阿基米德螺线和三等分角
阿基米德三等分角的证明
阿基米德三等分角的证明
阿基米德三等分角的证明是通过构造一个特殊的逆时针旋转等边三角形来实现的。
以下是详细的证明过程：
证明过程：
1.首先，构造一个等边三角形ABC，其中AB=BC=AC。
2.然后，以A为圆心，AB为半径画一条圆弧，与AC相交于D点。
3.再以B为圆心，BC为半径画一条圆弧，与AB相交于E点。
4.连接DE，延长DE与BC相交于F点。
5.观察三角形DEF，可以发现DF与BC平行，并且由于DE与AC相交，根据平行线的性质可知∠BDE=∠C。
6.接下来我们需要证明∠B=∠CDF。
7.由于DF与BC平行，△FBC与△DCF相似。
根据相似三角形的性质，可得BD/BC = CD/CF。
8.由三角形ABC的等边性质可知BD=CD=BC，代入上述等式可得BC/BC = CD/CF。
9.进一步化简可得，1 = CD/CF，即CD=CF。
10.由三角形CDF的等腰性质可知∠CDF=∠CDF，即∠B=∠CDF。
11.通过以上证明可以得出，∠C=∠B=∠CDF。
12.所以，由三角形DEF的角度平分定理可知
∠CDE=∠EDF=∠FDC=1/3∠C。
综上所述，通过构造特殊的逆时针旋转等边三角形，我们成功地证明了阿基米德三等分角。
阿基米德曲线
机械工程中的阿基米德螺线探析阿基米德螺线广泛隐藏于自然界里，葡萄等藤茎植物的触须就是借鉴阿基米德螺线结构的柔韧性，使其紧紧缠绕物体，在恶劣环境中生长；动物世界中的蟒蛇盘绕起来形成的螺线，起到更好的防卫和攻击的作用，在生物微观细胞中，起遗传作用脱氧核糖核酸（DNA）就是规则的螺旋结构，利于节约空间，储存信息；机械仪表中钟表上的发条工作原理也离不开阿基米德螺线。
阿基米德螺线最先运用于灌溉技术，古代埃及人利用尼罗河水灌溉农田，由于河床低，农田地势高，只能用水桶提水灌溉，这样非常浪费劳力体力，于是阿基米德利用阿基米德螺线发明了螺杆，创造了“水往高处流”的奇迹，因此螺杆也是阿基米德螺旋提水器的最初原型。
由于先人不断研究改进，现在其已广泛运用于水利灌溉，机械动力，军事通信等领域。
随着科技快速发展，阿基米德螺线应用与生活实际也愈加紧凑，在此，有必要对其进行更深层的系统研究，现就其基本应用展开探讨，希望阿基米德螺线能不断开拓创新。
1 阿基米德基本简介阿基米德螺线，是一种具有特殊性质的螺旋线，假设点A 从O 点开始以匀速沿着OA 直线方向运动的同时，又以固定的转角速度绕点O 螺旋转动，俯视而看，点A 的轨迹为螺旋状，这种螺线被命名为“阿基米德螺线”,因为远动过程中是匀速运动，因此也可定义为“等速螺线”.如图1 所示。
阿基米德螺线在平面极坐标中的曲线方程：r（θ）= a + b（θ）其中：b 为螺旋系数，单位为mm/°，代表曲线每变化1° 时，曲线直径的变化量；θ为转角，单位为度，代表曲线转过的度数总和；a 为当θ= 0°时的极径，单位为mm.改变数值a 将改变螺线结构，b 是用来控制两相邻螺线间距的常量。
方程有两条不同方向螺线，分别被θ>0 和θ<0 分割，且在极点平稳光滑连接。
如果把其中一条翻转90° /270°，将会得到其对称曲线，这就是另一条螺线。
古希腊三大几何难题
古希腊三大作图难题北京化工大学 殷光中概述：尺规作图，即只用直尺和圆规作几何图形，其来源于《几何原本》，以后在一个时期内成为数学中的重要研究课题[1]。
古希腊三大作图难题：1.作一立方体，其体积为所知立方体体积的两倍；2.画圆为方，即作一正方形使其面积为已知圆的面积；3.尺规三等分任意角）之一。
众所周知，二等分任意给定角用尺规很容易就能解决。
而充满探索与挑战精神的人们又会想到用尺规如何三等分任意给定角，此后，许多数学家纷投入这一问题的解决。
直到十九世纪，人们才严格证明了三等分任意角仅凭尺规不可能实现。
到此，这一问题才告一段落。
期间，有许多超越了尺规限制的作图方法：比如：希皮阿斯发明的割圆曲线，阿基米德螺线和尼科梅德斯蚌线等[2]。
人们万万也不会想到但他们在潜心研究一些未解决的问题的时候，许多新的发现也会应运而生……1、三等分任意角科学需要大胆的想象,或许引入数学公式可以实现超越尺规而三等分角,于是我想到了倍角的相关公式,引发了以下一系列的思考: 1.1.1 n 倍角的正切值展开通式tan1α=t tan2α=212t t- tan3α=23313t t t --tan4α=4236144tt t t +-- tan5α=42535101105t t t t t +-+-tan6α=64253151516206t t t t t t -+-+- tan7α=64275373521121357t t t t t t t -+--+-tan8α=86427532870281856568t t t t t t t t +-+--+-…… 有如下特征：① 分子分母各项均是“+，-”交替出现，且分子上为t 的奇次幂，分母上为t 的偶次幂。
② 我们将分子分母上相同序项对齐，则分子上的次数比分母上依次高一，且其系数有如下关系： 若tann α=...1......8463422194735231++-+-++-+-t m t m t m t m t n t n t n t n nt ; 则有，tan(n+1) α=...)()(1...)()()1(42121522311-+++--+++-+t m n t m n t m n t m n t n .即：对正相加分别作为下式相应项的分子系数；由下往上左偏相减作为下式相应项的分母系数 。
MathStudio36 阿基米德螺线与三等分任意角
MathStudio for iPad使用方法入门（36）阿基米德螺线与三等分任意角2016年6月16日★三等分任意角是几何作图三大难题之一，不能只用直尺圆规三等分任意角是早有的定论。
★免除“只用尺规作图”的限制，就能三等分任意角吗？★现在就探讨借助阿基米德螺线来三等分任意角吧直线y=cx=7x c=7X轴与直线夹角φ =tan-1(c)=tan-1(7)=1.4289同心圆C1 ρ1=r1=0.5 r1=0.5同心圆C2 ρ2=r2= 1 r2=1同心圆C3ρ3=r3=1.5 r3=1.5阿基米德螺线ρ=aθ螺线与同心圆C1 的交点P1(x1,y1) , OP1与X轴夹角=θ1螺线与同心圆C2 的交点P2(x2,y2) OP2与X轴夹角=θ2螺线与同心圆C3 的交点P3(x3,y3) OP3与X轴夹角=θ3θ3= φ =1.4289a=ρ3/θ3=r3/tan-1(c)=1.5/1.4289=1.0498计算得θ2=ρ2/a=θ3×ρ2/ρ3=θ3×1/1.5=θ3×2/3=0.9526θ1=ρ1/a=θ3×ρ1/ρ3=θ3×0.5/1.5=θ3×1/3=0.4763首先画出过极点斜率为7的直线其次画出以极点为中心的3个同心圆半径为0.5、1、1.5即同心圆的半径比为1:2:3在同一帧图里再画出与3 个同心圆相交的阿基米德螺线a=r3/atan(c)=1.0498P3P2P1P3的数据X3=0.211Y3=1.486θ3=1.429（弧度）=1.429×180/π=81.9°r3=sqrt(X32 +y32)=sqrt(0.2112+1.4862)=1.5OP 2的数据X 2=0.579Y 2=0.816θ2=0.953（弧度）=0.953×180/π=54.603°r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(0.5792+0.8162)=1P 2OP 1的数据X 1=0.445Y 1=0.229θ1=0.476（弧度）=0.476×180/π=27.30°r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(0.4452+0.2292)=0.5θ1 : θ2 : θ3 = 27.3 : 54.6 : 81.9= 1 : 2 : 3P 1OMultiPlot 画出的图形放大图的Table得不到数据从以上的例子，可以得出用MathStudio演示借助阿基米德螺线三等分任意角的方法1. 以角定直线待三等分的角φ（以弧度为单位），X轴为底边，另一边为y=tan(φ) * x 的直线2. 以直线定同心圆3个以极点为圆心的同心圆半径比=3 : 2 : 1r 3 =φr 2 =2φ/3r 1 =φ/33. 以圆定螺线ρ=aθa = r 3/φ=14. 螺线与3个同心圆相交于3点，过极点画出与此3点连线三等分任意角φ完成下面再看直线在第2、第4象限的2个例子角φ的另一边在第2象限三个同心圆的半径分别为1、2、3阿基米德螺线a=1P 3的数据X 3=-2.979Y 3=0.405θ3=3（弧度）=3×180/π=171.89°r 3=sqrt(X 32 +y 32)=sqrt(-2.9792 +0.4052)=3P 3OP 2的数据X 2=-0.833Y 2=1.819θ2=2（弧度）=2×180/π=114.59°r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(-0.8332 +1.8192)=2P 2OP 1的数据X 1=0.538Y 1=0.850θ1=1（弧度）=1×180/π=57.30°r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(0.5382 +0.852)=1OP 1θ1 : θ2 : θ3 = 57.3 : 114.6 :171.9= 1 : 2 : 3角φ的另一边在第4象限三个同心圆的半径分别为2、4、6阿基米德螺线a=1P 1的数据X 1=-0.833Y 1=1.819θ1=2（弧度）=2×180/π=114.59°r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(-0.8332 + 1.8192)=2OP 1P 2的数据X 2=-2.593Y 2=-3.057θ2=4（弧度）=4×180/π=229.18°r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(-2.5932 +-3.0572)=4OP 2P 3的数据X 3=5.774Y 3=-1.649θ3=6（弧度）=6×180/π=343.77°r 3=sqrt(X 32 +y 32)=sqrt(5.7742 + -1.6492)=6OP 3θ1 : θ2 : θ3= 114.6 : 229.2 : 343.8= 1 : 2 : 3PolarPlot 同一帧图里阿基米德螺线a=13个同心圆半径比=1:2:3步长=2 0点起左列数据为x 值右列数据为y值红色框内第1行x1, y1第2行x2, y2第3行x3, y3与前图对照，基本符合阿基米德螺线三等分任意角程序清单输入待三等分的角度φ=13π/17=2.402弧度=137.647°θ1=0.81弧度=46.41°手指触屏取值有时误差偏大θ2=1.61弧度=92.25°θ3=2.401弧度=137.57°根据前面的演示，可以确信：借助阿基米德螺线三等分任意角是可以实现的。
阿基米德螺线的定义及公式求解
阿基米德螺线定义及方程求解
一、阿基米德螺线的定义及求解。
1. 阿基米德螺线（等速螺线）的定义：
如图1所示，从点O出发的射线l
，绕点O做等角速度的转动，同时点M沿l作等速直线运动，点M的轨迹叫做阿基米德螺线或等速螺线。
2.等速螺线的极坐标方程求解过程。
如图1，取点O为极点，以l的初始位置为极轴，建立极坐标系。
设M 0(ρ0，0)是点M 的初始位置，M 在l 上运动的速度为υ，绕点O 转动的角速度为ω，经过时间t 后，旋转了θ角，点M 到达位置（ρ，θ），根据阿基米德螺线的定义，得
ρ-ρ0=υt, θ=ωt.
这是以时间t 为参数的极坐标参数方程，消去参数t ，得
ρ-ρ0=ωυθ
这就是所求的阿基米德螺线的极坐标方程。
设 ω
υ
=a （a≠0），得ρ=ρ0+aθ.
这是阿基米德螺线的极坐标方程的一般形式，ρ是θ的一次函数。
在特殊情况下，当ρ0=0时，阿基米德螺线的方程变为
ρ=aθ.
以上为阿基米德螺线的定义及方程求解。
我的网店里有阿基米德螺线公式应用实例和用CAXA 电子图板2005 画阿基米德螺线教程。
阿基米德原理公式推导过程三等分角器
阿基米德原理公式推导过程三等分角器阿基米德原理是物理学中非常重要的一个原理，而三等分角器则是数学中一个有趣的工具。
让咱们先来聊聊阿基米德原理的公式推导过程。
话说有一天，我正在教室里给学生们讲阿基米德原理。
我拿了一个装满水的大玻璃缸，还有一个金属块。
我先问学生们：“你们猜猜把这个金属块放进水里，会发生啥？”学生们七嘴八舌地说开了，有的说水会溢出来，有的说金属块会沉下去。
然后我就把金属块慢慢地放进水里，果然，水溢出来了一些。
这时候我就告诉他们，溢出来的水的体积就等于金属块的体积。
这就是阿基米德原理的一个小起点。
咱们再深入一点，假设一个物体浸没在液体中。
这个物体受到了向下的重力 G 物，还受到了向上的浮力 F 浮。
根据力的平衡原理，如果物体处于静止状态，那么重力 G 物就等于浮力 F 浮。
那浮力 F 浮到底咋算呢？这就得从液体对物体的压力说起啦。
液体内部的压强是随着深度增加而增大的。
所以物体在液体中不同深度的表面受到的压力是不一样的。
想象一下，这个物体是一个规则的长方体。
它的上下表面面积相等，深度不同。
下表面受到的压力 F 下就比上表面受到的压力 F 上大。
那浮力 F 浮不就是这两个压力的差嘛！经过一番推导，咱们就能得出阿基米德原理的公式：F 浮= ρ 液 gV 排。
其中，ρ 液是液体的密度，g 是重力加速度，V 排是物体排开液体的体积。
再来说说三等分角器。
有一次我在办公室里研究三等分角器，想得那叫一个入神。
旁边的老师都笑我，说我太较真儿了。
三等分角器的原理其实挺巧妙的。
它利用了一些几何图形的特性和比例关系。
比如说，通过构建特定的三角形或者线段比例，来实现角的三等分。
但是呢，三等分角问题在只用尺规作图的情况下是没法完成的。
可这并不妨碍我们通过其他工具或者方法来实现它。
就像在学习和生活中，有时候我们觉得一个问题没法解决，可能只是我们的思路被限制住了。
当我们换个角度，或者借助一些新的工具和方法，说不定就能找到答案。
古希腊三大几何作图问题
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。
阿基米德螺旋曲线
阿基米德螺旋曲线
阿基米德螺旋曲线（ArchimedeanSpiral），又称螺旋线，是由古希腊数学家阿基米德于公元前三世纪发明的一种极坐标下的曲线，也是圆周形几何中最为简单的螺旋线。
它可以用几何递增序列来描述，且具有不变形，即椭圆形的性质。
由于具备这种特性，它的形状在科学、工程、审美等不同领域都有着广泛的应用。
阿基米德螺旋曲线可以用正弦函数和余弦函数来描述，公式可以写作：
r=aθ
其中r是极坐标，θ是极轴上的角度，a是螺距（pitch），也是极点到两次折点的距离。
由于阿基米德螺旋曲线具有可变半径和可变轨道角度的特性，因此其可以在不同的应用场景中被广泛使用。
例如，在空间航行技术中，阿基米德螺旋曲线可以帮助飞行器实现不同的飞行路径，从而更加高效地进行航行。
此外，阿基米德螺旋曲线也被广泛应用于渔业，用于捕捞更多的鱼群，而在小型的汽车中，阿基米德螺旋曲线可以用于控制汽车的行走，有效提升汽车的操控性能。
此外，阿基米德螺旋曲线还被广泛应用于审美领域，比如工业设计、建筑设计中都可以看到螺旋曲线的踪影，而且由于它具有可以调整半径和角度的特性，故可以创造出很多美丽而有层次的曲线，使作品更加精美动人。
可以看出，阿基米德螺旋曲线是一个非常杰出的数学概念，在多
种用途和领域都得到了广泛的应用。
它不仅可以提高技术性能，更能为艺术设计注入更多灵性，唤起人们对美的感知。
阿基米德螺线讲解
浅谈阿基米德螺线摘要：本文从生活中有趣的自然现象出发，介绍了阿基米德螺线的发现、定义、方程、作图以及自然界和实际生活中的应用，浅谈了对于阿基米德螺线定义的不同观点，并以蚊香为例，建模，证明了阿基米德螺线应用的广泛性。
关键词：阿基米德螺线、极坐标、自然界实例，生活中应用引言很多人都知道飞蛾扑火这个故事。
但是，为什么飞蛾会这么执着地扑向火光呢?这要从它的祖先谈起。
飞蛾的历史远比人类悠久。
在亿万年前，没有人造火光，飞蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飞行。
由于太阳、月亮、星星距离地球都很远，它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。
当飞蛾直线飞行时，它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值(如图1)。
可是，如果光源离得很近，不能将它们发出的光线看作平行光时，飞蛾再按照固有的习惯飞行，飞出的路线就不是直线，而是一条不断折向灯光光源的螺旋形路线(如图2)。
这在数学上称为阿基米德螺线。
通俗的说，阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。
举一个形象一点的例子：时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线（如图3）。
1.阿基米德螺线简介1.1阿基米德简介及螺线的发现阿基米德 Archimedes（约公元前287～前212），古希腊伟大的数学家、力学家。
他公元前287年生于希腊叙拉古附近的一个小村庄．11岁时去埃及，到当时世界著名学术中心、被誉为“智慧之都”的亚历山大城跟随欧几里得的学生柯农学习，以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。
公元前240年，阿基米德由埃及回到故乡叙拉古，并担任了国王的顾问．从此开始了对科学的全面探索，在物理学、数学等领域取得了举世瞩目的成果，成为古希腊最伟大的科学家之一．后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。
据说，阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的．柯农死后，阿基米德继续研究，又发现许多重要性质，因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了．1.2阿基米德螺线的定义及方程1.2.1《论螺线》中阿基米德螺线的定义阿基米德螺线，亦称“等速螺线”。
阿基米德三等分角方法
阿基米德三等分角方法
标题:阿基米德三等分角方法
正文:
阿基米德是一位古代希腊数学家和物理学家,他在公元前3世纪时提出了一种三等分角的方法。
这种方法被称为阿基米德三等分角方法,是一种简单而有效的方法,适用于各种形状的角。
阿基米德三等分角方法的步骤如下:
1. 将一个角分成三个相等的部分。
2. 将其中一个部分旋转180度,使其与另外两个部分重合。
3. 将旋转后的部分与原角再次重合,并将重合部分三等分,得到三个等角。
下面是阿基米德三等分角方法的示例:
假设一个角为120度,我们需要将其分成三个相等的部分。
首先将这个角分成三个60度的部分,然后将其旋转180度,使其与另外两个部分重合。
最后,将重合部分三等分,得到三个等角,每个角为60度÷ 3 = 20度。
这种方法可以用于各种形状的角,例如直角、锐角、钝角等。
此外,阿基米德三等分角方法还可以应用于其他领域,例如物理学和工程学。
拓展:
阿基米德三等分角方法的应用不仅局限于数学和物理学领域,还可以应用于其他领域。
例如,在工程学中,可以使用阿基米德三等分角方法来测量某个角的度数,或者将其用于设计建筑物和道路等。
三等分角知识点
12.3 数学视野
三等分角
三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”、“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”. 两千多年来，从初学几何的青少年到经验丰富的学者，数以万计的人都曾经研究过“三等分角问题”，希腊数学家阿基米德（Archimedes，前287-前212年）曾用线条作图法宣称解决了“三等分角问题”；帕普斯(Pappus，约公元300年)在他有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线也能解“三等分角问题”；希腊数学家尼科梅达斯(Nicomedes．公元前二世纪)称他的“蚌线法”也可三等分一个角. 直至1837年，法国数学家旺策尔（Wantzel，pierrela urene，1814-1848）才用代数的方法证明了尺规作图不可能（任意角三等分），但由于该问题历史长久，流传广泛，仍不断有人为之耗费精力，1936年8月18日《北京晨报》曾经发表一条消息说：郑州铁路站站长汪君，耗费了14年的精力，终于解决了“三等分角问题”，并将其尺规作法寄往各国，一时间引起国内外数学界的注意，可是不久，就有许多人陆续来信，指出他的作法是错误的.
直到1966年以前，中国科学院数学研究所每年都要接到不少研究“三等分角问题”的稿件. 后来，研究所只好在国家权威杂志《数学通报》上发表通告：三等分任意角用尺规作图是不可能的. 该命题也已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的.
现在三等分角个人研究的爱好者数量还是不少的，网页上陆陆续续地出现很多“我能尺规作图三等分角”的观点，一经发表几乎在最短的时间内被评论为是错误的，或者是违背了尺规作图的原理.
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三等分角，阿基米德：尺规作图不可能？
三等分角，阿基米德：尺规作图不可能？相信大家都了解过尺规作图吧，何谓尺规作图呢？尺规作图在数学的学习上有什么作用呢？简单来收，尺规作图就是只使用直尺和圆规，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
这里的“直尺”和“圆规” 跟现实中的并非完全相同，具有抽象意义。
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。
只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。
它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度。
问anny：sunny，二等分任意角的做法已然了然于胸，我们一起来尝试三等分任意角呀？sunny：哈哈，我可不会三等分任意角，我们一起来问一下阿基米德大学士吧阿基米德有刻度直尺三等分角作法如图∠ACB为已给角.取CA = r为半径, C为圆心作半圆.用有刻度的直尺过B作直线交直径AC的延长线于O,半圆于P,并使OP = r 则∠POA=1/3∠ACB.证明:由作法知，∠BPC=2∠POA，∠ACB=∠POA+∠BPC=3∠POA.证毕。
问题真的解决了吗？sunny：三等分任意角的问题就这样子解决了吗？阿基米德：当然没有，我的解法虽然做出了要求角，但解法已经脱离了尺规作图的要求（使用了有刻度的直尺），这并不是完美的答案。
anny：连大学士都做不出来，那究竟三等分任意角的尺规作图有没有可能完成呢？不可能证明简要o几何问题代数化三等分角就相当于在单位圆上求做一定长度（x=cosθ)的线段，利用三角函数，把线段长度表示出来。
事实上，可以得到cos(3θ) = 4 cos³θ - 3 cosθ其中已知cos(3θ)，从而就相当于用解三次方程（用尺规做出三次方程的实根）4 x^3 - 3x -3 θ= 0o证明给定单位1，尺规作图能且只能解一次或二次方程，即只能做出Q的二次扩域内的元素。
事实上，尺规作图只能作圆（二次方程）和直线（一次方程）的交点，从而解都在Q的二次扩域上。
阿基米德三等分角的证明
阿基米德三等分角的证明阿基米德三等分角是指将一个任意角分为三个相等的角。
这个问题最早由希腊数学家阿基米德提出，并给出了一种简单而巧妙的证明方法。
本文将详细介绍这个证明过程。
问题描述设有一个任意角AOC，我们的目标是将其分为三个相等的角AOB、BOC和COA。
证明过程步骤1：作AO上的等边三角形AOB首先，我们在射线AO上作一个等边三角形AOB。
具体做法如下：1.以点A为圆心，以线段AO的长度为半径，画一个圆。
2.圆与射线AO交于点B。
这样，我们得到了一个等边三角形AOB。
步骤2：作OC上的等边三角形BOC接下来，我们需要在另一条射线OC上构造一个等边三角形BOC。
具体操作如下：1.以点O为圆心，以线段OC的长度为半径，画一个圆。
2.圆与射线OC交于点C。
这样，我们得到了一个等边三角形BOC。
步骤3：连接AC现在，我们需要连接点A和点C，即线段AC。
这条线段将角AOC分为两个相等的角。
步骤4：证明角BAC等于角BCA我们已经将角AOC分为两个相等的角。
接下来，我们需要证明这两个角分别与AOB和BOC的对应角相等。
首先，我们观察三角形AOB和三角形BOC。
根据等边三角形的性质，我们知道∠BAO = ∠ABO 和∠BCO = ∠BOC。
然后，我们观察△ABC。
根据直线之间的夹角性质，我们知道∠BAC + ∠ABC +∠BCA = 180°。
由于∠ABC是一个等边三角形的内角，所以∠ABC = 60°。
根据步骤1和步骤2中构造的等边三角形AOB和BOC，我们知道∠BAO = ∠ABO = ∠BCO = ∠BOC = 60°。
因此，将以上信息代入△ABC中的方程式中得到：∠BAC + 60° + ∠BCA = 180°。
简化方程式得到：∠BAC + ∠BCA = 120°。
由于∠BAC和∠BCA是两个相等的角，所以它们都为60°。
因此，我们证明了∠BAC与∠BCA相等。
阿基米德二刻尺三等分角变体
阿基米德二刻尺三等分角变体1. 引言阿基米德二刻尺是古希腊数学家阿基米德发明的一种测量仪器，用于测量角度和长度。
它由两根长度为2:1的木棒组成，其中一根是固定的，另一根可以移动。
通过移动木棒，可以实现对角度的精确测量和三等分。
本文将介绍阿基米德二刻尺的原理和用法，并探讨其在三等分角方面的一种变体。
2. 阿基米德二刻尺的原理和用法阿基米德二刻尺的原理基于三角形的相似性和比例关系。
它由两根长度为2:1的木棒组成，其中一根是固定的，另一根可以移动。
固定木棒上有一个固定的刻度，移动木棒上也有一个刻度。
通过移动木棒，可以实现对角度的测量和三等分。
使用阿基米德二刻尺进行角度测量的步骤如下：1.将可移动木棒的一个端点对准角的顶点，将固定木棒的一个端点对准角的一条边；2.移动可移动木棒，直到可移动木棒的另一个端点对准角的另一条边；3.读取固定木棒上的刻度和移动木棒上的刻度，可以得到角的度数。
使用阿基米德二刻尺进行三等分角的步骤如下：1.将可移动木棒的一个端点对准角的顶点，将固定木棒的一个端点对准角的一条边；2.将可移动木棒的另一个端点对准角的另一条边；3.将可移动木棒的中点对准角的另一条边；4.读取固定木棒上的刻度和移动木棒上的刻度，可以得到三等分角的度数。
3. 阿基米德二刻尺三等分角的变体阿基米德二刻尺三等分角的变体是在原有的阿基米德二刻尺基础上做出的改进。
原始的阿基米德二刻尺只能实现三等分任意角，而变体可以实现三等分特定的角。
具体来说，变体在固定木棒上增加了一些特殊刻度，通过对这些特殊刻度的利用，可以实现对特定角的三等分。
使用阿基米德二刻尺三等分角的变体的步骤如下：1.将可移动木棒的一个端点对准角的顶点，将固定木棒的一个端点对准角的一条边；2.将可移动木棒的另一个端点对准角的另一条边；3.将可移动木棒的中点对准角的另一条边；4.读取固定木棒上的刻度和移动木棒上的刻度，可以得到三等分角的度数。
需要注意的是，变体的固定木棒上的特殊刻度是根据特定角的性质来确定的，因此只能用于三等分特定角，不能用于三等分任意角。
阿基米德三等分角的证明
阿基米德三等分角的证明
为了证明阿基米德三等分角的准确性，我们首先需要了解什么是阿基米德三等分角。
阿基米德三等分角是指将一个任意角分成三个等角的过程，这一过程具有一定的几何性质，我们将通过几何推导来证明这一结论。
假设给定一个角AOB，我们需要证明通过某种方式可以将该角等分为三个相等的角。
为了方便描述，我们将角AOB的顶点O设置为原点，与其中一个边OA重合，并将边OA的长度设置为1个单位长度。
首先，我们需要找到边OA的平分线。
通过将绕过原点O并与边OA 相交的直线绘制出来，我们可以得到一条穿过角AOB的线段。
接下来，我们将通过绕点A旋转这条线段，使得它与边OA的延长线相交于点C。
此时，我们得到了一个新的角AOC，它与角AOB相等，并且角AOC的顶点O与边OA是共线的。
现在，我们再次绘制边OC的平分线。
这条平分线将角AOC分成两个相等的角，记为角AOD和角DOC。
最后，我们通过连接点D与点B，得到了一个三角形AOB。
根据几何性质，我们可以推导出角AOD、角DOC和角DOB是相等的。
因此，通过以上步骤，我们成功地将角AOB等分为三个相等的角AOE、EOC和COD。
根据我们的证明过程，可以得出结论：通过适当的构造和绘制，我们可以将任意给定的角等分为三个相等的角。
这就是阿基米德三等分角的证明。
总结起来，阿基米德三等分角的证明需要通过几何推导来完成。
我们通过寻找边OA的平分线、绕点A旋转而得到的点C，以及边OC的平分线，成功将角AOB等分为三个相等的角。
这一证明过程严谨而准确，证实了阿基米德三等分角的几何性质。
《阿基米德螺线》课件
阿基米德螺线的几何特性
阿基米德螺线具有等速旋转、等距离 扩展的特点，因此其形状均匀且连续 。
阿基米德螺线还有一个重要的特性是 它的封闭性，即当角度增加到360度 时，螺线将回到起点，形成一个封闭 的曲线。
阿基米德螺线的曲率随着角度的增加 而减小，这意味着螺线在展开时逐渐 变得平缓。
阿基米德螺线的面积与周长
总结词
阿基米德螺线的面积和周长可以通过数学公式进行计算，这些公式基于螺线的参数和起始角度。
详细描述
阿基米德螺线的面积和周长可以通过一些数学公式进行计算。这些公式基于螺线的参数和起始角度，因此不同的 参数和起始角度会得到不同的面积和周长。通过这些公式，我们可以了解阿基米德螺线的几何特性，并进行相关 的分析和计算。
阿基米德螺线在现代数学中的发展
现代数学对阿基米德螺线的深入研究
随着数学的发展，阿基米德螺线的研究也在不断深入。现代数学家们通过引入新的数学工具和方法， 进一步揭示了阿基米德螺线的性质和规律，推动了这一领域的发展。
阿基米德螺线在现代数学中的应用
阿基米德螺线在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。例如，在螺旋结构的设计、行星轨 道的研究以及涡旋运动的分析等方面，阿基米德螺线都发挥着重要的作用。
启发式教学
利用阿基米德螺线作为启发式教 学的案例，引导学生主动思考和
探索数学问题。
几何直观
通过阿基米德螺线培养学生的几 何直观能力，帮助学生更好地理
解和掌握抽象的数学概念。
应用实例
介绍阿基米德螺线在数学和其他 学科（如物理、工程等）中的应 用实例，提高学生解决实际问题
的能力。
阿基米德螺线的解释_阿基米德螺线是什么意思
阿基米德螺线的解释_阿基米德螺线是什么意思词组拼音注音阿基米德螺线ājīmǐdéluó xiàn ㄚㄐㄧㄇㄧˇㄉㄜˊㄌㄨㄛˊㄒㄧㄢˋ解释：又称“等速螺线”。
当一动点沿极径作匀速直线运动，极径又作匀角速旋转时动点的轨迹。
设动点的初始位置到极点o 的距离为ρ0，则螺线的极坐标方程为ρ=ρ0+aθ，其中a为常数。
当ρ０=0时，方程变为ρ=aθ，这时极径和极角成正比。
阿基米德螺线在机械凸轮设计中有广泛的应用。
基本字义阿ā（ㄚ）1、加在称呼上的词头：阿大。
阿爷。
阿爹。
阿罗汉。
阿毛。
阿婆。
阿弟。
阿姊。
其他字义阿ē（ㄜ）1、迎合，偏袒：阿附。
阿其所好。
阿谀逢迎。
2、凹曲处：山阿。
基本字义基jī（ㄐ一）1、建筑物的根脚：基石。
基础。
奠基。
2、根本的，起始的：基本。
基业。
基层。
基点。
基准。
3、根据：基于。
4、化学上化合物的分子中所含的一部分子原子被看作是一个单位时，称作“基”：基团。
基态。
氨基。
羧基。
基本字义米mǐ（ㄇ一ˇ）1、谷类或其他植物的子实去了皮的名称：小米。
大米。
稻米。
米珠薪桂（米像珍珠；柴像桂木，形容物价昂贵，生活困难）。
2、国际长度单位（旧称“公尺”“米突”），一米等于三市尺。
3、姓。
基本字义德dé（ㄉㄜˊ）1、人们共同生活及行为的准则和规范，品行，品质：美德。
品德。
公德。
德行。
道德。
德性。
德育（以一定的社会要求，进行思想的、政治的和道德的教育）。
德才兼备。
度德量力。
德高望重。
2、心意，信念：一心一德。
3、恩惠：德施。
德泽（德化和恩惠）。
德惠。
感恩戴德。
4、姓。
古代诗词：暂无精选例句：暂无。
阿基米德螺线
阿基米德螺线，亦称“等速螺线”。
当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。
它的极坐标方程为:r = aθ。
这种螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa。
[编辑]应用
准确的利用阿基米德螺线，可以三等分任意角。
但是因为阿基米德螺线无法利用尺规作出，故几何三大难题中的三等份任意角仍然稳坐其宝座。
[编辑]阿基米德螺线的画法
∙一、以适当长度(OA)为半径，画一圆O。
∙二、作一射线OA。
∙三、作一点P于射线OA上。
∙四、模拟点A沿圆O移动，点P沿射线OA移动。
∙五、画出点P的轨迹。
∙六、结果。
(隐藏圆O 、射线OA & 点P )。
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阿基米德螺线和三等分角
数学家对螺线的探索最早可以追溯到古希腊时代，阿基米德就在他的著作《论螺线》中对等速螺线的性质做了详细的讨论，于是后世的数学家们也把等速螺线称为“阿基米德螺线”。
（最早发现等角螺线的其实是阿基米德的老师柯农，在他死后阿基米德继承了他的工作。
）
什么是阿基米德螺线呢？想象有一根可以绕着一点转动的长杆，有一只小虫沿着杆匀速向外爬去。
当长杆匀速转动的时候小虫画出的轨迹就是阿基米德螺线。
阿基米德螺线的方程写成极坐标形式就是ρ = aθ。
阿基米德螺线生活中随处可见。
在早期的留声机中，电机带动转盘上的唱片匀速转动，沿着一条直线轨道匀速向外圈移动的唱头在唱片上留下的刻槽就是阿基米德螺线。
同理，由匀速盘香机生产出来的盘状蚊香也是阿基米德螺线的形状。
等螺距的螺钉从钉头方向看去也是阿基米德螺线。
就连缝纫机中也有阿基米德螺线出没，一般的机械缝纫机中有一个凸轮，手轮旋转的时候用来带动缝纫针头直线运动，这个凸轮的轮廓就是把阿基米德螺线的一部分经过对称得到的。
一个很有趣的事情是，在阿基米德螺线的配合下，尺规就能完成三等分一个任意角θ。
步骤如下：
1、将θ角的一边与极轴重合，顶点与原点O重合
2、延长角的另一边与阿基米德螺线交于A
3、尺规三等分OA得到三等分点B’、C’
4、分别以OB’、OC’为半径，O为圆心画圆交螺线于B、C
5、根据ρ=aθ 容易证得OB、OC三等分θ
当然，只利用尺规是无法画出阿基米德螺线的，所以我们大可不必担心关于尺规三等分任意角不可能的证明就此被推倒。
渐开线和机械齿轮
另一种有名的螺线叫做渐开线。
当一根绳沿着另一曲线绕上或脱下时，它描出一条渐伸线。
许多曲线都有自己的渐开线，把一条没有弹性的细绳绕在一个定圆上，拉开绳子的一端并拉直，使绳子与圆周始终相切，绳子端点的轨迹就是圆的渐开线。
与阿基米德螺线相比，渐开线在日常生活中出场的机会似乎要少一点，但仔细寻找还是能发现它的踪迹，例如棕榈等一些植物叶尖的轮廓就是渐开线。
其实它还在机械设备中发挥着重要的作用，机械设备用于传动的齿轮中，就活跃着渐开线的身影。
早在1694 年，法国学者就讨论了把渐开线作为齿轮齿形的可能性。
1765 年，欧拉对相啮合的一对齿轮齿形曲线的曲率半径和曲率中心位置的关系进行了计算，认为渐开线相当适合作为齿轮的齿形。
与其他齿形相比，渐开线齿形具有传动平稳、两轮中心距允许有一定的安装误差等等优点。
目前工业中渐开线齿轮被广泛应用，占到世界齿轮市场的90% 以上。
渐开线齿轮
伯努利和大自然都爱等角螺线
下面出场的是螺线家族中名气最大的——等角螺线。
它的名字来源于一个著名的数学问题：试找出一条曲线，在任意点处的矢径与切线的夹角为定值。
这一问题最终于1683 年被笛卡尔解决。
使用一点简单的微积分和笛卡尔的坐标系，我们很容易就能知道等角曲线的极坐标方程：ρ = e aθ。
由于在方程中出现了指数函数，这一螺线也被称为对数螺线。
等角螺线还与一道著名的趣味物理题有关：三只小狗分别从一个等边三角形的三点出发，以相同的速度相互追逐，当它们在三角形中心相遇时，所画出的轨迹就是等角螺线。
一个很少被注意的有趣现象是，他们将在有限时间内相遇，但是相遇之前已经围着中心绕了无数圈!
等角螺线
等角螺线具有许多有趣的数学性质，著名数学家雅各布·伯努利就是等角螺线的一个狂热粉丝。
他对等角螺线进行了许多研究，发现等角曲线在反演、求渐屈线、求垂足曲线、等比例放大等等变换后仍然是原先的等角曲线。
对于这些性质伯努利感到十分惊讶，决定把等角曲线作为自己的墓志铭，还加上了一句话“Eadem mutata resurgo.”这句话有各种不同的翻译版本，大意是“纵然改变，仍然故我”（也有一些版本的翻译类似“改变之后，我将原地复活”）。
但是滑稽的是为他雕刻墓碑的工匠也许是文化水平不高，也许就是嫌麻烦，最后给墓碑上雕刻的图竟是毫不相关的阿基米德螺线。
伯努利若九泉有知，怕是要死不瞑目了。
等角对数螺线的除了伯努利还有大自然。
可能是由于它等角的特性，等角螺线是自然界中最常见的螺线。
向日葵的和其他一些植物的种子在花盘上排列出的曲线就是等角曲线，这样每颗种子受到周围其他种子所分泌生长素的抑制作用可以达到最小，同时当它们长大时可以保持形状不变。
蕨类植物和其他一些植物的嫩叶也蜷曲成对数曲线的形状。
向日葵的花盘，能看出等角螺线吗
对数曲线形状的嫩芽
除了植物界，动物界也有不少等角螺线。
鹦鹉螺的螺壳曲线就是等角螺线，这是由于鹦鹉螺在生长时内圈与外圈分泌石灰质的量总为一定值造成的，同理鹰嘴和鲨鱼的背鳍也是对数螺线的形状。
法国博物学家，《昆虫记》作者让-亨利•法布尔曾经注意到，蜘蛛结出的网上也有对数螺线出没，对此他兴趣大发，在《蜘蛛的一生》中增加了专门的一篇，讨论对数螺线的数学性质和它对自然界的影响。
甚至“对数螺线”这个名字就是法布尔叫响的。
另外人们发现，飞蛾扑火与老鹰盘旋也都是沿着对数螺线的轨迹移动。
但是和接下来的银河系相比，以上的例子都“弱爆了”。
天文学家观测发现，涡旋状星云的旋臂形状与等角螺线十分相似，银河系的四大旋臂就是倾斜度为12° 的等角螺线。
其他的螺线
除此之外，数学家们还找出了各种奇形怪状的非主流螺线，例如极坐标方程r 2= θ 描述的连锁螺线，它不是常见的一支，而是对称的两支。
更为怪异的是欧拉螺线，它有两个中心，埃舍尔的一副作品就是以此为主题的。
欧拉曲线
数学界是如此地热爱螺线，以至于衡量一个数学家是否足够牛逼的简单的方法就是看看是否存在以他命名的螺线。
那死理性派又为什么对螺线情有独钟呢？这就正像法布尔总结的那样：“几何，以及面积的和谐支配着一切。
”螺线背后精准优雅的规律，无疑让一代又一代的人为之痴迷。
参考资料
【1】马丁•加德纳，《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》
【2】用数学注释的花园
【3】赵文敏，等角螺线及其他
【4】职业农夫，生物中的数学---是生物因为数学而有趣？还是数学因为生物而有趣？【5】维基百科，螺线等相关词条
<十二水灯>系列作品之_ 秋水迥波
作品名称: 秋水迥波作品编号:GS-01-01创作时间:2012-02材质:3D打印尼龙秋水迥波是<十二水灯>系列灯具产品中的第一款。
我们也付出了最多的心血来创作它，从最初的单层次变化到最终的三级递归曲线变化，从普通的曲面表现到独特的极小曲面表现，从结构的多层嵌套到最终形态的一体成型，前后经历了11次程序的推敲与完善。
所有这些对灯具不断的完善的动力都来自对马远水图的新的认知。
此图为马远的原作《秋水迥波》
当我们将《秋水迥波》分为近中远景时便会发现：画面中近景和中景虚实相映，产生了一种空间上的起伏感。
水纹由左下方向右上方延伸，特别是两只空中飞鸟的连线，更是加强了这种趋势感。
而沿着光影，圈出的弧线，又将向右上方延伸的动势往回拉，从而平衡了画面。
画面中的元素有点，有曲线，有大面，有小面，交织在一起便是波光粼粼的湖水，徐徐瑟瑟的秋风，还有洒在湖面上斑驳的阳光。
我们似乎找到了马远让画面变得如此生动的奥秘，但是我们却又陷入了他的另一个视觉游戏——水波向右上方流动趋势的背后，是一串串几乎反向流动的曲线所造就的，而且两个方向的曲线营造出了第三方向的视觉感受。
作品局部欣赏。