动圆圆心的轨迹问题
与圆有关的轨迹问题
A
Q M O 与圆有关的轨迹问题
1、 已知：点P 是圆2216x y +=上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12，0），当P 点在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹方程
2、 圆22(5)(4)6x y -+-=内一定点A (4,3)，在圆上作弦MN ，使90MAN ∠=，求弦MN 中点P 的轨迹方程
3、 求与y 轴相切，且与圆2240x y x +-=也相切的圆P 的圆心的轨迹方程
4、 如图，已知定点A （2,0），点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的
平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程
5、 由点P 分别向两定圆221:(2)1C x y ++=及圆222:(2)4C x y -+=所引切线段长度之比为1：2，求点P
的轨迹方程
6、已知与22:2210C x y x y +--+=相切的直线l 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，(),2,2OA a OB b a b ==>>.
1求线段AB 中点P 的轨迹;。
巧用相切关系求动圆圆心的轨迹方程
求动圆圆心的轨迹方程包头市第一中学---赵胜凡直线与圆相切，圆与圆相切是圆这一节的重要内容，它主要体现在圆的半径及其圆心距的数量关系上，从而利用这一特点求动圆圆心的轨迹或轨迹方程的问题在高考及资料中经常见到，显然此类问题简洁的解法就是利用圆的几何性质，这类问题一般不难，但比较灵活，学生在解决这类问题时不容易把握，经常出错，本人整理了一些常见类型，试图揭示其本质，使学生把握其规律，掌握这类问题。
类型1 动圆与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程例1.已知动圆经过点F(0,3)且和直线y+3=0相切，求圆心的轨迹方程.解析：设所求圆心为（x,y)，有已知可得3)3()0(22+=-+-y y x ，化简并整理的 y x 122=，是一条抛物线，其中顶点为（0，0），焦点为（0，3）例2. 求与圆C ：0422=-+x y x 相切且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：圆C 即4222=+-y x ）（，设动圆的圆心为）（y x P ,（1）若动圆P 与圆C 相外切，则2222+=+-x y x ）（，所以x x y 442+=，即 时，x y 82= (x>0)或02=y （x<0）.（2）若动圆P 与圆C 内切，则0=y （x>0,且2≠x ） 综上 ，所求轨迹方程为x y 82= （x>0)或y=0 ( 2,0≠≠x x 且)点评：本题两圆的位置关系注意不要忘记动圆P 与定圆C 内切的情况 .类型2 动圆与已知定圆相切，求动圆圆心的轨迹方程例3 . 过已知圆C 内一个定点A 作圆'C 与已知圆C 内切，则圆心的轨迹是（ ）A.线段B.圆C.椭圆D.圆或椭圆解析：若点A 为圆C 的圆心，则点'C 的轨迹为圆，若点A 不是圆C 的圆心，由两圆内切可知A C R CC ''-= 即R A C CC =+''（其中R 为圆C 的半径），因此点'C 的轨迹为椭圆.故选D评析：此题学生容易忽略点A 为圆心时的一种情况，从而错选C. 例4.已知一个动圆M 与定圆C ：100422=++y x ）（，且过点A （4，0），求这个动圆圆心M 的轨迹方程. 解：根据已知条件得MA MC -=10,即10=+MA MC ，又8=CA ,由椭圆的定义知，点M 的轨迹为以A,C 为焦点的椭圆，其中a=5, c=4,所以92=b 因此所求轨迹为192522=+y x . 例5.已知定点A （3，0）和定圆C ：16322=++y x ）（，动圆P 和圆C 相切，并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：设动圆的半径为r,且圆心坐标为）（y x ,, 根据已知条件⎩⎨⎧=+=r PA r PC 4，或⎩⎨⎧=-=rPA r PC 4，即 4±=-PA PC ,有双曲线的定义知动圆圆心P 的轨迹为以），（），，（0303A C -为焦点且实轴长2a=4的双曲线，其方程为15422=-y x . 评析：观察例4及例5不难发现其条件基本相同但结论差异很大，一个是椭圆，另一个是双曲线.其原因在于定点与定圆的的位置关系不同，例4中的点A 在定圆内，而例5中的点A 在定圆外.这类题目还可以这样变化，变式：已知点)0,2(A ，定圆C ：16)2(22=++y x ，动圆P 与圆C 相切且过点A ，求点P 的轨迹方程.其结论应该为y=0 ）且（2,2≠->x x ，此时点A 在定圆上，可见在其他条件不变的情况下影响轨迹类型的主要是点A 与定圆的关系.类型3.动圆与已知两圆相切，求动圆圆心的轨迹方程.例6. 求与圆13:221=++y x C ）（及93:222=+-y x C ）（都外切的动圆圆心C 的轨迹方程. 解析：设动圆C 的半径为r ，根据已知条件知r 11+=CC 及r 32+=CC ，所以212=-CC CC <6,则动点C 的轨迹为双曲线的左支，又a=1,c=3,所以82=b ，因此点C 的轨迹方程为）（01822≤=-x y x . 评析：本例学生以忽略限制条件0≤x 导致出错.若将此题条件圆2C 的方程改为1322=+-y x ）（，其余条件不变，此时动圆圆心的轨迹将变为线段21C C 的垂直平分线.例7.已知一个动圆M 与定圆1004:221=++y x C ）（相内切，与定圆44:222=+-y x C ）（相外切，求这个动圆圆心M 的轨迹方程. 解：设动圆圆心M 的坐标为）（y x ,半径为r,由题意得r 101-=MC ，r 22+=MC 所以1221=+MC MC ,所以点M 的轨迹为以21,C C 为焦点的椭圆，且长轴2a=12,焦距2c=8，即a=6,c=4,所以202=b ，故所求轨迹方程为1203622=+y x . 点评：通过以上两例发现相切关系不一样所得方程类型也不一样.通过以上例题，我们不难发现，这些题目的共同特点都是相切，不管是动圆与直线还是与定圆，条件都相差不多，解题过程也大体相同（结合圆锥曲线的第一定义），但轨迹的类型各不相同，解题时稍不注意就会出错，以上就是本人对这类问题的一点粗浅认识，希望能对大家有所帮助.。
考点练习(必修二)：与圆有关的轨迹问题(附答案)
与圆有关的轨迹问题1. 动点P 与定点A(-1,0)，B(1,0)的连线的斜率之积为-1，则点P 的轨迹为（ ）A.221x y +=B. ()2211x y x +=≠±C. ()2211x y x +=≠ D. ()2210x y x +=≠2. 点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝13. 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝24. 已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|P A|＝2|P B|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．5. 自A(4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．6. 已知动点M 到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段A M 的中点，试求点N 的轨迹．7. 已知线段AB 的长为4，且端点A ，B 分别在x 轴与y 轴上，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为________．8. 点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A. （x﹣2）2+（y+1）2=1B.（x﹣2）2+（y+1）2=4C. （x+4）2+（y﹣2）2=1D.（x+2）2+（y﹣1）2=19. 已知△ABC的边AB长为2a，若BC边上的中线为定长m，求顶点C的轨迹．10. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．11. 已知圆的方程是x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R.(1)求证：a取不为1的实数时，圆过定点；(2)求圆心的轨迹方程．12. 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.13. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．14. 已知线段AB的端点B在圆C1：x2＋(y－4)2＝16上运动，端点A的坐标为(4，0)，线段AB的中点为M.(1)试求M点的轨迹C2的方程；(2)若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长.15. 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.参考答案 与圆有关的轨迹问题1. 【答案】B2. 解析：选A 设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3. 解析：选D 设P (x ，y )，则由题意知，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)、半径为1，∵P A 是圆的切线，且|P A |＝1，∴|PC |＝2，即(x －1)2＋y 2＝2，∴点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.4. 【解析】设点P (x ，y )，由题意知(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4. 可知圆的面积为4π.5. 【解析】设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴y x ·4yx -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴y x ·4yx -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．6. 【解析】(1)设动点M 的坐标为(x ，y )，∵A(2,0)，B(8,0)，|M A|＝12|M B|，∴(x －2)2＋y 2＝14[(x －8)2＋y 2]． 化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16. (2)设点N 的坐标为(x ，y )，∵A(2,0)，N 为线段A M 的中点，∴点M 的坐标为(2x －2,2y )．又点M 在圆x 2＋y 2＝16上，∴(2x －2)2＋4y 2＝16，即(x －1)2＋y 2＝4. ∴点N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．7. 【解析】 设M 点坐标为(x ，y )，A 点坐标为(x 0,0)，B 点坐标为(0，y 0)．∵点M 是线段AB 的中点，∴000202x x y y +⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨+⎪⎪=⎪⎪⎩⎭，即0022.x xy y =⎧⎨=⎩∴A(2x,0)，B(0,2y )．又∵|AB|＝4， ∴()()222002x y -+-＝4，即x 2＋y 2＝4.8. 【解析】设圆上任意一点为（x 1，y 1），中点为（x ，y ），则 得:，代入x 2+y 2=4得（2x ﹣4）2+（2y +2）2=4，化简得（x ﹣2）2+（y +1）2=1．故选A ． 9. 【解析】以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如右图)，则A(－a,0)，B(a,0)，设C(x ，y )，BC 中点D(x 0，y 0)．故x 0＝2x a+，y 0＝2y .①∵|AD|＝m ，∴(x 0＋a )2＋y 20＝m 2.② 将①代入②，整理得(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－3a,0)为圆心，以2m 为半径的圆，除去(－3a ＋2m,0)和(－3a －2m,0)两点．10. 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.11. 【解析】(1)证明：将方程x 2＋y 2－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0，整理得x 2＋y 2－4y ＋2－a (2x －2y )＝0(a ≠1，且a ∈R)．令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＋2＝0，2x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以a 取不为1的实数时，圆过定点(1,1)． (2)由题意知圆心坐标为(a,2－a )，且a ≠1，又设圆心坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2－a ，消去参数a ，得x ＋y －2＝0(x ≠1)，即为所求圆心的轨迹方程．12. 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况).13. [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.14. 解 (1)设M (x ，y )，B (x ′，y ′)，则由题意可得⎩⎨⎧x ＝x ′＋42，y ＝y ′2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ，∵点B 在圆C 1：x 2＋(y －4)2＝16上，∴(2x －4)2＋(2y －4)2＝16，即(x －2)2＋(y －2)2＝4. ∴M 点的轨迹C 2的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋（y －2）2＝4，x 2＋（y －4）2＝16，得直线CD 的方程为x －y －1＝0，圆C 1的圆心C 1(0，4)到直线CD 的距离d ＝|－4－1|2＝522，又圆C 1的半径为4， ∴线段CD 的长为242－⎝⎛⎭⎫5222＝14.15. 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y ). 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165.。
探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹
探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹两圆的位关系有五种:相离、外切、相交、内切和内含. 笔者就两定圆的五种不同位置关系进行研究.为计算方便，取两定圆的半径r1、r2（r1≠r2），两定圆圆心连线的中点为坐标原点，建立直角坐标系.1.两定圆相离设两定圆圆心为C1（-c，0）、C2（c，0），半径分别为r1、r2，r1≠r2，动圆圆心为C（x，y），则⊙C1：（x＋c）2＋y2＝r12，⊙C2：（x-c）2+y2＝r22.（1）当圆C 与圆C1、C2 都外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|当r1＞r2 时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支；当r1＜r2 时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支；所以点C 的轨迹为双曲线的一支.（当r1=r2时，|C C1|=|C C2|，点C的轨迹为线段C1 C2的垂直平分线，即y轴）.（2）当圆C 与圆C1、C2 都内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|当r1＞r2 时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支；当r1＜r2 时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支；所以点C 的轨迹为双曲线的一支,且其轨迹方程为（3）当动圆C 与两个定圆一个内切一个外切时，若圆C 与圆C1外切、与C2内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|，且|C C1|＞|C C2|，即x＞0.点C 的轨迹是双曲线的右支.若当圆C 与圆C1内切、与C2外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|，点C 的轨迹为双曲线的左支.所以动圆圆心C 的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的双曲线，其轨迹方程为综合（1）、（2）、（3）可知：若两定圆⊙C1 与⊙C2 相离，当动圆C与定圆C1、C2都外切或都内切时，动圆圆心C 的轨迹是双曲线一支；当动圆C 与定圆C1、C2 其中一个内切，而与另一个外切时，动圆圆心C 的轨迹是双曲线的两支.2.两定圆外切当两定圆⊙C1与⊙C2外切时，在（1）中，∵|CA|=|CC1|＋r1，|CB|=|CC2|＋r2，|CA|＝|CB|，∴|C C1|＋r1=|C C2|＋r2∴|C C1|－|C C2|=r2－r1在（2）中，CA|=|CC1|－r1，|CB|=|CC2|－r2，|CA|＝|CB|，∴|C C1|－r1=|C C2|－r2∴|C C1|－|C C2|=r1－r2由（1）和（2）可知，都有||C C1|－|C C2||=|r1－r2|，且|r1－r2| 为定值，所以动圆圆心C 的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线.3.两定圆相交两定圆相交时，动圆与两相交定圆同时相切的位置关系有如下三种情况：（1）与两相交定圆同时外切；（2）同时内切于两相交定圆；（3）与两相交定圆同时内切.动圆圆心C 的轨迹方程可以分三种情况分别求得，三个轨迹合成一条双曲线（动圆圆心C 的轨迹也可以就其中一个图形对两定圆的半径进行讨论而求得）.所以，动圆与两相交定圆同时相切时，动圆圆心C 的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线（或其中一个部分）.4.两定圆内切或两定圆内含如本文开始所述，当两定圆内切（两定圆内切时，特殊情况为直线的一部分）或两定圆内含时，动圆C 的圆心的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的椭圆.由以上各种情况的分析，若已知两定圆⊙C1、⊙C2的半径分别为r1、r2（r1≠r2），可得到以下结论：①当两定圆相离、相交或外切时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线.②当两定圆内切或内含时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆（特殊情况除外）.③当两定圆为同心圆时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是一个圆.④当两定圆内切时，与这两定圆都相切与切点的动圆圆心的轨迹是一条直线（不包含切点）.特殊情况:当r1=r2时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹一般为直线.总之，与两定圆相切的动圆圆心的轨迹一般是二次曲线（特殊情况轨迹是圆或直线或直线的一部分）理学角度分析，孩子分心的程度与年龄成反比。
与圆有关的轨迹问题
课堂小结
椭圆
直线 双曲线
2定义法
1直译法
圆
抛物线
求轨迹的基本 方法 3相关点法 4参数法 5待定系数法
课堂小结：
1.设点时注意，把待求动点的坐标设为（x,y）
2.关注圆的几何特点。
3.记住一些常见题型的典型解法。
4.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完 备性. 5.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个 不同的概念.
x1 2 cos 则 y1 2 sin ,
由 Q 为 AP 中点可得
x cos 1 y sin
消参可得（x+1）2+y2=1
动画
解法一 解法二
解法三
解法四
高考回放
高考回放
2 y 2 2 x 2 y 7 0, 设P是该圆的 过点（ 3,3）的弦的中点，则动点 P的轨迹 方程是 x______ y 4x 4 y 6 0
2 2
2、已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的 一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|， 那么动点Q的轨迹是( ) A A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
2 3、设圆C的方程为（x 1 ） y 2 1, 过原点O做圆的
任意弦，求所做弦的中 点M的轨迹方程。
典例探究
例1：已知点P为圆 x y 4 上动 点，点A（－2，0），求线段AP中点Q 的轨迹。
2 2
动画
解法一 解法二
解法三
解法四
解法一（直译法） ： 设 Q（x,y）, 连接 OQ， 则 AQ ( x 2, y),OQ ( x, y) , 则由垂径定理可知， OQ⊥AQ，所以
与圆有关的轨迹问题 -高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
与圆有关的轨迹问题知识点1 5种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，22{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]2224a cb d x y ac bd λ++-+-=--+-，此时221[()()]2a cb d λ>-+-.4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值 注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224a cb d x y ac bd λ++-+-=+-+-，此时221[()()]4a cb d λ>--+-.特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|}MAM MBλ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一 直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等） （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
(完整版)高中数学动点轨迹问题专题讲解
动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠） （C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >） 变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．(212y x =)8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．(4kx =（28k y >）)9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-．当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3x M ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=，即 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法） （2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k+=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 223(,)1313kb bN k k-++． ∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+，∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且3k ≠±． 故k 的取值范围是11k -<<且k ≠． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,48MP MN y ⋅=+．4PN MN x ⋅=……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y += 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-， 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=； （2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾． 故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+， OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得54k =±． 故存在直线l ：534y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2x M ．∵0PM FQ ⋅=，∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x k x x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且||AB ≤求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2y PF =-，又0PM PF ⋅=，∴204y x -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =． （2）10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=．（1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =， 故动点P 的轨迹方程为214y x =． （2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得 2222363(31)31t t t =---考虑几何求法！！ 解之得：2115t = ，满足2103t <<．故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||20AB =点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ． （I ） 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线5y x =和5y x =-上的点，故可设11()A x x，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，∴1212,()5x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,2x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=． （II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=． 又 4t ≤， ∴421517≤-λλ． 解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）． 13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． （1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（3y x =±） （2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y +=） 提示：()221212||10()10AB x x y y =⇒-+-=，又1133y x =-，2233y x =， 则12213()3y y x x +=-，21123()3y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在） 14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知2||2PF d =，且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若13PF OF ⋅=，求向量OP 与OF 的夹角；（3）如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P ，求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）． （1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．（1）求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围． 解：（I ）依题意有：lxyCGFOPM2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>， 解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k-．即k >或1k 2<，且k≠0．∴k 的取值范围是113(,)(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角； （3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->． 20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。
高三数学人教版二轮复习圆有关的轨迹问题
高三数学人教版二轮复习圆有关的轨迹问题一、选择题1.圆x2+y2=4，过A〔4，0〕作圆的割线ABC，那么弦BC中点的轨迹方程是〔〕A. 〔x-2〕2+y2=4B. 〔x-2〕2+y2=4〔0≤x＜1〕C. 〔x-1〕2+y2=4D. 〔x-1〕2+y2=4〔0≤x＜1〕2.M是圆C：x2+y2=1上的动点，点N〔2，0〕，那么MN的中点P的轨迹方程是〔〕A. 〔x-1〕2+y2=B. 〔x-1〕2+y2=C. 〔x+1〕2+y2=D. 〔x+1〕2+y2=3.两定点A〔-2，0〕，B〔1，0〕，假定动点P满足|PA|=2|PB|，那么P的轨迹为〔〕A. 直线B. 线段C. 圆D. 半圆4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N区分是直线CD、AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点〔不包括边界〕，记直线D1P与MN所成角为θ，假定θ的最小值为，那么点P的轨迹是〔〕A. 圆的一局部B. 椭圆的一局部C. 抛物线的一局部D. 双曲线的一局部5.两定点A〔-3，0〕，B〔3，0〕，假设动点P满足|PA|=2|PB|，那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于〔〕A. πB. 4πC. 9πD. 16π6.双数z满足条件：|2z+1|=|z-i|，那么z对应的点的轨迹是〔〕A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线二、填空题7.在平面直角坐标系xoy中，A，B是圆x2+y2=4上的两个动点，且AB=2，那么线段AB中点M的轨迹方程为______ ．8.自圆x2+y2=4上点A〔2，0〕引此圆的弦AB，那么弦的中点的轨迹方程为______ ．9.动圆M与圆C1：〔x+1〕2+y2=1，圆C2：〔x-1〕2+y2=25均内切，那么动圆圆心M的轨迹方程是______．10.圆x2+y2=4，B〔1，1〕为圆内一点，P，Q为圆上动点，假定∠PBQ=90°，那么线段PQ中点的轨迹方程为______．11.在直角坐标系xOy中，A〔-1，0〕，B〔0，1〕，那么满足PA2-PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为______．12.点A〔0，2〕是圆O：x2+y2=16内定点，B，C是这个圆上的两动点，假定BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程为______ ．三、解答题〔本大题共5小题，共60.0分〕13.点P〔2，2〕，圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．〔1〕求M的轨迹方程；〔2〕当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．14.圆C：〔x+1〕2+y2=8，点A〔1，0〕，P是圆C上恣意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．〔1〕求曲线E的方程；〔2〕假定直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON 面积的最大值．15.动圆C过定点F2〔1，0〕，并且内切于定圆F1：〔x+1〕2+y2=16．〔1〕求动圆圆心C的轨迹方程；〔2〕假定y2=4x上存在两个点M，N，〔1〕中曲线上有两个点P，Q，并且M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．16.圆N经过点A〔3，1〕，B〔-1，3〕，且它的圆心在直线3x-y-2=0上．〔Ⅰ〕求圆N的方程；〔Ⅱ〕求圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程．〔Ⅲ〕假定点D为圆N上恣意一点，且点C〔3，0〕，求线段CD的中点M的轨迹方程．17.圆O：x2+y2=4及一点P〔-1，0〕，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M构成轨迹C．〔1〕求轨迹C的方程；〔2〕假定直线PQ的斜率为1，该直线与轨迹C交于异于M的一点N，求△CMN 的面积．答案和解析【答案】1. B2. A3. C4. B5. D6. A7. x2+y2=38. 〔x-1〕2+y2=1，〔x≠2〕9. ．10. x2+y2-x-y-1=011. 212. x2+y2-2y-6=013. 解：〔1〕由圆C：x2+y2-8y=0，得x2+〔y-4〕2=16，∴圆C的圆心坐标为〔0，4〕，半径为4．设M〔x，y〕，那么，．由题意可得：．即x〔2-x〕+〔y-4〕〔2-y〕=0．整理得：〔x-1〕2+〔y-3〕2=2．∴M的轨迹方程是〔x-1〕2+〔y-3〕2=2．〔2〕由〔1〕知M的轨迹是以点N〔1，3〕为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵k ON=3，∴直线l的斜率为-．∴直线PM的方程为，即x+3y-8=0．那么O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|==．∴．14. 解：〔Ⅰ〕∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．又|CP|=|CQ|+|QP|=2，∴|CQ|+|QA|=2＞|CA|=2．∴曲线E是以坐标原点为中心，C〔-1，0〕和A〔1，0〕为焦点，长轴长为2的椭圆．设曲线E的方程为=1，〔a＞b＞0〕．∵c=1，a=，∴b2=2-1=1．∴曲线E的方程为．〔Ⅱ〕设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕．联立消去y，得〔1+2k2〕x2+4kmx+2m2-2=0．此时有△=16k2-8m2+8＞0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，．∴|MN|==∵原点O到直线l的距离d=-，∴S△MON==．，由△＞0，得2k2-m2+1＞0．又m≠0，∴据基本不等式，得S△MON=．≤=，当且仅当m2=时，不等式取等号．∴△MON面积的最大值为．15. 解：〔1〕设动圆的半径为r，那么|CF2|=r，|CF1|=4-r，所以|CF1|+|CF2|=4＞|F1F2|，由椭圆的定义知动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，a=2，c=1，所以，动圆圆心C的轨迹方程是．〔2〕当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得|MN|=4，|PQ|=4，四边形PMQN 的面积S=8．当直线MN斜率存在时，设其方程为y=k〔x-1〕〔k≠0〕，联立方程得，消元得k2x2-〔2k2+4〕x+k2=0设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，那么∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为，，得〔3k2+4〕x2-8x+4-12k2=0 设P〔x3，y3〕，Q〔x4，y4〕，那么四边形PMQN的面积，令k2+1=t，t＞1，上式，令2t+1=z，〔z＞3〕，〔z ＞3〕，∴，∴S＞8〔1+0〕=8，综上可得S≥8，最小值为8．16. 解：〔Ⅰ〕由可设圆心N〔a，3a-2〕，又由得|NA|=|NB|，从而有，解得：a=2．于是圆N的圆心N〔2，4〕，半径．所以，圆N的方程为〔x-2〕2+〔y-4〕2=10．〔Ⅱ〕N〔2，4〕关于x-y+3=0的对称点为〔1，5〕，所以圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程为〔x-1〕2+〔y-5〕2=10〔Ⅲ〕设M〔x，y〕，D〔x1，y1〕，那么由C〔3，0〕及M为线段CD的中点得：，解得：．又点D在圆N：〔x-2〕2+〔y-4〕2=10上，所以有〔2x-3-2〕2+〔2y-4〕2=10，化简得：．故所求的轨迹方程为．17. 解：〔1〕设M〔x，y〕，那么Q〔2x+1，2y〕，∵Q在圆x2+y2=4上，∴〔2x+1〕2+4y2=4，即〔x+〕2+y2=1．∴轨迹C的方程是〔x+〕2+y2=1．〔2〕直线PQ方程为：y=x+1，圆心C到直线PQ的距离为d==，∴|MN|=2=，∴△CMN的面积为==．【解析】1. 解：设弦BC中点〔x，y〕，过A的直线的斜率为k，割线ABC的方程：y=k〔x-4〕；作圆的割线ABC，所以中点与圆心连线与割线ABC垂直，方程为：x+ky=0；由于交点就是弦的中点，它在这两条直线上，故弦BC中点的轨迹方程是：x2+y2-4x=0如图应选B．结合图形，不难直接失掉结果；也可以详细求解，运用交点轨迹法，见地答．此题考察方式数形结合的数学思想，轨迹方程，直线与圆的方程的运用，易错题，中档题．2. 解：设线段MN中点P〔x，y〕，那么M〔2x-2，2y〕．∵M在圆C：x2+y2=1上运动，∴〔2x-2〕2+〔2y〕2=1，即〔x-1〕2+y2=．应选A．设出线段MN中点的坐标，应用中点坐标公式求出M的坐标，依据M在圆上，失掉轨迹方程．此题考察中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考察先生的计算才干，属于基础题．3. 解：设P点的坐标为〔x，y〕，∵A〔-2，0〕、B〔1，0〕，动点P满足|PA|=2|PB|，∴，平方得〔x+2〕2+y2=4[〔x-1〕2+y2]，即〔x-2〕2+y2=4．∴P的轨迹为圆．应选：C．设P点的坐标为〔x，y〕，应用两点间的距离公式表示出|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，化简整理得答案．此题考察动点的轨迹的求法，着重考察了两点间的距离公式、圆的规范方程，属于中档题．4. 解：把MN平移到面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值，是直线D1P与面A1B1C1D1所成角，即原效果转化为：直线D1P与面A1B1C1D1所成角为，点P在面A1B1C1D1的投影为圆的一局部，∵点P是△A1C1D内的动点〔不包括边界〕∴那么点P的轨迹是椭圆的一局部．应选：B．把MN平移到面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值，是直线D1P与面A1B1C1D1所成角，即原效果转化为：直线D1P与面A1B1C1D1所成角为，求点P的轨迹．点P在面A1B1C1D1的投影为圆的一局部，那么点P的轨迹是椭圆的一局部．此题考察了空间轨迹效果，考察了转化思想，属于中档题．5. 解：设P〔x，y〕，那么|PA|=，|PB|=，∵|PA|=2|PB|，∴〔x+3〕2+y2=4[〔x-3〕2+y2]，即x2+y2-10x+9=0，化为规范式方程得〔x-5〕2+y2=16．即P的轨迹所包围的图形为半径为4的圆，该圆的面积S=π×42=16π．应选：D．设出P点坐标，依据|PA|=2|PB|列出方程整理出P的轨迹方程，判别图形计算面积．此题考察了轨迹方程的求法，属于基础题．6. 解：设双数z=x+yi，x，y∈R，∵|2z+1|=|z-i|，∴|2z+1|2=|z-i|2，∴〔2x+1〕2+4y2=x2+〔y-1〕2，化简可得3x2+3y2+4x+2y=0，满足42+22-4×3×0=20＞0，表示圆，应选：A设双数z=x+yi，x，y∈R，由模长公式化简可得．此题考察双数的模，触及轨迹方程的求解和圆的方程，属基础题．7. 解：由题意，OM⊥AB，OM==，∴线段AB中点M的轨迹方程为x2+y2=3，故答案为x2+y2=3．由题意，OM⊥AB，OM==，即可求出线段AB中点M的轨迹方程．此题考察轨迹方程，考察垂径定理的运用，比拟基础．8. 解：设AB中点为M〔x，y〕，由中点坐标公式可知，B点坐标为〔2x-2，2y〕．∵B点在圆x2+y2=4上，∴〔2x-2〕2+〔2y〕2=4．故线段AB中点的轨迹方程为〔x-1〕2+y2=1．不包括A点，那么弦的中点的轨迹方程为〔x-1〕2+y2=1，〔x≠2〕故答案为：〔x-1〕2+y2=1，〔x≠2〕．设出AB的中点坐标，应用中点坐标公式求出B的坐标，据B在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．此题主要考察轨迹方程的求解，应留意应用圆的特殊性，同时留意所求轨迹的地道性，防止增解．9. 解：设动圆的圆心为：M〔x，y〕，半径为R，动圆与圆M1：〔x+1〕2+y2=1内切，与圆M2：〔x-1〕2+y2=25内切，∴|MM1|+|MM2|=R-1+5-R=6，∵|MM1|+|MM2|＞|M1M2|，因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，2a=4，c=1解得a=2，依据a、b、c的关系求得b2=3，∴椭圆的方程为：．故答案为：．首先依据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆，然后依据相关的两求出椭圆的方程．此题考察的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程及圆与圆的位置关系，相关的运算效果．10. 解：设PQ的中点为N〔x，y〕，在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，那么ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+〔x-1〕2+〔y-1〕2=4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0．故答案为：x2+y2-x-y-1=0．应用直角三角形的中线等于斜边长的一半失掉|PN|=|BN|，应用圆心与弦中点连线垂直弦，应用勾股定理失掉|OP|2=|ON|2+|PN|2，应用两点距离公式求出动点的轨迹方程．此题考察中点坐标公式、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程．11. 解：设P〔x，y〕，∵A〔-1，0〕，B〔0，1〕，由PA2-PB2=4，得〔x+1〕2+y2-x2-〔y-1〕2=4．整理得：x+y=2．联立，解得：或．∴P点坐标为〔0，2〕或〔2，0〕．即满足条件的P点的个数为2．故答案为：2．设出P点的坐标，由等式求出P点的轨迹方程，和圆的方程联立求解P点的坐标，那么答案可求．此题考察了轨迹方程的求法，考察了方程组的解法，是中档题．12. 解：设M〔x，y〕，衔接OC，OM，MA，那么由垂径定理，可得OM⊥BC，∴OM2+MC2=OC2，∵AM=CM，∴OM2+AM2=OC2，∴x2+y2+x2+〔y-2〕2=16，即BC中点M的轨迹方程为x2+y2-2y-6=0．故答案为：x2+y2-2y-6=0．设M〔x，y〕，衔接OC，OM，MA，那么由垂径定理，可得OM⊥BC，OM2+MC2=OC2，即可求BC中点M的轨迹方程．垂径定理的运用，让我们在寻觅M的坐标中的x与y时，跳过了两个动点B，C，而中转一个十分明白的结果，增加了运算量．13. 〔1〕由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；〔2〕设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|失掉ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式失掉PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．此题考察圆的轨迹方程的求法，训练了应用向量数量积判别两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的运用，是中档题．14. 〔1〕依据椭圆的定义和性质，树立方程求出a，b即可．〔2〕联立直线和椭圆方程，应用消元法结合设而不求的思想停止求解即可．此题主要考察与椭圆有关的轨迹方程效果，以及直线和椭圆的位置关系的运用，应用消元法以及设而不求的数学思想是处置此题的关键．，运算量较大，有一定的难度．15. 〔1〕应用条件判别轨迹是椭圆，求出a，b即可失掉椭圆方程．〔2〕应用直线MN斜率不存在时，求解四边形PMQN的面积S=8．当直线MN斜率存在时，设其方程为y=k〔x-1〕〔k≠0〕，联立方程得，设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，应用韦达定理，弦长公式，经过PQ⊥MN，推出直线PQ的方程为，设P〔x3，y3〕，Q〔x4，y4〕，求出|PQ|，推出四边形PMQN的面积应用换元法以及基本不等式求解表达式的最值．此题考察轨迹方程的求法，椭圆的复杂性质以及直线与椭圆的位置关系的综合运用，三角形的面积的最值的求法，函数的思想的运用．16. 〔Ⅰ〕首先设出方程，将点坐标代入失掉关于参数的方程组，经过解方程组失掉参数值，从而确定其方程；〔Ⅱ〕求出N〔2，4〕关于x-y+3=0的对称点为〔1，5〕，即可失掉圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程；〔Ⅲ〕首先设出点M的坐标，应用中点失掉点D坐标，代入圆的方程整理化简失掉的中点M的轨迹方程．此题考察圆的方程，考察参数法，圆的方程普通采用待定系数法，属于中档题．17. 〔1〕设M〔x，y〕，用x，y表示出Q点坐标，代入圆O方程化简即可；〔2〕求出直线l的方程，圆心C到直线l的距离，应用勾股定理求出弦长|MN|，即可得出三角形的面积．此题考察了轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．。
2.4.2 圆的一般方程(与圆有关的轨迹问题) (教学课件)——高二上学期数学人教A版(2019)
三、典型例题
例3 已知圆O的直径AB=4，动点M到点A的距离是它到点B的距离的 2 倍,试探究动点M的轨迹.
三、典型例题
如果把本例中的“ 2倍”改 为“k(k>0)倍”，你能分析并解 决这个问题吗?
四、课堂小结
求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法： 设动点坐标,直接得出坐标所满足的关系式,而求出轨迹方程,
(其中圆心为4（F->0D2),-
E 2
），半径为
Hale Waihona Puke 1 2D2 + E2 - 4F )
二、轨迹问题
点的轨迹方程是指点的坐标(x，y)满足的关系式．轨迹是指 点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形 看作点的轨迹（集合).
三、典型例题
例1 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上
运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A
M
B
O
x
三、典型例题
方法归纳 求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法: 能直接根据题目提供的条件列出方程; 2.代入法(相关点法): 找到所求动点与已知动点的关系,代入 已知动点所在的方程.
三、典型例题
例2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P、 Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
第二课时 (与圆有关的轨迹问题)
一、知识回顾
1.圆的标准方程：(x-a)2 +(y-b)2 =r2 (1)(a，b)表示圆心坐标, r表示圆的半径. (2)确定圆的标准方程必须具备三个条件.
与两圆相切的动圆的圆心的轨迹问题讲义
与两定圆相切的动圆圆心的轨迹问题问题：已知动圆M 与两定圆,E F 都相切，求动圆圆心M 的轨迹. 方法策略：1、考察两定圆的位置关系；2、考察两定圆的半径12,r r 的大小关系；3、区分内切、外切；4、用12r r R ，，表示||,||ME MF ，再通过相加（相减）消去R 得到||,||ME MF 的关系.5、结合圆锥曲线定义判断轨迹类型. 一、两定圆相离1、动圆M 与两定圆,E F 都外切（或都内切）（设12r r >） ①都外切1122||||||||ME r R ME MF r r MF r R =+⎫⇒−=−⎬=+⎭②都内切1212||||||||ME R r ME MF r r MF R r =−⎫⇒−=−⎬=−⎭于是12||||0ME MF r r −=−>，所以动点M 的轨迹为双曲线.说明：当12r r =时，轨迹由双曲线退化为直线，即线段EF 的垂直平分线2、动圆M 与两定圆,E F 一外切一内切 ①与圆E 外切与圆F 内切1122||||||||ME r R ME MF r r MF R r =+⎫⇒−=+⎬=−⎭②与圆F 外切与圆E 内切1122||||||||ME R r MF ME r r MF R r =−⎫⇒−=+⎬=+⎭于是12||||0ME MF r r −=+>，所以动点M 的轨迹为双曲线. 二、两定圆相外切1、都外切（内切）（不妨设12r r >） ①都外切1122||||||||ME r R ME MF r r MF r R =+⎫⇒−=−⎬=+⎭②都内切1212||||||||ME r R ME MF r r MF r R =+⎫⇒−=−⎬=+⎭于是12||||0ME MF r r −=−>，所以动点M 的轨迹为双曲线.说明：当12r r =时，轨迹由双曲线退化为直线，即线段EF 的垂直平分线2、动圆M 与两定圆,E F 一外切一内切 动点M 的轨迹为直线EF .三、两定圆相交1、动圆M 与两定圆,E F 都外切（或都内切）（设12r r >） ①都外切（或都内切）1122||||||||ME r R ME MF r r MF r R =+⎫⇒−=−⎬=+⎭②都内切（动圆含在两定圆内）1122||||||||ME r R ME MF r r MF r R =−⎫⇒−=−⎬=−⎭③都内切（动圆包含两定圆）1212||||||||ME r R ME MF r r MF r R =+⎫⇒−=−⎬=+⎭于是12||||0ME MF r r −=−>，所以动点M 的轨迹为双曲线.说明：当12r r =时，轨迹由双曲线退化为直线，即线段EF 的垂直平分线2、动圆M 与两定圆,E F 一外切一内切 ①与圆E 外切与圆F 内切1122||||||||ME r R ME MF r r MF r R =+⎫⇒+=+⎬=−⎭②与圆F 内切与圆E 外切1122||||||||ME r R ME MF r r MF r R =−⎫⇒+=+⎬=+⎭于是12||||ME MF r r +=+，所以动点M 的轨迹为椭圆.四、两定圆相内切1、动圆M 与两定圆,E F 一外切一内切1122||||||||ME r R ME MF r r MF R r =−⎫⇒+=+⎬=+⎭于是动点M 的轨迹为椭圆.2、动圆M 与两定圆,E F 都外切（或都内切） 动点M 的轨迹为直线EF .五、两定圆内含（圆E 包含圆F ）1、动圆M 与两定圆,E F 都内切（设12r r >）1122||||||||ME r R ME MF r r MF R r =−⎫⇒+=−⎬=−⎭于是动点M 的轨迹为椭圆.说明：当两定圆为同心圆时，轨迹由椭圆退化为圆.2、动圆M 与两定圆,E F 一外切一内切1122||||||||ME r R ME MF r r MF R r =−⎫⇒+=+⎬=+⎭于是动点M 的轨迹为椭圆.说明：当两定圆为同心圆时，轨迹由椭圆退化为圆.。
(2021年整理)高中数学动点轨迹问题专题讲解
高中数学动点轨迹问题专题讲解编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学动点轨迹问题专题讲解）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学动点轨迹问题专题讲解的全部内容。
动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（1）等量关系法．．．．．:根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时,要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义,可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =,0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =,化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等)，分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程,消去参数即可．(5）交轨法．．．:即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点,12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=(0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠) （C ）22116925x y +=（0y ≠) （D)221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ;4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(16x y ++=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y +=6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上,则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >）变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点,1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．（212y x =）8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．（4kx =(28k y >））9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时， 立，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ,则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-． 当直线PQ 的斜率不存在时,易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-,设PQ 中点为(,)M x y ， 当12x x ≠时,有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-(二)解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切,求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =,2A 为椭圆另一顶点,连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2)若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =,试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ．∵ GM AB λ=,点M 在x 轴上，∴ (,0)3xM ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=,即 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法）（2)设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±)，11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ,得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=． ∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k +=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++，∴ 223(,)1313kb bN k k -++．∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥,∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k++=--+， ∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠． ∴ 20134k <+<且2132k +≠,解得11k -<<且3k ≠±． 故k 的取值范围是11k -<<且k ≠． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程;（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解:(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =,(,2)PN x y =--，48MP MN y ⋅=+．4PN MN ⋅=，……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅， ∴48y += 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点,点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅,1()2ON OA OF =+,//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解:∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上,∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆,且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-, 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；(定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=；（2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合,与四边形OAPB 是矩形矛盾． 故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+， OP OA OB =+,所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=． 1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=． 即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k kk k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得54k =±． 故存在直线l ：534y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图,平面内的定点F 到定直线l 的距离为2,定点E 满足：||EF =2,且EF l ⊥于G ,点Q 是直线l 上一动点，点M 满足:FM MQ =，点P 满足://PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程; B ，（II)若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、范令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时,求直线1l 的斜率k 的取值围．建解:（1)以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，立平面直角坐标系xoy ,设点(,)P x y ， 则(0, 1)F ,(0, 3)E ,:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2xM ．∵0PM FQ ⋅=,∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2)设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得1242121-==+∴x x kx x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y (8)分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k 解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ,动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；(2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-,且||AB ≤≤l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ,由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2y PF =-，又0PM PF ⋅=，∴204yx -+=，即动点N程为24y x =．（2)10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=． （1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1)中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解:（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =, 故动点P 的轨迹方程为214y x =．（2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y (0x >)，由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-,∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =,∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心,焦点在x 轴上，且实轴长为2,焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则,直线l的斜率为 又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>,设1122(,),(,)M x y N x y ,则121222129,3131t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<,又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-, 由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得 2222363(31)31t t t =---考虑几何求法!！ 解之得:2115t = ，满足2103t <<． 故所求直线l0y --=0y +-=． 12．设A,B分别是直线5y x =和5y x =-上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．（I) 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为(0，16)，M 、N 是曲线C 上的两个动点,且DM DN λ=,求实数λ的取值范围．解:（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线y x =和y x =上的点，故可设11()A x x，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，∴1212,)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=．（II）设N(s，t），M（x,y),则由λ=，可得（x，y-16）=λ (s，t—16)．故x sλ=，16(16)y tλ=+-．∵ M、N在曲线C上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+1.16)1616t(25s1,16t25s22222λλλ消去s得116)1616t(16)t16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ,且1≠λ，解得17152tλλ-=．又4t≤，∴421517≤-λλ．解得3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ)．13．设双曲线22213y xa-=的两个焦点分别为1F、2F，离心率为2．（1)求此双曲线的渐近线1l、2l的方程；（3y x=±）(2）若A、B分别为1l、2l上的动点，且122||5||AB F F=，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y+=）提示：||1010AB=⇒=，又113y x=-，223y x=,则1221()3y y x x+=-，2112()3y y x x-=+．又122x x x=+，122y y y=+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N是否存在直线l，使l与双曲线交于P、Q两点,且0OP OQ⋅=，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．(不存在)到直线l的距离14．已知点(1, 0)F，直线:2l x=，设动点P为d ，已知2||2PF d =,且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若13PF OF ⋅=,求向量OP 与OF 的夹角；（3)如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P,求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >)交于A 、B 两点,以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB(O 为坐标原点）．（1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；(3a =） （2）若2a =,当k 变化时（k R ∈)，求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．(1)求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点,求实数k 的取值范围． 解:（I ）依题意有: 2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠,∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y )则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D（00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>， 解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k-．即k >1k 2<，且k≠0． ∴k的取值范围是113(,(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =（0,1），动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM —d 2）,其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=,1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．(1）求证：直线MN 过定点；（2)记（1)中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ,求H 的轨迹方程,并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西)如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点,且MA MB =．(1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值; （2）若M 为动点，且90EMF ∠=,求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1)由直线MF （或ME )方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >）, 则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-． ∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=,解得01F ky y k-=,∴ 202(1)F ky x k -=，∴002200022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值）． 所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ,由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++,∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=- 由2002y y x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y -- 同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->．20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后点B 都落在边AD 上,记为B '，折痕l 与AB 交于点E ,点M 满足关系式EM EB EB '=+．(1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。
高中数学与圆有关的轨迹问题与最值问题
b a 1 ，解得 a 1 ， b 2 ，从而 r 2 2 （5 分）
圆 C 方程为： (x 1)2 ( y 2)2 8（6 分）
（Ⅱ）设 M (x, y) ， B(x0
，
y0
)
，则有
1
x0 2
x，
y0 2
y ， （8
分）
解得 x0 2x 1 ， y0 2 y ，代入圆 C 方程得： (2x 2)2 (2y 2)2 8 ， （10 分）
| MA | 2
(x 3)2 y2 2
化简整理得： x2 y2 2x 3 0 ，即 (x 1)2 y2 4 ，
点 M 的轨迹方程 (x 1)2 y2 4 ，轨迹是以 (1, 0) 为圆心，以 2 为半径的圆；
（2）由（1）可知， P(x, y) 为圆 (x 1)2 y2 4 上任意一点， 3x1 ，
（1）求动点 M 的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过 P(2,3) 作该圆的切线 l ，求 l 的方程．
【解答】解：（1）设动点 M 坐标为 (x, y) ，则 AM (x 4)2 y2 ， BM (x 1)2 y2 ，
又知 AM 2BM ，则 (x 4)2 y2 2 (x 1)2 y2 ，得 x2 y2 4 ．
专题 05 与圆有关的轨迹问题与最值问题
题型一 轨迹问题
1．动圆 x2 y2 (4m 2)x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心的轨迹方程是 x 2y 1 0(x 1) ．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得 [x (2m 1)]2 ( y m)2 m2 (m 0)
3 / 13
【解答】解： ( 1) 由两点式可知，对角线 AC 所在直线的方程为 y 2 2 2 ， x4 04
整理得 y x 2 0 ，
圆的轨迹问题,有迹可循,突破难点有绝招
圆的轨迹问题，有迹可循，突破难点有绝招动点轨迹问题、最值问题历来是中考的难点和热点。
学生需要在考场短时间思考出动点的运动轨迹确实不是一件容易的事情，如果平时不能有对图形本质的理解和把握，很难在考试中解决此类问题。
在初中阶段，我们会遇到两种轨迹问题，一个是圆弧，一个是线段。
它们分别对应不同的知识点。
圆弧上的点到定点的距离等于定长，线段上的点到直线的距离也等于定长。
但是在实际的考查过程中，我们往往不是事先知道动点所形成的轨迹。
而需要我们结合题目中的条件，来分析出问题是不是轨迹问题，是哪种轨迹问题，它们常见的处理方法又是什么呢？首先我们先给轨迹下个定义，简单的说就是：动点在空间或者平面内移动，它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹。
我们在理解这个定义时，可从下列几个方面考虑：(1)符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
(2)凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性)。
(3)另外凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。
初中阶段会接触到的曲轨迹一般是圆或者圆弧，比如旋转问题中；当然动点也可能在双曲线或者抛物线上运动，这都属于曲轨迹；类型1 圆的问题中隐含圆的轨迹问题1．如图，扇形AOD中，∠AOD＝90°，OA＝6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（）A．0＜r＜3 B．r＝3 C．3＜r＜3√3 D．r＝3√2【解析】连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP＝180°﹣1/2（∠HOP+∠OPH）＝135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO＝∠PIO＝135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O＝180°﹣135°＝45°，得∠DO′O＝90°，O′O ＝3√2．故选：D．2．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣√3 B．√3﹣1 C．2 D．√3+1【解析】利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，3．如图，在△ABC中，AC＝4√3，BC＝9，∠ACB＝60°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于点E，则AE的最小值为．【解析】：如图，连接CE．∵AM∥BC，∴∠MAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，4．（2020•武汉模拟）如图，⊙O的半径为1，点D为优弧AB上一动点，AC⊥AB交直线BD于C，且∠B＝30°，当△ACD的面积最大时，∠BAD的度数为．【解析】连接OA、OD，如图，根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠B＝60°，则△OAD为等边三角形，所以AD＝OA＝1，而∠C＝60°，利用圆周角定理可判断点C在AD为弦，圆周角为60°的弧上运动，根据三角形面积公式，当C在弧AD的中点时△ADC的面积最大，此时∠CAD＝60°，从而得到∠BAD＝30°．类型2 非圆问题中隐含圆的轨迹问题5．（2019秋•罗湖区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F 分别是AB，BC边上的两个动点，且EF＝10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为．【解析】：由已知，点G在以B圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C关于AD的对称点C′，连接C′B，交AD于H，交以D为圆心，以5为半径的圆于G。
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知动圆与圆和圆都外切,则动圆圆心的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支【答案】D【解析】设动圆的圆心坐标为（x，y），半径为，由于动圆与圆和圆都外切，所以，所以，根据双曲线的定义可知动圆的轨迹为双曲线的一支.【考点】1.圆与圆的位置关系；2.双曲线的定义.2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9.(1)判断两圆的位置关系;(2)求直线m的方程，使直线m被圆C1截得的弦长为4，与圆C截得的弦长是6.【答案】(1) 两圆相离 (2) 4x－7y＋19＝0【解析】(1)先由圆方程确定圆心坐标和半径，然后根据两圆心之间的距离与两圆半径和差的关系，判断两圆的位置关系；(2)由条件可知两弦长分别是两圆的直径，故所求直线过两圆圆心，故求连心线的直线方程即可.试题解析：(1)圆C1的圆心C1(－3,1)，半径r1＝2；圆C2的圆心C2(4,5)，半径r2＝2.∴C1C2＝＝>r1＋r2，∴两圆相离.（2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线，易得连心线所在直线方程为：4x－7y＋19＝0.【考点】1.两圆位置关系的判断；2.直线方程.3.已知一个动圆与圆C：相内切，且过点A（4，0），则这个动圆圆心的轨迹方程是_______________.【答案】【解析】设动圆的圆心为P（x,y）,半径为r，由题意，,∴,∴动圆圆心P的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以a=5,c=4,∴,∴动圆圆心的轨迹方程是【考点】本题考查了轨迹方程的求法点评：熟练掌握椭圆的定义是解决此类问题的关键，属基础题4.如图，已知圆，圆．（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设动圆同时平分圆、圆的周长．①求证：动圆圆心在一条定直线上运动；②动圆是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）或（2）①求出圆心的轨迹方程为直线即可；②动圆过定点和【解析】（1）由题意可知，，，由图知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为……3分解得或，所以直线的方程为或．……6分（2）①证明：设动圆圆心，由题可知则化简得，所以动圆圆心在定直线上运动．……10分②动圆过定点设，则动圆的半径为动圆的方程为整理得……14分，解得或所以动圆过定点和．……16分【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系.点评：求解直线与圆的位置关系，主要看圆心到直线的距离与半径的关系，设直线方程时要注意直线的适用条件.5.圆与圆的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】两个圆的圆心距等于所以两个圆相交.【考点】本小题主要考查两个圆的位置关系.点评：判断两个圆的位置关系，主要是根据两个圆的圆心距与半径的和或差的关系.6.已知两圆x2+y2="1" 和 (x+1)2+(y－3)2=10相交于A、B两点, 则直线AB的方程是________．【答案】【解析】两圆方程作差可得直线AB的方程是.【考点】本小题主要考查两圆的公共点所在直线的方程.点评：两个圆相交时，两个圆的方程相减即可得到直线AB的方程.7.两圆相交于点,两圆的圆心均在直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为两圆的相交弦所在的直线与圆心连线的直线垂直，且被其平分，因此可知AB的中点坐标在直线上，代入可知为将m的值代入上式解得c=2，因此可知m+c=-1，选A.【考点】本试题考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的综合运用。
轨迹方程经典例题
轨迹方程经典例题一、轨迹为圆的例题：1、长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程：2、已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为21，求点M 的轨迹方程; 3、线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。
4、已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是() A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线5、高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 二、 椭圆类型：1、点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线=x 离之比为21，求点M 的轨迹方程. 2、一个动圆与圆05622=+++x y x 外切，同时与圆091622=--+x y x 内切，求动圆的圆心轨迹方程。
3、点M(00,y x )圆1F 9)1(22=++y x 上的一个动点,点2F （1,0）为定点。
线段2MF 的垂直平分线与1MF 相点Q(x ,y ),求点Q 的轨迹方程;4、设点A,B 的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM于点M ，且他们的斜率的乘积为94-，求点M 的轨迹5、已知动点),(y x M 到直线4:=x l 的距离是它到点)0,1(N 的距离的2倍。
（1）求动点M 的轨迹C 的方程 三、双曲线类型：1、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。
（1）求圆心的P 的轨迹方程；2、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为()A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y3、△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4、点M(x ,y )与定点F(5，0)的距离和它到定直线516=x 的距离之比为45，求点M 的轨迹方程四、抛物线类型1、已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.求动圆圆心的轨迹C 的方程； 一、 抛物线类型：1、点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线2-=x 的距离相等，求点M 的轨迹方程。
招式八：轨迹问题
招式八：轨迹问题轨迹法：1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特 殊的技巧,易于表述成含 x,y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法；例1、直角坐标系中,点 Q (2, 0),圆C 的方程为X 2 y2 1 ,动点M 到圆C 的切线长与l MQ l的比等于常数(0),求动点M 的轨迹.222【解析】设MN 切圆C 于N,那么|MN ||MO||ON|.设M(x,y),那么◎ ◎如图,圆.1与圆.2的半径都是1,.1.2 4.过动点P 分别作圆.2、圆.2的切线PM , PN ( M ,N 分别为切点),使得PM 虚PN .试建立适当的坐标系,并求动点P 的轨迹方程【解析】以O 1O 2的中点O 为原点,O 1O 2所在直线为x 轴,建立如下图的平面直角坐标系,那么 01( 2,0), .2(2,0).即(x 6)2 y 2 33.(或 x 2 y 2 12x 3 0) 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系 意挖〞与补〞.2、求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么.2.定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义) ,可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程.由 PM J2P N 』I|PM 2 2PN 2. 由于两圆半径均为 1,所以____ 2_ _______ 2PO 1 1 2(PO 21).设 P(x, y),那么_ 22(x 2)2 y 2 122[(x 2)21],■-22-22-J x y 1 J (x 2) y化简得(511) 当 1时,万程为x表示一条直线.221)(x1时, 方程化为(x2 2.22y(2 1)2,设点,列式,化简,证实五个步骤,最后的证实可以省略,但要注 表不一"个-,0 ,且与直线x E 相切,其中p 0.求动圆圆心C 的轨迹的方程; 2 2为动圆圆心,2,0为记为F ,过点M 作直线x p 的垂线,2 2垂足为N ,由题意知：|MF| |MN|即动点M 到定点F 与定直线x p 的距离相等,2由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F 上,0为焦点,2xR 为准线,所以轨迹方程为 y 2 2px(P 0)；2OM 于点P,求点P 的方程.由切线的性质知：|BA|=|BD| , |PD|=|PE| , |CA|=|CE| ,故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC| ,故由椭圆定义知,点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆,以l 所在的直线为x 轴,以BC 的中点为原点,建立坐标系,22可求得动点P 的轨迹方程为： —支一181 72评析：定义法的关键是条件的转化一一转化成某一根本轨迹的定义条件.三、相关点法： 动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点 P(x,y)^随另一动点 Q(x', y')的运动而有规律的运动, 且动点Q 的轨迹为给定或容易求得, 那么可先将x',表示为x,y 的式子,再代入Q 的 轨迹方程,然而整理得 P 的轨迹方程,代入法也称相关点法.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满足的条件,然而得出动点的轨迹方程.例3、如图,从双曲线 x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线,垂足为 No 求线段QN 的中点P 的轨迹 方程. 【解析】设动点 P 的坐标为(x,y),点Q 的坐标为(x 1,y 1)第2页共6页◎ ◎圆O 的方程为x 2+y 2=100,点A 的坐标为(-6, 0), M 为圆O 上任一点, AM 的垂直平分线交例2、动圆过定点【解析】如图,设M【解析】由中垂线知,|PA |PM | 故 |PA |PO ||PM| |PO | |OM| 10,即P 点的轨迹为以 A 、 O 为焦点的椭圆,中央为( -3, 0),故P 点的方程为(x 3)2 252y 16125 ◎ ◎ A 、B 、C 是直线l 上的三点,且|AB|=|BC|=6 , 0O'切直线l 于点A,又 过B 、C 作.O'异于l 的两切线,设这两切线交于点P,求点P 的轨迹方程.【解析】设过B 、C 异于l 的两切线分别切.O'于D 、E 两点,两切线交于点P.p 2贝U N ( 2x-x i,2y-y i)代入x+y=2得2x-x i+2y-y i=2①又PQ垂直于直线x+y=2,故^y一y1 1,即x-y+y i-x i=0② x x i_ ............ __ ________ 3 i i 3由①②解方程组得x i 3x」y i,y i ,x 3y i,2 2 2 2代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-i=02 2◎ ◎椭圆 : 与i〔a b 0〕的左、右焦点分别是a b F i 〔―c, 0〕、F2 〔c, 0〕, Q是椭圆外的动点,满足|F i Q| 2a.点P是线段F i Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足PT TF2 0,|TF2 | 0.求点T的轨迹C的方程；【解析】解法一：〔相关点法〕设点T的坐标为〔x, y〕.当|PT| 0时,点〔a, 0〕和点〔一a, 0〕在轨迹上当| PT | 0且|TF2 | 0时,由PT TF2 0 ,得PT TF2 .又| PQ| | PF? | ,所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为x c 2 y . 2因此2x c, 2y.由|EQ| 2a 得(x c)2 y 2 4a2.将①代入②,可得x2 y2 a2.综上所述,点T的轨迹C的方程是x2 y2 a2.解法二：〔几何法〕设点T的坐标为〔x, y〕.当|所| 0时,点〔a, 0〕和点〔—a, 0〕在轨迹上当| PT | 0且|TF2 | 0时,由|PT| |TF2 | 0,得PT TF2. 又|PQ| |PF z|,所以T为线段F2Q的中点.在△ QF1F2 中,—— 1|OT | -| F I Q | a ,所以有综上所述,点T的轨迹C的方程是x2 y2评析：一般地: 定比分点问题,对称问题或能转化为这两类的轨迹问题,都可用相关点法.四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,那么可借助中间变量〔参数〕,使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程.例4、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B 满足AO± BO〔如图4所示〕.求△ AOB的重心G 【解析】〔即三角形三条中线的交点〕的轨迹方程;解法一：以OA的余^率k为参数由k x 解得A (k, k2) x•.OA, OB, ..OB: y 1 -x 2k x设△ AOB勺重心G 〔x, y),那么k21J?消去参数k得重心G的轨迹方程为y3x2解法二：设^ AOB的重心为G〔x,y〕,A〔x i,y i〕,B 〔x2,y2〕,那么…(1)小y23-• OA± OB k OA k OB 1,即x1x2 y〔y21, (2)又点A, B在抛物线上,有y1 2X I , y2 代入〔2〕化简得x〔x2y1 y2 1/2 •• y -;- -(x13 3 x；)13[(x1x2)22x1x2 ] 3 (3x)23x2所以重心为G的轨迹方程为y3x2◎ ◎如图,设抛物线C : y x2的焦点为F,动点P在直线l : x y 0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△ APB的重心G的轨迹方程.【解析】设切点A、B坐标分别为〔x,x；〕和〔X1,X12〕〔〔X1 X o〕, ,切线AP的方程为：2x0x y x20;2 _切线BP的万程为：2x1 x y x1 0;解得P点的坐标为：x P Xo——X~,y P x o x12所以△ APB的重心G的坐标为x G ^0一X1一X P X P,V G v.必y p32 2X0 % X0X13〔X0 %〕2X0X1 4x P2y p所以y p 3V G 4x G,由点p在直线i上运动,从而得到重心G的轨迹方程为：1x 〔 3y 4x2〕 2 0,即y -〔4x2x 2〕.五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法, 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程.可以说是参数法的一种变种.2例5、抛物线y 4Px〔P 0〕的顶点作互相垂直的两弦OA、OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹.2 2 解1〔交轨法〕：点A、B在抛物线y2 4px〔p 0〕上,设A〔无,y A〕,B〔34p 4p ,y B〕所以k oA= _P k OB=V A4p .-- 油OA垂直OB得k OA k OB = -1,得y A y B= -16p,又AB方程可求得y y A y B2 V A V B入,V A、〔x4p 4py--4px--y A y B=0,把y A y B= -16p2代入得AB 方程〔y A+y B〕y--4px+16p2=0 ① 又OM 的方程为y V A V B --- X4P由①②消去得y A+y B即得x2 y2 4px 0, 2 2.2即得〔x 2p〕 y 4p.所以点M的轨迹方程为〔X 2p〕2 2 ,2 ................ ....... _ _ ,一 , ,,一一一 ...y 4p,其轨迹是以〔2p,0〕为圆心,半径为2 P的圆,除去点〔0, 0〕.评析：用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消去参数,得到交点的两个坐标间的关系即可.交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况.3以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以(2p,0)为圆心,半径为2P的圆.所以方程为2 2.2(x 2p) y 4p ,除去点(0, 0).1、定点F(1, 0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点M,并延长MP到点N,且P M PF 0,|而| | PN|. (1)动点N的轨迹方程；(2)线l与动点N的轨迹交于A, B两点,假设OA OB 4,且4j6 | AB| 4^30 ,求直线l的斜率k的取值范围.⑴ 设动点N的坐标为(x,y),那么M( x,0), P(0,-y)(x 0), PM* ( x, -y), 2 22PF (1,)),由丽PF 0得x 匕0,因此,动点的轨迹方程为y24x(x 0).2 4(2)设l与抛物线交于点A (x1,y1),B(x2,y2),当l与x轴垂直时, 那么由OAOB 4,得y1 2< 2, y2 2j2,|AB|4四4®不合题意,故与l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=kx+b(k W0那么由OA OB 4,得X1X2y1 y2 4由点A, B在抛物线y2 4x(x 0)上,有y； 4x, y； 4x2,故yy? 8.又y2=4x, y=kx+b 得ky2—4y+4b=0,所以,, / , 2 〞4b 2 2 1 k 16一8,b 2k. 16(1 2k ),|AB| —— (— 32)内为k k k4 , 21 k 164^6 | AB | 4430,所以96 ——(― 32) 480.k2 k2解得直线l的斜率的取值范围是[1 1] [1,1].’2 2第6页共6页。
圆轨迹问题
轨迹问题几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.初中的此类轨迹问题，轨迹只有两种：线段（直线）和圆弧（圆）第一大类：轨迹为圆一、圆的概念———到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.关键词“定点”和“定长”是我们发现“隐形圆”的关键.具体分类如下：①定点为圆心，相等距离为半径例1、如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________例2、如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______②动点到定点距离保持不变的可用圆（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）例一、木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）例二、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90∘得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是____________.③过定点做折叠的可用圆（定点为圆心，对应点到定点的距离为半径）例一、如图，在Rt△ABC中，∠B=60∘，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为：__________.二、圆周角及其推论类①圆周角1———直径所对的圆周角等于90°关键词：90°，是我们发现“隐形圆的关键.方法提炼：动态问题中一般会出现多个直角，往往会有一个直角所对斜边是固定不变的，选取该斜边中点为圆心，斜边中线为半径.例一：等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为__________.例二、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若AD=2，线段CP的最小值是__________.例三、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_________.②圆周角2————同弧所对的圆周角相等. 推论:同弦所对的圆周角相等关键词：“同弧”“同弦“”角等“（也称”定弦定张角”）例1：已知在△ABC中，AC=2，∠ABC=45°，求△ABC的最大面积为____________.例2：如图，边长为3的等边△ABC，D、E为AB、BC上的点，且BD=CE，AD与BE交于点P，连接CP，则CP的最小值为__________:③圆周角3——同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.例：平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是___________三、圆内接四边形，对角互补.例：如图，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，BD 分别与AE、AF交于点G、H．若5CE=12CF，AG=13，则HF的长度为___________．第二大类：轨迹为线段平移：轨迹为线段例、如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（）A 16cm B18cm C20cm D 22c角为定值例：如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．到直线的距离相等的点的轨迹例1：如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是。
与两圆都外切的动圆圆心的轨迹
一、引言两圆都外切的动圆圆心的轨迹，是一个经典的几何问题。
从古至今，数学家们对这一问题进行了深入的研究，提出了许多有趣的结论和定理。
本文将对这一问题进行探讨，并提出一些新的见解。
二、问题描述我们来描述一下问题的具体情景。
设有两个半径分别为R1和R2的定圆，它们的圆心分别为O1和O2，且两个圆外切于点A。
现在，我们考虑一个半径为r的动圆，它的圆心为M，并且与定圆O1和O2都外切，即与O1、O2分别有一点B、C相切。
问题的关键是：当动圆的圆心M在什么范围内运动时，它的轨迹是怎样的？三、初步分析为了更好地理解问题，我们可以通过几何分析和代数求解来研究动圆圆心的轨迹。
我们可以利用相似三角形的性质，求得点B、C到定圆O1、O2的距离，进而得到动圆圆心M到定圆O1、O2的距离。
通过一系列代数运算，我们可以得到动圆圆心M的坐标表达式。
四、求解过程接下来，我们将详细阐述求解动圆圆心轨迹的过程。
我们可以构建动圆圆心M在平面直角坐标系下的坐标系，假设动圆圆心M的坐标为（x，y），则有：- 点B到定圆O1的距离d1 = R1 + r- 点C到定圆O2的距离d2 = R2 + r- 动圆圆心M到定圆O1、O2的距离分别为：√((x - x1)^2 + (y - y1)^2) = R1 + r和√((x - x2)^2 + (y - y2)^2) = R2 + r经过一系列的变换和整理，我们可以得到动圆圆心M的坐标表达式，从而求得它的轨迹方程。
通过对轨迹方程的分析，我们可以得出一些定理和结论。
五、轨迹特性在研究过程中，我们发现动圆圆心的轨迹具有一些特殊的性质，这些性质对于几何学和数学理论具有重要的指导意义。
具体来说，动圆圆心的轨迹是一个什么样的曲线？它有怎样的对称性？它与定圆的半径和位置有什么关联？经过深入研究和推导，我们得出了一些有趣的结论。
动圆圆心的轨迹是一个特殊的椭圆曲线，它与定圆的半径和位置密切相关，满足一定的几何关系。