基本初等函数初等函数复合函数 ppt课件

（5）降幂公式
sin2x1 co s2x,co s2x1 co s2x
2
2
《微积分》(第三版) 电子教案
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6 反三角函数
三角函数都是周期函数，对于值域中的任何都有无 穷多个与之对应，故三角函数在其定义域内不存在 反函数.为了定义它们的反函数，必须限制自变量的 取值范围，使得该函数在这个范围内单调.
-2
-
o
2 3
x
4
2
-1
正弦函数ysinx(x[,]) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函数，2同2一个三角函数
值只对应一个角。
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反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1，1]的图象与性质：
(1)定义域:[-1，1]。
(2)值域:
[ , ] 22
常用的三角函数公式：
(1)商的关系
t a n x s i n x ,c o t x c o s x , s e c x 1 ,c s c x 1 ,t a n x 1 c o s x s i n x c o s x s i n x c o t x
（2）平方关系
s i n 2 x c o s 2 x 1 , s e c 2 x 1 t a n 2 x , c s c 2 x 1 c o t 2 x
因为sin(x)sin x 所以ysin x为奇函数 因为cos(x)cos x 所以ycos x为偶函数 又因|sin x|1 |cos x|1所以它们都是有界函数
ytan x以为周期 是奇函数
注：在微积分中，三角函数的自变量一律用弧度单位表 示.
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loga xl源自文库ga yloga y
logaxNNlogax
loga
b
logc logc
b a
x eln x
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5 三角函数 三角函数有 ysin x ycos x ytan x ycot x ysec x ycsc x
ysin x与ycos x的定义域均为(, ) 均以2为周期
ytan x ycot x ysec x ycsc x 反三角函数 yarcsin x yarccos x
yarctan x yarccot x yarcsec x yarccsc x
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1 常数 yc 它的定义域是(, ) 图形为平行于x轴截距为c的直线
常用的反三角函数有yarcsinxyarccosx
yarctanx ,y=arccotx.
三角函数ysin x ycos x ytanx,y=cotx的反函数分别记作
yArcsin x yArccos x yArctan x y=Arccotx 它们都是多值函数 我们按下列区间取其一段 称为主值分支 分别记作yarcsin x yarccos x yarctanx,y=arccotx为对应的 反三角函数.
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1 常数 yc 它的定义域是( ) 图形为平行于x轴截距为c的直线
2 幂函数 yxa (a为任何实数)
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1 常数 yc 它的定义域是( ) 图形为平行于x轴截距为c的直线
2 幂函数 yxa (a为任何实数)
(3）两角和公式
s in (x y ) s in x c o sy c o s x s in y ,
cos(x y) cosxcos ysin xsin y
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(4)倍角公式
sin2x2sinxcosx,
c o s 2 x c o s 2 x s i n 2 x 1 2 s i n 2 x 2 c o s 2 x 1
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(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
(4)正弦函数y=s没inx有在,因[ 为他, 不 ]是一上一有对反应函函数数吗？ 22
§ 1.5 基本初等函数、复合函数与初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数
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一、基本初等函数
下列函数称为基本初等函数 常数 yc 幂函数 yxa (a为任何实数) 指数函数 yax(a0 a1) 对数函数 yloga x (a0 a1) 三角函数 ysin x ycos x
常用的幂函数有
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3 指数函数 yax(a0 a 1),特例y=ex 它的定义域为( ) 值域为(0 ) 都通过(0 1)点 当
a1时 函数单调增加 当0a1时 函数单调减少 微积分中常用以e为底的指数函数ex，其中e=2.71828···， 它为一个无限不循环小数.
指数函数举例
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4 对数函数 ylogax(a0 a 1)，特例y=lnx 它的定义域为(0 ) 都通过(1 0)点 当a1时 函数单调
增加 当0a1时 函数单调减少 对数函数与指数函数互为反 函数
对数函数举例
常用公式
lo gaxlo gaylo gaxy x
余弦函数y=cosx在[0，π] 上有反函数吗？ 正切函数y=tanx在 ( , ) 上有反函数吗？
22
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正弦函数 ysixn(xR)有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
1
· · · · · · 2
(3)奇偶性: 是奇函数，
y
其图象关于坐标原点对称，y
arcsin
2
x,
x
[1,1],
y
[
2
,
2
]
1.5
arcsin(x)arcsinx 2 1
x[1,1]. -3 (4)单调性:
0.5
2 -1
y sin x, x [ , ], y [1,1] 22
-2