数值分析 - 第7章数据拟合与函数逼近

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拟合与逼近超定方程组的最小二乘解多项式拟合非线性曲线转化为线性

y p2 ( x) 13.454 3.657 x 0.272 x 2
3.非线性曲线转化为线性: 有些非线性曲线可以转化为线性,从而用线性拟合进行处理, x 比如： y e ln y ln x
令Y ln y, A ln Y A x
1 1 1
x0 x1 xm
2 x0 2 x1

4

2 xm
n x0 a0 y0 n x1 a1 y1 n y xm an m
第七章
数据拟合与函数逼近拟合与逼近
7.1
本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函数的问题.上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似标准是在插值点处误差为零.但在实际应用中,有时不要求具体某些点误差为零,而要求考虑整体的误差限制,这就引出了拟合和逼近的概念.
7.1.1
数据拟合
对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况.若将每个点都当作插值节点,则插值函数是一个次数很高的多项式,比较复杂.而且由于龙格振荡现象,这个高次的插值多项式可能并不接近原函数.同时由于数表中的点一般是由观察测量所得,往往带有随机误差,要求近似函数过所有的点既不现实也不必要. 1 结束
x y
3 5
5 2
6 1
8 2
10 4
7
结束
解
5 4 3 2
y
首先作平面散点图如下：
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
从图中观察,这5个点大致在一条抛物线的附近,可考虑用二次多项式 p2 ( x) a0 a1 x a2 x 2 进行拟合。

逼近和拟合专题教育课件

则在[a,b]上g( x) 0；
就称( x)为[a,b]上的权函数.
例2 设f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数 ,则可
定义内积
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx. 1,( f , g) ab f (x)g(x)dx.
容易验证内积定义中的四个性质，并导出范数
项式正交.
（4）有递推关系
pn1( x) ( x n ) pn( x) n pn1( x), n 0,1,, (2.4)
其中 p0( x) 1，p1( x) 0，
n ( xpn , pn ) /( pn , pn ), n ( pn , pn ) /( pn1, pn1)，n 1,2,,
称为Gram矩阵，则G非奇异的充要条件是 u1, u2,, un线性
无关.
证明：1) G非奇异以G为系数矩阵的齐次线性方程组
n
n
( ju j , uk ) (u j , uk ) j 0,
j1
j1
只有零解。
k 1,,n.
n
n
n
2) juj 0 ( juj , juj ) 0
有限维空间 vs 无限维空间.
Rn, C[a,b],
定理 1(维尔斯特拉斯 ) 如果f ( x) C[a,b], 那么 0,
多项式p( x),使得
| f ( x) p( x) | , 对于一切a x b.
伯恩斯坦(1912)给出一种构造性证明：伯恩斯坦多项式
Bn (
f
,
x)
n
k0
f
(n ,n )
根据定理 3，0,,n线性无关 det(G) 0.
§2 正交多项式

数值分析函数逼近与曲线拟合省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件优选全文优选全文优选全文

用正交函数做最佳平方逼近(返回)
最佳平方逼近多项式(例题)
最佳平方逼近多项式例题(返回)
线性模型例题(返回)
线性模型图例(返回)
指数模型例题(返回)
指数模型图例(返回)
双曲模型图例(返回)
S-曲线模型图例(返回)
§3.6最佳平方三角逼近与FFT(返回)
最佳平方三角逼近三角二乘拟合及插值离散傅立叶变换迅速傅立叶变换(FFT)
最佳平方三角逼近(返回)
离散傅立叶变换(返回)
迅速傅立叶变换(FFT)(返回)
§3.7 有理逼近(返回)
有理逼近及其计算用Taylor展式求连分式帕德(Padé)逼近
有理逼近及其计算(返回)
用Taylor展式求连分式(返回)
帕德(Padé)逼近(例题)
Padé逼近例题(继续)
Padé逼近例题
TT11
T2
偏差与偏差点(返回)
最佳一致逼近多项式(返回)
切比雪夫定理(返回)
最佳一致逼近多项式旳构造(例题)
切比雪夫多项式与零旳偏差(定理)
最佳一致逼近例题(继续)
最佳一致逼近例题(返回)
最佳一次逼近多项式(例题)
最佳一次逼近多项式图示(返回)
y
f (x)
P1 ( x)
E1
a
Chebyshev多项式(性质)
Chebyshev多项式性质
Chebyshev多项式与幂基旳转换(返回)
其他正交多项式(返回)
Weierstrass定理图示(定理)
N=2150
Legendre多项式图示(返回)
P0
PP3
P1 P2
Chebyshev多项式图示(返回)

工科研究生“数值分析”课程教学大纲及教学日历

工科研究生“数值分析”课程的教学大纲序号：课程编号：课程名称：数值分析/ Numerical Analysis学时：40 学分： 2.5责任教师：王开荣，何光辉，董海云，李东，温罗生适用专业：工科研究生各专业先修课程：高等数学、线性代数课程教材：《应用数值分析》，王开荣，杨大地，高等教育出版社，2010年7月参考教材：1. 关治, 陆金甫，《数值方法》清华大学出版社，2006.2.2. Numerical Analysis Using MATLAB,Fourth Edition,电子工业出版社(影印版)，2005年7月。

一、课程的性质、目的和任务学习数值分析课程能培养学生运用数学的方法和借助计算机解决工程计算问题的能力。

其任务是通过近似计算，使得许多难以求解的数学问题得以简化、可行。

并得到满足误差要求的近似解。

本课程的目的和任务是使工科研究生掌握工程应用中的数值计算方法，为具有不同工程背景的学生能运用这些近似计算方法处理在工程技术及其科学研究中出现的计算问题奠定坚实的基础。

通过学习要求学生能正确理解数值分析的所有的概念和算法，掌握算法的构造思想及其基本算法的步骤。

能应用工具软件Matlab独立完成常用的算法的编程及数值计算。

通过典型的数值算例验证所编程序的正确性，并且应用到实际问题中。

二、课程的教学内容和基本要求1．误差(4学时)(1)了解误差的来源和误差的概念;(2)理解误差的传播和算法中应避免的问题;2．线性方程组的直接解法(6学时)(1)掌握Guass消去法，理解范数的概念;(2)熟练运用Gauss列主元素法，三角分解法，追赶法;3．线性方程组的迭代法(4学时)(1)理解迭代法的收敛条件，掌握Jacobi迭代法;(2)熟练运用Seidel，SOR迭代法;4．方阵的特征值与特征向量的计算(2学时)(1)了解QR方法;(2)熟练运用乘幂法和反幂法，Jacobi方法;5．非线性方程求根(4学时)(1)掌握二分法;(2)熟练使用Newton法;6．插值法(6时)(1)掌握Lagrange插值，Newton插值，Hermite插值；(2)熟练运用分段插值，样条插值；7．函数逼近与数据拟合(2时)(1)掌握多项式逼近，拟合；(2)熟练运用正交多项式逼近，拟合;8．数值积分(6时)(1)掌握Newton-Cotes公式，Gauss求积公式；(2) 熟练运用Romberg积分公式，复化Gauss型公式;9．常微分方程初值问题的数值解法(4时)(1)掌握Euler方法，Runge-kutta方法，Admas预测-校正法；(2)了解稳定性、收敛性和计算误差估计，高阶方程及方程组.10．总复习(2时)四、考试方式考试以笔试、闭卷的方式进行。

数据拟合与函数逼近

第十三章数据拟合与函数逼近数据拟合与函数逼近涉及到许多内容与方法，从不同角度出发，也有多种叫法。

这一章，我们主要通地线性拟合而引出最小乘法这一根本方法。

13.1 数据拟合概念与直线拟合插值法是一种用简单函数近似代替较复杂函数的方法，它的近似标准是在插值点处的误差为零。

但有时，我们不要求具体某些点的误差为零，而是要求考虑整体的误差限制。

对了达到这一目的，就需要引入拟合的方法，所以数据拟合与插值相比：数据拟合--不要求近似函数过所有的数据点，而要求它反映原函数整体的变化趋势。

插值法--在节点处取函数值。

实际给出的数据，总有观测误差的，而所求的插值函数要通过所有的节点，这样就会保留全部观测误差的影响，如果不是要求近似函数过所有的数据点，而是要求它反映原函数整的变化趋势，那么就可以用数据拟合的方法得到更简单活用的近似函数。

13.1.1 直线拟合由给定的一组测定的离散数据(,)i i x y （1,2,,i N = ），求自变量x 和因变量y 的近似表达式()y x ϕ=的方法。

影响因变量y 只有一个自变量x 的数据拟合方法就是直线拟合。

直线拟合最常用的近似标准是最小二乘原理，它也是流行的数据处理方法之一。

直线拟合步骤如下：(1) 做出给定数据的散点图（近似一条直线）。

(2) 设拟合函数为：i bx a y +=*(13.1.1)然后，这里得到的*i y 和i y 可能不相同，记它们的差为：i i i i i bx a y y y --=-=*δ (13.1.2)称之为误差。

在原始数据给定以后，误差只依赖于b a ,的选取，因此，可以把误差的大小作为衡量b a ,的选取是否优良的主要标志。

最小二乘法便是确定“最佳” 参数的方法，也就是要误差的平方和达到最小。

(3) 写出误差和表达式：),()(1212b a bx a yQ Ni i iNi iϕδ=--==∑∑== (13.1.3)要选择b a ,而使得函数),(b a ϕ最小，可以用数学分析中求极值的方法，即先分别对b a ,求偏导，再使偏导等于零。

MATLAB精品教程课件第7章函数逼近与数据拟合

(k=0,1,…,n) (7.5)
若记
( j, k ) =
(x ) (x ) (x ) ,
i j i k i
m
( f, k ) =
上式可改写为
(x )f(x ) (x ) ≡d
i i k i
i=0 m
k
(k=0,1,…,n) (7.6)
i=0 n
( , ) a = d
=||f(x)||2 2

n
ak* (k(x), f(x)).
k=0
若取 k(x)= xk, (x)≡1, f(x)C[0,1], 在Hn中求n次最佳平方逼近多项式: S*(x)=a0*+ a1*x + a2*x2 +…+ an* xn. 1 k+j 1 x d x= (j(x), k(x)) = 0 k+j+1
[S*( x ) y ] Smin [S ( x ) y ] ( x )
2 i 0 i i i 0 i i
m
m
2
(7.1)
其中S ( x ) a0 0 ( x ) a11 ( x ) an n ( x ) (n m ) (7.2) 为了更具一般性,
不可导，求解困难太复杂
| P ( x i ) y i | 最小使 max 1 i m
使 | P ( xi ) yi | 最小使
2 | P ( x ) y | i i 最小 i 1
m
i 1 m
下面简述最小二乘法的大致过程：

2 2

i 0
m
2 i
i 0 j 0 m n

武汉大学《数值分析》课件-第7章

，
b
n
a
可知 t [ 0, n] ．
由Lagrange插值基函数有
lk
(x)
lk
(a
th)
n i0,ik
x xk
xi xi
n ti i0,ik k i
(1)nk
n
ti
k !(n k )! i0,ik
而 dx hd t b a dt，所以
n
b a
lk
(x)dx
n 0
再用 h/2 代替 h , 使(6)式变为
F*
F2
(h)
1 8
k2h2
3 32
k3h3
(7..).
用4乘(7)式减去(6)式,消去含 h2的项,得
F*
[
F2
(
h 2
)
F2 (h
/
2) 3
F2 (h)]
1 8
(k83)h3
...
同样记
而 I 3( f ) b 6 a (1 4 1) (b a )
有 R ( ,1) 0
I(
f
)
I3(
f
)
R( ,
f
)
b a{ f 6
(a) 4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
（1）当 f ( x) x时， I ( f ) b 2 a2 I3( f ) b 6 a ( a 22a 2b b ) b2 2 a2
| R(1, f ) | M n1 hn2 n n (t i)dt
(n 1)!
0 i0
(5)
验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，

《数值分析》第3讲：函数逼近与计算

想）
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算

数值分析实验报告--实验3--函数逼近与曲线拟合

数值分析实验三：函数逼近与曲线拟合1曲线逼近方法的比较1.1问题描述曲线的拟合和插值，是逼近函数的基本方法，每种方法具有各自的特点和特定的适用范围，实际工作中合理选择方法是重要的。

考虑实验2.1中的著名问题。

下面的MATLAB程序给出了该函数的二次和三次拟合多项式。

x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.*x);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);hold on;p3=polyfit(x,y,3);yy=polyval(p3,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);hold off;实验要求：(1) 将拟合的结果与拉格朗日插值及样条插值的结果比较。

(2) 归纳总结数值实验结果，试定性地说明函数逼近各种方法的适用范围，及实际应用中选择方法应注意的问题。

1.2算法设计对于曲线拟合，这里主要使用了多项式拟合，使用Matlab的polyfit函数，可以根据需要选用不同的拟合次数。

然后将拟合的结果和插值法进行比较即可。

本实验的算法比较简单，此处不再详述，可以参见给出的Matlab脚本文件。

1.3实验结果1.3.1多项式拟合1.3.1.1多项式拟合函数polyfit和拟合次数N的关系1 / 13首先使用polyfit函数对f(x)进行拟合。

为了便于和实验2.1相比较，这里采取相同的参数，即将拟合区间[-1,1]等分为10段，使用每一段区间端点作为拟合的数据点。

分别画出拟合多项式的次数N=2、3、4、6、8、10时，f(x)和多项式函数的图像，如图1所示。

Matlab 脚本文件为Experiment3_1_1.m。

Figure 1 多项式拟合与拟合次数N的关系可以看出，拟合次数N=2和3时，拟合效果很差。

增大拟合次数，N=4、6、8时，拟合效果有明显提高，但是N太大时，在区间两端附近会出现和高次拉格朗日插值函数类似的龙格现象。

函数逼近与曲线拟合PPT课件

第14页/共81页
例已知点集 {xi} i=0,1,…,4 ={0,0.25,0.5,0.75,1} 和权数{ i}i=0,…4 ={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关于
该点集的正交多项式 P0(x),P1(x),P2(x)
解先令 P0(x)=1 ，由此得
4
(P0, P0 ) iP02 (xi ) 5 i0
)
k
(x)
k
k
(x), k 1, 2,
k 1
n 1
给出的多项式序列
n
Pk(x)
(n
k 0
m)
是正交多项式序列
，其中
(x , )
(,
P P P P
k k,
k
a b k ( , ) k ( ,
P P P P k k
k 1
) k.
)
k 1
（5）
三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一步讨论。
有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。
第12页/共81页
若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
(i , j )
0,i j ai 0,i
j
(3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集 {xi} i=0,1,…,m 上的带权 { i}i=0,…m的正交多项式序列.
第8页/共81页
更一般函数逼近的概念：
可用一
组
在C
a,
b上线
性
无
关
的函数
集
合
i
x
n i0

函数逼近与数据拟合

第三章函数逼近与数据拟合整理：赖志柱本章继续讨论用简单函数近似代替较复杂函数的问题。

上章提到的插值就是近似代替的方法之一，插值的近似标准是在插值点处误差为零。

但在实际应用中,有时不要求具体某些点误差为零,而要求考虑整体的误差限制,这就引出了逼近和拟合的概念。

最佳平方逼近和最小二乘拟合有密切的关系，当后者的节点数无限加密时，拟合就变成了逼近。

§3.1 正交多项式正交多项式是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有广泛的应用。

3.1.1 正交多项式概念定义3.1 设函数()x ρ满足（1）()0x ρ≥，(,)x a b ∀∈；（2）()bk a x x dx ρ⎰存在且有限的（0,1,k =）；（3）若对于[,]a b 上的非负连续函数()g x ，有()()0bax g x dx ρ=⎰，则()0g x ≡；则()x ρ称为[,]a b 上的一个权函数。

定义3.2 设(),()[,]f x g x C a b ∈，()x ρ为[,]a b 上的权函数，称(,)()()()baf g x f x g x dx ρ=⎰为函数(),()f x g x 在[,]a b 上带权函数()x ρ的内积。

定义3.3 ()f x 在[,]a b 上的范数定义为1()|()|bafx f x dx ρ=⎰ 1222()[()]ba fx f x dx ρ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰[,]max ()x a b ff x ∞∈=定义3.4 若(,)0f g =，则称(),()f x g x 在[,]a b 上带权()x ρ正交，记为f g ⊥。

性质（1）Cauchy-Schwartz 不等式：22|(,)|f g fg ≤⋅；（2）三角不等式：222f g fg +≤+；（3）平行四边形定理：222222222()f g f g fg ++-=+；（4）若f 与g正交，则222222f gfg +=+；定义3.5 若函数系{}{}01():0(),(),,(),n n x n x x x ϕϕϕϕ≥=满足22(,)()()()0bi j i j ai i j x x x dx i j ϕϕρϕϕϕ≠⎧⎪==⎨>=⎪⎩⎰则称{}{}01():0(),(),,(),n n x n x x x ϕϕϕϕ≥=是区间[,]a b 上的正交函数系。

函数逼近与曲线拟合

函数逼近与曲线拟合3.１函数逼近的基本概念3.1.1 函数逼近与函数空间在数值计算中常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及到在区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题．上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种．本章讨论的函数逼近，是指“对函数类Ａ中给定的函数，记作，要求在另一类简单的便于计算的函数类Ｂ中求函数，使与的误差在某种度量意义下最小”．函数类Ａ通常是区间上的连续函数，记作，称为连续函数空间，而函数类Ｂ通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等．函数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识．数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将为样的集合称为空间．例如将所有实n维向量组成集合，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间，记作，称为n维向量空间．类似地，对次数不超过n（n为正整数）的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域上的一个线性空间，用表示，称为多项式空间．所有定义在上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域上的线性空间，记作．类似地，记为具有p阶的连续导数的函数空间．定义１设集合Ｓ是数域Ｐ上的线性空间，元素，如果存在不全为零的数，使得， (3.1.1)则称线性相关．否则，若等式(3.1.1)只对成立，则称线性无关．若线性空间Ｓ是由n个线性无关元素生成的，即对都有则称为空间Ｓ的一组基，记为，并称空间Ｓ为n维空间，系数称为x在基下的坐标，记作，如果Ｓ中有无限个线性无关元素，…，则称Ｓ为无限维线性空间．下面考察次数不超过n次的多项式集合，其元素表示为， (3.1.2）它由个系数唯一确定．线性无关，它是的一组基，故，且是的坐标向量，是维的．对连续函数，它不能用有限个线性无关的函数表示，故是无限维的，但它的任一元素均可用有限维的逼近，使误差（为任给的小正数），这就是著名的Weierstrass定理．定理１（Weierstrass）设，则对任何，总存在一个代数多项式，使在上一致成立．这个定理已在“数学分析”中证明过．这里需要说明的是在许多证明方法中，伯恩斯坦１９１２年给出的证明是一种构造性证明．他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式， (3.1.3)其中，其中，并证明了在上一致成立；若在上阶导数连续，则．这不但证明了定理１，而且由(3.1.3)给出了的一个逼近多项式．它与拉格朗日插值多项式很相似，对，当＝１时也有关系式． (3.1.4)这只要在恒等式中令就可得到．但这里当时还有，于是是有界的，因而只要对任意成立，则有界，故是稳定的．至于拉格朗日多项式，由于无界，因而不能保证高阶插值的稳定性与收敛性．相比之下，多项式有良好的逼近性质，但它收敛太慢，比三次样条插值效果差得多，实际中很少被使用．更一般地，可用一组在上线性无关的函数集合来逼近，元素，表示为． (3.1.5) 函数逼近问题就是对任何，在子空间中找一个元素，使在某种意义下最小．3.1.2 范数与赋范线性空间为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是空间中向量长度概念的直接推广．定义2.1.2 设为线性空间，，若存在唯一实数，满足条件：（1）正定性：，（2）当且仅当时，（3）；（4）齐次性：，（5）；（6）三角不（7）等式：，（8）．则称为线性空间上的范数，与一起称为赋范线性空间，记为．例如，在上的向量，三种常用范数为类似地对连续函数空间，若可定义三种常用范数如下：可以验证这样定义的范数均满足定义3.1.2中的三个条件．3.1.3 内积与内积空间在线性代数中，中两个向量及的内积定义为．若将它推广到一般的线性空间，则有下面的定义．定义3.1.3设是数域上的线性空间，对，有中一个数与之对应，记为，它满足以下条件：（１）；（２）；（３）；（４），当且仅当时，．则称为上与的内积．定义了内积的线性空间称为内积空间．定义中（１）的右端称为的共轭，当为实数域时．如果＝０，则称与正交，这是向量相互垂直的概念的推广．关于内积空间性质有以下重要定理．定理3.1.2设为一个内积空间，对，有(3.1.6) 称为Cauchy-Schwarz不等式．［证明］当时(3.1.6)式显然成立．现设，则，且对任何数有．取，代入上式右端，得，即得时．定理证毕定理3.1.2设为一个内积空间，，矩阵（3.1.7）称为Gram矩阵，则Ｇ非奇异的充分必要条件是线性无关．［证明］Ｇ非奇异等价于，其充分必要条件是齐次方程组(3.1.8) 只有零解．而(3.1.9) 从以上的等价关系可知，等价于从(3.1.8)推出．而后者等价于从(3.1.9)推出，即线性无关．定理证毕在内积空间上可以由内积导出一种范数，即对于，记(3.1.10) 容易验证它满足范数定义的三条性质，其中三角不等式(3.1.11)可由定理3.1.2直接得出，即两端开方即得(3.1.11）．例１与的内积．设，，，则其内积定义为(3.1.12)由此导出的向量２－范数为．若给定实数，称为权系数，则在上可定义加权内积为(3.1.13)相应的范数为．不难验证(3.1.13)给出的满足内积定义的４条性质，当时，(3.1.13)就是(3.1.12)．如果，带权内积定义为(3.1.14) 这里仍为正实数序列，为的共轭．在上也可以类似定义带权内积，为此先给出权函数的定义．定义３.1.4 设是有限或无限区间，在上的非负函数满足条件：（１）存在且为有限值；（２）对上的非负连续函数，如果，则．则称为上的一个权函数．例２上的内积．设，是上给定的权函数，则可定义内积． (3.1.15)容易验证它满足内积定义的４条性质，由此内积导出的范数为． (3.1.16)称(3.1.15)和(3.1.16)为带权的内积和范数．特别常用的是的情形，即若是中的线性无关函数族，记，它的Gram矩阵为(3.1.17)根据定理3.1.3可知线性无关的充分必要条件是．3.2 正交多项式正交多项式是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有着重要的应用．3.2.1 正交函数族与正交多项式定义3.2.1 若，为上的权函数且满足， (3.2.1)则称与在上带权正交．若函数族满足关系(3.2.2)则称是上带权的正交函数族；若，则称之为标准正交函数族．例如，三角函数族就是在区间上的正交函数族．因为对有，而对，当时有定义3.2.2 设是上首项系数的次多项式，为上权函数，如果多项式序列满足关系式(3.2.2)，则称多项式序列为在上带权正交，称为上带权的次正交多项式．只要给定区间及权函数，均可由一族线性无关的幂函数，利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列；，(3.2.3) 这样得到的正交多项式序列有以下性质：（１）是具有最高次项系数为１的次多项式．（２）任何次多项式均可表示为的线性组合．（３）当时，，且与任一次数小于的多项式正交．（４）成立递推关系．其中这里．（５）设是在上带权的正交多项式序列，则的个根都是在区间内的单重实根．3.2.2 勒让德多项式当区间为［－１，１］，权函数时，由正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用表示．这是勒让德于１７８５年引进的，１８１４年罗德利克(Rodrigul)给出了简单的表达式由于是２次的多项式，求阶导数后得，于是得首项系数为，显然最高项系数为１的勒让德多项式为．(3.2.6) 勒让德多项式有下述几个性质：性质１正交性(3.2.7) ［证明］令，则．设是在区间[-1,1]上的阶连续可微的函数，由分部积分知下面分两种情况讨论：（１）若是次数小于的多项式，则，故得（２）若，则，于是由于，故，于是(3.2.7)得证．性质２奇偶性（3.2.8）［证明］由于是偶次多项式，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故为偶数时为偶函数，为奇数时为奇函数，于是(3.2.8)成立．性质３递推关系(3.2.9) ［证明］考虑＋１次多项式，它可表示为两边乘以，并从－１到１积分，得．当时，的次数小于－１，上式左端积分为０，故得．当时．为奇函数，左端积分仍为０，故．于是．其中，代入上式整理可得(3.2.9)．例１由利用性质３可得性质４在区间[-1,1]内有个不同的实零点．3.2.3 切比雪夫多项式当权函数，区间为[-1,1]时，由序列正交化得到的多项式就称为切比雪夫(Chebyshev)多项式，它可表示为(3.2.10)若令，则．切比雪夫多项式有很多重要性质：性质１递推关系(3.2.11) 这只要由三角不等式．令即得．由(3.2.11)就可推出由递推关系(3.2.11)还可得到的最高次项系数是．性质６切比雪夫多项式在区间［－１，１］上带权正交，且(3.2.12) 事实上，令，则，于是性质７只含的偶次幂，只含有的奇次幂．这性质由递推关系直接得到．性质８在区间［－１，１］上的个零点此外，实际计算中时常要求用的线性组合，其公式为． (3.2.13) 例如：结果如下：3.2.4 其他常用的正交多项式一般说，如果区间及权函数不同，则得到的正交多项式也不同．除上述两种最重要的正交多项式外，下面再给出三种较常用的正交多项式．第二类切比雪夫多项式在区间［－１，１］上带权的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为． (3.2.14)令，可得即是［－１，１］上带权的正交多项式族．还可得到递推关系式．拉盖尔多项式在区间上带权的正交多项式称为拉盖尔（Laguerre）多项式，其表达式为. (3.2.15)其正交性为和递推关系．３. 埃尔米特多项式在区间上带权的正交多项式称为埃尔米特多项式．其表达式为， (3.2.16)其正交性为递推关系为．3.3 最佳一致逼近多项式3.3.1 基本概念及其理论本节讨论，在中求多项式，使其误差．这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题．为了说明这一概念，先给出以下定义．定义3.3.1 设，，称． (3.3.1) 为与在上的偏差．显然，的全体组成一个集合，记为｛｝，它有下界０．若记集合的下确界为(3.3.2)则称之为在上的最小偏差．定义3.3.2 假定，若存在，使得， (3.3.3)则称是在上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式．注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理．定理４若，则总存在，使．为了研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差点的定义．定义3.3.3设，，若在上有，就称是的偏差点．若，称为“正”偏差点．若，称为“负”偏差点．由于函数在上连续，因此，至少存在一个点，使，也就是说的偏差点总是存在的．下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理．定理3.3.2是的最佳逼近多项式的充分必要条件是在上至少有个轮流为“正”、“负”的偏差点，即有个点，使． (3.3.4) 这样的点组称为切比雪夫交错点组．［证明］只证充分性．假定在上有个点使(3.3.4)成立，要证明是在上的最佳逼近多项式．用反证法，若存在，使．由于在点上的符号与一致，故也在个点上轮流取“＋”、“－”号．由连续性质，它在内有个零点，但因是不超过次的多项式，它的零点不超过．这矛盾说明假设不对，故就是所求最佳逼近多项式．充分性得证，必要性证明略，可参看［５］．定理５说明用逼近的误差曲线是均匀分布的．由这定理还可得以下重要推论．推论１若，则在中存在唯一的最佳逼近多项式．证明略．利用定理５可直接得到切比雪夫多项式的一个重要性质，即定理3.3.3 在区间［－１，１］上所有最高次项系数为１的次多项式中与零的偏差最小，其偏差为．［证明］由于，且点是的切比雪夫交错点组，由定理５可知，区间［－１，１］上在中最佳逼近多项式为，即是与零的偏差最小的多项式．定理证毕例３求在［－１，１］上的最佳２次逼近多项式．解由题意，所求最佳逼近多项式应满足由定理3.3.3可知，当时，多项式与零偏差最小，故就是在［－１，１］上的最佳２次逼近多项式．3.3.2 最佳一次逼近多项式定理3.3.2给出了最佳逼近多项式的特性，但要求出却相当困难．下面讨论的情形．假定，且在内不变号，我们要求最佳一次逼近多项式．根据定理3.3.2可知至少有３个点，使由于在内不变号，故单调，在内只有一个零点，记为，于是，即．另外两个偏差点必是区间端点，即，且满足由此得到(3.3.5) 解出， (3.3.6) 代入(3.3.5)得． (3.3.7)这就得到了最佳一次逼近多项式，其几何意义如图３－３所示．直线与弦MN平行，且通过MQ的中点D，其方程为．图３－３一次最佳一致逼近多项式几何意义例4 求在上的最佳一次逼近多项式。

数值分析上机报告函数逼近与数据拟合

二、方法描述
1. 函数的最佳平方逼近设 s ( x ) a* 其中 0 , 1 , j j ( x) 为函数 f 的最佳平方逼近函数，
* j 0 n
, n 为 n+1 个
线性无关的函数。当权函数 ( x) 1 ，根据最佳平方逼近函数的定义，求函数 f 的最佳平方逼近函数，等价于求多元函数
对于定义在区间上的函数，其 Chebyshev 级数为
f ~ C0 CkTk ( x) 2 k 1
其中，
Ck 2

1
1 1 x2
1
f ( x)Tk ( x)dx
2

1
x 2 ln(2 x) 1 x2
1
Tk ( x)dx ， k 0,1, 2,
取前 n+1 项部分和
* Sn ( x)
C0 n CkTk ( x) 2 k 1
即可得到 f 在区间上的近似最佳一致逼近多项式。 3. 插值余项极小化在插值法的计算中，采用等距节点的 Lagrange 插值会出现 Runge 现象。在差
2
数值分析课程上机报告
值余项极小化的方法中，取 Chebyshev 多项式的零点
移项有
b
a
[ a j j ( x) f ( x)]k ( x)dx 0 ， k 0,1,
j 0
n
,n
( , )a
j 0 k j
n
j
( f , k ) ， k 0,1,
,n
此方程是关于 a0 , a1 ,
, an 的线性方程组，也称为法方程。其中，
(k , j ) k ( x) j ( x)dx

数值分析函数逼近与曲线拟合

数值分析函数逼近与曲线拟合第三章函数逼近和曲线拟合 1 函数的逼近和基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有分析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()kk k f x a x ∞==∑，()(0)!k k f a k =在[1,1]-上收敛。

当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。

这个误差分布是不均匀的。

当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。

为了使[1,1]-的所有x 满足()()nf x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。

插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。

更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。

如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。

由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。

如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。

1.2范数和逼近一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。

最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作nR ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式和多项式加法及数和多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间。

数值分析所有常考例题及详细答案

数值分析所有常考例题及详细答案第二章线性方程组的直接解法 (2)第三章解线性方程组的迭代法 (4)第五章非线性方程和方程组的数值解法 (7)第六章插值法与数值微分 (11)第七章数据拟合与函数逼近 (16)第八章数值积分 (20)第九章常微分方程的数值解法 (25)第二章线性方程组的直接解法1、用LU 分解法求如下方程组的解（1）3351359059171⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪X = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2）3235220330127X ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解：（1）13351124522133A L U ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭4(101)(1,1,)339(,,2)22T TTL Y Y UX Y X =⇒=-=⇒=-（2）132332352222012333301271313b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦15521133371311y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 3235121123321313X X ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦2121311()21()44254213142541425421310212127127350624r r r r r r +-↔+-⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦→→ 32344254102127210084r r +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→得同解方程组1232334254121272184x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-=⎪⎩回代求解得(9,1,6)TX =--②212131112312323111011323231110523523111011323032323122112215747012323r r r r r r +↔+⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦→→323252()57231110231110574757470101232323235235193223030023235757r r r r +-↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦→→得同解方程组12323323110574701232319322300()5757x x x x x x ⎧⎪-++=⎪⎪++=-⎨⎪⎪++-=⎪⎩回代得(0.212435,0.549222, 1.15544)T X =-4、用Jordan 消去法解矩阵方程，AX B =其中：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=112221111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011001B 解：容易验证0A ≠，故A 可逆，有1X A B -= .因此，写出方程组的增广矩阵，对其进行初等变换得111101111011110122010111101111211100313000263---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦100211002110111101022330013001322⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦121122332X A B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥∴==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦5、用LU 分解法求解如下方程组12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：100256210037341004A LU -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦12312311021193413010,19201,34304(10,1,4)TLy by y y y y y y =⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦==-=-=-==-(1)解得即 123321(2)25610371441,2,3(3,2,1)T Ux yx x x x x x x =-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦====解解得：所以方程组的解为。

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数值分析-函数逼近与曲线拟合
11、战争满足了，或曾经满足过人的好斗的本能，但它同时还满足了人对掠夺，破坏以及残酷的纪律和专制力的欲望。 ——查·埃利奥特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段。纪律是教育过程的结果，首先是学生集体表现在一切生活领域—— 生产、日常生活、学校、文化等领域中努力的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 果。— —马卡连柯(名言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领导者本身在这方面以身作则才能收到成效。—— 马卡连柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅精神以及同全世界劳动者的团结一致，是取得最后胜利的保证。—— 列宁摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。 ——刘向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。 ——海贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿
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3.3 6 3.3 2.21
解之得
a 7.54 b ＝ 4.844
xi yi
1 1.3
2 3.5
3 4.2
4 5.0
5 7.0
6 8.8
7 10.1
8 12.5
9 13.0
10 15.6
a = 0.2862, b = 1.7645
所求回归直线为
xi yi
0.1 0.95
0.2 0.84
0.15 0.86
0 1.06
0.3 0.73
分析：此题也是要求最小二乘回归直线，我们可以采用两种算法来求解，算法一是直接利用 matlab 中的命令，算法二是利用上题中的函数 leastline。解：算法一 x＝ [0.1,0.2,0.15,0,0.3]; y=[0.95,0.84,0.86,1.06,0.73]; a==polyfit(x,y,1); 算法二： x＝[0.1,0.2,0.15,0,0.3]; y=[0.95,0.84,0.86,1.06,0.73]; b＝ leastline(x,y); 两种算法的结果是相同的; 拟合效果如图 7.3
借助 Matlab 的绘图命令可以观测出拟合效果如图 7.7 所示
图 7.7 此题的数据是由函数提供的，与以往的观测数据不同。通过观测 sin( x), ϕ ( x ) 的图形，我们可以看出拟合曲线与已知曲线的偏离程度。例 8．利用 matlab 求最小二乘拟合二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点及拟合函数的曲线
图 7.3 例 4．已知一组实验数据如表所示.
图 7.2
试求最小二乘拟合曲线. 分析：此题没有给出拟合函数的基函数，我们先在坐标系中画出相应的点，再根据这些点的位置及经验来确定拟合函数的基函数。此题采用的是加权最小二乘拟合， ρ i 是相应残差项的权值。我们可以根据教材提供的原理分别求出法方程组的系数和常数项。
解得
于是所求的最小二乘拟合曲线为
拟合效果如图 7.4 所示例 5．求最小二乘拟合二项式，拟合下列数据表：
如图 7.5 由于多项式函数具有其它函数不具有的许多特点，因此多项式拟合是比较常见的拟合方式之一。我们不仅要学会利用程序求解，而且更要掌握其原理。只有做到这样，才能够灵活运用。例 6 利用 matlab 求一个形如 y = a + bx 2 的拟合多项式，拟合如下的数据
xi2 yi
0.0000 0.0803 0.4122 1.1908 2.7183 4.4015
2.5 1.8750 a0 8.7680 5 2.5 1.8750 1.5625 a1 = 5.4514 1.8750 1.5625 1.3828 a2 4.4015
解之，有
a0 = 1.0051, a1 = 0.86468, a2 = 0.84316
故拟合多项式为
y = 1.0051 + 0.86468x + 0.84316x 2
图 7.4 线性拟合曲线 y = 于是得到法方程组
s1 ( x)
*
Matlab 程序代码如下 : x＝[0,0.25,0.50,0.75,1.00]; y=[1.0000,1.2840,1.6487,2.1170, 2.7183,]; a=polyfit(x,y,2); plot(x,y,’o’); hold on; yy=polyval(a,x); plot(x,yy,’-’); axis([0,1,0,3]); xlabel(‘x’); ylabel(‘y’); 拟合效果如图 7.5
i=1
4
13.036
-177.86
得正规方程组
3.8382a + 7.3658b = 2.7395 7.3658a + 16.3611b = 4.9421
解得 a = 0.9856, b = −0.1417 。从而对应的已知数据的最小二乘拟合曲线为
ϕ ( x) = 0.9856x − 0.1417 x 3
a = −0.360, b = 1.538
拟合回归直线为
y = −0.360 + 1.538x
用 matlab 求解,首先编写一个 M 文件 Function[a,b]=leastline(x,y) %input x:m 维数组％input y： m 维数组％output a：拟合函数 a＋ bx 的系数％output b：拟合函数 a＋bx 的系数 xmean＝mean(x); ymean=mean(y); sumxx=(x-xmean)*(x-xmean)’; sumxy=(x-xmean)*(y-ymean)’; b=sumxy/sumxx; a==ymean-b*xmean; 然后在命令窗口中输入 X＝[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ]; Y=[1.3,3.5,4.2,5.0,7.0,8.8,10.1,12.5,13.0,15.6]; leastline(x,y); 结果如下 ans＝－ 0.360 拟合效果如图 7.2 1.538
解
将所给数据在坐标纸上标出，如图 7.4 所示，说明它可用线性函数作曲线拟合，即选择形如，故
作法方程组的系数
y =a 0 + a1 x + a2 x 2
为拟合曲线.这里
i
1 2 3 4 5 total 正规方程组
xi
0 0.25 0.50 0.75 1.00 2.5
yi
1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183 8.700
0.25 1.2840
0.50 1.6487
0.75 2.1170
1.00 2.7183
分析：此题要求它的拟合二项式，根据教材提供的方法先算出它的正规方程组的系数和常数项，然后求解线性方程组。对于正规方程组的系数和常数，我们可以构造一张表来计算。解：设拟合二次多项式
解之得
注：此题没有采用 matlab 提供的命令 polyfit，而是编写了一个计算回归直线的系数的函数 leastline ，利用这个函数，我们可以计算出回归直线的系数。与 matlab 中的命令相比，leastline 只能求拟合回归直线的系数。在求拟合直线的系数时，两个命令的结果是一样的。例3 求最小二乘回归直线，拟合下面数据表
y = a + bx
法方程组中的系数及常数：
i
1 2 3 4 5 6 Total 正则方程组为
xi
0.1 0.4 0.5 0.7 0.7 0.9 3.3
yi
0.61 0.92 0.99 1.52 1.47 2.03 7.54
xi2
0.01 0.16 0.25 0.49 0.49 0.81 2.21
xi yi
图 7.8 例 9．已知观察数据如下所示，用正交三次多项式求最小二乘拟合函数，并求出偏差平方和 . x＝[0 0.2 0.6 1.0 1.3 1.6 1.7 1.8 1.9 2.2 2.3 2.5 2.6] y=[0 -2.5 -4.0 -5.7 -3.5 -2.0 -1.0 2.0 3.5 4.0 7.0 7.5 9.9] 解：写编写个 M 文件 ,代码如下 %自定义函数 polyapproximate（），用来做离散正交多项式拟合 % 此函数的作用是做不同次数的离散正交多项式的拟合 % X，Y 为原始数据的坐标值矩阵 % w 为权重系数 % N 为离散正交多项式的最高次数 function [C,E]=polyapproximate(X,Y,w,N) M=length(X); for i=1:N+1 for j=1:i if j~=i P(i,j)=0; else P(i,j)=1; end end end S=0; d(1)=0; for i=1:M d(1)=d(1)+w(i); S=S+w(i)*X(i); end AF(1)=S/d(1); P(2,1)=-AF(1);
试用最小二乘求拟合上述数据的回归直线分析：这题也是要求它的回归直线，可采用上题同样的方法和步骤。解：设回归直线为
y = a + bx
法方程组中的系数
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 total 法方程组为
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55
yi
1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13.0 15.6 81.0
7.1 习题课例 1 已知如下的一组观测数据
xi yi
0.1 0.61
0.4 0.92
0.5 0.99
0.7 1.52
0.7 1.47
0.9 2.03
试求它的最小二乘拟合回归直线。分析：对于这组数据，求它的拟合回归直线。我们可以根据教材提供的方法先求出法方程组的系数及常数项，然后求解相应的线性方程组。解：设拟合的回归直线为
y = 0.2862 + 1.7645x
Matlab 程序代码如下 : x==[0.1, 0.4,0.5,0.7,0.7,0.9 ]; y=[0.61,0.92,0.99,1.52,1.47,2.03]; c=polyfit(x,y,1); yy=polyval(c,x); plot(x,y,’o’,x,yy,’-’); axis([0,1,0,3]); xlabel(‘x’); ylabel(‘y’); 拟合的效果如图 7.1
(ϕ1 ,ϕ 1) = ∑ xi2 = 3.8382, (ϕ1 ,ϕ 2) = (ϕ 2 ,ϕ 1) = ∑ xi4 = 7.3658
i =1 4 i =1
4
4
(ϕ 2 ,ϕ 2 ) = ∑ xi4 = 16.3611, ( f ,ϕ 1) = ∑ xi yi = 2.7395