第二章 单级平衡过程
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1、 等温闪蒸（Isothermal Flash） 1. 混合物的相态 在进行闪蒸计算时，需判断混合物在指定温度和压力下是否处于两
相区，为此需对进料作如下检验。 = 1 进料处于泡点，
> 1 > 可能为汽液两相区，>0 < 1 < 进料为过冷液体， = 1 进料处于露点，
> 1 < 可能为汽液两相区，<1 < 1 > 进料为过热蒸汽
比较不变 N 调整T（P）
自学例题2-7。
§2-3闪蒸过程的计算（Flash calculation）
平衡蒸馏又称闪蒸是连续、稳态的单级蒸馏过程，该过程使进料混 合物经加热、冷却或降压部分汽化或冷凝得到含易挥发组分较多的蒸汽 和含难挥发组分较多的液体，即一个平衡级过程。在分离流程中常遇到 的部分汽化和冷凝，绝热闪蒸以及部分互溶系统精馏塔顶蒸汽冷凝后的 分层过程均属这类单级分离过程。
思路：设
调整T（P） N
为试差的允许偏差，手算中一般取0.01~0.001。 按初设温度T所求得的值若大于1，表明所设温度偏高，，反之若小 于1，则表明所设温度偏低。这是因为P一定，T升高，k增加。 如何调整T（P）值，为避免盲目性，加速试差过程的收敛可用下 法：
G表示对值影响最大的组分，表示i组分对G组分的相对挥发度，在 一定的温度范围内。
第二章 单级平衡过程
Chapter2 Single stage balance process
单级平衡分离是指两相经一次紧密接触达到平衡后随即引离的过程， 由于平衡两相的组成不同，因而可起到一个平衡级的分离作用。其相平 衡用于阐述混合物分离原理、传质推动力和设计计算。
§2-1汽液相平衡（Vapour-liquid phase equilibrium）
设
比较不变
N
调整T（P）
由于主要受温度影响，且与近似线性关系，故判别收敛判据为： 计算框图见P50图2-5，P53图2-6
参考文献：“极性物系多组分分离泡点计算”，齐鲁石油化工， 91（3），208
P54图2-7给出了状态方程法计算泡点压力的框图。 天然气化工，1995年第1期P52介绍了“一种新的泡点计算方法”该法 使目标函数与自变函数的关系变为单调函数的线性关系,即使目标函数 线性化，从而消除了极值点和拐点。由于形式简单，技术也简单，收敛 非常迅速，一般经过2-4次迭代即可达到收敛精度，且初值范围大。 自学例2-5，2-6。 2、 露点温度和压力的计算（Calculation of temperature and pressure
2、 汽液平衡的分类与计算（Classification and calculation of vapour-
liquid phase equilibrium constant）
1. 汽液平衡的分类
基本关系式：
忽略Poynting因子，
汽相 理想气体的混合 理想的气体混合 真实气体混合物
液相
物
物
理想溶液
③的简化计算：P—T—K图 相平衡常数是温度、压力和汽液组成的函授，无论用状态方程还是 用活度系数模型，其计算工作量都很大，必须借助于计算机辅助计算。 烃类物系在化工中十分重要，其行为接近理想情况，可仅考虑P、T对的 影响，迪普里斯特（Depriester）以BWR方程为基础，经广泛的实验和
理论推算，作出了轻烃类的PTK列线图，见P38图2-1，这些图虽然没有 假设理想溶液这个条件，但在图上所示的有限的压力范围内，组成对K 值的影响很小，仍然把K看成是T、P的函数，平均误差为8-15%。适用 于0.8-1Mpa（绝对压）以下的较低压区域。例2-1，2。
所谓相平衡是指两个或两个以上的相处于平衡状态。“平衡”的意思 是指：在宏观上系统的性质随时间而改变的趋势已达到零。而所 谓“相”，是指任何数量的物质在其所占据的空间内宏观性质是均匀一致 的，没有不连续的地方。一定数量的物质，即使被分割成若干部分，但 只要它们的性质和组成完全一样，则可把它们称为一个“均相”。若有两 个或两个以上的均相，虽然它们互相紧密接触，但它们各自的性质并不 随时间而改变，通常，就用“相平衡“这一词来表达这一状态。
只要知道的数学模型，就可通过组分i的摩尔数ni求偏导数得到的表达 式。 ⑴二元溶液的活度系数
a. Van-Laar Equ.
讨论 1）A的物理意义
2）由
3）当时，此二元系统称对称系统，方程可变为单参数的对称方程： ；
4）当时，为理想体系； 当时，为负偏差非理想体系； 当时，为正偏差非理想体系 A可用来判别实际溶液与理想溶液的偏离度。 b. Margules Equ.
Van Laar方程和Margules方程有悠久的历史，仍有实用价值，特别 是定性分析方面。 优点：数学表达式简单；容易从活度系数数据估计参数；
非理想性强的二元混合物包括部分互溶物系，也经常能得到满意的 结果。 缺点：不能用二元数据正确推断三元系的活度系数。不能用于多元系相
平衡计算。 c. Wilson Equ.
非理想溶 液
2. 汽液平衡常数的计算
1 逸度系数的计算
计算逸度系数可以通过气体状态方程，PVT实验数据，普遍化关系，
可根据情况任选一种，其基本关系为：
⑴纯组分的逸度系数 当,
当,
⑵二元混合物的逸度系数 a. 维里方程
可查图。
用混合规则求，即先求。见P34和化工热力学。 b. RK方程
书中给出了Vdw Equ.的计算，见P30。 2 活度系数的计算 若，称为对拉乌尔定律有正偏差，为负偏差。
b． 迭代方法，Newton-Raphson迭代求解。 目标函数：，求根， 迭代公式：
ห้องสมุดไป่ตู้
泡点计算目标函数：，泡点方程
自学P48例2-4。 Richmond迭代法： ②平衡常数与组成有关的泡点计算
，用于系统非理想性较强时,需计算混合物中i组分逸度系数或活度系 数，而是的函数,是的函数，在或未求得之前无法求得或值，于是计算 时还需对，进行试差,对泡点计算,由于已知，除需送代泡点温度或压力 外，还需对进行试差。
大多数非烃类混合物，都表现为正偏差，少数由于有缔合现象或属 于电解质溶液，能发生负偏差。一般可以液相中分子间的作用力来估计 偏差的正负。
目前，还不能完满地定量计算活度系数，对于双组分系统，主要通 过实验测定，也可采用某些公式计算，对于三组分或更多组分的非理想 溶液，实验数据很少，活度系数主要用公式估算。
或 2. 相平衡常数
1 定义 工程中常用相平衡常数来表示相平衡关系 表示了i组分在平衡的汽液两相中的分配情况，俗称分配系数。 ②的计算方法 ⑴状态方程法 只要给出组分i的汽液两相的分逸度系数，即可求出，而已知则可 由求与之相平衡的。 和均可用状态方程来计算，但该状态方程必须同时适用于汽液两 相，常见的有SRK、PR和BWR方程，此法适用于中压下，液相非理想 性不是很强的烃类系统。 ⑵活度系数法 用于只能计算的状态方程，如维里方程，RK方程，而则由活度系 数模型来计算。该法用于压力不高，液相非理想性强的系统。
亦即对各次试差： m为试差序号，为使第m次试差时 由该便可以从K图读出第m次试差时应假设的温度值，按上述方法 通常经过2-3次试算便可求得解。 对压力的迭代还可采用下面的方式： ，此式可自动调整压力P。 P47例2-3。 ⑵计算机计算 a． Hayden提出适合于烃类的经验方程。 常见物质的的数据可查表，见“多元汽液平衡与精馏”。
e. UNIFAC 基团贡献法正规溶液 ⑵三元溶液的活度系数
a. Margules Equ.
为有关的双组分溶液之端值常数，可查阅手册，顺序轮回替换下 标，用2代1，用3代2，1代3，便可求及。
b. Wilson Equ. 只需查出有关三个二元溶液的威尔逊参数，计算结果较好，虽较繁 复，随着计算机的使用，目前应用较多。 c.NRTL及UNIFAC法
§2-2 多组分物系的泡点和露点计算（Calculation about bubble-point and dew-point of multicomponent system）
泡点温度（压力）是在恒压（温）下加热液体混合物，当液体混合 物开始汽化出现第一个气泡时的温度（压力），简称泡点。
露点温度（压力）是在恒压（温）下冷却气体混合物，当气体混合 物开始冷凝出现第一个液滴时的温度（压力），简称露点。
根据泡、露点的概念，精馏塔塔顶温度即为对应塔顶汽相组成的露 点，塔釜温度即为对应塔釜液相组成的泡点。由于气体中出现的露点液 和液体中出现的泡点气泡，其物质量仅为原混合物的极为微小部分，因 而物系形成了第一个液滴和第一个气泡后，原有物系组成并未改变。在 露点和泡点下均会出现汽液两相，可以通过泡点、露点的计算，了解在 该温度下的汽液平衡组成。
设温度偏低。达到允许误差时，所设温度即为所求的露点。
调整T或P： 同理对露点压力计算的迭代式为：
露点计算时：液相非理想性强的物系因x未知，ki在迭代过程中变化 较大，计算中增加一层ki的迭代将更迫切。
⑵计算机计算
露点方程：，
或 收敛速度快。
②平衡常数与组成有关的露点计算 求算露点，由于已知，则需迭代露点温度或压力外，还需对进行试 差。 设
计算时，所指定的温度应在泡露点温度之间，这样才会出现汽液两 相，否则只会是单相不必进行等温闪蒸的计算。若< 1，所指定的温度 高于露点温度。若< 1，所指定的温度低于泡点温度。则所指定的温度 下不可能实现闪蒸。
只有> 1和< 1时，混合物始处于汽液两相区（0<<1），需要进行等 温闪蒸的计算。
此外可分别用泡露点方程计算闪蒸压力下的泡露点温度，若>>，则 闪蒸成立。
2. 等温闪蒸过程 气体混合物的部分冷暖和液体混合物的部分汽化如图所示，两类计
1、 泡点温度和压力的计算（Calculation of temperature and pressure at bubble-point）
1. 泡点计算与有关方程 已知，求 即只要给定C个变量，整个系统就规定了，可以利用相平衡关系计 算。
1 相平衡关系： 2 浓度总和式： 3 相平衡常数关联式：
给定P（或T）和C-1个xi，则上述方程有唯一解。 2. 计算方法 1 平衡常数与组成无关的泡点计算 a.PTK列线图； b. ⑴手算
注意：1）当时，；当时， 2）当时，为理想体系； 当时，为负偏差非理想体系；当时，为正偏差非理想体系； λ可用来判别实际溶液与理想溶液的偏离度。 3），但 该方程考虑了T、P的影响，汽液平衡计算有较高的精度；适用范围 很广，不能用于液液平衡的计算，不能用于部分互溶系统。
d. NRTL方程和UNIQUAC方程 根据局部摩尔分率的概念建立的。NRTL方程能进行汽液平衡和液液 平衡的计算；但方程中每对二元系多了第三参数α12；Uniquac方程有 NRTL的优点，但数学表达式最复杂；适用于分子大小相差悬殊的混合 物。
a. 可凝性组分基准态逸度 当 时，， 即纯液体i在T、P下的逸度等于饱和蒸汽压乘以两个校正系数，为 校正处于饱和蒸汽压对理想气体的偏差，指数校正（Poynting）因子是 校正压力偏离饱和蒸汽压的影响。
b. 不凝性组分基准态逸度 当时，， 或亨利定律： ③与的关系 相对挥发度的定义是i，j两组分的相平衡常数之比。 固有分离因子： 若，表示汽液两相中i、j两组分的浓度之比相等，因此不能用一般的 精馏来分离，值越大，两相平衡后的比值
at dew –point） 1.露点计算与有关方程
已知，求 ①相平衡关系：
②浓度总和式： ③相平衡常数关联式： 2.计算方法 1 平衡常数与组成无关的泡点计算 ⑴手算
思路：设
调整T（P） N
为试差的允许偏差，手算中一般取0.01-0.001。
按初设温度T所求得的，表明所设温度偏高，，反之若 ，则表明所
对于双组分系统温度—压力—组成的平衡关系，常常利用实验来测 得，而多组分系统的相平衡关系用实验方法来测定就比较复杂。随着相 平衡理论研究的深入，对双组分和多组分系统的汽液相平衡已建立了一 些定量的关系式，利用这些关系式，它只需用少量的双组分的实验数 据，这就大大地减轻了实验工作量。
1、 汽液相平衡关系（Vapour-liquid phase equilibrium） 1. 基本关系式 相平衡条件：组分i在汽液两相中的化学位相等， 也可表示为组分i在汽液两相中的逸度相等，
相区，为此需对进料作如下检验。 = 1 进料处于泡点，
> 1 > 可能为汽液两相区，>0 < 1 < 进料为过冷液体， = 1 进料处于露点，
> 1 < 可能为汽液两相区，<1 < 1 > 进料为过热蒸汽
比较不变 N 调整T（P）
自学例题2-7。
§2-3闪蒸过程的计算（Flash calculation）
平衡蒸馏又称闪蒸是连续、稳态的单级蒸馏过程，该过程使进料混 合物经加热、冷却或降压部分汽化或冷凝得到含易挥发组分较多的蒸汽 和含难挥发组分较多的液体，即一个平衡级过程。在分离流程中常遇到 的部分汽化和冷凝，绝热闪蒸以及部分互溶系统精馏塔顶蒸汽冷凝后的 分层过程均属这类单级分离过程。
思路：设
调整T（P） N
为试差的允许偏差，手算中一般取0.01~0.001。 按初设温度T所求得的值若大于1，表明所设温度偏高，，反之若小 于1，则表明所设温度偏低。这是因为P一定，T升高，k增加。 如何调整T（P）值，为避免盲目性，加速试差过程的收敛可用下 法：
G表示对值影响最大的组分，表示i组分对G组分的相对挥发度，在 一定的温度范围内。
第二章 单级平衡过程
Chapter2 Single stage balance process
单级平衡分离是指两相经一次紧密接触达到平衡后随即引离的过程， 由于平衡两相的组成不同，因而可起到一个平衡级的分离作用。其相平 衡用于阐述混合物分离原理、传质推动力和设计计算。
§2-1汽液相平衡（Vapour-liquid phase equilibrium）
设
比较不变
N
调整T（P）
由于主要受温度影响，且与近似线性关系，故判别收敛判据为： 计算框图见P50图2-5，P53图2-6
参考文献：“极性物系多组分分离泡点计算”，齐鲁石油化工， 91（3），208
P54图2-7给出了状态方程法计算泡点压力的框图。 天然气化工，1995年第1期P52介绍了“一种新的泡点计算方法”该法 使目标函数与自变函数的关系变为单调函数的线性关系,即使目标函数 线性化，从而消除了极值点和拐点。由于形式简单，技术也简单，收敛 非常迅速，一般经过2-4次迭代即可达到收敛精度，且初值范围大。 自学例2-5，2-6。 2、 露点温度和压力的计算（Calculation of temperature and pressure
2、 汽液平衡的分类与计算（Classification and calculation of vapour-
liquid phase equilibrium constant）
1. 汽液平衡的分类
基本关系式：
忽略Poynting因子，
汽相 理想气体的混合 理想的气体混合 真实气体混合物
液相
物
物
理想溶液
③的简化计算：P—T—K图 相平衡常数是温度、压力和汽液组成的函授，无论用状态方程还是 用活度系数模型，其计算工作量都很大，必须借助于计算机辅助计算。 烃类物系在化工中十分重要，其行为接近理想情况，可仅考虑P、T对的 影响，迪普里斯特（Depriester）以BWR方程为基础，经广泛的实验和
理论推算，作出了轻烃类的PTK列线图，见P38图2-1，这些图虽然没有 假设理想溶液这个条件，但在图上所示的有限的压力范围内，组成对K 值的影响很小，仍然把K看成是T、P的函数，平均误差为8-15%。适用 于0.8-1Mpa（绝对压）以下的较低压区域。例2-1，2。
所谓相平衡是指两个或两个以上的相处于平衡状态。“平衡”的意思 是指：在宏观上系统的性质随时间而改变的趋势已达到零。而所 谓“相”，是指任何数量的物质在其所占据的空间内宏观性质是均匀一致 的，没有不连续的地方。一定数量的物质，即使被分割成若干部分，但 只要它们的性质和组成完全一样，则可把它们称为一个“均相”。若有两 个或两个以上的均相，虽然它们互相紧密接触，但它们各自的性质并不 随时间而改变，通常，就用“相平衡“这一词来表达这一状态。
只要知道的数学模型，就可通过组分i的摩尔数ni求偏导数得到的表达 式。 ⑴二元溶液的活度系数
a. Van-Laar Equ.
讨论 1）A的物理意义
2）由
3）当时，此二元系统称对称系统，方程可变为单参数的对称方程： ；
4）当时，为理想体系； 当时，为负偏差非理想体系； 当时，为正偏差非理想体系 A可用来判别实际溶液与理想溶液的偏离度。 b. Margules Equ.
Van Laar方程和Margules方程有悠久的历史，仍有实用价值，特别 是定性分析方面。 优点：数学表达式简单；容易从活度系数数据估计参数；
非理想性强的二元混合物包括部分互溶物系，也经常能得到满意的 结果。 缺点：不能用二元数据正确推断三元系的活度系数。不能用于多元系相
平衡计算。 c. Wilson Equ.
非理想溶 液
2. 汽液平衡常数的计算
1 逸度系数的计算
计算逸度系数可以通过气体状态方程，PVT实验数据，普遍化关系，
可根据情况任选一种，其基本关系为：
⑴纯组分的逸度系数 当,
当,
⑵二元混合物的逸度系数 a. 维里方程
可查图。
用混合规则求，即先求。见P34和化工热力学。 b. RK方程
书中给出了Vdw Equ.的计算，见P30。 2 活度系数的计算 若，称为对拉乌尔定律有正偏差，为负偏差。
b． 迭代方法，Newton-Raphson迭代求解。 目标函数：，求根， 迭代公式：
ห้องสมุดไป่ตู้
泡点计算目标函数：，泡点方程
自学P48例2-4。 Richmond迭代法： ②平衡常数与组成有关的泡点计算
，用于系统非理想性较强时,需计算混合物中i组分逸度系数或活度系 数，而是的函数,是的函数，在或未求得之前无法求得或值，于是计算 时还需对，进行试差,对泡点计算,由于已知，除需送代泡点温度或压力 外，还需对进行试差。
大多数非烃类混合物，都表现为正偏差，少数由于有缔合现象或属 于电解质溶液，能发生负偏差。一般可以液相中分子间的作用力来估计 偏差的正负。
目前，还不能完满地定量计算活度系数，对于双组分系统，主要通 过实验测定，也可采用某些公式计算，对于三组分或更多组分的非理想 溶液，实验数据很少，活度系数主要用公式估算。
或 2. 相平衡常数
1 定义 工程中常用相平衡常数来表示相平衡关系 表示了i组分在平衡的汽液两相中的分配情况，俗称分配系数。 ②的计算方法 ⑴状态方程法 只要给出组分i的汽液两相的分逸度系数，即可求出，而已知则可 由求与之相平衡的。 和均可用状态方程来计算，但该状态方程必须同时适用于汽液两 相，常见的有SRK、PR和BWR方程，此法适用于中压下，液相非理想 性不是很强的烃类系统。 ⑵活度系数法 用于只能计算的状态方程，如维里方程，RK方程，而则由活度系 数模型来计算。该法用于压力不高，液相非理想性强的系统。
亦即对各次试差： m为试差序号，为使第m次试差时 由该便可以从K图读出第m次试差时应假设的温度值，按上述方法 通常经过2-3次试算便可求得解。 对压力的迭代还可采用下面的方式： ，此式可自动调整压力P。 P47例2-3。 ⑵计算机计算 a． Hayden提出适合于烃类的经验方程。 常见物质的的数据可查表，见“多元汽液平衡与精馏”。
e. UNIFAC 基团贡献法正规溶液 ⑵三元溶液的活度系数
a. Margules Equ.
为有关的双组分溶液之端值常数，可查阅手册，顺序轮回替换下 标，用2代1，用3代2，1代3，便可求及。
b. Wilson Equ. 只需查出有关三个二元溶液的威尔逊参数，计算结果较好，虽较繁 复，随着计算机的使用，目前应用较多。 c.NRTL及UNIFAC法
§2-2 多组分物系的泡点和露点计算（Calculation about bubble-point and dew-point of multicomponent system）
泡点温度（压力）是在恒压（温）下加热液体混合物，当液体混合 物开始汽化出现第一个气泡时的温度（压力），简称泡点。
露点温度（压力）是在恒压（温）下冷却气体混合物，当气体混合 物开始冷凝出现第一个液滴时的温度（压力），简称露点。
根据泡、露点的概念，精馏塔塔顶温度即为对应塔顶汽相组成的露 点，塔釜温度即为对应塔釜液相组成的泡点。由于气体中出现的露点液 和液体中出现的泡点气泡，其物质量仅为原混合物的极为微小部分，因 而物系形成了第一个液滴和第一个气泡后，原有物系组成并未改变。在 露点和泡点下均会出现汽液两相，可以通过泡点、露点的计算，了解在 该温度下的汽液平衡组成。
设温度偏低。达到允许误差时，所设温度即为所求的露点。
调整T或P： 同理对露点压力计算的迭代式为：
露点计算时：液相非理想性强的物系因x未知，ki在迭代过程中变化 较大，计算中增加一层ki的迭代将更迫切。
⑵计算机计算
露点方程：，
或 收敛速度快。
②平衡常数与组成有关的露点计算 求算露点，由于已知，则需迭代露点温度或压力外，还需对进行试 差。 设
计算时，所指定的温度应在泡露点温度之间，这样才会出现汽液两 相，否则只会是单相不必进行等温闪蒸的计算。若< 1，所指定的温度 高于露点温度。若< 1，所指定的温度低于泡点温度。则所指定的温度 下不可能实现闪蒸。
只有> 1和< 1时，混合物始处于汽液两相区（0<<1），需要进行等 温闪蒸的计算。
此外可分别用泡露点方程计算闪蒸压力下的泡露点温度，若>>，则 闪蒸成立。
2. 等温闪蒸过程 气体混合物的部分冷暖和液体混合物的部分汽化如图所示，两类计
1、 泡点温度和压力的计算（Calculation of temperature and pressure at bubble-point）
1. 泡点计算与有关方程 已知，求 即只要给定C个变量，整个系统就规定了，可以利用相平衡关系计 算。
1 相平衡关系： 2 浓度总和式： 3 相平衡常数关联式：
给定P（或T）和C-1个xi，则上述方程有唯一解。 2. 计算方法 1 平衡常数与组成无关的泡点计算 a.PTK列线图； b. ⑴手算
注意：1）当时，；当时， 2）当时，为理想体系； 当时，为负偏差非理想体系；当时，为正偏差非理想体系； λ可用来判别实际溶液与理想溶液的偏离度。 3），但 该方程考虑了T、P的影响，汽液平衡计算有较高的精度；适用范围 很广，不能用于液液平衡的计算，不能用于部分互溶系统。
d. NRTL方程和UNIQUAC方程 根据局部摩尔分率的概念建立的。NRTL方程能进行汽液平衡和液液 平衡的计算；但方程中每对二元系多了第三参数α12；Uniquac方程有 NRTL的优点，但数学表达式最复杂；适用于分子大小相差悬殊的混合 物。
a. 可凝性组分基准态逸度 当 时，， 即纯液体i在T、P下的逸度等于饱和蒸汽压乘以两个校正系数，为 校正处于饱和蒸汽压对理想气体的偏差，指数校正（Poynting）因子是 校正压力偏离饱和蒸汽压的影响。
b. 不凝性组分基准态逸度 当时，， 或亨利定律： ③与的关系 相对挥发度的定义是i，j两组分的相平衡常数之比。 固有分离因子： 若，表示汽液两相中i、j两组分的浓度之比相等，因此不能用一般的 精馏来分离，值越大，两相平衡后的比值
at dew –point） 1.露点计算与有关方程
已知，求 ①相平衡关系：
②浓度总和式： ③相平衡常数关联式： 2.计算方法 1 平衡常数与组成无关的泡点计算 ⑴手算
思路：设
调整T（P） N
为试差的允许偏差，手算中一般取0.01-0.001。
按初设温度T所求得的，表明所设温度偏高，，反之若 ，则表明所
对于双组分系统温度—压力—组成的平衡关系，常常利用实验来测 得，而多组分系统的相平衡关系用实验方法来测定就比较复杂。随着相 平衡理论研究的深入，对双组分和多组分系统的汽液相平衡已建立了一 些定量的关系式，利用这些关系式，它只需用少量的双组分的实验数 据，这就大大地减轻了实验工作量。
1、 汽液相平衡关系（Vapour-liquid phase equilibrium） 1. 基本关系式 相平衡条件：组分i在汽液两相中的化学位相等， 也可表示为组分i在汽液两相中的逸度相等，