《用一元二次方程解决传播问题》练习题
一元二次方程的应用大题专练
一元二次方程的应用大题专练题型一、传播问题1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感.(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？2．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？3．某教育局组织教职工男子篮球比赛．(1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛(2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长．题型二、增长率问题1．用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话：请问：(1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？(2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？2．随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？3．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩．(1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率．(2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/kg时，每天能售出300kg；销售单价每降低1元，每天可多售出50kg．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元/kg，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？题型三、销售问题1．《2024年政府工作报告》明确提出优化消费环境的目标，开展了“消费促进年”活动和实施“放心消费行动”等多项举措，旨在引导消费市场正向发展．某文具店为回馈顾客一直以来的信赖与支持，特地推出了商品促销活动．顾客每购买一本笔记本便赠送两支铅笔，若顾客一次性购买n支钢笔（n为正整数），则每支钢笔的价格在售价的基础上降低2n元．已知一本笔记本比一支铅笔贵8元，钢笔的售价为36元/支．(1)小华到此文具店购买了10本笔记本，30支铅笔，共消费120元，求此文具店所售卖笔记本和铅笔的单价．(2)小明计划到此文具店买16支铅笔和笔记本若干，但身上只带了70元，问小明最多可以买多少本笔记本？(3)已知此文具店所售卖钢笔的进价为24元/支，当顾客一次性购买多少只钢笔时，文具店此次交易的利润达到最大值？2．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元．(2)若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？(3)商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由．4．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千y x，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．克）之间满足一次函数关系180(1)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？(2)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？题型四、面积问题1．为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入．(1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边AB的长；(2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？2．某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为30cm 的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．(1)若无盖纸盒的底面积为2484cm ，则剪掉的小正方形的边长为多少？(2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．3．科技创新活动一直在路上．现将某品牌平面展示屏设计与生产过程中收集的精准数据统计如下： 信息数据一：屏占比，指的是屏幕面积与整个外观面积的比，计算公式为：屏占比100%屏幕面积外观面积信息数据二：某厂商设计了该款1.0版平面展示屏（如图），正面外观呈矩形，长400mm ，宽300mm ，正中央是长宽之比为4:3的矩形屏幕，若要使屏占比达到81%，且左右边框等宽，均为xmm ，上下边框等宽，均为mm y ，应如何设计屏四周边框的宽度？信息数据三：在上述1.0版平面展示屏的升级版2.0版中，外观保持不变，对屏的长宽进行调整，调整之后使得左右边框的宽度各减少了0.9a ，上下边框的宽度各减少了a ，从而使屏占比进一步提升至91.35%．(1)求x ，y 的值；(2)求a 的值．题型五、几何动态问题1．如图，A B C D 、、、为矩形的四个顶点，4AB cm ，2AD cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，都以1cm/s 的速度运动，其中点P 由A 运动到B 停止，点Q 由点C 运动到点D 停止．(1)求四边形PBCQ 的面积；(2)P 、Q 两点从出发开始到几秒时，P 、Q 、D 组成的三角形是等腰三角形？2．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，4AD ，12CD ，BD AD ，60A ，动点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 以每秒2个单位的速度沿着折线A D C 先由A 向D 运动，再由D 向C 运动，点Q 以每秒1个单位的速度由B 向A 运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t 秒．(1)两平行线DC 与AB 之间的距离是__________．(2)当点P 、Q 与BCD △的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t 的值．(3)AP ，以AP ，AQ 为一组邻边构造平行四边形APMQ ，若APMQ 的面积为3t 的值．3．如图，在四边形ABCD 中，DC AB ∥，90B ，8cm AB ，4cm AD ，6cm CD ，点P 从点A 出发沿边AB 以2cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点C 出发沿边CD 以1cm/s 的速度向点D 移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s x ．(1)PB cm ，CQ cm （用含x 的代数式表示）；(2)当P 、Q 37cm 时，求x 的值；(3)填空：①当x 时，四边形APQD 是菱形；②当x 时，四边形PBCQ 是矩形．题型六、数字问题1．第十四届国际数学教育大会14ICME 会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有07～共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021，表示14ICME 的举办年份．(1)请把八进制数3747换算成十进制数；(2)小华设计了一个n 进制数265，换算成十进制数是145，求n 的值（n 为正整数）．2．两个相邻偶数的平方和的平均数为Q ，则Q 一定是偶数．如：2268100，100250，50为偶数．(1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由；(2)设两个相邻偶数为2n 和22n ，请论证上述结论；(3)若122Q ．求符合要求的偶数．3．阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出123100的值．我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…，n ，…的前n 项和： 由1211211111n n nn n n n n 可知(1)1232n n n ． 应用以上材料解决下面问题：(1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n 行有n 个点，．若该三角点阵前n 行的点数和为325，求n 的值．(2)在第一问的三角点阵图形中，前n 行的点数和能是900吗？如果能，求出n ；如果不能，说明理由．(3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，3n ，…，前n 行的点数和能是900吗？如果能，求出n ；如果不能，说明理由．题型七、行程问题1．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A 、B 以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程☎✆l cm 与时间☎✆s t 满足关系：213022lt t t ，乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm ．(1)甲运动4s 后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？2．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2倍，张大伯走5分钟，李大伯走10分钟，共走800米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了2a 米，时间都各自多走了10a 分钟，结果两人又共走了6900米，求a 的值．3滑行时间/t s 0 1 2 3 4滑行速度/m/s y 60 57 54 51 48已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y （单位：m/s ）与滑行时间t （单位：s ）之间满足一次函数关系．而滑行距离 平均速度v 时间t ，02t v v v ，其中0v 是初始速度，t v 是t 秒时的速度．(1)直接写出y 关于t 的函数解析式和自变量的取值范围；(2)求飞机滑行的最远距离；(3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了450m ，求此时飞机的滑行速度；(4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方300m 有一辆通勤车正以54km/h 的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？题型八、工程问题1．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A 、B 两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知A 点平均每人采样720份，B 点平均每人采样700份．(1)求A 、B 两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从B 点抽调部分医护人员到A 点经调查发现，B 点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，A 点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从B 点抽调了多少名医护人员到A 点？2．某工程队采用A 、B 两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A 型设备每小时铺设路面比B 型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．(1)求A 型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B 型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了25m 小时，同时，A 型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m 米，而使用时间增加了m 小时，求m 的值．3．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的32，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m 万元时，则每天可多挖2m 米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖3m 米，若最终每天实际总成本比计划多92m 万元，求m 的值．题型九、图表信息问题1．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；月份用水量（吨）交水费总金额（元）4 7 705 5 40根据上表数据，求规定用水量的值．2．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：91131748，131572148．不难发现，结果都是48．（1）请证明发现的规律；（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）3．【观察思考】【规律发现】（1）第5个图案中“”的个数为______；（2）第n（n为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含n的式子表示）【规律应用】（3）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数n，使得“○”比“”的个数多28．题型十、项目设计方案问题探索果园土地规划和销售利润问题素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中200AB 米，300BC 米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．问题解决任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．（1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．（2）若中间种植的面积是244800m，则路面设置的宽度是否符合要求．任务2 解决果园种植的预期利润问题．（总利润销售利润承包费）（3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？2清明果销售价格的探究素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋．素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元．解决问题任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋元，销量是袋．任务2①经两周后还剩余清明果袋．(用x的代数式表示)②若该超市想通过销售这批清明果获利5160元，那么第二周的单价每袋应是多少元？3如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．问题解决任务1 计算所获利润当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？任务2 平衡市场方案该商品的网上销售价每件_________元时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等任务3 拟定价格方案公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？。
一元二次方程的应用【十大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
一元二次方程的应用【十大题型】【题型1 传播问题】 (1)【题型2 增长率问题】 (4)【题型3 营销问题】 (7)【题型4 工程问题】 (11)【题型5 行程问题】 (14)【题型6 图表信息题】 (19)【题型7 数字问题】 (21)【题型8 与图形有关的问题】 (24)【题型9 动态几何问题】 (27)【题型10 其他问题】 (36)【题型1 传播问题】【例1】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病。
(1)在新冠初期，人们因为不了解这种病毒所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染将会有144人感染了“新冠”，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人?(2)后来，大家众志成城，全都隔离在家，但玲玲爷爷种的糖心苹果遇到了滞销，于是玲玲在朋友圈帮爷爷销售，糖心苹果的成本为8元/千克，她发现当售价为12元/千克时，每天可卖出40千克，而每涨1元时，每天就少卖出10千克.如果每天要达到150元的利润而且又最大限度地帮爷爷增加销量，请你帮玲玲确定销售单价．【答案】(1)11人(2)11元【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．（2）设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出[40−10(y−12)]千克，根据总利润=每斤的利润销售×数量，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，依题意，得：1+x+x(1+x)=144，即(1+x)2=144解得：x1=11，x2=−13（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了11人．（2）解：设玲玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出[40−10(y−12)]千克，依题意得：(y−8)[40−10(y−12)]=150，整理，得：y2−24y+143=0，解得：y1=11，y2=13∵最大限度的帮爷爷增加销量，∴小玲应该将售价定位11元，答：小玲应该将售价定为11元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（）A．11B．12C．22D．33【答案】B【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他(x−1)人握手，共握手次数为1x(x−1)，根据一共握了662次手列出方程求解．【详解】解：设参加会议有x人，依题意得：1x(x−1)=66，2整理，得x2−x−132=0，解得x1=12，x2=−11，(舍去)则参加这次会议的有12人．故选：B．【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为1x(x−1)．2【变式1-2】（2023春·黑龙江七台河·八年级统考期末）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出个小分支．【答案】10【分析】设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是111，列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得：1+x+x×x=111即x2+x−110=0，(x−10)(x+11)=0解得：x1=10,x2=−11（舍去）故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式1-3】（2023春·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？(2)写出比赛的总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式；(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？【答案】(1)6；(2)y=1x(x−1)2(3)8×4×(4−1)场；【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：12（2）直接根据题意列出函数关系式即可；（3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打：1×4×(4−1)=6场；2（2）总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式：y=1x(x−1)；2（3）设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意得：1x(x−1)=28，2解得：x1=8，x2=−7（舍去），这次比赛共有8个队参加．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．【题型2 增长率问题】【例2】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了a%，进货量比九月底增加3a%，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求a%的值.【答案】(1)20%(2)16【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价×(1−每次降价的百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（21200元列出方程，求出a%的值即可【详解】（1）设图书店每次降价的百分率为x，依题意得：15(1−x)2=9.6，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）．答：商城每次降价的百分率为20%．（2）根据题意得，500×(1+3a%)×[15×80%−8(1+a%)]−500×(9.6−8)=1200整理得，2000a%−12000(a%)2=0，或a%=0（舍去）解得，a%=16故a%的值为16【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式2-1】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为400万元，2022年数字阅读市场规模为576万元.(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元?【答案】(1)20%(2)预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元【分析】（1）设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x，利用2022年该市数字阅读市场规模=2020年该市数字阅读市场规模×(1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）利用2023年该市数字阅读市场规模=2022年该市数字阅读市场规模×(1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率)，可预计出2023年该市数字阅读市场规模．【详解】（1）解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x根据题意得：400(1+x)2=576解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不符合题意，舍去）答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为20%（2）576×(1+20%)=691.2（万元）∴预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．【变式2-2】（2023春·河北承德·八年级承德市第四中学校考期中）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m2(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2请说明理由．【答案】(1)10%(2)不会，理由见解析【分析】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为5000(1−x)，5月份的房价为5000(1−x)2，然后根据5月份的4050元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出今年7月份商品房成交均价，然后和3000元/m2进行比较即可作出判断．【详解】（1）解：设4、5两月平均每月降价的百分率是x，5000(1−x)2=4050(1−x)2=4050 50001−x=±910x1=110=10%，x2=1910（舍）答：4、5两月平均每月降价的百分率是10%．（2）否，理由如下：∵4050×(1−110)2=3280.5（元）3280.5>3000，∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元/m2．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．【变式2-3】（2023春·山西太原·某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为2500元，已知该商店去年10月份售出50台，第四季度累计售出182台．(1)求该商店11，12两个月的月均增长率；(2)调查发现，当该冰箱售价为2900元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元，求每台冰箱的售价．【答案】(1)20%(2)2750元【分析】（1）设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出50(1+x)台，12月份售出50(1+x)2台，根据该商店去年第四季度累计售出182台，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为(y−2500)元，平均每天可售出(8+4×2900−y50)台，利用总利润=每台的销售利润×平均每天的销售量，可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设该商店11，12两个月的月均增长率为x，则该商店去年11月份售出50(1+x)台，12月份售出50(1+x)2台，根据题意得：50+50(1+x)+50(1+x)2=182，整理得：25x2+75x−16=0，解得：x1=0.2=20%，x2=−3.2（不符合题意，舍去）．答：该商店11，12两个月的月均增长率为20%；)台，（2）设每台冰箱的售价为y元，则每台的销售利润为(y−2500)元，平均每天可售出(8+4×2900−y50根据题意得：(y−2500)(8+4×2900−y)=5000，50整理得：y2−5500y+7562500=0，解得：y1=y2=2750．答：每台冰箱的售价为2750元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型3 营销问题】【例3】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润=销售价−进货价）(1)水果店第一次用720元购进A B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；(2)第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？【答案】(1)A中苹果购进10件，B中苹果购进20件(2)购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元(3)将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元【分析】（1）设A，B两种苹果分别购进x件和y件，列方程组求解即可．（2）设购进A种苹果m件，利润为w元，列出w关于m的函数关系式讨论最值即可．（3）设B种苹果降价a元销售，根据利润=90元，列出一元二次方程求出a，得到结果．【详解】（1）解：设A，B两种苹果分别购进x件和y件，由题意得：{x+y=3028x+22y=720，解得{x=10y=20，答：A中苹果购进10件，B中苹果购进20件．（2）解：设购进A种苹果m件，则购进B种苹果(80−m)件，由题意得：28m+22(80−m)≤2000，∴m≤40，设利润为w元，则w=(42−28)m+(34−22)(80−m)=2m+960，∵2>0，∴w随m的增大额增大，∴当m=40时，w最大值=2×40+960=1040．故购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元．（3）解：设B种苹果降价a元销售，则每天多销售2a件，每天每件利润为(12−a)元，由题意得：(4+2a)(12−a)=90，解得，a=3或a=7，∵为了尽快减少库存，∴a=7，∴34−7=27，答：将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元．【点睛】本题考查了二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式以及一元二次方程的应用，读懂题意找出等量或不等关系是解题关键．【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级期末）汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为10万元/辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆．(1)当售价为13.5万元/辆时，求平均每周的销售利润．(2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为40万元，每辆汽车的售价定为多少合适？【答案】(1)平均每周的销售利润是49万元(2)每辆汽车的售价定为12万元更合适【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为13.5万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润=一辆汽车的利润×销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数=40万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价．×2=14（辆)，【详解】（1）解：∵当售价为13.5万元/辆时，平均每周销量为：8+15−13.50.5∴平均每周利润为：(13.5−10)×14=49（万元），答：平均每周的销售利润是49万元；（2）解：设每辆汽车的售价是x万元，(x−10)(8+15−x×2)=40．0.5化简，得(x−10)(17−x)=10，x2−27x+180=0，解得：x1=12，x2=15，由于希望增大销量，定价12万元售价更合适，答：每辆汽车的售价定为12万元更合适．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意找准数量关系与等量关系是解题的关键．【变式3-2】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）利用平均增长率的等量关系：a(1+x)2=b，列式计算即可；（2）利用总利润=单件利润×销售数量，列方程求解即可．【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：256×(1+x)2=400，解得：x=0.25或x=−2.25（舍）；∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；（2）解：设降价y元，由题意得：(40−y−25)(400+5y)=4250，整理得：y2+65y−350=0，解得：y=5或y=−70（舍）；∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．【变式3-3】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？【答案】(1)总共生产了9000袋手工汤圆(2)促销时每袋应降价3元【分析】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；（2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．【详解】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，依题意得，0.3a450+0.5a300=21解得a=9000，经检验a=9000是原方程的解，答：总共生产了9000袋手工汤圆（2）设促销时每袋应降价x元，当刚好10天全部卖完时，x)=40500依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x)(225+752整理得：x2−6x+45=0Δ=62−4×45<0，∴方程无解∴10天不能全部卖完∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为(15−13)[9000−x)]=12600−600x2×225−8(225+752∴依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x)(225+75x)+12600−600x=405002解得x1=1,x2=3∵要促销∴x=3即促销时每袋应降价3元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2【题型4 工程问题】【例4】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米(2)18【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：32x+32(2x+30)=4800，解方程即可解得答案；（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，由题意得：32x+32(2x+30)=4800，解得x=40，2x+30=80+30=110米，所以A型设备每小时铺设的路面110米；（2）根据题意得：40(32+m+25)+(110−3m)(m+32)=4800+1000，解得m=18，m=0（舍去），答：m的值是18．【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．【变式4-1】（2023春·宁夏中卫·八年级校考期中）随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）【答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．（2）甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”，据此列方程求解即可．（2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1500万元，列不等式求解．【详解】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，根据题意，得x(x+5)=6(x+x+5)，即x2−7x−30=0，解得x1=10，x2=−3（不合题意，舍去）．∴x+5=15．答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．m个月，（2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为12m≤1500，由题意得，100m+（100+50）12解得：m≤847∵施工时间为整数，∴m≤8，答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解．【变式4-2】（2023春·重庆云阳·八年级校联考期中）2020年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼·罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线A,B．原计划A生产线每小时生产护目镜400个，B生产线每小时生产护目镜500个．（1）若生产线A,B一共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于5500个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？（2）原计划A,B生产线每天均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，A生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量将减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量将减少15个．这样一天生产的护目镜将比原计划多3300个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．【答案】（1）B生产线至少生产口罩7小时；（2）该厂实际每天生产口罩的时间为14ℎ．【分析】（1）设B生产线至少生产口罩x小时，根据生产护目镜的总数量不少于5500个列出不等式求解即可；（2）设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t，根据实际一天生产的护目镜将比原计划多3300个列出方程求解即可．【详解】（1）解：设B生产线至少生产口罩x小时(12−x)400+500x≥5500解得：x≥7答：B 生产线至少生产口罩7小时.（2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t(400−10t)(8+t)+(500−15t)(8+t)=8×400+8×500+3300 解得：t 1=22,t 2=6 生产时间：6+8=14ℎ答：设该厂实际每天生产口罩的时间为14ℎ.【点睛】此题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系和等量关系，列出不等式和方程．【变式4-3】（2023春·重庆合川·八年级校考期中）甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，求甲最多施工多少米？（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m 万元时，则每天可多挖12m 米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖14m 米，若最终每天实际总成本比计划多（11m -8）万元，求m 的值．【答案】（1）1000米；（2）4【分析】（1）设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工（2000-x ）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m -8）万元，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工（2000-x ）米， 依题意，得：8（2000-x ）≥43×6x ， 解得：x ≤1000．答：甲最多施工1000米．（2）依题意，得：（6+m ）（6+12m ）+8（6-14m ）=6×（6+8）+11m -8，整理，得：m 2-8m +16=0，解得：m1=m2=4．答：m的值为4．【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．【题型5 行程问题】【例5】（2023春·重庆云阳·八年级校联考期中）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．(1)求小明、小红的跑步速度；(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)480m/min；400m/min(2)70min【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解．【详解】（1）解：设小红的速度为xm/min，则小明的速度为1.2xm/min，依据题意列方程得，12000x −120001.2x=5，∴12000×1.2−12000=5×1.2x，∴x=400，经检验，x=400是原式方程的解．∴1.2×400=480m/min．∴小红的速度为400m/min，小明的速度为480m/min．故答案为：480m/min；400m/min．。
用一元二次方程解决传播问题含答案
用一元二次方程解决传播问题基础题知识点1传播问题1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x满足的方程是(B)A．1＋x2＝81 B．(1＋x)2＝81C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋(1＋x)2＝81 2．(大同一中期末)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A) A．1＋x＋x(1＋x)＝100B．x(1＋x)＝100C．1＋x＋x2＝100D．x2＝1003．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支？解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得1＋x＋x2＝111.解得x1＝10，x2＝－11(舍去)．答：每个支干长出10个小分支．知识点2 握手问题4．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为(C)A ．7B ．8C ．9D ．105．某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打(x －1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为12x(x －1)． 根据题意，可列出方程12x(x －1)＝28．整理，得x 2－x －56＝0．解得x 1＝8，x 2＝－7．合乎实际意义的解为x ＝8．答：应邀请8支球队参赛．6．一条直线上有n 个点，共形成了45条线段，求n 的值．解：由题意，得12n(n －1)＝45.解得n 1＝10，n 2＝－9(舍去)．答：n 等于10.知识点3数字问题7．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是98．8．若两个连续整数的积是56，则它们的和是±15．9．一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x－3)，由题意，得x2＝10(x－3)＋x.解得x1＝6，x2＝5.当x＝6时，x－3＝3；当x＝5时，x－3＝2.答：这个两位数是36或25.中档题10．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场(B)A．4个B．5个C．6个D．7个11．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？解：设有x 家公司出席了这次交易会，根据题意，得12x(x －1)＝78.解得x 1＝13，x 2＝－12(舍去)．答：有13家公司出席了这次交易会．12．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和是多少？解：设最小数为x ，则最大数为x ＋16，根据题意，得x(x ＋16)＝192. 解得x 1＝8，x 2＝－24(舍去)．故这9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24.所以这9个数的和为8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144.13．(襄阳中考)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人，则1＋x＋x(x＋1)＝64.解得x1＝7，x2＝－9(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)64×7＝448(人)．答：第三轮将又有448人被传染．综合题14．(1)6位新同学参加夏令营，大家彼此握手，互相介绍自己，这6位同学共握手多少次？小莉是这样思考的：每一位同学要与其他5位同学握手5次，6位同学握手5×6＝30次，但每两位同学握手2次，因此这6位同学共握手15次．依此类推，12位同学彼此握手，共握手66次；(2)我们经常会遇到与上面类似的问题，如：2条直线相交，最多只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；…；求20条直线相交，最多有多少个交点？(3)在上述问题中，分别把人、线看成是研究对象，两人握手、两线相交是研究对象间的一种关系，要求的握手总次数、最多交点数就是求所有对象间的不同关系总数．它们都是满足一种相同的模型．请结合你学过的数学知识和生活经验，编制一个符合上述模型的问题；(4)请运用解决上述问题的思想方法，探究一个多边形的对角线的条数可能为20条吗？一个多边形的对角线的条数可能为28条吗？ 解：(2)每一条直线最多与其他19条直线相交，20条直线相交有20×19＝380个交点，但每两条直线相交2次，因此这20条直线相交，最多有20×192＝190个交点．(3)答案不唯一，如：现有12个乒乓球队参加乒乓球循环赛(每个队都要与其他队比赛1场)，共需比赛多少场？(4)若这个n 边形的对角线条数为20条，则有n （n －3）2＝20. 解得n 1＝8，n 2＝－5(舍去)．故一个多边形的对角线的条数可能是20条．若这个n 边形的对角线条数为28条，则有n （n －3）2＝28. 整理，得n 2－3n －56＝0.因为Δ＝32＋4×1×56＝233，所以n ＝3±2332.因为233为无理数，而对角线的条数是有理数，所以不存在一个多边形的对角线的条数为28条．。
【初中数学】人教版九年级上册第1课时 用一元二次方程解决传播问题与数字等问题(练习题)
人教版九年级上册第1课时用一元二次方程解决传播问题与数字等问题(153)1.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了该传播活动，则n=．2.三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间的一个数的6倍多3，求这三个数．3.某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过进价的30%．(1)根据物价局的规定，此商品每件售价最高可定为多少元？(2)若每件商品售价定为x元，则可卖出(170−5x)件．如果商店预期盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？4.某剧场共有1161个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少16，求这个剧场每行有多少个座位．5.根据题意解答如下题目(1)从n边形(n>3)的一个顶点出发的对角线有条；(2)若一个凸多边形共有14条对角线，那么它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在,请说明理由．6.一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数．7.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，那么比赛组织者应邀请多少个队参赛？解题方案：设比赛组织者应邀请x个队参赛．(1)用含x的代数式表示：那么每个队要与其他个队各赛一场．又因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以一共有场比赛；(2)根据题意，列出相应方程：；(3)解这个方程，得；(4)检验：当时，不符合题意，舍去；(5)答：比赛组织者应邀请个队参赛．8.一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计这次聚会上所有人一共握了28次手，则这次聚会的人数是（）A.5B.6C.7D.89.一个小组有若干人，新年时互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有多少人？10.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场（）A.4个B.5个C.6个D.7个11.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，将这个两位数的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数与原两位数的积为1612，那么这两个两位数中较大的两位数是（）A.95B.59C.26D.6212.有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x人，则可列方程为（）A.x2=49B.(x+1)2=49C.x(x+1)=49D.(x−1)2=4913.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（）A.2个小分支B.3个小分支C.4个小分支D.5个小分支14.某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出相同数目的有益菌．(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？15.若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（）A.16B.17C.±16D.±1716.如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为．参考答案1.【答案】:10【解析】:由题意，得n+n2+1=111，解得n1=−11(舍去)，n2=102.【答案】:设这三个连续的正奇数分别为2n−1，2n+1,2n+3.(n为正整数) 根据题意，得(2n+3)(2n−1)−6(2n+1)=3，解这个方程，得n1=3，n2=−1(舍去)．当n=3时，2n−1=5，2n+1=7，2n+3=9.即这三个数分别为5，7，9【解析】:设出三个连续正奇数，利用等量关系：最大数与最小数的积比中间的一个数的6倍多3列出方程，解决问题3(1)【答案】16×(1+30%)=20.8(元)．答：此商品每件售价最高可定为20.8元【解析】:进价加上进价的30%即为最高售价(2)【答案】根据题意，得(x−16)(170−5x)=280.整理，得x2−50x+600=0.解得x1=20，x2=30.∵此商品每件售价最高不得高于20.8元，∴x=30不合题意，应舍去．答：每件商品的售价应定为20元【解析】:根据：每件盈利×销售件数=总盈利额；其中，每件盈利=每件售价−每件进价.建立等量关系.4.【答案】:设这个剧场每行有x个座位．根据题意，得x(x+16)=1161，解这个方程，得x1=27，x2=−43(舍去)．答：这个剧场每行有27个座位【解析】:设每行有x个座位，则总行数为x+16.根据：总座位数=每行的座位数×总行数，建立等量关系列方程求解5(1)【答案】(n−3)【解析】:连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从四边形的一个顶点出发的对角线有1条；从五边形的一个顶点出发的对角线有2条；从六边形的一个顶点出发的对角线有3条；⋯从n边形的一个顶点出发的对角线有(n−3)条(2)【答案】设这个凸多边形是n边形，由题意，得n(n−3)=14.2解得n1=7,n2=−4(不合题意，舍去)．答:这个凸多边形是七边形．【解析】:从n边形的一个顶点出发有n−3条对角线，共有n个顶点，所以乘以n，由于每条对角线有两个端点，这样每条对角线都多算一次，除以2，条对角线，由此列出方程求解即n边形共有n(n−3)2(3)【答案】不存在．理由：假设存在n边形有21条对角线．=21.由题意，得n(n−3)2．解得n=3±√1772不是正整数，故不合题意．因为多边形的边数为正整数，而3±√1772所以不存在有21条对角线的凸多边形条对角线，由此列出方程求解，由于解出的n不【解析】:根据n边形共有n(n−3)2是正整数，故不合题意，不存在．6.【答案】:设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为x−3.由题意，得x2=10(x−3)+x．解得x1=6,x2=5.当x=6时，x−3=3；当x=5时，x−3=2.答：这个两位数是36或25【解析】:设个位数字为x，则十位数字为x−3，这个两位数是10(x−3)+x. 然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数，列出方程求解7.【答案】:(x−1)；12x(x−1)；12x(x−1)=28；x1=8，x2=−7x1=−7，x2=8；x=−7；8【解析】:根据题意填空，并列出一元二次方程，求解，舍去小于0的值，得出结果8.【答案】:D【解析】:设这次聚会的人数是x．根据题意，得12x(x−1)=28，解得x1=8，x2=−7(舍去)．故选 D9.【答案】:设这个小组共有x人．根据题意，得x(x−1)=72.解得x1=9,x2=−8(不合题意，舍去)．答：这个小组共有9人【解析】:每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×(人数−1)=72，然后把相关数值代入计算10.【答案】:B【解析】:飞机场可以看作是点，航线可以看作过点画的线段.设共有n个飞机场，则n(n−1)2=10，解得n1=5，n2=−4(舍去).故选B.11.【答案】:D【解析】:设原来的数个位上的数字为x，则原来的数十位上的数字就是x+4，由题意可列方程[10(x+4)+x](10x+x+4)=1612,解出方程得x1=−6(舍去)，x2=2，所以这两个数分别为62和26，较大的两位数是62.12.【答案】:B【解析】:根据题意，得x+1+x(x+1)=49，即(x+1)2=49.故选 B13.【答案】:B【解析】:设每个支干长出x个小分支，根据题意，得1+x+x·x=13，整理，得x2+x−12=0，解得x1=3，x2=−4(舍去)．故每个支干长出3个小分支14(1)【答案】设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌．根据题意，得60x2=24000.解得x1=20,x2=−20(不合题意，舍去)．答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出20个有益菌【解析】:细菌分裂后，原细菌就不存在了，由此得第一轮培植后，细菌总和为60x，第二轮培植后，细菌总和为60x2，由此列方程求解(2)【答案】60×203=480000(个)．答：按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有480000个有益菌【解析】:由(1)可知经过三轮培植后，共有60x3个有益菌，将x的值代入计算15.【答案】:C【解析】:设较小的奇数为x，则另一个奇数为x+2.根据题意，得x(x+2)=63,解得x1=7,x2=−9，则另一个奇数为9或−7，所以这两个数的和为±16.故选C.16.【答案】:144【解析】:设最小数为x，则最大数为x+16.根据题意，得x(x+16)=192，解得x1=8，x2=−24(不合题意，舍去)．故第一行的三个数为8，9，10，下面一行的数为15，16，17，再下面一行的三个数为22，23，24，所以这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23+24=144。
一元二次方程实际问题专项练习
一元二次方程实际问题专项练习一．传播问题练习：1．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出个“树枝”。
2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．8人B．9人C．10人D．11人3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？4.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?二．握手问题练习：1．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手。
有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有人。
2．足球世界杯预选赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场。
共举行比赛210场，则参加比赛的球队共有支。
3．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．若某小组共有x个队，共赛了90场，则列出正确的方程是。
4.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?三．增长率问题练习：一、填空题1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2004年的产量将是________．3．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________．4．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设 平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是 ．5．某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程 ．6．某果农2006年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2008年年收入增加到7.2 万元，则平均每年的增长率是__________.7．由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由 原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分 率为x ，则根据题意可列方程为 ．8．某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100 元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程 ．9．某果农2006年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2008年年收入增加到7.2 万元，则平均每年的增长率是__________二、选择题1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）．A ．100（1+x ）2=250B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250C ．100（1-x ）2=250D ．100（1+x ）22．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（ ）．A ．100p p +B ．pC ．1001000p p -D ．100100p p+4．为执行“两免一补”政策，某地区2007年投入教育经费2500万元，预计2009年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，那么下面列出的方程正确的是（ ） A ．225003600x =B ．22500(1%)3600x +=C ．22500(1)3600x +=D ．22500(1)2500(1)3600x x +++=5．某种品牌的衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（ ）A. 20% B. 27% C. 28% D. 32%6．某市2008年国内生产总值（GDP ）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影 响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP 年平均增长率为x %，则x %满足的关系 （ ） A ．12%7%%x += B ．(112%)(17%)2(1%)x ++=+C ．12%7%2%x +=D ．2(112%)(17%)(1%)x ++=+7．为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿 化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（ ）A ．22025x =B ．20(1)25x +=C ．220(1)25x +=D ．220(1)20(1)25x x +++=17．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的 人均约为210m 提高到212.1m ，若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）A ．9%B ．10%C ．11%D ．12%三、综合提高题1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，•从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，•求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．2．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．（1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金×100%） （2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．4．（8分）由于受甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每斤猪肉价格是原价格的23，原来用60元买到的猪肉下调后可多买2斤．4月中旬，经专家研究证实，猪流感不是由猪传染，很快更名为甲型H1N1流感．因此，猪肉价格4月底开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每斤14.4元．（1）求4月初猪肉价格下调后每斤多少元？（2）求5、6月份猪肉价格的月平均增长率．5．某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈 利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？4．常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的 工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008 年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》 确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可 以完成？3. 2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009~2011年》，某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了1250万元．投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%，投入“供方”的资金将比2008年提高20%．（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？（2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元？（3）该市政府预计2011年将有7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009~2011年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009~2011年的年增长率．2．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.(1)若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.6、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200kg ，出油率为50%（即每100kg 花生可加工成花生油50kg ）。
初中数学一元二次方程的应用题型分类——传播问题2(附答案)
13．香香蛋糕店开业在即，老板香香要求员工通过微信转发进行宣传，于是蛋糕店开业的消息朋友圈快速流转起来．
（1）开始只有香香和员工共9个人知道开业消息，两天后知道此店开业消息的人数达到1089人，如果每个人每天转发的人数相同，那么每个人每天把消息传递了几个人？
患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数里.设每轮传染的人数是 人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了（x+1）个人，依据题意列方程： ，解方程即可.
【详解】
解：设每轮传染的人数是 人，根据题意得：
，
解得： 或 （不合题意，舍去）．
答：每轮传染的人数是6个人．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并解答是解题关键.
17．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感．假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，依题意可列方程，得_____．
18．某同学患流感，经过两轮传染后，共有144名同学患流感，平均每人每轮传染_____名同学．
19．一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出_______个小分支．
15．来自武汉高校的若干个社团参加了“敢为人先，追求卓越”的城市精神的研讨会，参加研讨会的每两个社团之间都签订了一份合作协议，所有社团共签订了45份协议，共有多少个社团参加研讨会？
16．目前甲型H1N1流感病毒在全球已有蔓延趋势，世界卫生组织提出各国要严加防控，因为曾经有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感．如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为______．
人教版数学九年级上册：21.3 第1课时 用一元二次方程解决传播问题与数字等问题 同步练习(附答案)
21.3第1课时用一元二次方程解决传播问题与数字等问题1．元旦当天，小明将收到的一条短信发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人(假设没有人重复收到)，则小明给多少人发了短信？设小明给x人发了短信，则可列方程为()A．x2＝157 B．(1＋x)2＝157C．1＋x＋x2＝157 D．x＋x2＝1572．某同学参加了学校统一组织的实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验．设每节课每名同学教会x名同学做实验，则x的值为()A．5 B．6C．7 D．83．某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后共有64人患了该病．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人；(2)如果不及时控制，第三轮传染后学校还有多少人未被传染(第三轮传染后仍未有治愈者)?4．若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为()A．16 B．17C．±16 D．±175．图21－3－1是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为________．图21－3－1 6．一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数．7．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，那么比赛组织者应邀请多少个队参赛？解题方案：设比赛组织者应邀请x个队参赛．(1)用含x的代数式表示：每个队要与其他________个队各赛一场，又因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以一共有__________场比赛；(2)根据题意，列出相应方程：________________；(3)解这个方程，得______________；(4)检验：当________时，不符合题意，舍去；(5)答：比赛组织者应邀请________个队参赛．8．一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计这次聚会上所有人一共握了21次手，则这次聚会的人数是()A．4 B．5C．6 D．79．一个小组有若干人，新年时互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有多少人？10．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场()A．4个B．5个C．6个D．7个11．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，将这个两位数的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数与原两位数的积为1612，那么这两个两位数中较大的两位数是()A．95 B．59 C．26 D．62 12．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推．已知经过两轮传播后，共有111人参与了该传播活动，则n＝________．13．某学校机房有100台学生用电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？14．某剧场共有1161个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少16，求这个剧场每行有多少个座位．15．(1)从凸n(n＞3)边形的一个顶点出发的对角线有________条．(2)若一个凸多边形共有14条对角线，那么它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，请说明理由．参考答案1．C2．A3．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人．由题意，得1＋x ＋(1＋x )x ＝64. 解得x 1＝7，x 2＝－9(不符合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)600－(64＋7×64)＝88(人)．答：如果不及时控制，第三轮传染后学校还有88人未被传染．4．C [分析] 设较小的奇数为x ，则另一个奇数为x ＋2.根据题意，得x (x ＋2)＝63.解得x ＝7或x ＝－9，则另一个奇数为9或－7，∴这两个数的和为±16.故选C.5．144 [分析] 设最小数为x ，则最大数为x ＋16.根据题意，得x (x ＋16)＝192. 解得x 1＝8，x 2＝－24(不合题意，舍去)．故第一行的三个数为8，9，10，下面一行的三个数为15，16，17，再下面一行的三个数为22，23，24，所以这9个数的和为8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144.6．解：设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为x －3.由题意，得x 2＝10(x －3)＋x .解得x 1＝6，x 2＝5.当x ＝6时，x －3＝3；当x ＝5时，x －3＝2.答：这个两位数是36或25.7．(1)(x －1) 12x (x －1) (2)12x (x －1)＝7×4 (3)x 1＝8，x 2＝－7 (4)x ＝－7 (5)88．D [分析] 设这次聚会的人数是x .根据题意，得12x (x －1)＝21， 解得x 1＝7，x 2＝－6(不合题意，舍去)．故选D.9．解：设这个小组共有x 人．根据题意，得x(x－1)＝72.解得x1＝9，x2＝－8(不合题意，舍去)．答：这个小组共有9人．10．B[分析] 飞机场可以看作是点，航线可以看作是过点画的线段．设共有n个机场，则n（n－1）2＝10.解得n＝5或n＝－4(不合题意，舍去)．故选B.11．D12．10[分析] 由题意，得n＋n2＋1＝111.解得n1＝－11(不合题意，舍去)，n2＝10.13．解：(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．依题意，得1＋x＋(1＋x)x＝16.解得x1＝3，x2＝－5(不合题意，舍去)．答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑．(2)∵n轮感染后，有(1＋x)n台电脑被感染，∴(1＋3)n＝4n.当n＝3时，43＝64<100；当n＝4时，44＝256＞100.答：若病毒得不到有效控制，4轮感染后机房内所有电脑都被感染．14．解：设这个剧场每行有x个座位．根据题意，得x(x＋16)＝1161.解这个方程，得x1＝27，x2＝－43(不合题意，舍去)．答：这个剧场每行有27个座位．15．解：(1)(n－3)(2)设这个凸多边形是n边形．由题意，得n（n－3）2＝14.解得n1＝7，n2＝－4(不合题意，舍去)．答：这个凸多边形是七边形．(3)不存在．理由：假设存在有21条对角线的凸n边形．由题意，得n（n－3）2＝21.解得n ＝3±1772. 因为多边形的边数为正整数，而3±1772不是正整数，故不合题意． 所以不存在有21条对角线的凸多边形．。
一元二次方程的实际应用题
一元二次方程的实际应用题（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。
6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）。
4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
秦州区第四中学九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程第1课时 用一元二次方程解决传播问题练习 新人
21.3 实际问题与一元二次方程第1课时 用一元二次方程解决传播问题基础题知识点1 传播问题1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人2．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为( )A ．10只B ．11只C ．12只D ．13只3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支．知识点2 握手问题4．“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意，可列出的方程是( )A ．x(x ＋1)＝210B ．x(x －1)＝210C ．2x(x －1)＝210 D.12x(x －1)＝2105．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是( )A ．x(x －1)＝10 B.x （x －1）2＝10C ．x(x ＋1)＝10 D.x （x ＋1）2＝106．参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛，若共要比赛110场，则共有________个队参加比赛( )A ．8B ．9C ．10D ．117．一条直线上有n 个点，共形成了45条线段，求n 的值．知识点3 数字问题8．两个连续偶数的和为6，积为8，则这两个连续偶数是________．9．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是________． 10．一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？中档题11．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )A．4个 B．5个C．6个 D．7个12．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？13．有人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信一个人要向几个人发送短信？14．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和是多少？15．(襄阳中考)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？综合题16．(1)n 边形(n ＞3)其中一个顶点的对角线有________条；(2)一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由．参考答案基础题 1.B 2.C3.设每个支干长出x 个小分支，根据题意，得1＋x ＋x 2＝111.解得x 1＝10，x 2＝－11(舍去)．答：每个支干长出10个小分支． 4.B 5.B 6.D7.由题意得12n(n －1)＝45.解得n 1＝10，n 2＝－9(舍去)．答：n 等于10.8.2和4 9.9810.设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为(x －3)，由题意，得x 2＝10(x －3)＋x.解得x 1＝6，x 2＝5.当x ＝6时，x －3＝3；当x ＝5时，x －3＝2.答：这个两位数是36或25. 中档题 11.B12.设有x 家公司出席了这次交易会，根据题意，得12x(x －1)＝78.解得x 1＝13，x 2＝－12(舍去)．答：有13家公司出席了这次交易会．13.设要向x 个人发送短信．根据题意，得x(x ＋1)＝90，解得x 1＝9，x 2＝－10(舍去)．答：一个人要向9个人发送短信．14.设最小数为x ，则最大数为x ＋16，根据题意，得x(x ＋16)＝192.解得x 1＝8，x 2＝－24(舍去)．故最小的三个数为8，9，10，下面一行的数字为15，16，17；再下面一行三个数字尾22，23，24.所以这9个数的和为：8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144.15．(1)设每轮传染中平均每人传染了x 人，则1＋x ＋x(x ＋1)＝64.解得x 1＝7，x 2＝－9(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． (2)64×7＝448(人)．答：第三轮将又有448人被传染． 综合题16．(1)(n －3)；(2)设这个凸多边形是n 边形，由题意，得 n （n －3）2＝14.解得n 1＝7，n 2＝－4(不合题意，舍去)． 答：这个凸多边形是七边形． (3)不存在．理由：假设存在n 边形有21条对角线．由题意，得 n （n －3）2＝21.解得n ＝3±1772. 因为多边形的边数为正整数，但3±1772不是正整数，故不合题意．所以不存在有21条对角线的凸多边形．直棱柱和圆锥的侧面展开图一、情境导入，初步认识如图是一个长方体，大家数一下它有几个面，几条棱，上、下面与侧面有什么位置关系，竖着的棱与上、下面有何位置关系？二、思考探究，获取新知观察下列图中的立体图形，它们的形状有什么共同特点？1.直棱柱的有关概念在几何中，我们把上述这样的立体图形称为直棱柱，其中“棱”是指两个面的公共边.它具有以下特征：有两个面互相平行，称它们为________；其余各个面都为矩形，称它们为______；侧棱(指两个侧面的公共边)垂直于底面.根据底面图形的边数，我们分别称它们为直三棱柱、直四棱柱、直五棱柱、直六棱柱等.2.直棱柱的侧面展开图要求同学们把准备好的长方体纸盒的侧面沿一条侧棱剪开，试试看能否展开成一个平面，它是什么图形？结论：将直棱柱的侧面沿着一条侧棱剪开，可以展开成平面图形，称为直棱柱的侧面展开图.直棱柱的侧面展开图是一个____，这个_____的长是直棱柱的底面周长，宽是直棱柱的侧棱长.3.圆锥的侧面展开图(1)圆锥的有关概念：如右图是一个圆锥，它是由一个底面和一个侧面围成的图形，它的底面是一个圆，连接顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的___，圆锥顶点与底面圆周上上任意一点的连线都叫做圆锥的 _____，______的长度都相等.(2)把圆锥的侧面沿它的一条母线展开，它的侧面可以展开成一个平面图形，称为圆锥的侧面展开图.圆锥的侧面展开图是一个_____，这个________ 的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长.三、运用新知，深化理解1.如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）A.1B.34C.12D.132.若一个圆锥的底面积是侧面积的13，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______度.3.如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，那么圆锥的全面积为_______.4.如图，已知圆锥的母线AB=6，底面半径r=2，求圆锥的侧面展开图的扇形圆心角四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师点评：(1)直棱柱的侧面展开图是矩形，其面积=直棱柱的底面周长×直棱柱的高.(2)圆锥侧面积公式：S侧= ________（r为底面圆半径，l为母线长）(3)圆锥全面积公式：S全= ________(r为底面圆半径，l为母线长）第二十一章一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第3课时几何图形与一元二次方程学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.难点自主学习一、知识链接用长为60m的篱笆围一个矩形的菜园.宽AD为x m.用含x的代数式填空：（1）如图①，AB=_________m,S矩形ABCD=___________;（2）如图②，菜园中间用一根篱笆隔开，则AB=_________m,S矩形ABCD=___________;（3）如图③，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则AB=_________m,S矩形ABCD=______.CDA B图①图②图③课堂探究二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程探究1 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)方法点拨：几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.典例精析例1 如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽为多少？【变式题1】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题2】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题3】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题4】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路).例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58m的围栏围成总面积为200m2的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？【变式题1】如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用80m的围栏围成面积为600m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？【变式题2】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？方法点拨：围墙问题一般先设其中的一条边为x，根据周长等条件把另一边用x表示出来，最后根据面积公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是等量关系类型课本封面问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程彩条/小路宽度问题动点面积问题1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x－1400=0B．x2+65x－350=0C．x2－130x－1400=0D．x2－65x－350=02.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．当堂检测3.如图，要设计一个宽20cm ，长为30cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？4.如图所示，在△ABC 中，∠C =90°， AC =6cm ，BC =8cm.点P 沿AC 边从点A 向终点C 以1cm/s 的速度移动；同时点Q 沿CB 边从点C 向终点B 以2cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P ，Q 出发几秒后，可使△PCQ 的面积为9 cm ²？参考答案自主学习 知识链接(1)(30-x ) x (30-x ) (2)(30-1.5x ) x (30-1.5x ) (3)(60-3x ) x (60-3x )课堂探究 二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程探究1 解：设中央矩形的长和宽分别为9a cm 和7a cm 由此得到上下边衬宽度之比为：11(279):(217)9(3):7(3)9:7.22a a a a 设上下边衬的9x cm ，左右边衬宽为7x cm ，则中央的矩形的长为(27-18x )cm ，宽为(21-14x )cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可列出方程3(2718)(2114)2721,4x x 整理得16x 2-48x +9=0，解方程得12633633,44x x （不合题意，舍去）.故上下边衬的宽度为63391.8,4左右边衬的宽度为6337 1.4.4典例精析例 1 方法一：解：设道路的宽为x 米，依题意得20×32-32x -20x +x 2=540,解得 x 1=2，x 2=50.当x =50时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取x =2. 答：道路的宽为2米.方法二：解：设道路的宽为x 米，依题意得(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2，x 2=50.当x =50时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取x =2. 答：道路的宽为2米.【变式题1】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2，x 2=50（不合题意，舍去）.∴x =2.答：道路的宽为2米.【变式题2】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-x )=540，解得x 1=18- 1.45，x 2x ≈1.45.答：道路的宽为1.45米.【变式题3】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-2x )=540，解得 x 1=1，x 2=25（不合题意，舍去）.∴x =1.答：道路的宽为1米.【变式题4】解：设横、竖小路的宽度分别为3x 、 2x ， 于是可列方程(32-4x )(20-6x )=32032,4解得 x 1=172290.623，x 2=1722910.713（不合题意，舍去）.∴xx ≈1.86,2x ≈1.24.答：横、竖小路的宽度分别为1.86米、1.24米.例 2 解：设AB 长是x m.依题意得 (58-2x )x =200，即x 2-29x +100=0，解得x 1=25，x 2=4.x =25时，58-2x =8，x =4时，58-2x =50.答：羊圈的边长AB 和BC 的长各是25m ，8m 或4m ，50m.【变式题1】 解：设AB 长是x m .依题意得(80-2x )x =600，即x 2-40x +300=0，解得x 1=10，x 2=30.x =10时，80-2x =60>25，(舍去)，x =30时，80-2x =20<25. 答：羊圈的边长AB 和BC 的长各是30m ，20m.【变式题2】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m ，则平行于住房墙的一边长(25-2x +1)m.由题意得x (25-2x +1)=80，化简，得x 2-13x +40=0，解得x 1=5，x 2=8.当x =5时，26-2x =16>12 (舍去），当x =8时，26-2x =10<12，故所围矩形猪舍的长为10m ，宽为8m. 当堂检测 1.B2.解：设铁板的宽为x cm,则长为2x cm.依题意得5(2x -10)(x -10)=3000，即x 2-15x -250=0. 解得 x 1=25，x 2=-10(舍去）.所以 2x =50. 答：铁板的长50cm ，宽为25cm.3. 解：设横向彩条的宽度2x cm ,竖彩条的宽度3x cm ，依题意得 (20-6x )(30-4x )=400，即6x 2-65x +50=0.解得125,106x x （舍去）.552,332x x . 答：横向彩条的宽度53cm ,竖彩条的宽度52cm.能力提升解：若设出发x s 后可使△PCQ 的面积为9cm² ,根据题意得AP = x cm ，PC =(6-x )cm ，CQ =2x cm.依题意得11 1(6)292x x ，整理，得x 2-6x +9=0，解得x 1= x 2=3. 答：点P ，Q 出发3s 后可使△PCQ 的面积为9cm².。
用一元二次方程解决传播问题专项训练
用一元二次方程解决传播问题专项训练一．选择题（共10小题）1．有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有625只鸡患了禽流感，每轮传染中平均一只鸡传染（）只鸡．A．22B．24C．25D．262．一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（）A．9B．10C．11D．123．有一人患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果设每轮传染中平均一个入传染了x个人，那么依题意可得方程（）A．1+x+x2＝121B．1+x+x（1+x）＝121C．x2＝121D．1+2x＝1214．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若3人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有（）A．1331人B．363人C．33人D．30人5．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有100人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（）A．x+x（1+x）＝100B．1+x+x2＝100C．1+x+x（1+x）＝100D．x（1+x）＝1006．2021年3月25日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了几个人（）A．12B．14C．10D．117．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（）A．x+x（1+x）＝81B．1+x+x2＝81C．1+x+x（1+x）＝81D．x（1+x）＝818．有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．8人B．9人C．10人D．11人9．有一个人患流感，经过两轮传染后新增80个人患流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．11B．10C．9D．810．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（）A．5B．6C．7D．8二．填空题（共5小题）11．某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染．设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出方程为．12．有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人．13．某种传染病，传播速度极快，通常情况下，每天一个人会传染给若干人．现有一人患病，开始两天共有225人患病，则一人平均每天传染个人．14．（2019秋•海曙区校级期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后得知第二次被传染的有30人，如果每轮传染率都相同，那么每轮传染中平均一个人传染了个人．15．（2020•黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人．三．解答题（共10小题）16．流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0．17．新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎．2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．2021年10月30日，张文宏教授表示，未来全国和全世界都接种疫苗后，人们还是应该尽量减少聚集，在室内拥挤的地方戴口罩，加强通风．2020年1月，武汉某小区有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，求每轮传染中平均一个人传染了多少人？18．我们知道，传销能扰乱一个地方正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的．某非法传销组织现有一名头目计划每人发展若干数目的下线，每个下线再发展同样数目的下线成员．经过两轮发展后，非法传销组织成员共有57人，间每个人计划发展下线多少人？19．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m 个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．（1）求出m的值；（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率．20．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了x个人．（1）第二轮被传染上流感人数是；（用含x的代数式表示）（2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有81人患病的情况发生，并说明理由．21．（2020•平原县模拟）某年冬天流感大暴发，有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？22．（2021秋•玉田县期中）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者．（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由；（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？23．（2021春•长寿区校级月考）新型冠状病毒传染速度非常快，如果一人被感染不加以控制经过两轮传染后就会有225人被感染病毒．（1）请你用所学知识分析，如果不加以控制每轮传染中平均一人传染多少人；（2）某病源地经过两轮传染后已有225人被感染，此时引起了有关部门高度重视，迅速采取隔离措施控制传染源，减少每轮平均一人的传染人数．采取隔离措施后，首轮传染中每个已被感染者的传染人数比（1）中人均传染人数减少10a%，第二轮传染中每个已被感染者的传染人数比首轮传染中人均传染人数减少，这样从采取隔离措施后到两轮传染结束时该地共有5400人被该病毒感染，求a的值．24．（2020•中山市校级模拟）2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累计确诊病例人数如图所示．（1）在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例多少人？如果接下来的5天中，继续按这个平均数增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人？（2）甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？。
一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
精品文档2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。
6.王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）（三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
九年级数学上册-一元二次方程解决传播问题练习新版新人教版
21.3 实际问题与一元二次方程第1课时 用一元二次方程解决传播问题基础题知识点1 传播问题1．有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人2．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病,一轮传染为一天时间,红发养鸡场于某日发现一例,两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同,则每只病鸡传染健康鸡的只数为( )A ．10只B ．11只C ．12只D ．13只3．某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支．知识点2 握手问题4．“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本,某组共互赠了210本图书,如果设该组共有x 名同学,那么依题意,可列出的方程是( )A ．x(x ＋1)＝210B ．x(x －1)＝210C ．2x(x －1)＝210 D.12x(x －1)＝210 5．在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手10次,设有x 人参加这次聚会,则列出方程正确的是( )A ．x(x －1)＝10 B.x （x －1）2＝10 C ．x(x ＋1)＝10 D.x （x ＋1）2＝10 6．参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛,若共要比赛110场,则共有________个队参加比赛( )A ．8B ．9C ．10D ．117．一条直线上有n 个点,共形成了45条线段,求n 的值．知识点3 数字问题8．两个连续偶数的和为6,积为8,则这两个连续偶数是________．9．一个两位数,个位数字比十位数字少1,且个位数字与十位数字的乘积等于72,则这个两位数是________．10．一个两位数,个位数字比十位数字大3,且个位数字的平方刚好等于这个两位数,求这个两位数是多少？中档题11．某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了10条航线,则这个航空公司共有飞机场( )A．4个 B．5个C．6个 D．7个12．在一次商品交易会上,参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同,会议结束后统计共签订了78份合同,问有多少家公司出席了这次交易会？13．有人利用手机发短信,获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信,经过两轮短信的发送,共有90人手机上获得同一条信息,则每轮发送短信一个人要向几个人发送短信？14．如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22)．若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和是多少？15．(襄阳中考)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染？综合题16．(1)n 边形(n ＞3)其中一个顶点的对角线有________条；(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明理由．参考答案基础题1.B2.C3.设每个支干长出x 个小分支,根据题意,得1＋x ＋x 2＝111.解得x 1＝10,x 2＝－11(舍去)．答:每个支干长出10个小分支．4.B5.B6.D7.由题意得12n(n －1)＝45.解得n 1＝10,n 2＝－9(舍去)．答:n 等于10. 8.2和4 9.9810.设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x －3),由题意,得x 2＝10(x －3)＋x.解得x 1＝6,x 2＝5.当x ＝6时,x－3＝3；当x ＝5时,x －3＝2.答:这个两位数是36或25.中档题11.B12.设有x 家公司出席了这次交易会,根据题意,得12x(x －1)＝78.解得x 1＝13,x 2＝－12(舍去)．答:有13家公司出席了这次交易会．13.设要向x 个人发送短信．根据题意,得x(x ＋1)＝90,解得x 1＝9,x 2＝－10(舍去)．答:一个人要向9个人发送短信．14.设最小数为x,则最大数为x ＋16,根据题意,得x(x ＋16)＝192.解得x 1＝8,x 2＝－24(舍去)．故最小的三个数为8,9,10,下面一行的数字为15,16,17；再下面一行三个数字尾22,23,24.所以这9个数的和为:8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144.15．(1)设每轮传染中平均每人传染了x 人,则1＋x ＋x(x ＋1)＝64.解得x 1＝7,x 2＝－9(舍去)．答:每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)64×7＝448(人)．答:第三轮将又有448人被传染．综合题16．(1)(n －3)；(2)设这个凸多边形是n 边形,由题意,得n （n －3）2＝14.答:这个凸多边形是七边形．(3)不存在．理由:假设存在n 边形有21条对角线．由题意,得n （n －3）2＝21.解得n ＝3±1772. 因为多边形的边数为正整数,但3±1772不是正整数,故不合题意． 所以不存在有21条对角线的凸多边形．。
一元二次方程应用题汇总(传染、增长率、面积、利润、球赛、数字等问题)
1、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，求，，每轮感染中平均一台电脑能感染几台？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?3、甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？二、增长率问题：平均增长（降低）率公式注意：（1）1与x 的位置不要调换（2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法1. 某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x ,列方程为_________________2. 某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为_____________3、雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？4、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒121元降到每盒100元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？5、我国土地沙漠化日益严重，西部某市2003年有沙化土地100平方公里， 到2005年已增至144平方公里。
请问：2003至2005年沙化土地的平均增长率为多少？ 2(1)a x b±=1、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。
专题21.12 一元二次方程的应用—传播问题(拓展提高)(解析版)
专题21.12 一元二次方程的应用—传播问题（拓展提高）一、单选题1．参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）A ．9家B ．10家C ．10家或9家D ．19家【答案】B【分析】每家公司都与其他公司签订了一份合同，设有x 家公司参加，那么每个公司都要签订（x -1）份合同，但每两家公司签订的合同只有一份，所以签订的合同共有112x x -（）份．【详解】解：设有x 家公司参加，依题意可得， ()11452x x =-， 整理得：9002x x =--，解得：12109x =x =-，（舍去）．答：共有10家公司参加商品交易会．故选：B ．【点睛】本题考察了一元二次方程的应用以及不重复计数问题．两两之间互相签订合同，只能算一份，属于典型的不重复计数问题，解答过程中一定要注意舍去不符合题意的解．2．某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张照片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ）A ．()12550x x +=B ．()12550x x -=C ．()212550x x +=D ．()125502x x -=⨯【答案】B【分析】如果全班有x 名学生，那么每名学生应该送的相片为（x -1）张，根据“全班共送了2550张相片”，可得出方程为x （x -1）=2550．【详解】解：∵全班有x 名学生，∴每名学生应该送的相片为（x -1）张，∴x （x -1）=2550．【点睛】此题是一元二次方程的应用，其中x（x-1）不能和握手问题那样除以2，要注意题目中是共送，也是互送，所以要把握住关键语．3．疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新冠”，平均一个人传染（）个人．A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为361人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x=361．即可解答．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得x+1+（x+1）x＝361，解得，x＝18或x＝﹣20（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了18个人．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．4．某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：1x（x-1）=10，2化简，得x2-x-20=0，解得x1=5，x2=-4（舍去），∴参加此次比赛的球队数是5队．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．5．九年级学生毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了870段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为（）A．x（x﹣1）＝870 B．x（x+1）＝870C．2x（x+1）＝870 D．(1)2x x＝870【答案】A【分析】根据题意得：每人要写（x-1）条毕业感言，有x个人，然后根据题意可列出方程．【详解】根据题意得：每人要写（x-1）条毕业感言，有x个人，∴全班共写：（x-1）x=870，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．6．在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（）A．x（x+1）=253 B．x（x﹣1）=253 C．12x（x+1）=253 D．12x（x-1）=253【答案】D【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，等量关系为：学生数×(学生数-1)×12=总握手次数.【详解】解：参加数学交流会的学生为x名，每个学生都要握手(x-1)次，因此列方程为12x(x-1)=253,故选D.【点睛】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键.二、填空题7．一个多边形的对角线的条数是20条，多边形的边数为________．【答案】8【分析】设多边形的边数是x，列式()3202x x-=，解出结果．【详解】解：设多边形的边数是x，这个多边形有x个角，每个角可以去连接除自己和相邻的两个以外的所有角，得到一条对角线，可以连()3x-条，则一共可以连接()3x x-条对角线，除去重复的是()32x x-条，列式：()3202x x-=，解得18x=，25x=-（舍去），故答案是：8．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列方程求解．8．2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡190张，设全班有x名同学则可列方程为________．【答案】x(x-1)=190【分析】根据题意x名同学，每个人送出（x-1）张贺卡，由此列出方程．【详解】由题意得(1)190x x-=，故答案为：(1)190x x-=．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．9．某班师生十年后再次聚会，见面时相互握手一次，共握手1275次，问原来班级师生共________人．【答案】51【分析】设这次参加聚会的同学有x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握（x-1）次手，所以x人共握手12x（x-1）次，又知共握手1275次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解．【详解】解：设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x-1）次手，由题意得：12x（x-1）=1275，即：x2-x-2550=0，解得：x1=51，x2=-50（不符合题意舍去）所以，这次参加同学聚会的有51人．故答案为：51．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．10．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有144人患上流感，按这样的传染速度，若3人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有________人．【答案】36【分析】设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人，则一轮传染以后有（x+1）人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有（x+1）人，一个人传染x 个人，则第二轮又有x（x+1）人患病，则两轮后有1+x+x （x+1）人患病，据此即可通过列方程求出流感的传播速度，然后计算3人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有的人数就可以了．【详解】设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人，根据题意有1+x+（x+1）x=144，解得x=11（负值舍去）．3人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有3+3×11=36（人）．故答案是：36．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题是要十分注意的是题目中的“共有”二字，否则一定得出错误的结果．11．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．若全班有x名学生，根据题意，列出方程为．【答案】x（x﹣1）＝2070（或x2﹣x﹣2070＝0）．【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=2070．【详解】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，∴全班共送：（x﹣1）x＝2070（或x2﹣x﹣2070＝0），故答案为x（x﹣1）＝2070（或x2﹣x﹣2070＝0）．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x-1张相片，有x个人是解决问题的关键．12．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，若设有x家公司出席了这次交易会，则可列方程为：.【答案】12x(x−1)=78.【分析】每家公司都与其他公司签订了一份合同，设有x家公司出席了这次交易会，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有12x（x-1）份，由此列出方程即可．【详解】解：设有x家公司出席了这次交易会，依题意，得12x(x−1)=78.故答案为：12x(x−1)=78.【点睛】本题考查了一元二次的应用.13．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都有一条航线，一共有15条航线，若设这个航空公司有x个飞机场，则可列方程为_____________________.【答案】1x(x1)15 2-=【分析】每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：飞机场数×（飞机场数-1）=15×2.【详解】设这个航空公司共有飞机场共有x个，x(x−1)=15×2，12x(x−1)=15.故答案为12x(x−1)=15.【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据题意找出等量关系列出一元二次方程.14．有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过________人．【答案】11【分析】设每轮传染中平均一人传染x人,那么经过第一轮传染后有x人被感染,那么经过两轮传染后有x （x+1）+x+1人感染，又知经过两轮传染共有288人被感染由此列出方程求解即可．【详解】设每轮传染中平均一个人传染不超过x人，由题意得，2+2x+（2+2x）x=288，解得：x1=11，x2=-13，答：每轮传染中平均一个人传染了11个人．故答案为11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解．三、解答题15．某高校有300台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，_________轮感染后机房内所有电脑都被感染．【答案】(1)每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑；(2)5【分析】(1)设每轮感染中平均一台会感染x 台电脑，则第一轮后共有(1+x)台被感染，第二轮后共有(1+x)+x(1+x)即(1+x)2台被感染，利用方程即可求出x 的值即可；(2)结合(1)得出n 轮后共有(1+x)n 台被感染，进而求出即可．【详解】解：(1)每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，第一轮传播过后感染的电脑数为：(1+x )台，第二轮传播过后感染的电脑数为：(1+x )+x (1+x )=(x +1)²台，2(1)16+=x解得3x =或5x =-，其中5x =-舍去，答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑；(2) ∵由(1)可知，n 轮后，有(1+x)n 台电脑被感染，故(1+3)n =4n ，∵n=4时，44=256，n=5时，45=1024，∵256＜301＜1024，故经过5轮后所有电脑都被感染，答：5轮感染后机房内所有电脑都被感染．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键．16．某象棋比赛，每名选手都要与其他选手比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分．有四位观众统计了比赛中全部选手得分总数，分别是2017，2070，2018，2078，经核实，只有一位观众统计准确，则这次比赛的选手共有多少名？【答案】这次比赛的选手共有46名．【分析】全部选手的得分等于一个参赛选手比赛的总局数乘以2分，设比赛的人数是x 则比了12x （x-1）局，根据题意列出方程解答即可．【详解】解：设这次比赛共有x 名选手．由题意可知，无论胜负，每局两名选手得分总和均为2分，x 名选手比赛的总局数为1(1)2x x -， 所以得分总数为(1)x x -．因为x 是正整数，且大于1，所以x ，1x -是两个连续的正整数．不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0，2，6，故得分总数只能是2070， 则1(1)220702x x -⨯=， 解得1246,45x x ==-（舍去）．答：这次比赛的选手共有46名．【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系解决问题．17．为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x 个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x 个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个 人参与了本次活动．（1）x 的值是多少？（2）再经过几轮转发后，参与人数会超过10000人？【答案】（1）10；（2）再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人．【分析】（1）第一轮转发了x 个人，第二轮转发了x 2个人，根据两轮转发共有111人参与列出方程求解即可；（2）根据103=1000，104=10000可得第四轮转发后参与人数会超过10000人，即可得答案．【详解】（1）∵第一轮转发了x 个人，第二轮转发了x 2个人，∴1+x+x 2=111，解得：110x =，211x =-（舍），∴x 的值为10．（2）∵103=1000，104=10000，1+102+103＜10000，∴第四轮转发后参与人数会超过10000人，∴再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数根据两轮总人数为111人建立方程是关键．18．我们知道，“传销”能扰乱一个地区正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的．你了解传销吗？某非法传销组织由头目一人可发展若干数目的下线成员，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后，非法传销组织成员共有421人．问，在每轮发展中平均一个成员发展下线多少人？【答案】在每轮发展中平均一个成员发展下线20人．【分析】设在每轮发展中平均一个成员发展下线x 人，根据一个传销组织头目经过两轮发展后，非法传销组织成员共有421人，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设在每轮发展中平均一个成员发展下线x 人，依题意，有21421x x ++=，解得120x =，221x =-（舍去）．答：在每轮发展中平均一个成员发展下线20人．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．19．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？【答案】(1) 每轮传染中平均一个人传染了10个人;(2) 过三轮后将有1331人受到感染．【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据经过两轮传染后共有121人受到感染，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）将x =10代入（x +1）3中即可求出结论．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：（x +1）2=121解得：x 1=10，x 2=﹣12（不合题意，应舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．（2）当x =10时，（x +1）3=（10+1）3=1331．答：经过三轮后将有1331人受到感染．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24 000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？【答案】(1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌.(2) 经过三轮培植后共有480 000个有益菌. 【分析】（1）设每轮分裂中，平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，则根据题意可得60(1+x)2=24000，求解即可解答；（2）根据（1）可得经过三轮培植后有60×(1+x)3个有益菌，结合x的值即可解答.试题解析：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌【详解】（1）根据题意，得60(1+x)2=24 000.解得x1=19，x2=-21(不合题意，舍去).答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌.（2）经过三轮培植后，得60(1+19)3=60×203=480 000(个).答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌.。
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15．读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－ 3，由题意得10(x－3)＋x＝x2，解得x1＝5，x2＝6.当x＝5时，周瑜 的年龄为25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜的 年龄为36岁，符合题意，则周瑜去世时的年龄为36岁
练习1：(教材P19探究1变式)早期，甲肝流行，传染性很强，曾
有2人同时患上甲肝．在每轮传染中，一人能传染x人，经过两轮传 染后128人患上甲肝，则x的值为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
D
2． 一个两位数 ，个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为 10b ＋a ____________，若交换两个数位上的数字，则得到的新两位数为 10a＋b ____________． 练习2：一个两位数等于它个位数的平方，且个位数比十位数大 3，则这个两位数是( C ) A．25 B．36 C．25或36 D．－25或－36
九年级上册人教版数学
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 用一元二次方程解决传播问题
1．有一人患了流感 ，若平均每人传染x个人，则第一轮后有 x ＋1 x(x＋1)＋x＋1 ______________个人患了流感，第二轮之后共有_______________ 人患了流感．
C．135 D．144
11．一个直角三角形的三边长恰好是三个连续整数，若设较长的 直角边长为 x，则根据题意列出的方程为 x2＋(x－1)2＝(x＋1)2 ______________________________．
12．某剧场共有1050个座位，已知每行的座位数都相同，且每行
的座位数比总行数少17，求每行的座位数． 解：设每行的座位数为x个，由题意得x(x＋17)＝1050，解得x1
8．已知一个两位数比它的个位上的数的平方小6，个位上的数与
十位上的数的和是13，求这个两位数．
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(13－x)，由 题意得10(13－x)＋x＋6＝x2，整理得x2＋9x－136＝0，解得x1＝8， x2＝－17(不合题意，舍去)，∴13－x＝5，则这个两位数是58
知识点 2：握手问题和数字问题 5．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 210 次，设有 x 人参加这次聚会，则依题意可列出方程为 x（x－1） ＝210 2 ____________________ ． 6．两个连续偶数的和为 14，积为 48，则这两个连续偶数是 6和8 __________ ．
9．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条 航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场( C )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21， 22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的 和为( D ) A.32 B．126
则第三轮传染后，患流感人数为___________人． 2662
4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样 数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111，求每个支干长 出多少个小分支． 解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得1＋x＋x2＝111. 解得x1＝10，x2＝－11(舍去)．答：每个支干长出10个小分支
14．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如 果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原
来的数小36，求原来的两位数．
解：设原来两位数的个位数字是x，则[10(x2－2)＋x]－(10x＋ x2－2)＝36，解得x1＝3，x2＝－2(不合题意，舍去)，x2－2＝7.所以 原来的两位数为73
2．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各 赠送一件，全组共互赠了132件，如果全组有x名同学，则根据题意 B 列出的方程是( ) A．x(x＋1)＝132 B．x(x－1)＝132 C．x(x＋1)＝132×2 D．x(x－1)＝132×2
3．开始有两人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感，
知识点 1：倍数传播问题 1．(2017· 安定月考)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其 他同学各送一张表示留念，全班共送 1 980 张照片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为( B ) A．x(x＋1)＝1 980 B．x(x－1)＝1 980 1 C. x(x＋1)＝1 980 2 1 D. x(x－1)＝1 980 2
＝25，x2＝－42(不合题意，舍去)，则每行的座位数是25个
13．有人利用手机发微信，获得信息的人也按他的发送人数发送 该条微信，经过两轮微信的发送，共有56人手机上获得同一条微
信，则每轮一个பைடு நூலகம்要向几个人发送微信？
解：设每轮一个人要向x个人发送微信，由题意得x(x＋1)＝ 56，解得x1＝7，x2＝－8(不合题意，舍去)，则每轮一个人要向7个 人发送微信
16．(阿凡题：1070511)(1)过n边形(n＞3)其中一个顶点的对角线 (n－3) 有____________条；
(2)一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？
(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？ 如果不存在，说明理由．
n（n－3） 解：(2)设这个凸多边形是 n 边形，由题意得 ＝14， 2 解得 n1＝7，n2＝－4(舍去)，则这个多边形是七边形 (3)不存在．理 n（n－3） 由：假设存在 n 边形有 21 条对角线，由题意得 ＝21，解 2 3± 177 3± 177 得 n＝ ， 因为多边形的边数为正整数， 但 不是正整数， 2 2 故不合题意，所以不存在有 21 条对角线的凸多边形
7．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要 签订一份合同，会议结束后统计共签订了 78 份合同，问有多少家 公司出席了这次交易会？
1 解：设有 x 家公司出席了这次交易会，根据题意得 x(x－1)＝ 2 78，解得 x1＝13，x2＝－12(不合题意，舍去)，故有 13 家公司出席 了这次交易会