格与布尔代数格与布尔代数万字

第5章：格与布尔代数

格与布尔代数是代数系统中的又一类重要代数系统。这两个代数系统与第4章讨论的代数系统之间存在着一个重要的区别：在格与布尔代数中，偏序关系具有重要的意义。为了强调偏序关系的作用，我们将分别从偏序关系和代数系统两个方面引入格的概念。

给格附加一定的限制后，格就转化为布尔代数，即布尔代数是一种特殊的格。

布尔代数最初是作为对逻辑思维法则的研究而出现的，创立者是英国哲学家和数学家布尔

（G .Boole ）。自布尔之后，许多数学家对布尔代数的一般化作了许多努力，特别是斯通（M.H.Stone ），他的工作可以说是对现代布尔代数的发展开创了一个新阶段。

1938年，香农（C.E.Shannon ）发表了《继电器和开关电路的符号分析》一文，为布尔代

数在工艺技术中的应用开创了道路，从而出现了开关代数。为了给开关代数奠定基础，于是自然形成了二值布尔代数，即逻辑代数。自香农之后，人们应用布尔代数对电路作了大量研究，并形成了网络理论。

格与布尔代数不仅是代数学的一个分支，而且在近代解析几何、半序空间等方面也都有重要的作用，同时，格与布尔代数在计算机科学中也有十分重要的作用，可直接用于开关理论和逻辑设计、密码学、计算机理论科学等。

§5.1 偏序关系与偏序集 1. 基本概念

我们常用关系对集合的某些元素或全体元素进行排序。例如，使用包含着字对>

定义5.1 设R 是集合X 上的关系，如果R 是自反的、反对称的和传递的，则称R 是X

上的偏序关系。偏序关系通常用符号π表示，π>∈

带有偏序关系π的集合X 叫做偏序集，当我们需要指明时，记作><π，X 。

b a π意为b a π且b a ≠，读着“a 严格先于b ”

。π也是集合X 上的关系，并且是反自反的、反对称的和传递的，叫做X 上的半序。显然，如果π是偏序，则X I -π为半序π，

反之，如果π是半序，则X I Y π为偏序π。

a b φ意为b a π，读着“b 后于a ”。φ也是集合X 上的偏序关系，叫做π的对偶序，

相应的偏序集><φ，X 称为><π，X 的对偶集。显然对偶序φ是关系π的逆，即1

-=π

φ。

例5.1 （1）设R 是实数集合，≤为小于或等于关系，则≤是R 上的偏序关系，≤><，R 是偏序集。

（2）设+Z 是正整数集合，a 整除b 记作“b a |”，例如，21|712|34|2，，，等等，

则这种整除关系“|”是+Z 上的偏序关系，><+

|，Z 是偏序集。

（3）整除关系“|”不是整数集合Z 上的偏序关系。特别地，“|”在Z 上不是反对称的，

例如有2|2-和2|2-，但22-≠。（注意：说m 整除x 是指存在整数k ，使得m k x ⨯=）

（4）在整数集合Z 上，定义关系：aRb 当且仅当存在正整数r 使得r

a b =，例如因为

328=所以82R 。则R 是Z 上的偏序关系，>

（5）设)(S p 是集合S 的幂集，⊆是集合的包含于关系，则⊆是幂集)(S p 上的偏序关系，

⊆><，)(S p 是偏序集。

■

为了更直观地研究偏序关系和偏序集，可借助于哈斯（Hass ）图。哈斯图的画法可描述为：

设><π，X 是偏序集，X 中的每个元素用节点表示，若X y x ∈，，且y x π，则节点x 画于节点y 的下面；若y x π且x 与y 之间不存在另一个z 使得z x π和y z π，则x 与y 之间用一线段连接。

显然，哈斯图是关系图的一种简化，它是根据偏序关系的自反和传递特点去掉了关系图中所有环和某些线段后的简化图。

例5.2 （1）集合}362412632{，，，，，=X 在整除关系下构成偏序集，它的哈斯图如图5.1（a ）所示。

（2）集合}{c b a S ，，=的幂集)(S p 在集合的包含于关系⊆下构成偏序集，它的哈斯图如图5.1（b ）所示。

图5.1

偏序集的哈斯图

■

定义5.2 假设a 和b 是偏序集><π，X 上的两个元素。如果

b a π或a b π。

我们就说a 和b 是可比较的。否则我们就说a 和b 是不可比较的，并记作b a ||。

“偏”是用来定义偏序集X 的，因为集合X 上某些元素是不可比较的。若X 的每一对元

素都是可比较的，则称X 为全序集，相应的偏序就称为全序。全序集也叫做线性序集或叫做链。虽然偏序集可能不是全序集，但它的子集仍有可能是全序集。很明显，全序集的每一个子集都是全序集。

例5.3 （1）偏序集≤><，R 是全序集，R 的每个子集在偏序关系≤下也都是全序集。 （2）考虑偏序集><+

|，Z 。21和7可比较，因为21|7；但3和5不可比较，因为既没有5|3也没有3|5。因此><+|，Z 不是全序集，但}361262{，，，=S 是+Z 在整除关系下的全序子集。

（3）对于含有两个或两个以上元素的集合S ，偏序集⊆><，)(S p 不是全序集。例如，假设a 和b 属于S ，那么)(S p 中的}{a 与}{b 是不可比较的。而}}{{S a A ，，φ=是)(S p 在偏序关系⊆下的全序子集。

■

2. 偏序集中的特殊元素

定义5.3 设><π，X 是偏序集，S 是X 的子集。S 中的一个元素a 叫做S 的极小元，如果S 中没有其它元素严格先于a 。类似地，S 中的一个元素b 叫做S 的极大元，如果S 中没有其它元素严格后于b 。

极小元、极大元的符号化表示为

a 为S 的极小元)(a x a x S x x =→∧∈∀⇔π a 为S 的极大元)(a x x a S x x =→∧∈∀⇔π

偏序集的子集S 可以有多于一个的极小元和极大元。如果S 是无限集合，那么S 可能没有极小元和极大元，例如，偏序集≤><，R 没有极小元和极大元。如果S 是有限集合，那么S 一定至少有一个极小元和一个极大元。即有下面的定理。

定理5.1 设><π，X 是偏序集，S 是X 的子集。如果S 是有限集，那么S 至少有一个极小元和一个极大元。

证明 不妨设}{21n y y y S ，，

，Λ=，令1y a =，并且对n i ，，，Λ32=做