第五章机械波B

即：
y
其中，T 是绳的张力， 为绳的线密度。
2 1 T1 x x+dx
T2
x
如果绳在振动过程中还受到横向外力F作用，设横向 力的力密度为f(x,t)，
则在受迫振动情况下横波的波动方程为
(2) 杆中纵波方程 设杆的质量密度为 ，杨氏模量为Y，横截面积为S， t 时刻dx微元两端点偏离平衡位置的距离分别为 u(x,t) 和 u(x+dx,t)，那么，微元伸长量为
波传播方向
·
·
R1
· · o · · ··
R2
u t 平面波
（波的重要特征） 2 波的衍射 波传播过程中当遇到障碍物时,能绕过障碍物的 边缘而传播的现象。
水 波 的 衍 射
媒质中波动传播到的各点,都可以看作是发射子波的波 源；其后任一时刻 ,这些子波的包迹就是新的波阵面。 利用惠更斯原理作图可说明衍射现象的产生：
(5)简正模式 简正模式：各种允许频率所对应的工作模式 本征频率：简正模式中的分离频率 基频：简正模式中的最低频率
案例分析：两端固定绳中的稳定波
(驻波)
驻波条件
有
n=1,2,…
n=1,2,…
两端固定弦的振动模式
(6)半波反射与全波反射 波阻抗: 机械波在介质中传播至振元A时，振元A会0 受到来自下方介质的阻力，这种阻碍振元振动的参量 称为波阻抗.
8 7 6 5 4 3
令表示介质密度， 表示波的传播速度，波阻抗表为
Z
itle isT x YA
y 2
1
v
A
Z较大的媒质称为波密媒质； Z较小的媒质称为波疏媒质.
0 -1 -2 0 2 4 6 8 1 0
x
1 2
波阻抗
XA x isT itle
Z
设入射波振动的位移为yi，反射波振动的位移为yr，透 射波的振动位移为yt，理论计算表明，它们之间存在 如下关系
Standing wave
相干波, 振幅相等, 在同一直线上反向传播。 u u
相干条件 特点：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作 两波源具有相同的频率 稳定的振动。 具有恒定的相位差 振动方向相同
驻波的形成: 设有两列相干波，分别沿X 轴正、负方向传播，选初 相位均为零的表达式为：
其合成波:
步骤：
取微元对象受力分析列动力学方程取近似得 微分方程
例题5.8 证明电磁场在空间的传播是电磁波。 证明：由麦克斯韦方程组的微分形式：
真空中，无自由电荷
（1）式两边同时取旋度：
代入（3）式，得：
利用公式
并利用麦氏方程（2），得：
得：
这是一个三维的波动方程。对一维情况，
于是电磁场在空中可以形成电磁波。电磁波在真空 中的传播速度为
势能最大时,动能最小;动能最大时,势能最小。 但系统的 总机械能守恒。
(4)能量密度(单位体积中波的能量)
平均能量密度：
总结
机械波的能量传输特性
A 关于能量守恒 • 机械波能量、能量密度是时间的函数，不是守恒量；
• 机械波在一个周期内的平均动能、势能和总能量守恒；
• 机械波能够向外传输； B 关于能量传输特性 • 机械波能量密度传输速度仍为u，但频率是机械波频率的2 倍； • 介质微元的动能、势能和能量密度同步传输；
§5.2 平面波的动力学方程 典型波动的动力学方程 (1) 轻质、柔弦的横波方程 小横振动
y
x
x+dx
y 1 T1 x x+dx 2
x
T2
x
由牛顿定律有 小横振动：
（1） （2）
由（2）：
（1）式可写为：
y 1 T1 x
2
T2
x+dx
x
2 y 2 y dy dy dy dy 2 y dx dx T ( T( )) T 2 dx 2 t 2 dx x x t dx dx x x dx x dx x
矢量
波强
单位时间内通过垂直于波速方向的单位面积的平均 能量
课堂思考：为什么平面简谐波振幅不变？
例题5-10 求一简谐振动的点波源在均匀无吸收介质中 的波方程。设在离波源R1处的质点的振幅为A1。
解：平面简谐波： 以波源为圆心作另一同心圆，通过两面的能流相等:
r
而 有： 由此求得任意质点振幅：
O R1
胡克定律
u2 = Y/
2 x 2 2 2 dm A sin cos t
2
1 Ek ( x , t ) dmv 2 ( x , t ) 2dm 2 A2 (cos 2πx sin t )2 2
• 能量变化频率为振动频率的两倍； • 给定空间质点的总能量不守恒；驻波不定向传输能量。
以弹簧纵驻波为例定量讨论驻波能量时空分布： 动能：
1 Ek ( x , t ) dmv 2 ( x , t ) 2dm 2 A2 (cos 2πx sin t )2 2
势能：
推导 ： u
dx o o y y+dy
dy为体积元的伸长量 k为棒的劲度系数1sa
x x
由杨氏弹性模量定义式：
§5.5 波的干涉 驻波
1 波的叠加原理 在相遇区域内，任一点的振动为各个波单独在该点 产生的振动位移的矢量和。 两列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特性 （频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原 来的方向继续前进，好像没有遇到其它波一样。 适用条件：波强较小
2 波的干涉 波相遇时的一种特殊现象
振幅为零的点称为波节
波腹：
即
波节：
即
容易算出，相邻的两个波节(或波幅)之间的距离是 /2 实验中测量波长的一种常用的方法。
(3)驻波中的位相
各点相位均为
各点相位均为
各点，相位均为 各点，相位均为
如：
是波节，
内， 内，
在相邻的两波节间，各点的振动位相相同；而 在波节两旁，各点的振动位相相反。 因此,驻波实际上就是分段振动着的, 没有振动状态或 相位的传播。这是驻波中“驻”字的又一层意思。
u2 = Y/
质元dm的总能:
讨论
(1)任意时刻,质元的动能和势能都相等。
能量极小
极大
Fra Baidu bibliotek
(2) 微元的总能量随时间作周期性的变化。微元 的动能、势能、总机械能步调一致。
(3) 微元机械能不守恒
若x一定, 这正表明机械波是要向外传播能量的。
这一点，刚好与简谐振动机械能守恒相反。
简谐振动的能量
=恒量
二.波的能流密度(波强)
1 能流: 单位时间内，通过垂直于波动传播方向的 某一面积的能量。 设波速为 u，在 的能量: 时间内通过垂直于波速截面
为截面所在位置的能量密度 能流： 平均能流: u△ t
△S
2 能流密度: 通过垂直于波动传播方向的单位面积的 能流。
平均能流密度: 通过垂直于波动传播方向的单位面积 的平均能流，通常称为能流密度或波强。
§5.4惠更斯原理
波的衍射
Huygens' principle
1 惠更斯原理
媒质中波动传播到的各点 , 都可以看作是发射子波的 波源； 其后任一时刻,这些子波的包迹就是新的波阵面。
作用：
t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
应用：
球面波
··
·
t 时刻波面
· · · · ·
t+t时刻波面
例题5-11 相干波源S1超前S2
, A1=A2=0.2m, 频率
w =100Hz, r1=4m, r2=3.75m,两种媒质中的波速分别为 u1=400m/s, u2=500m/s， 求两媒质界面上p点的合振幅。
解： s1 u1 u2 s2 两波到达p点的位相差: r1 p r2 =0
=A1+A2 =0.4m
反射定律
t=t1 时，波线1 到达 A点，波线4 到达 B点 t=t2 时，波线4 到达 C点.
AC为公共边
AD BC
ADC ABC 900
BAC DCA
全等
BAC DCA i = DCA
i = BAC
i i
b
折射定律
设波在两种介质中的传输速度分别为 v1、 v2 t=t1 时，波线a 到达 A点，波线b 到达 B点 t=t2 时，波线a 到达 D点，波线b 到达 C点
以细杆中的纵波为例： u
dx
o
x 小体元： dV=dxdS dm=dV
x
动能：
势能：体积元因形变而具有弹性势能
dy为体积元的伸长量 k为棒的劲度系数 dx y+dy x x
u
o
o
y
可证：
推导 ： u
dx o o y y+dy
dy为体积元的伸长量 k为棒的劲度系数
x x
由杨氏弹性模量定义式：
胡克定律
在相遇区域会出现有些地方的振动始终加强， 而另一些的振动始终减弱的稳定分布的现象。 相干条件 两波源具有相同的频率
具有恒定的相位差
振动方向相同
相干波源：满足相干条件的波源
定量计算
S1: y10=A1cos( t+1)
p r1
s1
S2: y20=A2cos( t+2)
它们单独在P点引起的振动分别为：
(4)驻波中的能量 1 最大位移时 主要体现为波节的势能 Ek=0 Ep：波腹处势能为零，波节处势能最大。
2 平衡位置时 Ek：波腹处动能最大，波节处动能为零。 Ep=0， 主要体现为波腹的动能
1→2 Ek↑ Ep↓
波腹 0→max，波节0→0 波腹 0→0，波节max→0
从整个过程来看 , 动能和势能在相邻的波 腹、波节间来回转移。因此，驻波是不传播能 量的。这是驻波中“驻”字的再一层意思。
AD v2 ( t 2 t1 ) v2 t
v1
a i A i
B
C

D v2

ACD
AD AC sin
BC v1 ( t 2 t1 ) v1t
2 t AC sin
BAC i
BC AC sin i
1t AC sin i
Z1 Z 2 yr yi Z1 Z 2 2 Z1 yt yi Z1 Z 2
介质 1 v v
介质 2
机械波的反射与透射
驻波的表达式：
此式表明，当驻波形成时，弦线上各点作振幅为 、角频为 （等于原来波的角频率）
的简谐振动。
无波形的跑动现象（即非行波）
讨论
(1)驻波方程实际上是一个振动方程，只不过各 点的振幅随坐标x的不同而变化。 整体上看，驻波的波形驻定在原地起伏变化而 不传播, 这是驻波中“驻”字的意思。
(2)波腹和波节位置 振幅最大的点称为波腹
例5-12 图为声音干涉仪。S为声源，D为人耳，B可以 上下滑动。现当B在某一位置时，听到的声音为最小 值，强度100单位；往下移动1.65cm时声音逐渐增强 为最大，强度900单位。求1）声源频率，2）抵达人 耳的两波的相对振幅（设声速330m/s。） 解：
3 驻 波 （干涉的特例 ） 形成条件：
x A B u A x+dx C u+du B C x
微元伸长量与原长之比称为相对 伸长量：
由牛顿第二定律，微元满足的动力 学方程为
x A u A B
x+dx C u+du B C
x
化简得
其中 小横振动
波动动力学方程：
这就是波的动力学方程，称为波动方程。u等于波的波速.
任何物理量φ满足上式,则以波动形式传播。
r2
s2
S1 p: S2 p: P点的合振动为 y =y1+y2 =Acos( t+) (同方向同频率谐振动的合成)
P点的合振动为 y =y1+y2=Acos( t+) 式中: 式中
合振动的强度:
干涉后波的强弱取决于两列波的相位差：

, A=A1+A2 , (k=0, ±1, ± 2……) 加强(相干相长) , A=|A1-A2| , 减弱(相干相消)

特例：
波程差

, A=A1+A2 , 加强(相干相长)， , A=|A1-A2| , 减弱(相干相消)， p r1 加强 s1 r2 减弱 s2

1、相长相消的“位相差”条件
小结
k=0，1， 2…... 2、相长相消的“波程差”条件 前提： 相干波源的初位相相同。
k=0，1， 2…...

衍射明显与否：缝宽的大小与波长的关系有关 缝宽比波长大的多，衍射不明显； 缝宽与波长差不多，衍射比较明显； 缝宽小于波长，衍射更明显。
3 波的反射与折射 反射定律
1 2
3
4
t=t1 时，波线1 到达 A点，波线4 到达 B点 t=t2 时，波线4 到达 C点.
1 2
3
4 B D
A
C
1 2
3
4
波动动力学方程求解
在无界空间中，动力学方程的解为
验证： 对时间求二次偏导，得：
再对位置求二次偏导，得：
对比以上两个方程，得：
-----波的动力学方程.
§5.3 波动的能量和能流 一.波的能量 波动过程： 振动状态的传播(相位)
能量的传播 传播过程中,媒质中的质点由不动到动，具有动能, 介质形变具有势能.