条件分布及随机变量的独立性

条件分布及随机变量的独立性

1．设二维离散型随机变量),(Y X 只取 )2,1(),1,1(),0,0(-- 及 )0,2( 四对值，相应概率依次为

12

5,31,61,121 ，试判断随机变量X 与Y 是否相互独立。

所以，X 与Y 不独立。

2. 设随机变量X 与Y 相互独立，试完成下表：

3．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为

1,01,02,

(,)0,x y x f x y <<<<⎧⎪=⎨⎪⎩其他.

试判定X 与Y 是否相互独立。 解：

()(,)X f x f x y dy

+∞

-∞

=⎰

.

当0x ≤或1x ≥时，

()0

X f x =；当01x <<时，

20

()12x

X f x dy x

==⎰.

()(,)Y f y f x y dx

+∞

-∞

=⎰

.

由于当(,){01,02}x y x y x ∈<<<<时，

(,)()()

X Y f x y f x f y ≠⋅，

且区域{01,02}x y x <<<<的面积不为0，所以，X 与Y 不相互独立.

4. 设二维连续型随机变量),(Y X 的联合密度函数为

201,01

(,)0

x y cxy f x y <<<<⎧=⎨

⎩其他， 求常数c ，并判断X 与Y 是否相互独立。

6=c 。

求X 的边缘密度：()()⎰

+∞

∞

-=

dy

y x f x f X ,。

当

10≥≤x x 或时，()0=x f X ；

当10<

()⎰

==

1

226x

dy xy x f X 。

求Y 的边缘密度函数：()()⎰+∞

∞

-=dx

y x f

y f Y

,。

当

10≥≤y y 或时，()0=y f Y ；

当

10<

()⎰

==

1

2

236y dx xy y f Y 。

由于对任x ，y ，有

()()()y f x f y x f Y X =,。所以，X 与Y 相互独立。

5．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0,1）内服从均匀分布，Y 的概率密度为

⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0

,

00,

2

1)(2/y y e y f y Y ．

（1）求X 与Y 的联合概率密度；（2）设关于a 的二次方程为 022

=++Y Xa a ，求此方程有实根的概率。

解：由X ~U (0，1)知X 的密度为：

()X f x =

1,

01;0,

x <<⎧⎨⎩其他.

由X Y 与独立知，(X ,Y )的一个联合密度为：

方程有实跟的概率为：