离散傅里叶变换ppt讲解

1e N
同样，当 k r pN 时，p也为任意整数，
则
N 1 j 2 (k r)n
e N N N (0) N [(k r) pN]
n0
亦即
1
N 1 j 2 (k r)n
e N
(k r) pN
(k r pN)
N n0
k (r pN)
所以 N1 X~(k) k (r pN ) X~(r pN ) X~(r)
~x (n) 的一个周期内序列记作 xn ,而且
x(n) =
~x (n) , 0n N-1
0 , 其他n
对x(n) 作Z变换，
N 1
X (Z ) x(n)Z n x(n)Z n
n
n0
j Im Z
如果
Z
j 2 k
e N
，则有
2 3
4
5 6
1 2
N
j 2 k
N 1
j 2 kn
X (e N ) x(n)e N
N 1 X~ (k )WNnk
k 0
4. X~(k ) 的周期性与用Z变换的求法
周期性：X~ (k
mN )
N 1
~x (n)e
j 2
N
(kmN )n
n0
N
1
~x (n)e
j 2
N
kn
e
j 2mn
n0
N
1
~x (n)e
j 2
N
kn
n0
X~(k)
这就是说，X~ (k )只有N个不同值。
用Z变换求 X~(k：)
---
---
-T 0 T 2T t
0
s
2 T
正 : X (e jT )
x(nT )e jnT
n
反 : x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
s s / 2
*时域抽样间隔为 T ,频域的周期为 s
2
T
时域信号 离散的 非周期的
频域信号 周期的 连续的
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
0
t
X ( j)
反 : x(t) 1 X ( j)e jtd
2
0
时域信号 连续的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
对称性: 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。
二.连续时间、离散频率傅里叶变换---傅氏级数
x(t)
X ( jk0 )
---
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk0
)
1 Tp
频域信号 周期的 离散的
*时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
§ 3-1 周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入 导出周期序列DFS的传统方法是从连
续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
~x (t) X~ ( jk0 )e jk0t k
对上式进行抽样，得：
j
2
N
(
k
r
)n
n0
n0 k0
N 1
X~
(k
)
N
1
e
j 2
N
(kr)n
k 0
n0
N1 X~(k)N k (r pn)
k 0
NX~(r pN )
NX~(r)
因此, X~(r)
1
N
1
~x (n)e
j
2
N
nr
N n0
将r换成k则有
X~ (k )
1
N
1
~x (n)e
j
2
N
kn
N n0
所以, 对于周期~x序 (n)列 的DFS
X~ (k )
1
N
1
~x (n)e
j
2
N
kn
N n0
~x (n)
N 1
X~ (k )e
j 2
N
kn
k 0
通常将定标因子1/N
移到 ~x (n) 表示式中。
即：
X~ (k )
N 1
~x (n
)e
j 2
N
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kn
n0
~x (n)
1
N
1
X~
(k
N 1
X~ (
jk)e
j 2
N
nk
k 0
二. ~x(n) 的k次谐波系数 X~(k ) 的求法
1.预备知识
N 1 e
n0
j
2
N
rn
N, r mN , 0，其他r
m为任意整数
e N 1 j 2 rn N
j 2 r
1 e N
j 2 r2
e N
e
j
2
N
r(
N
1)
n0
j 2 rN
1e
N
j 2 r
N (r mN时)
e N
e j2rn
j 2 kn
eN
所以求和可以在一个周期内进行，即
~x nT
N
1
X~
jk0
e
j
2
N
nk
k 0
这就是说，当在k=0,1,..., N-1求和与 在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。
考虑到：~x (nT ) ~ ~x (n)，X~ ( jk0 ) ~ X~ (k )；
则有，~x (n)
k 0
2. X~(k) 的表达式
将式
~x (n)
N 1
X~ (k )e
j 2
N
nk
的两端乘
j 2 nr
eN
k 0
，然后从 n=0到N-1求和，则：
N
1
~x (n)e
j
2
N
nr
n0
N 1
N 1
X~ (k )e
j
2
N
(k r )n
n0 k0
N
1
~x (n)e
j
2
N
nr
N
1
N
1
X~
(k
)e
Tp / 2 x(t)e jk0t dt
Tp / 2
反 : x(t)
X ( jk0 )e jk0t
k
*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp
时域信号 连续的 周期的
频域信号 非周期的 离散的
三.离散时间、连续频率的傅氏变换
---序列的傅氏变换
x(nT) T
X e j 或 X (e jT )
引言
一.DFT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。
2.在信号处理的理论上有重要意义。
3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。
傅氏变换的几种可能形式
一.连续时间、连续频率的傅氏变换---傅氏变换
x(t) 正 : X ( j) x(t)e jtdt
)e
j
2
N
kn
N k0
3.离散傅氏级数的习惯表示法
通常用符号 WN
j 2
e N
代入，则：
正变换： X~(k) DFS~x (n)
N
1
~x (n)e
j
2
N
nk
N 1 ~x (n)WNnk
n0
n0
反变换： ~x (n) IDFS X~(k)
1 N
N
1
X~
(k
)e
j
2
N
nk
k 0
1 N
~x (nT ) X~ ( jk0 )e jk0nT k
X~
(
jk
0
)e
j
2
N
nk
k
，代入
0T
2
N
因 ~x (nT )是离散的，所以 X~(k0 )应是周期的。
而且，其周期为 2 / T N0 ，因此 X~(k0 )
应是N点的周期序列。
e 又由于
j 2 (k rN )n
N
j 2 nk
x(nT)=x(n)
1 Tp F
Tp NT
0 T 2T 12
X (e jk0T )
X (k )
s
2
T
1 fs T
NT
N
t
n
0
2
Tp
2F
s N0
0 0 20
N0
01 2 3
N
k
( N 1)0
(N 1)
由上述分析可知，要想在时域和频域 都是离散的，那么两域必须是周期的。
时域信号 离散的 周期的