基本初等函数初等函数复合函数 ppt课件
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初等函数、简单函数、复合函数、初等函数的概念及关系
初等函数、简单函数、复合函数、初等函数的概念及
关系
1.初等函数：
初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算（加、减、乘、除）与有限次复合形成的函数。
基本初等函数包括以下几种类型：-常数函数：如f（x）=C，C是常数。
-幂函数：如f（x）=x^n，n为实数。
-指数函数：如f（x）=a^x，a>0且a≠1.
-对数函数：如f（x）=log_a（x），a>0且a≠1.
-三角函数：sin（x），cos（x），tan（x），cot（x），sec（x），csc（x）及其逆函数（反三角函数）。
2.简单函数：
简单函数通常是指构成复杂函数的基本单元，它们相对独立且形式较为简单。
在解决具体问题时，简单函数可能指的就是上述基本初等函数，或者是通过基本初等函数进行一次或几次基本运算（如加法、乘法等）得到的函数。
3.复合函数：
复合函数是两个或多个函数通过变量的代换相互结合而成的新
函数。
如果存在两个函数f和g，那么可以定义一个复合函数h（x）=f（g（x）），其中g的值域需包含在f的定义域内。
例如，`h（x）
=sin（2x）`就是一个复合函数，其中`g（x）=2x`作为外层函数的“内层”被嵌套到`f（u）=sin（u）`中。
关系上：
-所有的基本初等函数都是简单函数。
-简单函数经过组合（包括复合和四则运算）可以形成更复杂的初等函数。
-复合函数是构造初等函数过程中的一种重要手段，它可以将几个简单函数联接起来构建新的、具有更丰富特性的函数表达式。
1.3 复合函数和初等函数
练习题答案
[e , e 3 ] ； 一、1 、基本初等函数； 2 、 x2 3、 y e ； 4、 y sin u, u ln v , v 2 x ； 5 、[-1,1],[ 2k , 2k ],[ a ,1 a ] , 1 [a ,1 a ] 0 a 2 . 1 a 2 e , x 1 1, x 0 f [ g ( x )] 0 , x 0 三、 ； g[ f ( x )] 1, x 1 . 1, x 0 1 , x 1 e
三、分段函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不 同的式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
一般来说，分段函数不是初等函数，但也有例外 .
x, 例如 y x ,
复合而成.
练习：习题1.3 第2题
（ 1）y u , u 1 x 2 （2）y eu , u x 1 3x （3）y sin u, u 2 （4）y u 2 , u cos v, v 3 x 1 （5）y ln u, u v , v 1 x (6) y arccos u, u 1 x 2
二、应用图形的“叠加 ”作函数 y x sin x 的图形 .
1，x 1 三、设 f ( x ) 0，x 1 ，g ( x ) e x ， 1，x 1 求 f [ g( x )] ，g[ f ( x )] ，并作出它们的图形 .
四、火车站行李收费规定如下： 20 千克以下不计费， 20～50 千克每千克收费 0.20 元，超出 50 千克超 出部分每千克 0.30 元，试建立行李收费 f ( x ) (元 ) 于行李重量 x (千克) 之间的函数关系，并作出图 形.
第一章第4节 复合函数与初等函数
作 业
• 习题一的第16、17题（交） • 课外作业，习题一的1-20题中没做过的。
常见的经济函数
1、成本函数 某商品的成本是指生产一定数量的产品所需的全
部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用
总额，它由固定成本与可变成本组成． 平均成本是生产一定数量的产品，平均每单位产 品的成本． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条 件下，产品的成本与平均成本都是产量的函数． 成本函数 平均成本函数
3x 2 例如 函数 y ax bx c， y ， 4x 6
2
x 1 x 2 x , x 0 而y x , y 1 x x2 xn e , x ≥ 0
5
y ln
( x 2 1) cos 2 x
等都是初等函数；
是非初等函数。 大部分分段函数不是初等函数。
例如 y arcsinu, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
3、复合函数的中间变量可以不止一个，也就是可以由两个以上 的函数经过复合而成。
x 例如 y cot , 2
y u,
u cot v ,
v
x . 2
例 1：下列函数能否构成复合函数？若能，写出 y=f[g(x)]，并求 其定义域： （ 1） y u ,
（2）幂函数：y=x （常数
x
x
)
a
(特别地，常用对数 y=lgx，自然对数 y=lnx) （5）三角函数：y=sinx， y=cosx， y=tanx， y=cotx， y=secx， y=cscx （6）反三角函数：y=arcsinx， y=arccosx， y=arctanx， y=arccotx，
《初等函数》PPT课件
第一章 极限与连续
笛卡儿 (法)
（Descartes）
（1596——1650）
数学中的转折点是 笛卡儿的变数，有了变 数，运动进入了数学， 辩证法进入了数学，微 分和积分也就立刻成为 必要的了。
—— 恩格斯
1
1.1初等函数
（一）映射的定义
设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,对于集 合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元 素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的 对应法则f)叫做集合A到集合B的映射.
y arcsin x
y arccos x
21
F.反三角函数
y
y
2 y arctan x
O
x
2
2 y arccot x
O
x
2
22
2、复合函数
定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有 定义,且 g(D) D1, 则由下式确定的函数
y f g(x), x D
(2) y f (u) u, u log 1 x ( x 1).
2
2. 下列函数由哪些较简单的函数复合而成？
(1) y sin x2; (2) y sin2 x;
(3) y
1;
ln
sin
1 x
(4)
y
e cos 2
1
x.
33
R f
f(X){ f
(x)
x
X }为函数f的值域，记作
R f
x为自变量，y为因变量.
6
思考:映射和函数有什么区别和联系?
联系：都是从A到B 的单值对应； 区别：构成函数的两个集合必须是数集， 而构成映射的两个集合可以是其它集合；
笛卡儿 (法)
（Descartes）
（1596——1650）
数学中的转折点是 笛卡儿的变数，有了变 数，运动进入了数学， 辩证法进入了数学，微 分和积分也就立刻成为 必要的了。
—— 恩格斯
1
1.1初等函数
（一）映射的定义
设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,对于集 合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元 素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的 对应法则f)叫做集合A到集合B的映射.
y arcsin x
y arccos x
21
F.反三角函数
y
y
2 y arctan x
O
x
2
2 y arccot x
O
x
2
22
2、复合函数
定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有 定义,且 g(D) D1, 则由下式确定的函数
y f g(x), x D
(2) y f (u) u, u log 1 x ( x 1).
2
2. 下列函数由哪些较简单的函数复合而成？
(1) y sin x2; (2) y sin2 x;
(3) y
1;
ln
sin
1 x
(4)
y
e cos 2
1
x.
33
R f
f(X){ f
(x)
x
X }为函数f的值域，记作
R f
x为自变量，y为因变量.
6
思考:映射和函数有什么区别和联系?
联系：都是从A到B 的单值对应； 区别：构成函数的两个集合必须是数集， 而构成映射的两个集合可以是其它集合；
高等数学第二节初等函数
x u f y
自变量
中间变量 因变量
例1.设y=f (u)=lgu, 而u=(x)=sinx.
则它们构成的复合函数为 y=f [(x)] = lgsinx.
例2.设y=f (u)=lg(u–2), u=(x)=sinx，能否构成
复合函数？
因u=sinx的值中,不能使y=lg(u-2)有意义， 所以 它们不能构成复合函数
税率（%） 3 10 20
写出个人月收入x （不大于12500元）元与应缴纳税款y元 之间的关系，当某人月收入为6500元时，应缴纳多少税款？
解： 依此可以列出下面的函数关系：
0,
0 x 3500
y
(x (x
-
3500) 3500)
都是初等函数。
y
3 3x tan 5x x3 sin x - 2-x
今后我们所讨论的函数，绝大多数都是初等函数。
四、函数关系举例
1.如何选择通信公司
小王买部手机想入网，他得知：中国联通130网的收费标准 是：月租费30元，每月来电显示6元，本地通话每分钟0.4元； 中国移动“神州行”储值卡的收费标准是：本地通话每分钟 0.6元，月租费和来电显示费全免，小王相拥有来电服务，请 问他如何选择？
第二节初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数 四、建立函数关系举例
一、基本初等函数
1 、常数函数 y C y
O
yc
x
函数定义域为R，只有一个函数值
1.1 函数
2、幂函数
y x y
y x2
1
(是常数)
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
随着而不同，但在(0, )中都有定义；经过点 (1,1)， 在(0, )内当 0时，x为增函数； 0时，x为减函数
复合函数和初等函数
w z3, z ln t, t 1 x 复合而成
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或 复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为 初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x ，y ln x e2x
y ln(1 sin x)， 等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
5、三角函数
y sin x y tan x
y secx
y cos x
y cot x
y csc x
6、反三角函数
y arcsinx
y arccosx y arctanx
y arccot x
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或 复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为 初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x ，y ln x e2x
y ln(1 sin x)， 等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
5、三角函数
y sin x y tan x
y secx
y cos x
y cot x
y csc x
6、反三角函数
y arcsinx
y arccosx y arctanx
y arccot x
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
初等函数-课件PPT
(2)∵π4 ∈0，π2 ，∴fπ4 ＝－tanπ4 ＝－1， ∴ffπ4＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
解决分段函数求值问题的方法： (1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相 应段的解析式求解，有时每段交替使用求值． (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取 值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所 求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段 函数分段解决．
【解】(1)法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)，即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
基本初等函数、导数及其应用
• 2015高考导 航
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；会求一些简单函数的定义
函数及 其表示
域和值域；了解映射的概念． 2．在实际、 情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
单调性
1.理解函数的单调性及其几何意义． 2．理解函数最大值、最小值及其几何意义.
求函数的解析式
(1)已知 fx2＋1＝lg x，求 f(x)；
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋ 17，求 f(x)的解析式； (3)定义在(－1，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， 求函数 f(x)的解析式． [课堂笔记]
奇偶性 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
解决分段函数求值问题的方法： (1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相 应段的解析式求解，有时每段交替使用求值． (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取 值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所 求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段 函数分段解决．
【解】(1)法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)，即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
基本初等函数、导数及其应用
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知识点
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1.了解构成函数的要素；会求一些简单函数的定义
函数及 其表示
域和值域；了解映射的概念． 2．在实际、 情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
单调性
1.理解函数的单调性及其几何意义． 2．理解函数最大值、最小值及其几何意义.
求函数的解析式
(1)已知 fx2＋1＝lg x，求 f(x)；
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋ 17，求 f(x)的解析式； (3)定义在(－1，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， 求函数 f(x)的解析式． [课堂笔记]
奇偶性 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
反函数复合函数初等函数课件
三角函数的图像
三角函数的图像可以通过描点法或变换法 得出，例如$y=sin x$和$y=cos x$的图 像。
对数函数的图像
对数函数的图像可以通过描点法或变换法 得出，例如$y=log_a x$（$a>0$且 $aneq1$）的图像。
Part
04
反函数与复合函数的应用
在数学中的应用
解决方程问题
通过反函数，可以将一个方程问 题转化为另一个方程问题，从而 简化求解过程。
在某些情况下，反函数和初等函数可以是同一个函数，例如对于线性函数y=ax+b ，其反函数也是初等函数。
反函数与初等函数在数学中的地位
反函数和初等函数在数学中都具有重要的地位，是数学研究和应用的基础。反函 数的概念有助于深入理解函数的性质和图像，而初等函数则是数学分析、微积分 等课程中的基本工具。
在解决实际问题时，常常需要将实际问题转化为数学模型，而反函数和初等函数 是构建这些数学模型的重要工具。
初等函数的性质
有界性
初等函数在其定义域内都 1
是有一定界限的，即其值 域是有限的。
可微性
4
在定义域内，初等函数可 以求导数，即具有可微性 。
单调性
根据不同的定义域和对应
2
法则，初等函数在其定义
域内可以是单调增函数或
单调减函数。
周期性
3 有些初等函数具有周期性
，例如正弦函数和余弦函 数。
初等函数的图像
复合函数的奇偶性
复合函数的值域
复合函数的值域由外层函数的值域和 内层函数的值域共同决定。
如果一个复合函数的内层函数和外层 函数都是奇函数或偶函数，那么这个 复合函数可能是奇函数或偶函数。
复合函数的求法
1.5基本初等函数、初等函数、复合函数PPT
求arccos x
在[0, ]内确定一点 使cos x 则arccos x
例 如 求 a 1 r ) ccos(
2
因 为 c 2 o 1 所 s 以 a r 1 ) 2 c cos
3 2
2 3
《微积分》(第三版) 电子教案
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二、复合函数
设yf(u) ug(x) 如果将ug(x)代入f(u)中 得到的表达式 f[g(x)]是有意义的 则yf[g(x)]是一个以x为自变量 y为因变量 的新函数 称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数
( 1 ) y 3 x 1 ; ( 2 ) y ( 1 l g x ) 5 ; ( 3 ) y e e x 2
答案：1.y 2cos2 x
2.(1)y u,u3x1
(2)yu5,u1v,vlgx
(3)yeu,uev,vx2
《微积分束
例1.15
(3）两角和公式
s in (x y ) s in x c o sy c o s x s in y ,
cos(x y) cosxcos ysin xsin y
《微积分》(第三版) 电子教案
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(4)倍角公式
sin2x2sinxcosx,
c o s 2 x c o s 2 x s i n 2 x 1 2 s i n 2 x 2 c o s 2 x 1
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(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
第一部分复合函数与初等函数
级数 0 1 2 3
含税级距 低于800元 不超过500元 超过500-2000元 超过2000-5000元
税率％ 0 5 10 15
4 超过5000-20000元 20
解 ： 个人所得税函数为
0
0 x 800
( x 800) 5%
800 x 1300
y
f
(
x)
( (
x x
1300) 10% 2800) 15%
记作y f ( x)。其中u称为中间变量。
结论
当 且 仅 当 函 数y f (u)的 定 义 域 与u ( x)
的 值 域 的 交 集 为 非 空 集时 ， 这 两 个 函 数 才 能 复合.
例如： y f (u) arcsin u与 u ( x) x2 2
由 于 W D f 所以, 不能复合
分段函数
我们把在不同的定义域区间所对应的函数 解析式不同的函数统称为分段函数
符号函数
1 x 0 y sgn(x) 0 x 0
1 x 0
取整函数 y x n, x [n, n 1), n 0, 1, 2,
绝对值函数
x x 0 y x x x 0
y
y
x
x
1 x 0 y sgn(x) 0 x 0
x2 x 1
(3) y u2 , u tanv,
v x3.
(4) y u, u ln v, v sin, x2 x 1.
课堂练习
分析下列复合函数的复合过程
y cos5x
y (2 3x)2
y 1 x2
y esin x
y cosex
y ln(1 sin x)
例4 已知f ( x 1) x3 x 1 求f ( x)
复合函数和初等函数
1.1.4 复合函数、初等函数
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常数函数
幂函数
指数函数
对数函数
D
C
A
B
基本初等函数
课前复习
5、三角函数
反三角函数
1.复合函数
注意：
CONTENTS
例如：
01
可看作由
02
复合而成。
03
和
04
其中，
05
为外层，
06
不能复合。
复合后的函数要有意义
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
4、注意复合次序：
01
复合可以多次进行，也就是说，中间变量可以有多个。
02
例1
03
例2
04
的复合。
例3 指出下列各函数的复合过程：
01
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数（基本初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
02
复合而成的
03
复合而成的
复合而成的
复合而成的 ຫໍສະໝຸດ 0102初等函数
分段函数是其定义域内的一个函数. 分段函数一般不是初等函数，但如果分段函数可以用一个解析式表示，那么它就是一个初等函数．
分段函数
7（1）~（5）
预习：数列的极限
作业：习题1.1：
03
例4
例5
*例6
复合而成
复合而成
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.
例如，
等等。
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
2.初等函数
1.1.5 分段函数
如
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常数函数
幂函数
指数函数
对数函数
D
C
A
B
基本初等函数
课前复习
5、三角函数
反三角函数
1.复合函数
注意：
CONTENTS
例如：
01
可看作由
02
复合而成。
03
和
04
其中，
05
为外层，
06
不能复合。
复合后的函数要有意义
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
4、注意复合次序：
01
复合可以多次进行，也就是说，中间变量可以有多个。
02
例1
03
例2
04
的复合。
例3 指出下列各函数的复合过程：
01
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数（基本初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
02
复合而成的
03
复合而成的
复合而成的
复合而成的 ຫໍສະໝຸດ 0102初等函数
分段函数是其定义域内的一个函数. 分段函数一般不是初等函数，但如果分段函数可以用一个解析式表示，那么它就是一个初等函数．
分段函数
7（1）~（5）
预习：数列的极限
作业：习题1.1：
03
例4
例5
*例6
复合而成
复合而成
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.
例如，
等等。
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
2.初等函数
1.1.5 分段函数
如
高数1_2初等函数
⑶ 反正切函数
定义：正切函数 y = tanx 在
, 2 2
上的反函数，称为反正切
函数.记作 y = arctanx. (反正切函数的主值)
定义域：
x ,
y 值 域： , 2 2 y = arctanx是有界函数
例1
分析函数 y ln sin x 的复合结构.
解 函数 y ln sin x 是由 y ln u , u sin v , v x 复合而成.
例2
设 f ( x) x 2 , g ( x) 2x , 求 f [ g ( x)] , g[ f ( x)].
解 f ( x) x2 f [ g ( x)] [ g ( x)]2 (2 x ) 2 4 x
x 1 x
f { f [ f ( x)]}
1 1 f [ f ( x)]
1 x x 1 1 x
例4 解
设 f(x) 的定义域是（0，1），求f(lgx)的定义域. 令u = x，则0< u <1
当u = lgx时，0< lgx <1，所以1< x <10
即
函数的定义域为x ∈(1，10)
例如 函数 y sin 2 x 由 y u 2 , u sin x复合而成;
函数 y 1 x 2 是由y u , u 1 x 2复合而成的.
说明： ⑴ 并不是任何两个函数都可以构成一个复合函数； 例如 y arcsin u, u 2 x 2就不能复合成一个函数. 因为u=2+x2的值域u>2，全部落在y=arcsinu的定义域之外. ⑵ 复合函数的中间变量可以不只一个 (两个以上函数也可构成复合函 数) 例： y 2u ，u cos v，v x 复合得到 y 2cos x ； ⑶ 分解复合函数时，每一步必须都是基本初等函数或基本初等函 数的四则运算.
初中函数的概念ppt课件
二次函数的定义
形如y=ax^2+bx+c（a， b，c是常数，a≠0）的函 数称为二次函数。
二次函数的图像
二次函数y=ax^2+bx+c 的图像是一个抛物线。
二次函数的性质
当a>0时，抛物线开口向 上，有最小值；当a<0时 ，抛物线开口向下，有最 大值。
03 函数的应用
函数在生活中的实际应用
人口增长模型
提供工具。
04 函数的扩展知识
复合函数的概念
定义
如果y是u的函数，而u是x的函数，那么y关于x的函数叫做由基本函 数f(u)和g(x)构成的复合函数。
表示方法
y = f(u)，u = g(x)
分解
把一个复合函数分解成若干个基本初等函数，并分别指出各基本初等 函数在复合函数中的作用。
函数的奇偶性
THANKS 感谢观看
微积分
函数是微积分的基础，可以用来研 究物体的运动、变化和趋势等。
统计学
函数可以用来描述数据的分布特征 ，为统计分析提供工具。
函数在物理问题中的应用
力学
函数可以用来描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
热力学
函数可以用来描述温度、压力等 物理量的变化情况，为热力学研
究提供工具。
电学
函数可以用来描述电流、电压等 物理量的变化情况，为电学研究
函数的定义通常包括定义域和值域，定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变 量的取值范围。
函数的表示方法
函数的表示方法有三种：表格法、图 象法和解析式法。
图象法是用图形来表示函数关系，它 直观形象，可以反映函数的单调性、 增减性等性质。
表格法是最简单的一种表示方法，它 将自变量和因变量的对应关系列成表 格，适用于简单的函数关系。
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指数函数举例
《微积分》(第三版) 电子教案
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4 对数函数 ylogax(a0 a 1)，特例y=lnx 它的定义域为(0 ) 都通过(1 0)点 当a1时 函数单调
增加 当0a1时 函数单调减少 对数函数与指数函数互为反 函数
对数函数举例
常用公式
lo gaxlo gaylo gaxy x
loga xloga yloga y
logaxNNlogax
loga
b
logc logc
b a
x eln x
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5 三角函数 三角函数有 ysin x ycos x ytan x ycot x ysec x ycsc x
ysin x与ycos x的定义域均为(, ) 均以2为周期
因为sin(x)sin x 所以ysin x为奇函数 因为cos(x)cos x 所以ycos x为偶函数 又因|sin x|1 |cos x|1所以它们都是有界函数
ytan x以为周期 是奇函数
注：在微积分中，三角函数的自变量一律用弧度单位表 示.
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常用的三角函数公式：
(1)商的关系
t a n x s i n x ,c o t x c o s x , s e c x 1 ,c s c x 1 ,t a n x 1 c o s x s i n x c o s x s i n x c o t x
（2）平方关系
s i n 2 x c o s 2 x 1 , s e c 2 x 1 t a n 2 x , c s c 2 x 1 c o t 2 x
(3）两角和公式
s in (x y ) s in x c o sy c o s x s in y ,
cos(x y) cosxcos ysin xsin y
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(4)倍角公式
sin2x2sinxcosx,
c o s 2 x c o s 2 x s i n 2 x 1 2 s i n 2 x 2 c o s 2 x 1
ytan x ycot x ysec x ycsc x 反三角函数 yarcsin x yarccos x
yarctan x yarccot x yarcsec x yarccsc x
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1 常数 yc 它的定义域是(, ) 图形为平行于x轴截距为c的直线
常用的反三角函数有yarcsinxyarccosx
yarctanx ,y=arccotx.
三角函数ysin x ycos x ytanx,y=cotx的反函数分别记作
yArcsin x yArccos x yArctan x y=Arccotx 它们都是多值函数 我们按下列区间取其一段 称为主值分支 分别记作yarcsin x yarccos x yarctanx,y=arccotx为对应的 反三角函数.
常用的幂函数有
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3 指数函数 yax(a0 a 1),特例y=ex 它的定义域为( ) 值域为(0 ) 都通过(0 1)点 当
a1时 函数单调增加 当0a1时 函数单调减少 微积分中常用以e为底的指数函数ex，其中e=2.71828···， 它为一个无限不循环小数.
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(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
(4)正弦函数y=s没inx有在,因[ 为他, 不 ]是一上一有对反应函函数数吗？ 22
-2
-
o
2 3
x
4
2
-1
正弦函数ysinx(x[,]) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函数，2同2一个三角函数
值只对应一个角。
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反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1，1]的图象与性质：
(1)定义域:[-1，1]。
(2)值域:
[ , ] 22
余弦函数y=cosx在[0，π] 上有反函数吗？ 正切函数y=tanx在 ( , ) 上有反函数吗？
22
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正弦函数 ysixn(xR)有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
1
· · · · · · 2
§ 1.5 基本初等函数、复合函数与初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数
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一、基本初等函数
下列函数称为基本初等函数 常数 yc 幂函数 yxa (a为任何实数) 指数函数 yax(a0 a1) 对数函数 yloga x (a0 a1) 三角函数 ysin x ycos x
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1 常数 yc 它的定义域是( ) 图形为平行于x轴截距为c的直线
2 幂函数 yxa (a为任何实数)
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1 常数 yc 它的定义域是( ) 图形为平行于x轴截距为 是奇函数，
y
其图象关于坐标原点对称，y
arcsin
2
x,
x
[1,1],
y
[
2
,
2
]
1.5
arcsin(x)arcsinx 2 1
x[1,1]. -3 (4)单调性:
0.5
2 -1
y sin x, x [ , ], y [1,1] 22
-2
（5）降幂公式
sin2x1 co s2x,co s2x1 co s2x
2
2
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6 反三角函数
三角函数都是周期函数，对于值域中的任何都有无 穷多个与之对应，故三角函数在其定义域内不存在 反函数.为了定义它们的反函数，必须限制自变量的 取值范围，使得该函数在这个范围内单调.
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4 对数函数 ylogax(a0 a 1)，特例y=lnx 它的定义域为(0 ) 都通过(1 0)点 当a1时 函数单调
增加 当0a1时 函数单调减少 对数函数与指数函数互为反 函数
对数函数举例
常用公式
lo gaxlo gaylo gaxy x
loga xloga yloga y
logaxNNlogax
loga
b
logc logc
b a
x eln x
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5 三角函数 三角函数有 ysin x ycos x ytan x ycot x ysec x ycsc x
ysin x与ycos x的定义域均为(, ) 均以2为周期
因为sin(x)sin x 所以ysin x为奇函数 因为cos(x)cos x 所以ycos x为偶函数 又因|sin x|1 |cos x|1所以它们都是有界函数
ytan x以为周期 是奇函数
注：在微积分中，三角函数的自变量一律用弧度单位表 示.
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常用的三角函数公式：
(1)商的关系
t a n x s i n x ,c o t x c o s x , s e c x 1 ,c s c x 1 ,t a n x 1 c o s x s i n x c o s x s i n x c o t x
（2）平方关系
s i n 2 x c o s 2 x 1 , s e c 2 x 1 t a n 2 x , c s c 2 x 1 c o t 2 x
(3）两角和公式
s in (x y ) s in x c o sy c o s x s in y ,
cos(x y) cosxcos ysin xsin y
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(4)倍角公式
sin2x2sinxcosx,
c o s 2 x c o s 2 x s i n 2 x 1 2 s i n 2 x 2 c o s 2 x 1
ytan x ycot x ysec x ycsc x 反三角函数 yarcsin x yarccos x
yarctan x yarccot x yarcsec x yarccsc x
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1 常数 yc 它的定义域是(, ) 图形为平行于x轴截距为c的直线
常用的反三角函数有yarcsinxyarccosx
yarctanx ,y=arccotx.
三角函数ysin x ycos x ytanx,y=cotx的反函数分别记作
yArcsin x yArccos x yArctan x y=Arccotx 它们都是多值函数 我们按下列区间取其一段 称为主值分支 分别记作yarcsin x yarccos x yarctanx,y=arccotx为对应的 反三角函数.
常用的幂函数有
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3 指数函数 yax(a0 a 1),特例y=ex 它的定义域为( ) 值域为(0 ) 都通过(0 1)点 当
a1时 函数单调增加 当0a1时 函数单调减少 微积分中常用以e为底的指数函数ex，其中e=2.71828···， 它为一个无限不循环小数.
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一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
(4)正弦函数y=s没inx有在,因[ 为他, 不 ]是一上一有对反应函函数数吗？ 22
-2
-
o
2 3
x
4
2
-1
正弦函数ysinx(x[,]) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函数，2同2一个三角函数
值只对应一个角。
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反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1，1]的图象与性质：
(1)定义域:[-1，1]。
(2)值域:
[ , ] 22
余弦函数y=cosx在[0，π] 上有反函数吗？ 正切函数y=tanx在 ( , ) 上有反函数吗？
22
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没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
1
· · · · · · 2
§ 1.5 基本初等函数、复合函数与初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数
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一、基本初等函数
下列函数称为基本初等函数 常数 yc 幂函数 yxa (a为任何实数) 指数函数 yax(a0 a1) 对数函数 yloga x (a0 a1) 三角函数 ysin x ycos x
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1 常数 yc 它的定义域是( ) 图形为平行于x轴截距为c的直线
2 幂函数 yxa (a为任何实数)
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1 常数 yc 它的定义域是( ) 图形为平行于x轴截距为 是奇函数，
y
其图象关于坐标原点对称，y
arcsin
2
x,
x
[1,1],
y
[
2
,
2
]
1.5
arcsin(x)arcsinx 2 1
x[1,1]. -3 (4)单调性:
0.5
2 -1
y sin x, x [ , ], y [1,1] 22
-2
（5）降幂公式
sin2x1 co s2x,co s2x1 co s2x
2
2
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6 反三角函数
三角函数都是周期函数，对于值域中的任何都有无 穷多个与之对应，故三角函数在其定义域内不存在 反函数.为了定义它们的反函数，必须限制自变量的 取值范围，使得该函数在这个范围内单调.