八年级几何证明常见模型

八年级几何证明常见模型

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1）手拉手模型 【例题1】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE， 变式练习】1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE，连接AE 与CD ， 2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE，连接 AE 与 CD ，证明： 连接 AE 与 CD ，证明： （1） △ABE≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与 DC 的夹角为 60。

（4） △AGB≌△DFB

（5） △EGB≌△CFB

（6） BH 平分∠AHC （7） GF∥AC

证明：

（1） △ABE≌△DBC （2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） AE 与 DC 的交点设为 H,BH

平分∠AHC

（1） △ABE≌△DBC （2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4）AE 与 DC 的交点设为 H,BH 平 分∠AHC

【例题2】如图，两个正方形 ABCD 和 DEFG，连接 AG与 CE，二者相交于H

问：（1）△ADG≌△CDE 是否成立？

（2）AG 是否与 CE相等？

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？

（4）HD 是否平分∠AHE？【变式练习】1：如图两个等腰直角三角形 ADC 与 EDG，连接 AG,CE,

二者相交于 H.

问（ 1 ）△ADG ≌△ CDE 是否成立？

（2）AG是否与CE 相等？

（3）AG 与 CE 之间

的夹角为多少度？

（4）HD 是否平分∠

AHE？

2：两个等腰三角形 ABD 与 BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连

接 AE 与 CD.

问（1）△ABE≌△DBC 是否成立？

2）AE是否与CD 相等？

3）AE与 CD

之间的夹角为多少度？

（4）HB 是否平分∠

AHC？

【变式练习】1，⊿ABC 中，AG⊥BC

于点 G ，以A 为直角顶

点， 分别以 AB 、AC 为直角边，向⊿ABC 作等腰 Rt⊿ABE 和等腰Rt ⊿ACF，过点E 、F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为P 、Q 。 （1） 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论； （2） 如图 2，若连接 EF 交 GA 的延长线于 H ，由（1）中的结论你 能判断 EH 与 FH 的大小关系吗？并说明理由。 （3）在（2） 的条件下，若 BC=AG=24，请直接写出

S⊿AEF=

（2）角平分线模型

【例题1】.如图1，OP 是∠AOB 的平分线，请你利用图形画 一

对以 OP 为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个 全等三角形的方法，解答下列问题。

①、如图 2，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=600

，AD 、CE 是

∠BAC、∠BCA 的角平分线， 相交于点F ，请你判断并写出 EF 与 DF 之间的数量的关系。

②、如图 3，在△ABC 中，∠ACB 不是直角，而（1）中的其 他条件不变，请问，（1）中的结论是否任然成立?若成立， 请证

明；若不成立，请说明理由。

【例题3】如图 1，AB=AE ，AC=AD ，∠BAE=∠CAD=90°． （1）证明：EC=BD ；

（2）证明：EC⊥BD；

（3）如图2，连接ED ，若N 点为DE 的中点，连接NA 并延长与BC 交 于点 M ，证明：AM⊥BC．

【变式练习】1、已知，1=2，3= 4

求证：AP 平分BAC

2、在四边形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD 平分BAC .

3、已知四边形ABCD 中，

B + D = 1800 , B

C = CD.求证：AC 平分

BAD.

【例题2】如图所示，在ABC中，AD 是BAC的外角平分线，P 是

AD上异于点A的任意一点，试比较PB + PC与AB + AC的大小，

并说明理由．

变式练习】1、在ABC中，AB AC，AD 是BAC的平分线．P

B

是AD上任意一点．

求证：AB-AC PB-PC．

2、如图，已知△ABC 中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B 的平分线交AC

于 D ，求证：AD＋

BD＝BC

C

4、 如图 1，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，那 么 AD 、BC 、AB 三条线段有何数量关系？请你猜想并证明

(2) 如图 2，将(1)中的∠D ＝90°去掉，其余条件均不变，上述结论还成立 吗？请你推理并证明

(3)垂直模型

【例题 1】如图 1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A (－3，0)、

B (0，3)，AD ⊥B

C 于

D 交 BC 于 D 点，交 y 轴于点

E (0，1) (1) 求 C 点的坐标

(2) 如图 2，过点 C 作 CF ⊥CB ，且截取 CF ＝CB ，连接 BF ，求△BCF 的 面积

(3) 如图3，点P 为y 轴正半轴上一动点，点Q 在第三象限内，QP ⊥PC ，

3、如图，已知△ABC 中，BC ＝AC ，∠C ＝90°，∠A 的平分线交 BC 于 D ， 求证：AC ＋CD ＝AB

2、已知：如图所示，Rt△ABC 中，AB=AC ，

BAC = 90

，O 为 BC 中

点，若 M 、N 分别在线段 AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN=CM.

①、 是判断△OMN 的形状，并证明你的结论.

②、 当 M 、N 分别在线段 AC 、AB 上移动时，四边形 AMON

的面积如何变化？ 思路：两种方法：

（4）半角模型

= 1 且

+=1800. 条件： 2

思路：（1）、延长其中一个补角的线段

（延长 CD 到 E ，使 ED=BM ，连 AE 或延长 CB

到 F ，使 FB=DN ，连 AF ）

结论：①MN=BM+DN ② C

CMN = 2 AB ③

AM 、AN 分别平分 ∠BMN

和∠DNM

（2）、对称（翻折）

思路:分别将△ABM 和△ADN 以AM 和AN

为对称

【变式练习】1、如图（1），已知△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过 A 的一

条直线，且 B 、C 在 A 、E 的异侧，BD⊥AE 于D ，CE⊥AE 于E （1）试说明：

BD=DE+CE ．

（2）若直线 AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD

DE 、 CE 的关系如何？请直接写出结果；

（3）若直线 AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD >CE ），其余条件不变，问 BD 与

DE 、 CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．