复变函数拉氏变换部分习题解答分析

©Û:ò z = x + iy “\, ©l¢Ü! JÜ, z1 = 2i, z2 = 1 − i, K Arg(z1 z2 ) =
3y . (x+1)2 +y 2
©Û: arg(z1 ) = π , arg(z2 ) = − π 4 , Arg(z1 z2 ) = √ 2 6.Eê z = − 12 − 2i n L«ª• ©Û: 4[cos(− 5 6 π) +
+ 4xy + y 2 ), Á¦ u(x, y ) Ú v (x, y ). u = v + x3 + 3x2 y − 3xy 2 − y 3 . q
¿ ‡ ^ ‡. d u − v = (x − y )(x2 + 4xy + y 2 ) (0),
2
d ux = vy , uy = −vx , 6xy ⇒ v = 3x2 y − y3 3xy 2 + C, v = 3xy 2
1 w,x
n OŽ! y²K
2π 3
+ 2kπ, k = 0, ±1, ±2, · · · .
+ 3) = 4, ¦ x † y
'Xª.
) Re(z 2 + 4) = Re(x2 − y 2 + 3 + 2xyi) = 4, x2 − y 2 = 1. 3.¦ f (z ) = ) dw =
1 z 1 z
: vx + 3x2 + 6xy − 3y 2 = vy (1) vy + 3x2 − 6xy − 3y 2 = −vx (2) d(1),(2) ux = vy = 6xy ⇒ u = 3x2 y + D(y ) (4) ò(3),(4)“ \(0)ª, − x3 + C.
vy = u =
+ C (x) (3). Ü).
kπ sin( π+2 3 )), k
= 0, 1, 2, = z = −3, v (x, y ) = .
3 2
± .
√
3i.
4.EC¼ê w = 5.
z −2 z +1
¢Ü u(x, y ) =
, JÜ v (x, y ) = u(x, y ) =
π 2 x2 −x+y 2 −2 , (x+1)2 +y 2 π 4
†‚ y = 1 ¤N ¤ w ²¡þ -‚•§. + iy = 3N
1 u+iv
=
u u2 +v 2
−
v i. u2 +v 2
qd y = 1
π 3
v − u2 + = 1, u2 + v 2 + v = 0. v2
4.¦ /• 0 < arg(z ) < ) arg(w) = arg(¯ z ), ) òx = ˜ äK
, Û?)Û, ¿¦ÙŒ :?
¿‡^‡. ux = 2(x − y ), uy = 2(y − x), vx = 2, vy = 2.
f (z ) =3 x − y = 1 þŒ , f (z ) = ux + ivx = 2 + 2i, Ã?)Û. v2, ¦y f (z ) •˜~ê.
∂u ∂y
3 0 < |z | <
1 z dz
2.e u§ v Ñ´NÚ¼ê§K f (z ) = u + iv ´)Û¼ê. ×.©Û: )Ûé u§ v Ø•Ä ¼ê, 3. 0. √ ˜‡~ê, K ‡¦ép,§‚ƒmk Ù˜, ,˜e (½. NÚù˜‡¦ˆØ . ‡~:•=´ u(x, y ) = x, v (x, y ) = −y Ñ´NÚ ˜^ •4-‚,K F (n) (z ) dz = ˜^
3. e¼ê f (z ) = u + iv )Û, … u =
= 2vvx = vy ,
= 2vvy = −vx üªƒ¦¿ f (z ) = const.. y )(x2
n
(4v 2 + 1)vx vy = 0. d±þ
nª´ vx ≡ vy ≡ 0, v •~ê. q u = v 2 , u •~ê, l 4.e¼ê f (z ) = u + iv )Û, … u − v = (x − © Û: ) Û
2 e−2 ei2i +e−i2i =e+ 2 2 − iz e )• z =
√
2+i π +2kπi] 4
√ √ π = e2kπ− 4 (cos ln 2 + i sin ln 2), Ù
4. cos 2i = ©Ûµcos 2i = 5. •§ eiz = = cosh 2.(5µ ü(JÑŒ) 2iz = Ln1 = ln |1| + i arg(1)+2kπi = 2kπi, z = kπ,
= 0, e2z + 1 = 0.
Š’ò£n¤ äK C • f (z ) )Û• D S ˜^{ü •4-‚§K ) Û •D Ø v ± |z | = 1, K
C C
f (z ) dz = 0.
1 z
×.©Ûµf (z ) 2 S)Û§C
yf (z )3C þ9S)Û" '…c üëÏ«•.‡~ f (z ) = = 2πi = 0 Ÿ S3éX= Cauchy-Riemann •§,•
5 i sin(− 6 π )],
−
π 4
+ 2kπ =
+ 2kπ, (k = 0, ±1, ±2, · · · ) .
,•êL«ª•
4e
5 i( − 6 π)
.
√ ÚË . 1.¦ÑEê z = (−1 + 3i)4 √ 4 8π π 4 π + i sin 23 ) = 16ei 3 , |z | = 16, Arg(z ) = ) z = (−1 + 3i) = 24 (cos 23 2. z =x+ iy ÷v Re(z 2 ò²¡þ z=
4. f (z ) = u + iv 3 z0 = x0 + iy0 :ëY ¿©7‡^‡´ u(x, y ), v (x, y ) 3(x0 , y0 ) :ëY. √ . Th1.4.3. 5.ëꕧ z = t2 + ti ( t •¢ëê)¤L« ×. x = y 2 . W˜K 1.e ª i(5 − 7i) = (x + i)(y − i) ¤á,K x= ©Û: üEêƒ 2.•§ Im(i − z ¯) = 3 L« -‚´ 3.•§z 3 + 27 = 0 Š• ©Û: z3 = 27eiπ , z =
iik −e−iik
2i
| = |e
k −e−k
2
| → +∞(k → +∞, k > 0). d u u(x, y ) Ú v (x, y ) 3 : (x0 , y0 ) Œ ‡ … ÷ f (z ) = u + iv = x − iy Ã
5.¼ê f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) 3: z0 = x0 + iy0 Œ‡ du u(x, y ) Ú v (x, y ) 3: (x0 , y0 ) Œ‡. ×. ¼ ê f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) 3 : z0 = x0 + iy0 Œ ‡ ?Œ‡. 6.¼ê ez ´±Ï¼ê. √ . 2πi •Ù±Ï. W˜K 1. ez = −3 + 4i, K Re(iz ) = g , é ê§ k z = Ln(−3 + 4i) = ln | − 3 + 4i| + i arg(−3 + 4i) + 2kπi, l ¤k ê.(5µùp´l8Ü Ý`) ¤k ê. Re(iz ) = i[iarg (−3 + 4i) + 2kπi] = arctan 4 3 + (2k + 1)π, Ù¥ k 2. 3i = i)i = © Ûµé z = −3 + 4i ü > v C − R ^‡. ‡~ u = x, v = −y. du = dx + 0dy, dv = 0dx − dy, u, v ÑŒ‡
×. e u(x, y ) Ú v (x, y ) Œ
,K u, v ƒm˜„vkŸo†
'X. f (z ) = u + iv Œ
, u, v ƒm˜‡A
(½,˜‡(¹Ä {/•´˜‡~ê). 3.e f (z ) 3 z0 :Ø)Û, K f (z ) 3: z0 7ØŒ . ×. ë„n2. 4. | sin z | ≤ 1. ×.EC¼ê¥, sin z Ã.. X | sin ik | = | e
5. ¦•§ chz = 0 © Û: V - ¼ ê chz = ˜ 1.
ez +e−z 2
½ Â. ) { ˜ chz = ch(−z ) = ch(iiz ) = cos(iz ) = 0, z = (k + 1 2 )πi. ) { 2z = Ln(−1) = ln | − 1| + i arg(−1) + 2kπi, z = (k + 1 2 )πi.
kπ 271/3 (cos( π+2 3 )
-‚´ Ô‚ y = x2 .
,y = .
.
½Â. x = −6, y = −1, ½x = 1, y = 6. W y = 2.
3 2
©Û: dEêƒ , Im(i − z ¯) = Im[i − (x − iy )] = Im[−x + (1 + y )i] = 1 + y = 3, . +
1 2, y 3• x > 0 S´)Û¼ê. ÛŠž§ f (z ) = k ln(x2 + y 2 ) + i arctan x
^‡. ,ëY" W7‡.
•SŒ §3T:
©Û: )Û
¿‡^‡. ux =
1 2
2kx x2 +y 2
, uy =
2ky x2 +y 2
, vy =
=k =
ž f (z ) 3• x > 0 S´)Û¼ê. V g 9 Ù é X, Œ x − y = 1.
EC¼ê.¼C†Ü©SK)‰©Û
Š’ò£˜¤ ˜ äK 1.Eê 7 + 6i > 1 + 3i. ×. ü‡Eê, •kÑ´¢êž, âŒ' Œ . 2.e z •XJê,K z = z ¯. √ . UÖþ½Â, XJê• yi, y = 0, e z = yi , K z ¯ = −yi. 3.¼ê w = arg(z ) 3 z = −3 ?ØëY. √ . z le• → −3ž, w = arg(z ) 4•• −π ; z lþ• → −3 ž, w = arg(z ) 4•• π .
∂u ∂x
1 x y2 1+ x
=
x ,v x2 +y 2 x
=
y . x2 +y 2
d ux = vy , uy = −vx ê.
:
2. ?ؼê f (z ) = (x − y )2 + 2(x + y )i 3Û?Œ ©Û: Œ †)Û †)Û d ux = vy , uy = −vx ©Û: )Û ¿‡^‡.
©Ûµ3i = eiLn3 = ei[ln3+i arg(3)+2kπi] = ei[ln3+2kπi] = e2kπ (cos ln 3 + i sin ln 3), Ù¥ k 3. (1 + ¥k ©Ûµ(1 + i)i = eiLn(1+i) = ei[ln |1+i|+i arg(1+i)+2kπi] = ei[ln ¤k ê.
©Ûµü>Ó¦± eiz , Ù¥ k 6. ¤k ê. z = x + iy , K ei−2z
e2iz = 1. ü> g,éê§ •
©Ûµ|ei−2z | = |ei−2(x+iy) | = e−2x . 7. ¼ê f (z ) = u + iv 3 z0 = x0 + iyFra Baidu bibliotek :ëY´ f (z ) 3T:)Û ©Ûµ f (z ) 3T:)Û, K f (z ) 3T: ,˜‡ n OŽ! y²K 1. ¯ k k=
z +¯ z 2 ,y
π 3 −π 3
w=z ¯ e –. /• 0 < arg(z ) < 3N w=z ¯e –• − π 3 < arg(w ) < 0.
< arg(¯ z) < 0 ,
5.ò†‚•§ 2x + 3y = 1 z•Eê/ª. =
z −z ¯ 2i
“\ 2x + 3y = 1 ¿ n
f (z ) = x − yi Ø)Û. ˜‡ ¼ê, C • D S
3 (1 − 3 z = 1. 2 i)z + (1 + 2 i)¯
Š’ò£ ¤ 1.e f (z ) 3«• D S??•", K f (z ) 3 D S7ð•~ê. √ . 3 D S f (z ) = ux + ivx ≡ 0, ux = vx = 0. l vy = ux = 0, uy = −vx = 0. nþ(ؤá. 2.e u(x, y ) Ú v (x, y ) Œ ,K f (z ) = u + iv •Œ . 1