 相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零
EX 2
t1t 2 EY 2
t12
t
2 2
EZ
2
1 t1t 2
t12
t
2 2
2.8 设 X (t) 为实随机过程， x 为任意实数，令
1, X (t) x Y (t )
4
2 ))
A2 E 1 cos( 2 t 2 ) cos(2 t 2 2 ) cos(2 t 2 ) cos(2 t 2 2 )
4
而 E[cos(2 t 2 )]
1 cos(2 t 2 )d
1 sin(2 t 2 )
0
2
4
同理 E cos(2 t 2
2) 0
利用三角积化和差公式
E cos(2 t 2 ) cos(2 t 2 2 )
RY (t1 ,t 2 ) E[Y (t1 )Y (t 2 )] 1 1 P{ X (t1) x1, X (t 2 ) x2}
1 0 P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2}
0 1 P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2}
0 0 P{ X (t1) x1, X (t 2 ) x2}
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E ( A cos( t1 ) B sin( t1))( A cos( t 2 ) B sin( t 2 ))
E A 2 cos t 1 cos t 2 B 2 sin t1 sin t 2 AB cos t1 sin t2 AB cos t 2 sin t1
解 因 A, B 独立， A ~ N (0, 2) ， B ~ N (0, 2 )
所以， E[ A] E[ B] 0, D [ A] D [ B] 2
均值 mX (t) E[ X (t )] E[ A cos( t ) B sin( t)]
相关函数
cos( t)E[ A] sin( t )E[ B] 0
T0
证明 Y 的密度函数为
fY ( y)
1 , y (0,T )
T 0, 其它
E[ X (t) X (t )] E[ f (t Y) f (t
Y )]
f (t y) f (t
y) fY ( y) dy
1T f (t y) f (t
T0
y)dy
1 tT
tyu
f (u) f (u )du
Tt
1t f (u) f (u ) du
相关函数
e yt f ( y)dy
0
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[e e Y t1 Y t2 ] E[e Y (t1 ] t2 )
e y( t1 f t2 ) ( 开始每隔 秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程
2
cos( t ), t时刻抛得正面
2 ))]
A3 E[sin( t
2
) sin( t
) cos(2 t 2
2 )]
A3 E[ 2 sin( t
4
) sin( t 2
而 E[ 2sin( t )] 1 sin( t
) sin(3 t 2 )d 0
3 )]
同理 E[sin( t 2
)] 0, E[sin( 3 t 2 3 )] 0
所以， RXY (t, t ) 0 2.7 设随机过程 X (t) X Yt Zt 2 ，其中 X ,Y , Z 是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差
为 1，求随机过程 X (t) 的协方差函数。
解 根据题意， EX EY EZ 0, DX EX 2 DY EY 2 DZ EZ 2 1 m X (t) E[ X (t)] E[ X Yt Zt 2 ] EX tEY t 2 EZ 0
C X (t1 ,t2 ) E[ X (t1 ) mX (t1)][ X (t 2 ) mX (t 2 )]
习题 2
随机过程部分习题答案
2.1 设随机过程 X (t) Vt b, t (0, ), b 为常数， V ~ N (0,1) ，求 X (t) 的一维概率密度、 均
值和相关函数。
解 因 V ~ N ( 0,1) ，所以 EV 0, DV 1， X (t ) Vt b 也服从正态分布，
E[ X (t )] E[Vt b] tEV b b
E[ X (t1) X (t 2 )] E[V 2 ]
2 X
[min(
t1 ,
t
2
)]
1
（利用正交增量过程的结论）
习题 4
4.1 设质点在区间 [0 ，4]的整数点做随机游动，到达 0 点或 4 点后以概率 1 停留在原处，在其它整数点分别
1
以概率 向左、向右移动一格或停留在原处，求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。
2
4
1 cos2( t) t 2 t cos( t) 4
[ 1 cos( t) t ] 2 2
2 X
(1)
9
4
2.4 设有随机过程 X (t) A cos( t ) B sin( t ) ，其中 为常数， A, B 是相互独立且服从正态分布
N (0, 2 ) 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。
1 ( X ( ), X (1)) 的分布列为
2
2
X (1)
-1
2
X (1/ 2)
0
1
1
4
4
2
1
1
1
4
4
二维分布函数
0,
1
,
1 F ( ,1; x1, x2 )
4
2
1
,
2
1,
x1 0或 x2 1 0 x1 1, 1 x2 2 0 x1 1, x2 2或 x1 1, 1 x2 2
x1 1, x2 2
Y (t ) X 2 (t ) ，求 RY (t,t ) 和 RXY (t ,t ) 。
解 RY (t ,t ) E[Y (t)Y (t )] E[ X 2 (t ) X 2 (t )]
2
2
2
2
E A sin ( t ) A sin ( t
)
A2 E (1 cos(2 t 2 ))(1 cos(2 t 2
有 mY E[Y (t )] E[ X (t ) V ] E[ X (t)] E[V ] 0
CY (t1, t2 ) E[Y (t1) mY (t1 )][ Y (t 2 ) mY (t 2 )]
E[ Y (t1 )Y (t2 )] E[( X (t1) V )( X (t 2 ) V )] E[ X (t1) X (t 2 )] E[V 2 ] E[ X (t1 )V ] E[ X (t 2 )V ] （因 X (t)与 V 独立， E[ X (t )] 0, E[V ] 0 ）