高中数学必修3第二章 2.3

§2.3变量间的相关关系

学习目标

1.了解变量间的相关关系，会画散点图.

2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系.

3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程.

知识点一 变量间的相关关系 相关关系的定义

变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系. 知识点二 散点图及正、负相关的概念

思考 粮食产量与施肥量间(在一定范围内)的相关关系有什么特点？ 答案 在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高. 梳理 (1)散点图

将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.点(x ，y )叫样本点中心. (2)正相关与负相关

①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域. ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 知识点三 回归直线 回归直线的方程

(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.回归直线过样本点中心. (2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程. (3)最小二乘法：

求线性回归方程y ^

＝b ^

x ＋a ^

时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.

⎩⎪

⎨⎪⎧

b ^

＝∑i ＝1

n

(x i

－x )(y i

－y )∑i ＝1

n

(x i

－x )2

＝∑i ＝1

n

x i y i

－n x y ∑i ＝1

n

x 2i

－n x 2

，a ^

＝y －b ^x ，

其中，b ^

是线性回归方程的斜率，a ^

是线性回归方程在y 轴上的截距.

1.人的身高与年龄之间的关系是相关关系.( × )

2.农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系.( √ )

3.回归直线过样本点中心(x ，y ).( √ )

类型一 变量间相关关系的判断

例1下列两个变量之间是相关关系的是()

A.圆的面积与半径之间的关系

B.球的体积与半径之间的关系

C.角度与它的正弦值之间的关系

D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系

考点变量间的相关关系

题点相关关系的判断

答案 D

解析由题意知A表示圆的面积与半径之间的关系S＝πr2，B表示球的体积与半径之间的，C表示角度与它的正弦值之间的关系y＝sin α，都是确定的函数关系，只有关系V＝4πr3

3

D是相关关系，故选D.

反思与感悟函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.

跟踪训练1下列两个变量间的关系不是函数关系的是()

A.正方体的棱长与体积

B.角的度数与它的正切值

C.单产为常数时，土地面积与粮食总产量

D.日照时间与水稻的单位产量

考点变量间的相关关系

题点相关关系与函数关系的辨析

答案 D

解析函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系.因为A项V＝a3，B项y＝tan α，C项y＝ax(a＞0，且a为常数)，所以这三项均是函数关系.D项是相关关系.

类型二散点图的应用

例25名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：

学生

A B C D E

成绩

数学成绩8075706560

物理成绩7066686462

判断它们是否具有线性相关关系.

考点散点图

题点利用散点图判断两个变量是否有相关关系

解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示.

由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系.

反思与感悟(1)判断两个变量x和y间具有哪种相关关系，最简便的方法是绘制散点图.变量之间可能是线性的，也可能是非线性的(如二次函数)，还可能不相关.

(2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形偏大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.

跟踪训练2下列图形中两个变量具有线性相关关系的是()

考点 散点图

题点 利用散点图判断两个变量是否有相关关系 答案 C

解析 A 是一种函数关系；B 也是一种函数关系；C 中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关；D 中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的. 类型三 回归直线的求解与应用

例3 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x (转/秒) 16

14

12

8

每小时生产有缺点的零件数y (件)

11

9

8

5

(1)画出散点图；

(2)如果y 对x 有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；

(3)在实际生产中，若它们的近似方程为y ＝5170x －6

7，允许每小时生产的产品中有缺点的零

件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？ 考点 回归直线 题点 回归直线的应用 解 (1)散点图如图所示：