2018-2019学年江西省抚州市临川一中高一下学期第一次月考数学试题(解析版)

2018-2019学年江西省抚州市临川一中高一下学期第一次月
考数学试题
一、单选题
1．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =30A =︒，105C =︒，则a =（ ）
A ．1 B
C ．2
D
【答案】C
【解析】先求角B ，再根据正弦定理求结果. 【详解】
30A =o Q ，10545C B =∴=o o
sin 2sin sin sin a b b A a A B B =∴===Q 故选：C 【点睛】
本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．在ABC ∆中，若AB =3BC =，60C ∠=°，则AC =（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】根据余弦定理直接求解,即得结果. 【详解】
2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅Q
2213923cos 34043
AC AC AC AC AC π
∴=+-⋅∴--=∴=（负舍）
故选：D 【点睛】
本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．已知等比数列{}n a ，若147
2
a a +=，232a a ⋅=-，则公比q =（ ） A ．-2 B ．12
-
C ．-2或12
- D ．-8或1
8-
【答案】C
【解析】根据条件列首项与公比的方程组，解得结果. 【详解】
1472a a +=
Q ，232a a ⋅=-，3
1172
a a q ∴+=，2312a q =-， 3233(1)4988q q q +∴=-∴=-或3
18q =-，即2q =-或
12
q =- 故选：C 【点睛】
本题考查等比数列基本量，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，对一切自然数n ，都有
2121n n S n T n -=+，则2617
a a
b b +=+（ ） A ．
5
7
B ．
79
C ．
1315
D ．
1517
【答案】C
【解析】利用等差数列性质将和项的比转化为两项和的比，再代入对应数值计算即可. 【详解】
2112121121214343214141n n n n n n S S a a n n n T n T n b b n ----+---=∴=∴=+-+-Q
2617117744313
44115
a a a a
b b b b ++⨯-∴
===++⨯-
故选：C 【点睛】
本题考查利用等差数列性质求比值，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．在等差数列{}n a 中，12017a =-，其前n 项和为n S .若20102008
220102008
S S -=，则2019S =（ ） A ．-2019 B ．2019
C ．-2018
D ．2018
【答案】B
【解析】根据等差数列和项性质得n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
成等差数列，
再根据等差数列通项公式求结果. 【详解】 因为等差数列中n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
成等差数列，设公差为d ，而20102008220102008S S -=，
所以1
22,1(1)2017120181
n S S d d n d n n n ==∴
=+-=-+-=- 2019(2018),2019(20192018)2019n S n n S ∴=-=-=
故选：B 【点睛】
本题考查等差数列通项公式以及和项性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．已知{}n a 中，11a =，()11n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式是( ) A ．1
n a n
=
B ．21n
n a =- C ．n a n = D ．1
2n n a n
+=
【答案】C
【解析】观察式子可变形为：111
1n n n n a n na n a a n
+++=
+⇒=（），再用叠乘法即可求解 【详解】
由na n +1=（n +1）a n ，可得：11
n n a n a n
++=， 又∵a 1=1，∴3
21121n n n a a a a a a a a -=⋅⋯⋅=231121
n n ⨯⨯⋯⨯⨯-=n ． ∴a n =n ， 故选：C ． 【点睛】
本题考查叠乘法求数列通向，属于基础题
7．在ABC ∆中，若22tan tan b C c B =，则ABC ∆是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三
角形 【答案】D
【解析】先根据正弦定理化边为角，再根据正弦函数性质确定角的关系，进而得到三角形形状. 【详解】
2222sin sin tan tan sin sin cos cos C B
b C
c B B C C B =∴⋅
=⋅Q 11
sin cos sin cos sin 2sin 2,sin 2sin 222
C C B B C B C B ∴=∴==
因为在ABC ∆中，所以22C B =或22C B π+=，即C B =或2
C B π
+=
故选：D
【点睛】
本题考查利用正弦定理判定三角形形状，考查综合分析化简判断能力，属中档题. 8．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若10a <，57S S =.则下列说法错误的是（ ） A ．0d > B ．110S <
C ．{}n S 中的最小项为11S
D ．67a a =
【答案】C
【解析】先利用等差数列通项公式化简条件确定公差正负，再确定项变号情况，最后结合和项公式判断选项. 【详解】
1
576712+02110,11a S S a a a d d =∴=∴+==-
Q 11116711611()
000,01102a a a d a a S a +<∴>∴<>∴==<Q ，，即A,B 正确；
676767+0,||||a a a a a a =∴=-=Q ，即D 正确； 670,0a a <>∴Q ，{}n S 中的最小项为6S ，即C 错误；
故选：C 【点睛】
本题考查等差数列通项公式与和项公式，考查综合分析化简能力，属中档题. 9．等比数列{}n a 共有21n +项，其中12a =，偶数项和为84，奇数项和为170，则n =（ ） A ．3 B ．4
C ．7
D ．9
【答案】A
【解析】根据等比数列中偶数项和与奇数项和关系列式求解，即得结果. 【详解】
因为等比数列{}n a 共有21n +项，所以等比数列中偶数项有n 项，奇数项有1n +项，
由题意得1q ≠±，所以偶数项和为
2222
122(1)844211n n a q q q q q q q +--=\=--，奇数项和为2222
122
(1)11708511n n a q q q q ++--=\=--，相减得22(14)14285284,14
n q q ?-=-\=\=-
464,3n n \==
故选：A 【点睛】
本题考查等比数列和项公式基本量计算，考查综合分析求解能力，属中档题. 10．数列{}n a 满足112
a =
，且对于任意*n N ∈都有131n n n a a a +=+成立，则数列{}1n n a a +⋅的前10项和为（ ）
A ．
5
32
B ．
958
C ．
1170
D ．
1532
【答案】A
【解析】先对条件取倒数，构造等差数列，求得{}n a 通项公式，再利用裂项相消法求结果. 【详解】
1111331n n n n n
a a a a a ++=
∴=+∴+Q 1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为以2为首项，3 为公差的等差数列，
因此
1123(1)3131
n n n n a a n =+-=-∴=-， 11111
()(31)(32)33132
n n n n n a a n +=
=--+-+⋅
则数列{}1n n a a +⋅的前10项和为
1111111111115()()()()32535832932323232
-+-++-=-=L 故选：A 【点睛】
本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.
11．已知函数()3x
f x =，若数列{}n a 满足
()()*
11
1
1n n f a n N f a +=
∈⎛⎫
⎪+⎝
⎭，且
()10a f =，则下列结论正确的是（ ）
A ．20162019a a >
B ．20172018a a >
C ．20192018a a >
D ．20162018a a >
【答案】B
【解析】先根据函数解析式化简条件得数列{}n a 递推关系式，再根据递推关系式得数列{}n a 周期，最后根据周期判断选项. 【详解】
()111111111
11
3=
3
10113
1n n n
n
a a a n n n a n
f a a a f a ++++++
+=
∴∴=∴=+⎛⎫+
⎪+⎝⎭
Q ，
()12341
01,2,1,2
a f a a a ==∴=-=-=Q
所以1321
1
111111
111111n n
n n n n n n
a a a a a a a a +++++-
++=-=-
=-=+-
-
-
++=，即数列{}n a 周期
为3，
2016320193201620192,2,a a a a a a ==-==-∴=
2017120182201720181
1,2
a a a a a a ====-∴>，20192018a a <，20162018a a <
故选：B 【点睛】
本题考查指数函数运算以及数列周期性及其应用，考查综合分析求解能力，属中档题.
12．各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，()
2*121n n
a S n n N +=++∈，若对任意的*n N ∈，1231111
0n
n a n a n a n a λ++++-≥++++L 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
A ．1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦ B ．1,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．1,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦ D ．7,
12⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
【答案】A
【解析】先根据和项与通项关系求数列{}n a 通项公式，再根据数列单调性确定最值，最后根据不等式恒成立得结果. 【详解】
21122
122121121n n a S n a S a a +=++∴=++=∴=Q Q
()22222211112122)(211
n n n n n n n n n a S n a S n n a a a a a +-++=++∴=+≥∴-==++Q ，， 121101(2)11(1)n n n n n a a a n a a a a n ++>∴=+≥=+∴=+≥Q Q
因此{}n a 为以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =
1231111
0n
n a n a n a n a λ++++-≥++++Q
L 1111
123n n n n n
λ∴≤
++++
++++L 令1111
()123f n n n n n n
=
++++++++L 则11111
(1)()23111
f n f n n n n n n n n n +-=
+++++++++++++L 111111111()0123212212122
n n n n n n n n n n -++++=+-=->+++++++++L 所以11
()(1)22
f n f λ≥=∴≤
故选：A 【点睛】
本题考查由和项求通项、等差数列定义以及数列单调性应用，考查综合分析求解能力，属中档题.
二、填空题
13．在ABC ∆
中，已知a =2b =，45B =︒，则角A =______.
【答案】60︒或120︒
【解析】根据正弦定理直接求解，即可得结果. 【详解】
sin 45sin sin sin 22
a b a B A A B b =∴===
o Q 3
a b A π
>∴=
或
23
π
故答案为：60︒或120︒ 【点睛】
本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．已知三角形的三条边成公差为2的等差数列，
则这个三角形的外接圆半径为______.
【解析】根据余弦定理求最大边，再根据正弦定理求外接圆半径. 【详解】
设最大边为a ，则其余两边为2,4,(4)a a a -->，
23π，
由余弦定理得2
2
2
2(2)(4)2(2)(4)cos 3
a a a a a π
=-+----， 即2
9140,47a a a a -+=>∴=Q
所以三角形的外接圆半径为1722sin
3
π⨯=
故答案为：3
【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理，考查综合分析求解能力，属中档题.
15．在数列{}n a 中，若11a =，且对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则数列{}n a 的通项公式n a =______.
【答案】
()12
n n +
【解析】直接根据累加法求通项公式. 【详解】
11122111()()()n n n n n n n a a n a a a a a a a a +---=++∴=-+-++-+Q L
(1)
(1)21,(2)2
n n n n n +=+-+++=
≥L 因为112
12a ⨯==
，所以()12
n n n a +=
故答案为： ()12
n n + 【点睛】
本题考查利用累加法求通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．在数列{}n a 中，若11a =，2
113n n n a a -+⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭
，则满足不等式
123221
11111200n n a a a a a ++++⋅⋅⋅++<的正整数n 的最大值为______. 【答案】4
【解析】先根据递推关系得数列{}n a 隔项成等比数列，再根据等比数列求和公式化简，最后解不等式得结果. 【详解】
2
1121213=313n n n a a a a a a -+⎛⎫⋅=⋅= ⎝∴⎭
∴⎪
=Q Q
2
1+12
21
1
11333
n n n n n n n n a a a a a a +--++⎛⎫
⎛⎫⋅=⋅= ⎪
⎪⎝∴
⎭
⎝⎭
∴=Q 因此数列{}n a 中所有奇数项依次构成以1为首项，1
3
为公比的等比数列，所有偶数项依次构成以3为首项，
1
3
为公比的等比数列， 即数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中所有奇数项依次构成以1为首项，3为公比的等比数列，所有偶数项依
次构成以
1
3
为首项，3为公比的等比数列， 从而
123221132124211111111111()()n n n n
a a a a a a a a a a a +++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 1
1
(13)
135260233200341313335n n n n n +--=+=⋅-<∴<∴≤-- 即正整数n 的最大值为4，
故答案为：4 【点睛】
本题考查等比数列定义、等比数列求和公式以及分组求和法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.
三、解答题
17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若(),m a c b =+r
，
(),n a c b a =--r 且m n ⊥r r .
（1）求角C 的大小；
（2
）若c =sin 2sin A B =，求ABC ∆的面积.
【答案】（1）3
C π
=
；（2
【解析】（1）先根据向量垂直关系坐标表示得边的关系，再根据余弦定理求角； （2）先根据正弦定理化角为边的关系，再根据余弦定理得方程，解得,a b ，最后根据三角形三角形面积公式得结果. 【详解】
（1）由m n ⊥u r r
可得：2220a c b ab -+-=，∴由余弦定理可得：
2221cos 222
a b c ab C ab ab +-===，
又∵()0,C π∈，∴3
C π
=
.
（2）由sin 2sin A B =及正弦定理可得：2a b =，
∵c =3
C π
=
，
∴由余弦定理可得：2222222cos 43c a b ab C b b ab b =+-=+-=，
∴解得：b =a =
∴11sin 22ABC S ab C ∆==⨯=【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 18．已知数列{}n a 满足11a =，且111
23
n n a a +=+，*n N ∈. （1）求证：23n a ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2）1
211332n n a -⎛⎫
=+⋅ ⎪
⎝⎭
【解析】（1）根据条件构造新数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭
的递推关系，再根据等比数列定义进行证明；
（2）先求23n a ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
通项公式，再得{}n a 的通项公式. 【详解】
（1）证明：由已知得：12111232323n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭
， 因为11a =，所以12133
a -=， 所以23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以
13
为首项，1
2为公比的等比数列；
（2）由（1）知，23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是以
13
为首项，1
2为公比的等比数列，
所以1
211332n n a -⎛⎫
-=⋅ ⎪
⎝⎭
，
所以1
211332n n a -⎛⎫
=+⋅ ⎪
⎝⎭
.
【点睛】
本题考查等比数列定义以及通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos ,cos m A B =r
，
(),2n a c b =-r ，且//m n r r .
（1）求角A 的大小；
（2）若3a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围. 【答案】（1）3
A π
=
；（2）(]6,9l ∈
【解析】（1）先根据向量平行坐标表示得()cos 2cos 0a B c b A --=，再根据正弦定理化边为角的关系，化简可得结果；
（2）先根据正弦定理将,b c 化为角的关系，再根据三角形内角关系统一为一角，利用辅助角公式化为基本三角函数，最后结合正弦函数性质求周长l 的取值范围. 【详解】
（1）因为//m n u r r
，所以()cos 2cos 0a B c b A --=， 所以()sin cos 2sin sin cos 0A B C B A --=，
所以()sin 2sin cos 0A B C A +-=，即sin 2sin cos C C A =， 又因为0C π<<，sin 0C ≠所以1
cos 2
A =. 又因为0A π<<，所以3
A π
=
.
（2）因为
sin sin sin a b c
A B C ==，3
A π=，3a =， 所以23sin b
B =，23sin c
C =，
所以()3323sin sin l b c B C =++=++.因为23
B C π
+=
， 所以23323sin sin 3l b c B B π⎡⎤
⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦36sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 又因为203B π
<<，所以1sin 12
6B π⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，所以(]6,9l ∈.
【点睛】
本题考查正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题. 20．如图，在梯形ABCD 中，已知//AD BC ，1AD =，32
2
BD =
，4CAD π∠=，
tan 3ADC ∠=-.
求：（1）CD 的长； （2）BCD ∆的面积. 【答案】（1）10
2
CD =
；（2）32BCD S ∆=
【解析】（1）先根据同角三角函数关系得310sin 10ADC ∠=
10
cos 10
ADC ∠=-，再根据两角和正弦公式得sin ACD ∠，最后根据正弦定理求结果；
（2）结合（1）可得cos BCD ∠，再根据余弦定理求BC ，最后根据三角形面积公式得结果. 【详解】
（1）∵tan 3ADC ∠=，∴310sin 10ADC ∠=，10
cos 10
ADC ∠=-
. ∴()
sin sin ACD CAD ADC ∠=∠+∠sin cos cos sin CAD ADC CAD ADC =∠∠+∠∠
22⎛=
+= ⎝⎭在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AD CD
ACD CAD
=∠∠
=
解得2
CD =
. （2）∵//AD BC ，∴180ADC BCD ∠+∠=︒，
∴sin sin 10BCD ADC ∠=∠=
，cos cos 10
BCD ADC ∠=-∠=， 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD CD BC BC CD BCD =+-⋅∠， 即220BC BC --=，解得2BC =或1BC =-（舍）
.
113
sin 2222102
BCD S BC CD BCD ∆=
⋅∠=⨯⨯⨯= 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理以及两角和正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 21．递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若3a 与5a 是方程216630x x ++=的两个实数根.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）当n 为多少时，n S 取最小值，并求其最小值； （3）求123n a a a a ++++L .
【答案】（1）12n a n =-；（2）所以当11n =或12时，n S 取最小值，最小值为66-；
（3）22123
,11122
123132,112
2n n n n n n ⎧-+≤≤⎪⎪⎨
⎪-+>⎪⎩ 【解析】（1）先根据韦达定理得两方程，再转化为首项与公差关系，解得结果代入等差数列通项公式；
（2）先根据通项公式确定{}n a 变号的项，即可判定n S 何时取最小值，再根据等差数列求和公式求最小值;
（3）由（2）知，需分类讨论，根据项的符号去绝对值，再根据去绝对值后与原数列和项关系求结果. 【详解】
（1）因为3a 与5a 是方程216630x x ++=的两根，所以3516a a +=-，又3563a a ⋅=，
解得3579a a =-⎧⎨=-⎩或3597a a =-⎧⎨=-⎩，又因为该等差数列递增，所以359
7
a a =-⎧⎨=-⎩，
则公差53
12
a a d -=
=，111a =-， 所以()11112n a n n =+-=-； （2）由100
n n a a +≤⎧⎨
≥⎩，即120
110n n -≤⎧⎨-≥⎩，解得1112n ≤≤，
又*n N ∈，所以当11n =或12时，n S 取最小值，最小值为
()11121211
1211662
S S ⨯==⨯-+
=-； （3）由（2）知，当12n ≤时0n a ≤，当12n >时0n a >， ①当12n ≤时，
()123123n n a a a a a a a a ++++=-++++L L
()12123
222
n n n a a S n n +=-=-
=-+； ②当12n >时，
()()123123121314n n a a a a a a a a a a a ++++=-++++++++L L L
212123
213222
n S S n n =-=
-+， 所以21231232123
,11122
123132,1122n n n n n a a a a a a a a n n n ⎧-+≤≤⎪⎪++++++++=⎨
⎪-+>⎪⎩L L . 注：答案还可以为22123,11022123132,1022n n n n n n ⎧-+≤≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩或22123
,11222
123132,122
2n n n n n n ⎧-+≤≤⎪⎪⎨
⎪-+>⎪⎩. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式、求和公式以及和项最值，考查综合分析求解能力，属中档
题.
22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*1
22
n n N S a n =-
∈，数列{}n b 满足11b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若0λ>，对所有的正整数n 都有()2
213n
n
b k a λλ-++>
成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）2
2n n a -=，21n b n =-；（2）()13
2322
n n T n -=
+-；（3
）()
1k ∈-∞ 【解析】（1）先根据和项与通项关系求数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列定义以及通项公式求{}n b 的通项公式；
（2）根据错位相减法求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）先根据作差法判定数列2n n b a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为单调递减数列，再根据不等式恒成立转化为()2131k λλ-++>，最后利用变量分离法求k 的取值范围.
【详解】
（1）∵1
22n n S a =-
，∴11122S a =-，即112
a =， 当2n ≥时，111
22
n n S a --=-，
∴1122n n n n n a S S a a --=-=-， ∴(
)*
122,n n a a n n N -=≥∈，
∴{}n a 是首项为
12
，公比为2的等比数列，因此2
2n n a -=，*n N ∈， 因为()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以120n n b b +-+=， 而11b =，所以21n b n =-. （2）∵()()2
*
212n n n n c a b n n N -=⋅=-∈，
∴()21
113252212
n n T n -=
⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-③ 因此()()2
2
121123252
23221n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-④
③－④得：()()2211
212222212
n n n T n ---=
++++⋅⋅⋅+-- ()()111112322212322122
n n n n n ----=+⨯--=-+--， ∴()13
2322
n n T n -=+-.
（3）由（1）知1n ≥，()222221n n
n
b n a -=-， ∵
()()()2221221221221n n n n
n
n b b n n a a --++-=+--()()225601n n n -=-<≥， ∴数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为单调递减数列；
∴当1n ≥时，
1221n n b b
a a ≤=.即2n n
b a 的最大值为1. 由()2
131k λλ-++>可得()2
12k λλ+<+，2
1k λλ
+<+，
而当0λ>
时，2
λλ
+
≥
2
λ=
时取等号，
∴()
1k ∈-∞. 【点睛】
本题考查等差数列定义、利用和项求通项，数列单调性以及数列不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属较难题.。