交流电路知识点

交流电路知识点
第四章 正弦稳态分析
当线性定常电路中的激励源是某一频率的正弦 电源，且电路已工作在稳定状态时，电路中的 响应均是与激励同频率的正弦量。电路的这种 工作状态称为正弦稳态。
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一 正弦量：大小方向随时间按正弦规律变化的电压、电流。
、 正
时域表达式：i(t)=Imcos(w t+)
Y
+
U
Z1
I1
Z2
I2
等效阻抗Z Z1Z2
-
Z1 Z2
•
分流公式 I1
Z2
••
I, I2
Z1
•
I
Z1 Z2
Z1 Z2
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Z(jω)是随频率而变的，因此不存在一个适用于所有频率的具
体等效电路。在一定频率下，可得到一个只适用于该频率的
等效电路，上述等效变换也就是在一定频率下得到的，这一
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Y G jB | Y | cosY j | Y | sinY
Y代数形式所对应的“并联模型”的导纳△与
其电流△相似：
I
U
IG
G
G
IB
Y
jB
|Y|
导纳三角形
. IG
U
Y
B
I
. IB
并联电路以电压相量为参考作相量图比较方便。
. ..
I
I G
I
B
I YU
IG GU I B BU
Pmax
U
2 S
4Ri
如果负载的阻抗角不变，而模可变，获得最大功
率的条件:
模匹配: ZL Zi
Ri2
X
2 i
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正 弦 稳
•
•
•
•
正弦稳态下变为： U K 0, I K 0及 U Z I 相量形式的
上述各方法。
态 相量法在DC分析法的基础上，还具有以下特点：
就越尖锐，当η稍微
偏离1时（即ω稍偏
I0
离ω0），I/I0就急剧 0.707
下降，表明电路对非
通用谐振曲线 Q=0.5
谐振频率的电流具有 较强的抑制能力，即
Q=1
谐振电路的选择性就
Q=10
好；反之Q值小，选 择性就差。
0
1 1 2
通频带(带宽)BW
BW
w2
w1
w0 (2
1 )
w0
Q
I 1 对应的频率范围定义为通频带，
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线性无源一端口网络端口 电流相量与电压相量之比
称为等效复导纳Y
I
线性无
U 源网络
（NO）
I
U Y
•
Y
I
•
U
I U
(
i
u
)
•
•
I YU
Y
Y
Y
G I U
jB
Y
i
u
Y为普通复数，实部G称为电导，虚部B称为电 纳；|Y|称为复导纳的模，Y称为导纳角
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则B<0，即仍为感性。
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阻抗串联、并联的电路
两个阻抗串联
I Z1
Z
+
U
+
U1
-+
U2
-
-
等效阻抗 分压公式
Z2
Z Z1 Z2
•
U1
Z1
•
U,
Z1 Z2
•
U2
Z2
•
U
Z1 Z2
两个阻抗并联
I
等效导纳
Y
Y1 Y2
1 Z1
1 Z2
Z1 Z2 Z1Z2
S UI, Q P U R I RI 2 ,
R
U
R
P
Q U X I XI 2
U Z I,U R RI,U X X I
2、Y代数形式所对应并联模型的导纳△、电流△与
功率△相似：
G
IG
'
'
P
'
S IU ,
I
B
|Y|
Y U , IG
I
I
B
GU, IB
S
BU
Q
P UIG Q UIB
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Z R jX Z cosZ j Z sinZ
Z代数形式所对应的“串联模型”的阻抗△ 与其电压△相似：
•
I
•R
U
jX
|Z|
XU
z R
z UR
U ZI
UX U R RI U X XI
串联电路以电流相量为参考相量作图比较方便； 参考相量的初相一般取为零。
•
u(t) 0 U 0
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2、正弦量的微分，积分运算
•
•
iI
uU
di
jw
•
I
dt
udt
1
jw
•
U
j ( )
e2
e j
j
e 2
je j
jw
•
I
wI
i
2
正弦量求导与相量×jω对应，振幅为原来的w倍，初相
增加90°即：复平面逆时针旋转90度。
•
j ( )
弦 波形： 量
i(t) Im
的
0
ωt
表
示 形
Ψ
2π
(=ωT )
Im , w , ——正弦量的三要素
式 i(t ) Im cos(wt ) 2I cos(wt )
•
频域表达式： I IΨ
有效值的相量形式
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相量与正弦量一一对应。给定了正弦量，就可 写出其相量；反之，若给定相量及ω，就可写出其 正弦量。
e2
e j
j
e 2
je j
U
jw
U
w
i
2
正弦量积分与相量jω对应，振幅为原来的1/w倍，初相
减小90°即：复平面顺时针旋转90度。
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三
、 正
元件时域形式 u, i 关系 相量形式 大小关系 相量图
弦
i(t)
电 路 中
+ uR(t)
R
u Ri
•
•
5
二 1、同频率正弦量相加减
、 同频的正弦量的加减运算等效成对应的相量的加减运算。
相 量
u(t ) u1(t ) u2(t )
i(t) i1(t) i2(t)
的 运
算
•
•
•
•
•
•
U U1U2
I I1 I2
因此，在正弦稳态电路中，KCL和KVL可用相应
的相量形式表示。
•
i(t) 0 I 0
提高功率因数办法: 并联电容
I
+
R
IC
IL
1 2 I
U
U
C
_L
IC IL
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•最大功率传输
•
Zi=Ri+jXi
有源正 弦稳态 网络N
I
+
+
•
•
U
U ZL=RL+jXL OC-
-
•
I
+
•
U
-
ZL=RL+jXL
共轭匹配：ZL= Zi*
RL= Ri XL =－Xi
IL(w 0) =IC(w 0) =Q并IS
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二、实际的并联谐振电路
R
Y
jωC
1 R jωL
L
C
R2
R (ωL)2
j(ωC
R2
ωL (ωL)2
)
G jB
谐振时 B=0，即
ω0C
R2
ω0 L (ω0 L)2
0
谐振条件：
ω0
1 ( R)2 LC L
w0
无量纲
w
3.电流I达到最大值：I0=U/R (U一定)。 I(w )
4.电阻上的电压等于电源电压，LC上
串联总电压为零，即
O w0
w
•
••
•
U R0 U , U L0 U C0 0
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•
•
•
•
UL .
U
UR 0 I R
•
•
•
UL0 I jw0L jQ U
等效电路也只能用来计算在该频率下的正弦稳态响应。
例4：
a
a
Z 5 j10ω=10rad/s
↔ 5Ω ω=10rad/s G
jB
1H
Y
1
b
0.04 j0.08 S
b
5 j10
若ω改变，则G，B数值也随之改变
a
a
Z 5 j5
ω=5rad/s
↔ 5Ω ω=5rad/s
G
jB
Y
1 0.1 5 j5
Ue j u Ie j i
•
U
•
I
S S~ P 2 Q2 ;
cos P/ S P/ P 2 Q2 ;
有功功率P守恒，无功功率Q守恒，复 功率S~守恒，视在功率S不守恒。
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• 功率因数提高
电力系统的负载多为感性负载（如日光灯、电机、电扇 等），故提高λ的方法：在感性负载的“附近”（如某单位 的变电所）并联适当的电容。不会影响原负载的工作状态 （电压电流不变）。
电 （1） 涉及复数运算，计算量大。
路 分 析 小
（2）同一电路的阻抗串联模型的阻抗△、电压△及 功率△相似；或导纳并联模型的导纳△、电流△及功
率△相似。因此可借助这些相似△的关系使计算简
结 化。
（3）可借助几何关系及相位关系(如等腰△、等边△、
同相、反相、正交等)使分析简化。
（4）所有的方程均为相量与复数的关系式。
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭
牌额定值、电网的电压等级等。
但绝缘水平、耐压值指的是最大值。
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
特别注意：
区分电压、电流的瞬时值、有效值、最大值的符号
u i U I Um Im
以及相量表示的符号
••
UI
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ω 0
L
1
ω 0
C
ω 0
1或 LC
f0
2
1 LC
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二、RLC串联谐振的特点
1.
•
U
与
•
I
同相
2. 入端阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|
最小。
|Z|
特性阻抗
w0L
1
w0C
L C
R
品质因数 Q ω0L 1 1
R R ω0RC R
LO C
GU 2 , BU2
3、为了区分正负时，常在λ后面附加“滞后”或“超前”
字样。“滞后”指i 滞后于u (感性) ；“超前”指i 超前于u
2(0容08-1性0-2)4 。
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5、复功率 S~
S~ P jQ S
S UI (cos j sin ) UIe j
UIe j( u i )
U RI
U RI
-
•
U
•
I
的 i(t)
电+
阻 、
uL(t) -
•
•
L
u L di dt
U
•
jwL I
U
U wLI
•
I
电
iC(t)
感 和
+ u(t)
电-
容
•
•
C
U
i C du dt
j
1
U 1 I
•
I
wC
I
•
wC
U
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四 、 复 阻 抗
线性 无 源一 端 口网络 的 I
端口电压相量与电流相 ＋
量之比称之为该网络的
等效复阻抗Z
U
N0
I
＋
U Z
、
•
－
－
复 导 纳
Z
U
•
I
U I
( u
i )
Z
Z
R
|Z|
jX
欧姆定律的相量形式：U•
Z
•
I
z
X
Z是普通的复数，不是相量
R
|Z|—复阻抗的模；Z —阻抗角
其中：Z U , φ ψ ψ
I
Z
u
i
R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；
IR
+
•
U
+
•
UR
_ •+ U_L
•
UR
•
UC
•
I
•
U C0
•
I
jw0C
•
jQU _
Q U L0
•+ UC_
UC0
谐振时的相量图
UU
jw L
1 jω C
串联谐振又称电压谐振。
5. 功率和能量 P UI cos RI 2
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Q值越大，曲线形状 I (η )
时为阻抗角)。
3、无功功率Q
Q U I sin 单位：Var(乏，无功伏安)
4、视在功率S (实际用电设备的容量)
S
S UI P2 Q2
Q
单位: “伏安”(V·A)
P
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1、Z代数形式所对应串联模型的阻抗△、电压△与
功率△相似：
|Z|
XU
S
U
X
当 1 ( R )2 , 即 R L时, 可以发生谐振
LC L
C
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注意
① 电路发生谐振是有条件的，在电路参数一 定时，满足：
j0.1
S
b
1H
b
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五 、 正
1、瞬时功率p(t)
p(t ) u(t )i(t ) U I cos U I cos(2ω t )
弦 稳 态 功 率
2、平均功率P
P 1 T pdt UI cos UIλ (W)
λ=
T
cos
0
称为功率因数，称为功率因数角(N无源
（5）功率花样多(P、Q、S、S~）
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六 、 谐 振 电
一、串联谐振
由电感线圈(R、L)和电容器(C) 串联组成谐振电路，称为RLC 串联谐振电路
I R
L
UR UL
US
C
UC
路 Z R j(ωL ω1C ) R jX (ω)
即X (ω) 0
I0 2
它规定了信号能顺利通过的频率范围
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一、GCL并联谐振电路
.. I S 与U 同 相 位 ω0
1 LC
•
IS
|Y|
+
•
U
G
_
CL
G
O
w0
w
|Y|最小=G |Z|最大
U(w )
IS/G
•
U
•
IL
电流谐振
LC并联支路相当于开路
O w0
w
IS固定时 谐振点呈现高电压
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复阻抗Z与复导纳Y的等效关系
ZR
jX
Y
G
jB
Z R jX | Z | φ Z
Y G jB Y Y
Y
1 Z
1 R jX
R R2X 2
j
X R2 X 2
G jB
1
| Y | , |Z|
φY φZ
当Z ≠0时，G1/R B1/XΒιβλιοθήκη Baidu若Z为感性，X>0，
相量图 (Phasor Diagram )
•
i(t) 2Icos(ω t ) I I
•
U
q
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•
u(t) 2Ucos(wt θ) U Uθ
•
I • 不同频率的相量不能画
在一张相量图上。
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正弦电压、电流有效值与最大值的关系：
U
1 2 Um
Im 2I