对新世纪数学发展趋势的一些展望
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学成果产量呢?这就是当年 Ul a m所虑及的所谓" 困境" 问题. 顺便提到, 中国的诗词文学史也同样验证了达尔文主义.据文史研究家报导 , 中国唐代诗风极 盛, 估计创作出来的诗词至少在 3 万首至 4 万首之间. 0 0 然而时过千年 , 只保存下来篇幅不大的" 千
家诗" 唐诗三百首" 和" .可见诗词和数学定理一样, 也经历了" 适者生存" 的自然淘汰过程. 数学上的" 适者生存" 规律并不特别优待杰 出的权威人士.例如 N w o e tn发明微积分时采用的 " 点主义"d t (o 主义)即用" 表示微商的记法, , 点" 终于被后世淘汰了.而微积分另一创始者 1 in _ bi e z 的" 记法' d , 却成为后世普遍采用的微分记号. 数学达尔文主义不仅从一个方面消除了人们对" l 困境" Ua m 的担心, 还将从另一个方面激励 着新世纪的数学工作者们, 会以积极的姿态去迎合" 适者生存" 的规律. 这就要求他们能 自觉地争取 一 创作出具有" 三特征( 善, " 四功能" 真正是有着相对永恒价值的成果来. 真, 美)和" 的, 为此 ,数学美 "
S TUDI S COL GE E I N LE MATHE MATI S C
高等数学研究
Vo. . l4 No 3 , Sp , 0 1 e . 20
对新世纪数学发ห้องสมุดไป่ตู้趋势的一些展望'
徐利治 ( 大连理工大学数学科学研究所, 大连,104 162)
前 言
多构 义 主 按 结 观 " 行 分 分 和 理 门 学 发 新 数 分 . 主 ,张 " 构 点 进 区 , 析 整 各 ' 并 展 的 学 支 数
结构主义观点对理论数学的发展, 曾产生了深远的影响, 预期对新世纪的数学研究还将继续发
挥积极作用[0 3 1
2 0世纪的许多数学巨匠, 都倾向于接受" 柏拉图主义"Pao i 的哲学观念 , ( l ns t m) 即承认数学的 概念( 一般都是经历" 科学的抽象过程" 所建立的概念) 都是客观存在的抽象物 , 人们都只能遵循逻 辑的规则对它们进行客观的分析和研究 , 从而导出的一切合理结论 ( 定理, 推论, 公式等) 也都是客
它是 由逻辑协调性来保证 的.
数学模式作为处理科技问题的形式工具, 它还应具有" 表现功能"" ,分析功能"" ,计算功能" 和 " 解题功能,或四种功能中的某些功能) ( ' .一般说来 , 凡是基本上具有真, 美特征的数学模式 , 善, 必 然也是具有很好功能的数学工具, 它们都是历史演化的产物并将在今后历史长河 中被不断重排其
欧美数学家G H H ry L A Sen SMa Ln 等人的著述中也都不约而同地表述过相同或 . a , . , c e . d . t e . a
相似的观点.例如H r 说过" a y曾 d 数学家是模式的创制者"" m t m ti ia kr a (A h acn m e opt a e ia s a f -
20 年 4 月下旬清华大学 9 周年校庆期间, 01 0 作为老校友我有幸被邀请回到清华大学数学科 学系, 在理学院报告厅作了一次题 目即本文标题的学术讲演. 讲演的后半部份谈到了现代数学发展 趋势中人们颇感兴趣的问题, 数学达尔文主义"数学" 如" , 模式真理" 经验真理" 与" 等观点问题.今 将讲稿整理成文, 特在本刊发表, 以供读者参考或探讨 . 一, 数学发展的动力 每个时代的数学发展, 都受到三种力量驱动着. 一是内在动力, 二是外部动力 , 三是内外双方面 的互动作用. 现代各个数学领域中的许多理论研究工作 , 基本上都是由内在动力驱动的. . et 10 D H l r 在 90 i b 年巴黎国际数学家代表会上的讲演曾提出了 2 个著名的数学问题. 3 这些问题的研究曾帮助推动了
用数学在新世纪里的巨大发展. 三, 调理数学发展的潜在力量 一般说来, 凡是经历了认真的科学的抽象过程产生的数学模型, 理应具有" 简单性"" ,逻辑协调 性"" ,统一性"普适性) 可操作性"可应用性)因为简单性正是美的标志, ( 与" ( , 而应用的普适性代表 着善, 所以理想化的数学模式理应具备真, 美的特点, 善, 在纯数学领域里,真" " 是指" 模式真理性" ,
前者可以举出Aioe G us Koe e, cr, u e"WelH yn 等, rt l as, nc rPia Bowr} y, tg 后者有Pa s t , r k o e r n E, ei l -
t, o C n r Ddk d We r r s Hl r, sl Zr e , 5 他们分别成为近, o Zn , t , ei , is a , b t R s l e l 等[. e ao e n e t s ie u e , m o 3 现
的诸代表人物基本上都持上述观点闭.
柏拉图主义常被称为" 客观唯心主义" 因为它认为一切数学概念都属于一个先验的" , 理念世 界" .它假设早就存在一个先于人脑理性思唯的数学理念世界, 对此假设的信以为真的观点当然是 唯心论了. 事实上, 只要在古典的柏拉图主义中取消上述假设, 而代之以反映论观点, 把数学概念看 成为符合科学抽象规律的人脑对实在关系的反映形式, 那就不致于陷人唯心论了.因此, 不再坚持 " 理念世界" 先验论的" 现代柏拉图主义者" 只须再加上实践检验真理的观点 , , 那就成为科学反映论 的信奉者了.事实上, 苏联以 A D AeadrvA Z A . l neo ( . 二二ano) . x ( . Hps为代表的一批杰出数学家都早 已采用反映论观点研究和论述数学. 他们合作写成的巨著《 数学— 它的内容, 方法和意义》 翻译成 中文出版后 , 也曾对中国数学界产生了深刻影响. 可以预见,1 2 世纪新生代的数学家们将会愈来愈 多地接受并发扬科学的反映论观点. 现代柏拉图主义者 A N Wh eed曾于 13 年 1 月在美国哈佛大学作了一次题为" . iha . t 99 2 数学与 善" 的著名讲演. 后来讲演稿收进他 14 年出版的论文集中, 91 成为代表他" 最终哲学观点" 的两篇文 章之一[. ' 」 在《 数学与善》 的文章中, i ced明确地提出了" Wh eha t 数学是研究模式的科学" 的观点( 原文即
学卷'1 f .这三卷中的 6 多个应用数学分支中的绝大多数分支都是 2 世纪中叶后成长发展起来 [ 2 0 0 的.它们的生命产生于" 应用"而应用正是外部动力的核心[ , [ i 2 }
促进数学发展的还有" 内外互动作用" 每一数学分支一旦形成, , 即不断产生内外互动现象 , 使 得该分支获得更丰硕的理论结构以及达到更高的抽象层次.例如, 从古典的 F ui 分析逐步发展 or r e 到现代的小波分析( vl s , Wae t)就是最明显的例证. e
二, 引导数学发展的基本理念 2 世纪初, 围绕数学基础问题的讨论, 0 曾产生了逻辑主义派, 直觉主义派和形式主义派.由形 式主义派引发出的数学公理化思潮, 曾推动了数学科学的巨大发展.例如概率论的公理化, 理论力 学的公理化, 相对论与理论量子力学的公理化等等, 都是公理化思潮的产物. 在公理化思想的基础上,0 2 世纪的 3 年代至 4 年代法国出现了 B ubk 学派, 0 0 o ra i 提出了数学
境"〕 [. ' 美国数学家 S Ul M. m 曾在上世纪 7 年代发现浩如烟海的数学文献海洋中, . a 0 每年会涌现出
大约 2 万个定理来.现今又过了三十年, 0 即使作保守估计 , 全世界由数学界提供的" 数学定理年产
量" 至少会超过 3 万个了.试问数学教师和学生们以及研究工作者将如何面对每年如此庞大的数 0
trs) en " . 所谓" , 模式"按照反映论观点来看, 那就是表现( 反映) 事物( 包括抽象物) 关系结构的" 理想化
的形式模型"它是经历科学抽象过程的概念思维的产物.而模式一经形成, , 便具有形式客观性, 人 们就只能对它进行客观的分析和研究 , 因而按逻辑规则推导( 演绎) 出来的一切结论, 也就具有" 模 式真理性" 例如,a tr . C no 集合论中所建立的一些定理, 即具有这种真理性拭 当然, 数学基础问题研 究者中的直觉主义派是不认可" 实无限" 概念的.后面还将述及这个问题. ) " 数学模式观" 是从整体上分析刻画了数学对象的本质特征, 所以它与数学公理化思想及结构 主义是不矛盾的. 实际上后者可以看成为分析, 创建与比较各类数学模式的方案与方法论. 正因为 这样, 所以现代数学界的大多数, 实际上是承认或默认" 数学模式观" 数学模式真理性" 与" 的观点 的, 一般数学工作成果也都是符合这些观点的. 还有" 模式多元论" 的观念事实上也早已成为近, 现代数学界普遍接受的思想. 正因为有了这种 大家认可的思想或共识, 所以在几何学领域中可以有" 欧氏几何" 和各种" 非欧几何"在表现 自然数 . 序列无限性的数学模型中可以有" 潜无限模型" 实无限模型" 对实数连续统可以同时有 C no 和" . atr 的标准数域模型 R和 R b sn的非标准数域模型. .在' oi o n R R上还可以有多种非标准测度模型[ , C 8 1 类似的例子不胜枚举. 至于在应用数学诸分支中, 对同类或同一问题就常常会有各种不同的求解模
位 置.
人们只须浏览一下现代数学百科全书或任何巨型数学手册, 即可看到大批被历史选择出来的 精美模式, 它们实际上只是以往几个世纪所产生的全部数学产品成果中的极小部份. P JD v s与 R H rh的《 . ai . . s e 数学经验)18 年原版,91 ) 91 ( 19 年中译本) 一书中曾提及数学上的 " 达尔文主义"D r is , ( awn m)意即数学在演化发展的历史进程中, i 一切成果也都是服从" 适者生存" 的规律的.这条客观规律乃是调理数学发展的潜在力量, 所以人们完全不必害怕所谓的" a 困 Ulm
代直觉主义派与形式主义派及逻辑主义派的始祖和代表人物.现今, 按照模式多元论观点, 可见他
们之间当年的激烈争议是没有必要的.事实上 , 在包含非标准 自然数集 ' 的 R bno N o is n的' R模型
万方数据
高等数学研究
20 0 1年 9月
中, 即包含着潜无限自然数作为其" 初始片段"又包含有实无限的自然数集C, , g 这说明可以存在一 j 个逻辑上完全合理的" 双相无限模型"在其上实无限与潜无限是无需相互排斥的. , 综上所述, 可见在 2 世纪中叶酝酿成熟的数学模式观, 0 已在上世纪的下半叶成为引导数学发 展的基本理念.我们还可以进一步预期, 此种理念的继续深化和发展 , 还将进一步带动纯数学与应
型. 例如在" 决策分析"Dc i A a s ) (eio nl i 这一较新的数学分支中, s n y s 对每一种问题都可以有众多的
策略模型.如此等等. 模式多元论观点除了促进数学模型理论发展外, 还帮助消解了各种不同数学流派之间的长期 争论. 如大家所知, 对待" 无限" 概念的争论, 自古至今就有" 潜无限论者" 实无限论者" 和" 两大派别.
2世纪数学的发展, 0 可以说也属于内在动力范畴[, br的问题中迄今尚有 8 [ Hl t ' ie 1 个问题未获完全
解决, 无疑还将继续吸引着 2 世纪的一部分数学专家们的注意力去作最后的努力, 1 可以预期, 在新 的 世纪里它们可能被解决或在相对意义下解决. 其实, 数学发展的最大动力还是来 自诸应用科学部门与客观世界相互作用所产生的外驱力. 例 ' 我国新近出版的《 如, 现代数学手册》 大卷的后三卷为" 5 随机数学卷"" ,计算机数学卷" 经济数 与"
收稿 日期:0 1 5 5 20-0-1 ,
万方数据
第4 卷第 3 期
徐利治 : 对新世纪数学发展趋势的一些展望
观的. 例如A N Wh eed K G dlD Hl r G H H ry SMa Ln 以及B ubk学派 . iha , oe, ie , . d , c e . t . . t . a b . a orai
家诗" 唐诗三百首" 和" .可见诗词和数学定理一样, 也经历了" 适者生存" 的自然淘汰过程. 数学上的" 适者生存" 规律并不特别优待杰 出的权威人士.例如 N w o e tn发明微积分时采用的 " 点主义"d t (o 主义)即用" 表示微商的记法, , 点" 终于被后世淘汰了.而微积分另一创始者 1 in _ bi e z 的" 记法' d , 却成为后世普遍采用的微分记号. 数学达尔文主义不仅从一个方面消除了人们对" l 困境" Ua m 的担心, 还将从另一个方面激励 着新世纪的数学工作者们, 会以积极的姿态去迎合" 适者生存" 的规律. 这就要求他们能 自觉地争取 一 创作出具有" 三特征( 善, " 四功能" 真正是有着相对永恒价值的成果来. 真, 美)和" 的, 为此 ,数学美 "
S TUDI S COL GE E I N LE MATHE MATI S C
高等数学研究
Vo. . l4 No 3 , Sp , 0 1 e . 20
对新世纪数学发ห้องสมุดไป่ตู้趋势的一些展望'
徐利治 ( 大连理工大学数学科学研究所, 大连,104 162)
前 言
多构 义 主 按 结 观 " 行 分 分 和 理 门 学 发 新 数 分 . 主 ,张 " 构 点 进 区 , 析 整 各 ' 并 展 的 学 支 数
结构主义观点对理论数学的发展, 曾产生了深远的影响, 预期对新世纪的数学研究还将继续发
挥积极作用[0 3 1
2 0世纪的许多数学巨匠, 都倾向于接受" 柏拉图主义"Pao i 的哲学观念 , ( l ns t m) 即承认数学的 概念( 一般都是经历" 科学的抽象过程" 所建立的概念) 都是客观存在的抽象物 , 人们都只能遵循逻 辑的规则对它们进行客观的分析和研究 , 从而导出的一切合理结论 ( 定理, 推论, 公式等) 也都是客
它是 由逻辑协调性来保证 的.
数学模式作为处理科技问题的形式工具, 它还应具有" 表现功能"" ,分析功能"" ,计算功能" 和 " 解题功能,或四种功能中的某些功能) ( ' .一般说来 , 凡是基本上具有真, 美特征的数学模式 , 善, 必 然也是具有很好功能的数学工具, 它们都是历史演化的产物并将在今后历史长河 中被不断重排其
欧美数学家G H H ry L A Sen SMa Ln 等人的著述中也都不约而同地表述过相同或 . a , . , c e . d . t e . a
相似的观点.例如H r 说过" a y曾 d 数学家是模式的创制者"" m t m ti ia kr a (A h acn m e opt a e ia s a f -
20 年 4 月下旬清华大学 9 周年校庆期间, 01 0 作为老校友我有幸被邀请回到清华大学数学科 学系, 在理学院报告厅作了一次题 目即本文标题的学术讲演. 讲演的后半部份谈到了现代数学发展 趋势中人们颇感兴趣的问题, 数学达尔文主义"数学" 如" , 模式真理" 经验真理" 与" 等观点问题.今 将讲稿整理成文, 特在本刊发表, 以供读者参考或探讨 . 一, 数学发展的动力 每个时代的数学发展, 都受到三种力量驱动着. 一是内在动力, 二是外部动力 , 三是内外双方面 的互动作用. 现代各个数学领域中的许多理论研究工作 , 基本上都是由内在动力驱动的. . et 10 D H l r 在 90 i b 年巴黎国际数学家代表会上的讲演曾提出了 2 个著名的数学问题. 3 这些问题的研究曾帮助推动了
用数学在新世纪里的巨大发展. 三, 调理数学发展的潜在力量 一般说来, 凡是经历了认真的科学的抽象过程产生的数学模型, 理应具有" 简单性"" ,逻辑协调 性"" ,统一性"普适性) 可操作性"可应用性)因为简单性正是美的标志, ( 与" ( , 而应用的普适性代表 着善, 所以理想化的数学模式理应具备真, 美的特点, 善, 在纯数学领域里,真" " 是指" 模式真理性" ,
前者可以举出Aioe G us Koe e, cr, u e"WelH yn 等, rt l as, nc rPia Bowr} y, tg 后者有Pa s t , r k o e r n E, ei l -
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的诸代表人物基本上都持上述观点闭.
柏拉图主义常被称为" 客观唯心主义" 因为它认为一切数学概念都属于一个先验的" , 理念世 界" .它假设早就存在一个先于人脑理性思唯的数学理念世界, 对此假设的信以为真的观点当然是 唯心论了. 事实上, 只要在古典的柏拉图主义中取消上述假设, 而代之以反映论观点, 把数学概念看 成为符合科学抽象规律的人脑对实在关系的反映形式, 那就不致于陷人唯心论了.因此, 不再坚持 " 理念世界" 先验论的" 现代柏拉图主义者" 只须再加上实践检验真理的观点 , , 那就成为科学反映论 的信奉者了.事实上, 苏联以 A D AeadrvA Z A . l neo ( . 二二ano) . x ( . Hps为代表的一批杰出数学家都早 已采用反映论观点研究和论述数学. 他们合作写成的巨著《 数学— 它的内容, 方法和意义》 翻译成 中文出版后 , 也曾对中国数学界产生了深刻影响. 可以预见,1 2 世纪新生代的数学家们将会愈来愈 多地接受并发扬科学的反映论观点. 现代柏拉图主义者 A N Wh eed曾于 13 年 1 月在美国哈佛大学作了一次题为" . iha . t 99 2 数学与 善" 的著名讲演. 后来讲演稿收进他 14 年出版的论文集中, 91 成为代表他" 最终哲学观点" 的两篇文 章之一[. ' 」 在《 数学与善》 的文章中, i ced明确地提出了" Wh eha t 数学是研究模式的科学" 的观点( 原文即
学卷'1 f .这三卷中的 6 多个应用数学分支中的绝大多数分支都是 2 世纪中叶后成长发展起来 [ 2 0 0 的.它们的生命产生于" 应用"而应用正是外部动力的核心[ , [ i 2 }
促进数学发展的还有" 内外互动作用" 每一数学分支一旦形成, , 即不断产生内外互动现象 , 使 得该分支获得更丰硕的理论结构以及达到更高的抽象层次.例如, 从古典的 F ui 分析逐步发展 or r e 到现代的小波分析( vl s , Wae t)就是最明显的例证. e
二, 引导数学发展的基本理念 2 世纪初, 围绕数学基础问题的讨论, 0 曾产生了逻辑主义派, 直觉主义派和形式主义派.由形 式主义派引发出的数学公理化思潮, 曾推动了数学科学的巨大发展.例如概率论的公理化, 理论力 学的公理化, 相对论与理论量子力学的公理化等等, 都是公理化思潮的产物. 在公理化思想的基础上,0 2 世纪的 3 年代至 4 年代法国出现了 B ubk 学派, 0 0 o ra i 提出了数学
境"〕 [. ' 美国数学家 S Ul M. m 曾在上世纪 7 年代发现浩如烟海的数学文献海洋中, . a 0 每年会涌现出
大约 2 万个定理来.现今又过了三十年, 0 即使作保守估计 , 全世界由数学界提供的" 数学定理年产
量" 至少会超过 3 万个了.试问数学教师和学生们以及研究工作者将如何面对每年如此庞大的数 0
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的形式模型"它是经历科学抽象过程的概念思维的产物.而模式一经形成, , 便具有形式客观性, 人 们就只能对它进行客观的分析和研究 , 因而按逻辑规则推导( 演绎) 出来的一切结论, 也就具有" 模 式真理性" 例如,a tr . C no 集合论中所建立的一些定理, 即具有这种真理性拭 当然, 数学基础问题研 究者中的直觉主义派是不认可" 实无限" 概念的.后面还将述及这个问题. ) " 数学模式观" 是从整体上分析刻画了数学对象的本质特征, 所以它与数学公理化思想及结构 主义是不矛盾的. 实际上后者可以看成为分析, 创建与比较各类数学模式的方案与方法论. 正因为 这样, 所以现代数学界的大多数, 实际上是承认或默认" 数学模式观" 数学模式真理性" 与" 的观点 的, 一般数学工作成果也都是符合这些观点的. 还有" 模式多元论" 的观念事实上也早已成为近, 现代数学界普遍接受的思想. 正因为有了这种 大家认可的思想或共识, 所以在几何学领域中可以有" 欧氏几何" 和各种" 非欧几何"在表现 自然数 . 序列无限性的数学模型中可以有" 潜无限模型" 实无限模型" 对实数连续统可以同时有 C no 和" . atr 的标准数域模型 R和 R b sn的非标准数域模型. .在' oi o n R R上还可以有多种非标准测度模型[ , C 8 1 类似的例子不胜枚举. 至于在应用数学诸分支中, 对同类或同一问题就常常会有各种不同的求解模
位 置.
人们只须浏览一下现代数学百科全书或任何巨型数学手册, 即可看到大批被历史选择出来的 精美模式, 它们实际上只是以往几个世纪所产生的全部数学产品成果中的极小部份. P JD v s与 R H rh的《 . ai . . s e 数学经验)18 年原版,91 ) 91 ( 19 年中译本) 一书中曾提及数学上的 " 达尔文主义"D r is , ( awn m)意即数学在演化发展的历史进程中, i 一切成果也都是服从" 适者生存" 的规律的.这条客观规律乃是调理数学发展的潜在力量, 所以人们完全不必害怕所谓的" a 困 Ulm
代直觉主义派与形式主义派及逻辑主义派的始祖和代表人物.现今, 按照模式多元论观点, 可见他
们之间当年的激烈争议是没有必要的.事实上 , 在包含非标准 自然数集 ' 的 R bno N o is n的' R模型
万方数据
高等数学研究
20 0 1年 9月
中, 即包含着潜无限自然数作为其" 初始片段"又包含有实无限的自然数集C, , g 这说明可以存在一 j 个逻辑上完全合理的" 双相无限模型"在其上实无限与潜无限是无需相互排斥的. , 综上所述, 可见在 2 世纪中叶酝酿成熟的数学模式观, 0 已在上世纪的下半叶成为引导数学发 展的基本理念.我们还可以进一步预期, 此种理念的继续深化和发展 , 还将进一步带动纯数学与应
型. 例如在" 决策分析"Dc i A a s ) (eio nl i 这一较新的数学分支中, s n y s 对每一种问题都可以有众多的
策略模型.如此等等. 模式多元论观点除了促进数学模型理论发展外, 还帮助消解了各种不同数学流派之间的长期 争论. 如大家所知, 对待" 无限" 概念的争论, 自古至今就有" 潜无限论者" 实无限论者" 和" 两大派别.
2世纪数学的发展, 0 可以说也属于内在动力范畴[, br的问题中迄今尚有 8 [ Hl t ' ie 1 个问题未获完全
解决, 无疑还将继续吸引着 2 世纪的一部分数学专家们的注意力去作最后的努力, 1 可以预期, 在新 的 世纪里它们可能被解决或在相对意义下解决. 其实, 数学发展的最大动力还是来 自诸应用科学部门与客观世界相互作用所产生的外驱力. 例 ' 我国新近出版的《 如, 现代数学手册》 大卷的后三卷为" 5 随机数学卷"" ,计算机数学卷" 经济数 与"
收稿 日期:0 1 5 5 20-0-1 ,
万方数据
第4 卷第 3 期
徐利治 : 对新世纪数学发展趋势的一些展望
观的. 例如A N Wh eed K G dlD Hl r G H H ry SMa Ln 以及B ubk学派 . iha , oe, ie , . d , c e . t . . t . a b . a orai