离散傅里叶变换ppt讲解
合集下载
离散时间傅立叶变换ppt课件
四. 时域反转 (reflaction):
若 x(n) X (e j ), 则 x(n) X (e j )
32
五. 共轭对称性 (symmetry properties):
若 x(n) X (e j ), 则 x*(n) X *(e j )
由此可进一步得到以下结论:
1. 若 x(n) 是实信号，则 x*(n) x(n)
由此推断，对离散时间信号可以期待有相似的
情况。但由于DTFT一定是以2π为周期的，因此，
频域的冲激应该是周期性的冲激串，即
X (e j0t ) 2（ 0 2 k）
k
24
对其做反变换有：
x(n) 1 X (e j )e jnd
2 2
1
ax1(n) bx2 (n) aX1(e j ) bX 2 (e j )
三. 时移与频移 (shifiting):
若 x(n) X (e j ), 则
x(n n0 ) X (e j )e jn0 x(n)e j0n X (e j(0 ) )
时移特性 频移特性
kn
nN /2
当 N 时 2 k ，令
N
lim Nak
N
X（e j）
有: X（e j） x(n)e jn
DTFT
n
说明:显然 X（e j）对 是以 2 为周期的。
9
将其与 ak 表达式比较有
ak
1 N
X (e j ) 2 k N
1
基本内容
1. 离散时间傅立叶变换； 2. 常用信号的离散时间傅立叶变换对; 3. 离散时间周期信号的傅立叶变换； 4. 傅立叶变换的性质； 5. 系统的频率响应与系统的频域分析方法；
《离散傅里叶》PPT课件
射关系，即
F () f (t)e jt dt
f (t) 1 F ()e jt d 2
2.离散、非周期时域信号 f (n) ←映射→周期、连续频域信号 F(e j ) ，它有序列的傅里叶变换
构成映射关系，即
F (e j ) f (n)e jn n
f (n) 1 F (e j )e jn d 2
N 1
f
p
( n)W Nnk
W
nN N
n0
N 1
f p (n)WNnk Fp (k ) n0
周期序列 f p (n) 的傅里叶级数系数 Fp (k) 也是以 N 为周期的周期序列。
时域中的一个周期序列 f p (n) 必定与频域中的一个周期序列 Fp (k) 一一
对应，在信号处理理论中通常称 Fp (k) 为周期序列 f p (n) 的离散傅里叶级
数变换（Discrete Fourier Series 简写为 DFS），即
Fp (k) DFS[ f p (n)]
而 f p (n) 称为离散傅里叶级数的逆变换（Inverse Discrete Fourier Series 简 写为 IDFS），即
f p (n) IDFS[Fp (k)]
1.连续、非周期时域信号 f (t) ←映射→非周期、连续频域信号 F() ，它由傅里叶变换构成映
N 1
N 1
Fk [
e ] jn0 ( k r )
k 0
n0
上式中方括弧中的和式由正交关系求出，即：
N 1 e jn0r
n0
N
0
r mN r mN
式中 m 为整数，方括弧中的和式只有当 k r mN 或 k mN r 时，取非零值 N，由于后 一个和式变量 k 的取值范围为[0, N 1]，所以 m 必须取零值（即 m 0），这就是说只有当 k r 时，方括弧中的和式取非零值，于是
F () f (t)e jt dt
f (t) 1 F ()e jt d 2
2.离散、非周期时域信号 f (n) ←映射→周期、连续频域信号 F(e j ) ，它有序列的傅里叶变换
构成映射关系，即
F (e j ) f (n)e jn n
f (n) 1 F (e j )e jn d 2
N 1
f
p
( n)W Nnk
W
nN N
n0
N 1
f p (n)WNnk Fp (k ) n0
周期序列 f p (n) 的傅里叶级数系数 Fp (k) 也是以 N 为周期的周期序列。
时域中的一个周期序列 f p (n) 必定与频域中的一个周期序列 Fp (k) 一一
对应，在信号处理理论中通常称 Fp (k) 为周期序列 f p (n) 的离散傅里叶级
数变换（Discrete Fourier Series 简写为 DFS），即
Fp (k) DFS[ f p (n)]
而 f p (n) 称为离散傅里叶级数的逆变换（Inverse Discrete Fourier Series 简 写为 IDFS），即
f p (n) IDFS[Fp (k)]
1.连续、非周期时域信号 f (t) ←映射→非周期、连续频域信号 F() ，它由傅里叶变换构成映
N 1
N 1
Fk [
e ] jn0 ( k r )
k 0
n0
上式中方括弧中的和式由正交关系求出，即：
N 1 e jn0r
n0
N
0
r mN r mN
式中 m 为整数，方括弧中的和式只有当 k r mN 或 k mN r 时，取非零值 N，由于后 一个和式变量 k 的取值范围为[0, N 1]，所以 m 必须取零值（即 m 0），这就是说只有当 k r 时，方括弧中的和式取非零值，于是
离散傅里叶变换(DFT)ppt课件
幅度为
1 N
X~ (k )，其中k
0,1, , N
N
1表示其频谱分布规律
8
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(3)周期序列的傅里叶变换表示
因为周期序列不满足条件： x(n) 。因此它的DTFT 不存在。但是，通过引入奇异函n数 δ 其DTFT可以用公式
表示。
x(n) x(n kN ),k
周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。
(1)DFS定义
正变换：X
(k)
DFS [ x(n )]
N
1
x(n)e
j 2 N
nk
一般记：
反变换：x(n)
n0
IDFS[X (k)] 1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
j 2
WN e N
6
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)周期序列的离散傅里叶级数推导 由
为 ~x对(n于)周的期“序主列值~x区(间n)”，，定主义值其区第间一上个的周序期列n为=0主~N值-1序，
列 x(n)。
x(n)与~x(n) 的关系可描述为： ~x (n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x (n)的"主值序列"
数学表示：
x(n)
x(n mN ) x((n))N
x(n)
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)
N 1
离散傅里叶变换ppt
频域信号 周期的 离散的
*时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
§ 3-1 周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入 导出周期序列DFS的传统方法是从连
续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
~x (t) X~ ( jk0 )e jk0t k
对上式进行抽样，得：
n0
x(n)
IDFT X (k)
1 N
N 1
X (k )WNn,k
k 0
0nN-1
或者： X (k) X~(k)RN (k) x(n) ~x (n)RN (n)
练习题
参考答案
TP 1/ f 0.1(s) T 1/ 2 fh 1/ 8kHz 0.125(ms) N 2 fh / f 800
证明：
DFS[WNmn~x (n)]
N
1
WNmn
~x (n)WNkn
n0
N 1 ~x (n)WN(km)n n0
X~(k m)
WNmn
j 2 mn
eN
j 2 nm
eN
(e
j
2
N
n
)
m
时域乘以虚指数(
j 2
eN
n
)的m次幂，频域搬移m,调制特性。
四.周期卷积和
1.如果 Y~(k) X~1(k)X~2(k)
所以
DFS[~x (n
m)]
N 1m~x (i)WNik
W mk N
im
W mk N
N
1
~x (i)WNik
W mk N
~x (k
数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件
2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2
《离散傅里叶变换》课件
离散傅里叶级数
探索离散傅里叶级数的定义、性 质和计算方法以及在数字信号处 理中的应用。
离散傅里叶变换
仔细研究离散傅里叶变换的离散 性质和变换公式，揭示其在信号 分析中的独特优势。
离散傅里叶变换的性质
探索离散傅里叶变换的对称性、 线性性以及快速计算算法，解开 其工程应用的奥秘。
离散傅里叶变换实践1海明窗函数图像处理
探索离散傅里叶变换在图像滤波、增强和压缩中的重要作用。
视频编码
揭示离散傅里叶变换在视频编码和压缩领域的关键应用和优化策略。
总结
离散傅里叶变换的优点与缺点
离散傅里叶变换未来的发展趋势
2
深入了解海明窗函数的定义和特性，以
及在信号处理中的应用场景。
3
快速傅里叶变换算法
介绍快速傅里叶变换算法的基本原理和 实现方法，让你轻松掌握高效算法的使 用。
离散傅里叶变换与信号处理实例
通过实际案例演示离散傅里叶变换在语 音信号和图像信号处理中的应用与效果。
离散傅里叶变换应用
语音信号处理
深入研究离散傅里叶变换在语音信号分析、压缩和合成中的广泛应用。
《离散傅里叶变换》PPT 课件
本课件介绍离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform），让你轻松理解 该概念及其应用。从基本理论到实践应用，一网打尽。
简介
什么是离散傅里叶变换
深入探索离散傅里叶变换的定义、原理和作用，为你打开全新的数学世界。
应用领域
探索离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、视频编码等领域的广泛应用。
傅里叶理论基础
1 傅里叶级数
揭秘傅里叶级数的概念和 原理，了解它在周期信号 分析中的作用。
2 傅里叶变换
《离散傅里叶变换》课件
$X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_N^{kn}$
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
《离散傅立叶变换》课件
快速傅立叶变换（FFT）是一种高效计算离散傅立叶变换的算法，可以大大减 少计算复杂度。
傅立叶变换的复杂度取决于信号长度，使用快速傅立叶变换可以加快计算速 度，提高效率。
应用
离散傅立叶变换在各个领域有广泛的应用，其中包括信号处理、数据压缩和 图像处理。
在信号处理中，离散傅立叶变换用于滤波、频谱分析和模式识别。在数据压 缩中，它可用于数据压缩和编码。
在图像处理中，离散傅立叶变换可以用于图像增强、去噪和特征提取。它是 许多图像处理算法的核心。
总结
离散傅立叶变换具有优点和缺点。它可以帮助我们从频域角度理解信号，但 在处理大型数据时可能存在计算复杂度的问题。
离散傅立叶变换在信号处理、数据压缩和图像处理等领域有着广阔的应用前 景。
未来的研究方向包括改进傅立叶变换的计算速度和精度，以及在深度学习和 人工智能领域中的应用。
离散傅立叶变换介绍
离散傅立叶变换是对离散时间序列进行傅立叶变换的方法。它将离散信号从 时域转换到频域，以便进一步分析和处理。
离散傅立叶变换的步骤包括取样、加权、求和和逆变换。它是时域离散信号 处理的重要工具。
使用离散傅立叶变换，可以从时域表示中提取频域特征，帮助我们理解和处 理各种类型的信号。
离散傅立叶变换算法
《离散傅立叶变换》PPT课件
本课件介绍了离散傅立叶变换的概念、算法和应用领域，帮助大家深入了解 这一重要的数学工具。
前言
傅立叶变换是一种将时域函数转换为频域函数的数学工具。它的作用是分析 信号的频谱特性和处理信号。
傅立叶变换以法国数学家傅立叶的名字命名，被广泛应用于信号处理、数据 压缩
傅立叶变换的复杂度取决于信号长度，使用快速傅立叶变换可以加快计算速 度，提高效率。
应用
离散傅立叶变换在各个领域有广泛的应用，其中包括信号处理、数据压缩和 图像处理。
在信号处理中，离散傅立叶变换用于滤波、频谱分析和模式识别。在数据压 缩中，它可用于数据压缩和编码。
在图像处理中，离散傅立叶变换可以用于图像增强、去噪和特征提取。它是 许多图像处理算法的核心。
总结
离散傅立叶变换具有优点和缺点。它可以帮助我们从频域角度理解信号，但 在处理大型数据时可能存在计算复杂度的问题。
离散傅立叶变换在信号处理、数据压缩和图像处理等领域有着广阔的应用前 景。
未来的研究方向包括改进傅立叶变换的计算速度和精度，以及在深度学习和 人工智能领域中的应用。
离散傅立叶变换介绍
离散傅立叶变换是对离散时间序列进行傅立叶变换的方法。它将离散信号从 时域转换到频域，以便进一步分析和处理。
离散傅立叶变换的步骤包括取样、加权、求和和逆变换。它是时域离散信号 处理的重要工具。
使用离散傅立叶变换，可以从时域表示中提取频域特征，帮助我们理解和处 理各种类型的信号。
离散傅立叶变换算法
《离散傅立叶变换》PPT课件
本课件介绍了离散傅立叶变换的概念、算法和应用领域，帮助大家深入了解 这一重要的数学工具。
前言
傅立叶变换是一种将时域函数转换为频域函数的数学工具。它的作用是分析 信号的频谱特性和处理信号。
傅立叶变换以法国数学家傅立叶的名字命名，被广泛应用于信号处理、数据 压缩
离散傅里叶变换应用.ppt
在 T 1时间内的采T 样1 次N必须满足
N2fmT1
（5-9）
16
三、误差产生原因及解决办法
❖ （三）频谱泄漏
❖ 频谱泄漏又称截断误差，是由于对信号进行截断， 把无限长的信号限定为有限长，即令有限区间外 的函数值均为零值，相当于用一个矩形（窗）信 号乘相应的信号，如图5-5所示。
xa(t)
y(t)
-T1/2
0
T1/2 t
W(t)
1
-T1/2
0 T1/2 t
图5-5 用矩形窗截断信号
17
第三节 倒频谱分析
一
倒频谱的定义
二 倒频谱的应用——对语言信号的分析
18
一、倒频谱的定义
❖ 设时域连续信号x(t)的傅里叶变换为
X() x(t)ejtdt
其功率谱为
P ()X ()X ()X ()2
19
或从N而，T看1 也到可
以采用频谱 原来看不
细化技术，使谱线变密 到的“频谱景象”
， 。
15
T1
三、误差产生原因及解决办法
❖ （二）混叠效应
❖ 时域信号的离散化是通过抽样实现的，当采样频 率 fs 1不T够高时，采样信号相对原信号就会产生 频谱的混叠，引起频谱失真。频谱混叠效应是由 于时域的离散化引起的，克服的办法是提高采样 频率，设法满足采样定理，保证 fs ，其2f中m 是 原信f m号的最高频率。如果时间记录长度为 ， 则
4
一
时域的有限化和离散化
二
频域的有限化和离散化
三
误差产生原因及解决办法
四
周期信号的数字谱分析
五
谱分析时DFT参数的选择
六
频谱细化技术
5
N2fmT1
（5-9）
16
三、误差产生原因及解决办法
❖ （三）频谱泄漏
❖ 频谱泄漏又称截断误差，是由于对信号进行截断， 把无限长的信号限定为有限长，即令有限区间外 的函数值均为零值，相当于用一个矩形（窗）信 号乘相应的信号，如图5-5所示。
xa(t)
y(t)
-T1/2
0
T1/2 t
W(t)
1
-T1/2
0 T1/2 t
图5-5 用矩形窗截断信号
17
第三节 倒频谱分析
一
倒频谱的定义
二 倒频谱的应用——对语言信号的分析
18
一、倒频谱的定义
❖ 设时域连续信号x(t)的傅里叶变换为
X() x(t)ejtdt
其功率谱为
P ()X ()X ()X ()2
19
或从N而，T看1 也到可
以采用频谱 原来看不
细化技术，使谱线变密 到的“频谱景象”
， 。
15
T1
三、误差产生原因及解决办法
❖ （二）混叠效应
❖ 时域信号的离散化是通过抽样实现的，当采样频 率 fs 1不T够高时，采样信号相对原信号就会产生 频谱的混叠，引起频谱失真。频谱混叠效应是由 于时域的离散化引起的，克服的办法是提高采样 频率，设法满足采样定理，保证 fs ，其2f中m 是 原信f m号的最高频率。如果时间记录长度为 ， 则
4
一
时域的有限化和离散化
二
频域的有限化和离散化
三
误差产生原因及解决办法
四
周期信号的数字谱分析
五
谱分析时DFT参数的选择
六
频谱细化技术
5
DSP离散傅里叶变换PPT课件
(kmN )
(2) X(k)隐含的周期性 N(周期为NN)
K,m,N均为整数
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n
n0
N 1
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n x(n)WNkn X (k)
(3) 序列x(n)隐含的周期性( 周n期0 为N)
n0
N 1
(4)当N足够大时，|X(k)|的包络可逼 近|X(ejw)|曲线；
(
5
)
|
X
(
k
)
|
表
示
w
k
=
2
k
/
N
频
点的幅
第7页/共71页
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.3 DFT的隐含周期性
在DFT变换的定义对中， x(n)与X(k)均为有限长序列。 (1) 旋转因子WknN的周期性(周期为N)
W W , k,m, N k
x(n)WNkn X (k)
n0
x(n+mN)=x(n)
第8页/共71页
3.1 离散傅里叶变换的定义
任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而 x(n)则是 的一个周期， 即:
~~
x(n) x(n mN )
mm
(3.1.5)
x(n)• • 0 •• •
离散傅里叶变换(DFT) 本章主要内容
• 离散傅里叶变换的定义 • 离散傅里叶变换的基本性质 • 频率域采样 • 离散傅里叶变换的应用举例
第1页/共71页
离散傅里叶变换(DFT)
DFT变换的实质：有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采样(时域和频
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
t
X ( j)
反 : x(t) 1 X ( j)e jtd
2
0
时域信号 连续的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
对称性: 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。
二.连续时间、离散频率傅里叶变换---傅氏级数
x(t)
X ( jk0 )
---
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk0
)
1 Tp
N 1 X~ (k )WNnk
k 0
4. X~(k ) 的周期性与用Z变换的求法
周期性：X~ (k
mN )
N 1
~x (n)e
j 2
N
(kmN )n
n0
N
1
~x (n)e
j 2
N
kn
e
j 2mn
n0
N
1
~x (n)e
j 2
N
kn
n0
X~(k)
这就是说，X~ (k )只有N个不同值。
用Z变换求 X~(k：)
e N
e j2rn
j 2 kn
eN
所以求和可以在一个周期内进行，即
~x nT
N
1
X~
jk0
e
j
2
N
nk
k 0
这就是说，当在k=0,1,..., N-1求和与 在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。
考虑到：~x (nT ) ~ ~x (n)，X~ ( jk0 ) ~ X~ (k )；
则有，~x (n)
~x (nT ) X~ ( jk0 )e jk0nT k
X~
(
jk
0
)e
j
2
N
nk
k
，代入
0T
2
N
因 ~x (nT )是离散的，所以 X~(k0 )应是周期的。
而且，其周期为 2 / T N0 ，因此 X~(k0 )
应是N点的周期序列。
e 又由于
j 2 (k rN )n
N
j 2 nk
频域信号 周期的 离散的
*时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
§ 3-1 周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入 导出周期序列DFS的传统方法是从连
续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
~x (t) X~ ( jk0 )e jk0t k
对上式进行抽样，得：
k 0
2. X~(k) 的表达式
将式
~x (n)
N 1
X~ (k )e
j 2
N
nk
的两端乘
j 2 nr
eN
k 0
，然后从 n=0到N-1求和，则：
N
1
~x (n)e
j
2
N
nr
n0
N 1
N 1
X~ (k )e
j
2
N
(k r )n
n0 k0
N
1
~x (n)e
j
2
N
nr
N
1
N
1
X~
(k
)e
引言
一.DFT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。
2.在信号处理的理论上有重要意义。
3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。
傅氏变换的几种可能形式
一.连续时间、连续频率的傅氏变换---傅氏变换
x(t) 正 : X ( j) x(t)e jtdt
)e
j
2
N
kn
N k0
3.离散傅氏级数的习惯表示法
通常用符号 WN
j 2
e N
代入，则：
正变换： X~(k) DFS~x (n)
N
1
~x (n)e
j
2
N
nk
N 1 ~x (n)WNnk
n0
n0
反变换： ~x (n) IDFS X~(k)
1 N
N
1
X~
(k
)e
j
2
N
nk
k 0
1 N
1e N
同样，当 k r pN 时，p也为任意整数，
则
N 1 j 2 (k r)n
e N N N (0) N [(k r) pN]
n0
亦即
1
N 1 j 2 (k r)n
e N
(k r) pN
(k r pN)
N n0
k (r pN)
所以 N1 X~(k) k (r pN ) X~(r pN ) X~(r)
j
2
N
(
k
r
)n
n0
n0 k0
N 1
X~
(k
)
N
1
e
j 2
N
(kr)n
k 0
n0
N1 X~(k)N k (r pn)
k 0
NX~(r pN )
NX~(r)
因此, X~(r)
1
N
1
~x (n)e
j
2
N
nr
N n0
将r换成k则有
X~ (k )
1
N
1
~x (n)e
j
2
N
N 1
X~ (
jk)e
j 2
N
nk
k 0
二. ~x(n) 的k次谐波系数 X~(k ) 的求法
1.预备知识
N 1 e
n0
j
2
N
rn
N, r mN , 0，其他r
m为任意整数
e N 1 j 2 rn N
j 2 r
1 e N
j 2 r2
e N
e
j
2
N
r(
N
1)
n0
j 2 rN
1e
N
j 2 r
N (r mN时)
x(nT)=x(n)
1 Tp F
Tp NT
0 T 2T 12
X (e jk0T )
XHale Waihona Puke (k )s2T
1 fs T
NT
N
t
n
0
2
Tp
2F
s N0
0 0 20
N0
01 2 3
N
k
( N 1)0
(N 1)
由上述分析可知，要想在时域和频域 都是离散的，那么两域必须是周期的。
时域信号 离散的 周期的
---
---
-T 0 T 2T t
0
s
2 T
正 : X (e jT )
x(nT )e jnT
n
反 : x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
s s / 2
*时域抽样间隔为 T ,频域的周期为 s
2
T
时域信号 离散的 非周期的
频域信号 周期的 连续的
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
~x (n) 的一个周期内序列记作 xn ,而且
x(n) =
~x (n) , 0n N-1
0 , 其他n
对x(n) 作Z变换，
N 1
X (Z ) x(n)Z n x(n)Z n
n
n0
j Im Z
如果
Z
j 2 k
e N
，则有
2 3
4
5 6
1 2
N
j 2 k
N 1
j 2 kn
X (e N ) x(n)e N
kn
N n0
所以, 对于周期~x序 (n)列 的DFS
X~ (k )
1
N
1
~x (n)e
j
2
N
kn
N n0
~x (n)
N 1
X~ (k )e
j 2
N
kn
k 0
通常将定标因子1/N
移到 ~x (n) 表示式中。
即：
X~ (k )
N 1
~x (n
)e
j 2
N
kn
n0
~x (n)
1
N
1
X~
(k
Tp / 2 x(t)e jk0t dt
Tp / 2
反 : x(t)
X ( jk0 )e jk0t
k
*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp
时域信号 连续的 周期的
频域信号 非周期的 离散的
三.离散时间、连续频率的傅氏变换
---序列的傅氏变换
x(nT) T
X e j 或 X (e jT )