定积分计算的总结论文

合集下载

定积分法求面积探究毕业论文

定积分法求面积的探究教学系：_____________专业：_________________年级：______________________姓名：_____________________学号：__________导师及职称：定积分是数学中十分重要的工具，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想就是切割求和，在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。

本文介绍了几种运用定积分来求面积的方法，其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。

如果实际问题中的所求量与某一区间有关且在该区间上具有可加性，我们就可以用函数的定积分来表示这个所求的量，因此我们就可以运用定积分来解决一些实际问题。

同时利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一。

如何灵活地运用定积分的定义及有关公式，巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题就是一大关键，本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解策略。

从而充分的体现数形结合的数学思想方法。

关键词：定积分；封闭图形；曲面域；对称性Research of square in defi nite in tegralABSTRACTA definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics area is one of its applicati on, its thought is to cut and, un der differe nt coordi nate systems can use specific method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we can use the definite integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the defi nite in tegral to solve some practical problems.At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geometry. How to flexibly use definite integral is defi ned and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivale nt transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, in troduces several common ly used tran sformati on method and soluti on strategy. I n order to fully reflect the comb in ati on of the mathematical thought and method.Keywords: defi nite in tegral; closed graph; surface area; symmetry目录一、引言 (5)二、相关概念 (5)1.1 定积分的定义 (5)1.2定积分的常用计算方法 (5)1.2.1直接利用公式及性质计算 (5)1.2.2利用定积分的区间可加性计算 (2)三、定积分在面积问题中的应用 (2)3.1直角坐标系下求面积 (2)3.1.1 平面面积 (2)3.1.2 曲面面积 (5)3.2 极坐标 (6)3.3求旋转曲面的面积 (7)四、常见方法 (10)4.1 巧选积分变量 (10)4.2巧用对称性 (11)4.3巧用分割计算 (11)五、结束语 (12)参考文献 (13)致谢 (13)、引言积分在自然科学、工程技术、经济管理中有着广泛的应用，比如利用积分求平面图形的面积、变力做功等都是微积分中定积分的应用问题，在数学分析中占据了重要地位。

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结闫佳丽摘要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元.1前言17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分.2正文那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和1(,)()nk k k T f x σξξ==∆∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，设()0()01lim (,)lim()nkk l T l T k T f x I σξξ→→==∆=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ∀>∃>∀<∀=有1()nkkk f xI ξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[],a b 可积，I 是函数()f x 在[],a b 的定积分，记为()01()lim()nbkk al T k f x dx f x I ξ→==∆=∑⎰.其中，a 与b 分别是定积分的下限与上限；()f x 是被积函数；()f x dx 是被积表达式；x 是积分变量.若当()0l T →时，积分和(,)T σξ不存在极限，则称函数()f x 在[],a b 不可积.定积分的几何意义也就是表示x 轴，x a =，x b =与()y f x =围成的曲边梯形的面积.但是我们知道并不是所有的被积函数都是可积的，这就涉及到定积分的三类可积函数：1、函数()f x 在闭区间[],a b 连续,则函数()f x 在闭区间[],a b 可积.2、函数()f x 在闭区间[],a b 有界,且有有限个间断点,则函数()f x 在闭区间[],a b 可积.3、若函数()f x 在闭区间[],a b 单调,则函数()f x 在闭区间[],a b 可积. 在定积分的计算中，常用的有四种方法,在不同的情况下用的方法也是不同的.一、按照定义计算定积分.定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限.以()ba I f x dx =⎰为例：任意分割,任意选取k ξ作积分和再取极限.任意分割任意取k ξ所计算出的I 值如果全部相同的话，则定积分存在.如果在某种分法或者某种k ξ的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者k ξ的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在.如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取k ξ.但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作[],a b 的特殊分法，选取特殊的k ξ，计算出定积分.第一步：分割.将区间[],a b 分成n 个小区间，一般情况下采取等分的形式.b ah n-=，那么分割点的坐标为(),0a ，(),0a h +，()2,0a h +......()(1),0a n h +-，(),0b ，k ξ在[]1,k k x x -上任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的k ξ，即左端点，右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n 个小曲边梯形.我们近似的看作是n 个小长方形.第二步：求和.计算n 个小长方形的面积之和，也就是()1nkk f h ξ=∑.第三步：取极限.()()0011lim lim n nk k h h k k I f h h f ξξ→→====∑∑，0h →即n →∞，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n 趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.例1、用定义法求定积分10xdx ⎰.解：因为()f x x =在[]0,1连续所以()f x x =在[]0,1可积令101h n n-== 将[]0,1等分成n 个小区间，分点的坐标依次为02...1h h nh <<<<= 取k ξ是小区间[](1),k h kh -的右端点，即k kh ξ=于是210(1)1lim lim 2n n n n xdx khh n →∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰211(1)1lim lim 222n n n n n n →∞→∞++=== 所以，1012xdx =⎰二、微积分基本公式：牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。

计算定积分的若干方法论文

绥化学院本科毕业设计（论文）计算定积分的若干方法学生姓名：***学号：*********专业：数学与应用数学年级： 2008级指导教师：张姮妤讲师Suihua University Graduation PaperSome Methods of Calculating the DefiniteIntegralStudent name Zhao ShunaStudent number 200851242Major Mathematics and Applied MathsSupervising teacher Zhang HengyuSuihua University摘要定积分是微积分学中的一个重要组成部分，其计算方法和运算技巧具有灵活多样性．本文主要介绍了定积分计算的常用方法及特殊方法，通过实例分析探讨了定积分计算中所采用的几种方法和技巧，其中包括用定积分定义、牛顿—莱布尼茨公式、换元法、奇偶性、级数、二重积分等计算定积分的方法，为定积分的计算带来了方便．关键词：定积分；换元法；奇偶性；级数AbstractThe definite integral is an important part of calculus, and its method and skill with flexible diversity. This paper mainly introduces the common methods and special methods of the definite integral calculation, which discusses several methods and skills including the definition method, Newton-Leibniz formula, the method of changing element, parity, series, double integral and so on, and it will bring convenient for the integral calculation.Key words: the definite integral; the method of changing element; parity; series目录摘要 (I)Abstract (II)前言 (1)第1章计算定积分的常用方法 (2)第1节利用定积分的定义计算定积分 (2)第2节利用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分 (4)第3节利用换元法计算定积分 (5)第2章计算定积分的特殊方法 (8)第1节利用奇偶性计算定积分 (8)第2节利用建立方程或方程组法计算定积分 (10)第3节利用级数的性质计算定积分 (11)第4节利用概率理论计算定积分 (14)第5节利用二重积分和特殊积分计算定积分 (17)结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)前言从历史上说，定积分是由计算平面上闭曲线围成区域的面积而产生的，为了计算这类区域的面积，最后归结为计算具有特定结构的和式的极限．人们在实践中逐渐认识到，这种特定结构的和式的极限，不仅是计算区域面积的数学工具，而且也是计算许多实际问题（如变力作功、水的压力、立体体积等）的数学工具．因此，无论是在理论上还是在实践中，特定结构的和式的极限——定积分具有普遍的意义．于是，定积分就成为数学分析重要的组成部分之一．定积分中最重要的内容就是定积分的计算方法．对于定积分的计算，首先要求准确性，其次是快速性，而这两个目的的实现就需要有较好的方法和技巧．本文主要以求定积分的各种方法为主线，对其分别概述、举例、并加以分析说明，从而得出适合不同题型的定积分计算方法．学习中应着眼于基本方法的积累，有了这种积累，才会孕育出更多的特殊方法及技巧．定积分在微积分学中占有极为重要的地位，它与微分相比，难度大，计算方法灵活，如果我们仅仅按定积分的定义计算定积分，往往是十分困难的，因此，切实掌握求定积分的各种计算方法是非常必要的．第1章计算定积分的常用方法定积分是积分学的基础，而且是概率统计、复变函数等课程的重要知识工具．定积分概念抽象，定理较多，在定积分计算中难度也很大．本章介绍了定积分计算的三种常用方法，即定义法、牛顿—莱布尼茨公式法及换元法，这些方法都可以被用于求解一些简单的定积分．第1节利用定积分的定义计算定积分利用定积分定义来计算定积分，常要求其被积函数一般是比较简单的情形，适用于初学者对于定义掌握的一种锻炼，由于在运算过程中和式1()ni i i f x ξ=∆∑的极限一般不容易求得，所以这种方法只适用于简单的初等函数．定义1 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在[,]a b 内任意插入1n -个分点：1x ，2x ，3x ，，1n x -，令0a x =，n b x =，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把区间[,]a b 分为n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，，1[,]k k x x -，，1[,]n n x x -，各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-，221x x x ∆=-，，1n n n x x x -∆=-，在小区间1[,]i i x x -上任取i ξ1([,])i i i x x ξ-∀∈，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆(1,2,)i n =，并作和11()()ni i i i S f x x ξ-==-∑．记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆∆，如果不论对[,]a b 怎样分法，也不论点i ξ在小区间1[,]i i x x -上怎样选取，只要0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ．这时，我们称这个极限I 为函数()f x 在[,]a b 上的定积分，记作()ba f x dx ⎰，即1()lim ()nb i i ai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰．其中，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间．定理1 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积．定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有界，且有有限个间断点，则函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积．因此，用定义计算定积分可分为两步： 1. 先确定函数的可积性； 2. 再计算01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑．例1 求sin baxdx ⎰，a b <．解因为函数sin x 在闭区间[,]a b 上连续，则函数sin x 在区间[,]a b 上可积，采用定义法．取b ah n-=，[(1),]a k h a kh +-+将[,]a b 等分成n 个小区间，分点坐标依次是 2a a h a h a nh b <+<+<<+=，取k ξ是小区间的右端点，即k a kh ξ=+，则11sin lim sin()lim sin()n nb ah h k k xdx a kh h h a kh →→===+⋅=⋅+∑∑⎰，（1）又1sin()nk a kh =+∑112sin()sin22sin2nk h a kh h ==+∑ 112121[cos()cos()]222sin2nk k k a h a h h =-+=+-+∑ 1132121[cos()cos()cos()cos()]22222sin 2n n a h a h a h a h h -+=+-++++-+ 111{cos()cos[()]}222sin 2a h a n h h =+-++111[cos()cos()]222sin 2a hb h h =+-+()a nh b +=，将此结果代入式（1）中，有0112sin lim [cos()cos()]cos cos 22sin 2ba h hxdx a h b h a b h →=+-+=-⎰．第2节利用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分通过求积分和的极限来计算定积分一般很困难，而牛顿—莱布尼茨公式避免了求极限和的繁琐，不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来．定理3（微积分基本定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()F x 是()f x 的原函数，则()()()b af x dx F b F a =-⎰，（1）式子（1）称为微积分基本公式，亦称牛顿—莱布尼茨公式，要求定积分，只需求出被积函数的一个原函数在此区间上的增量即可．例1求定积分22dxdx a x+．解因为1arctan x a a是221a x +的一个原函数，由牛顿—莱布尼茨公式，有220dx a x +⎰1arctana=1arctan 0)a =3aπ=．例2 求定积分b k ax dx ⎰，其中k 是正整数．解已知1()1k k x x k +'=+，由牛顿—莱布尼茨公式，有111111111k k k k k b kb aax b a b a x dx k k k k +++++-==-=++++⎰．例3 求0|cos |I x dx π=⎰．解 0|cos |I x dx π=⎰202|cos ||cos |x dx x dx πππ=+⎰⎰202cos cos xdx xdx πππ=-⎰⎰202sin sin xxπππ=-2=．第3节利用换元法计算定积分换元积分法就是在积分过程中通过引入变量来简化积分计算的一种积分计算方法．通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应的变换积分的上下限，通过换元可以达到简化积分计算的目的．定理4 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且函数()x t ϕ=在区间[,]αβ有连续导数，当t αβ≤≤时，()a t b ϕ≤≤，又()a ϕα=，()b ϕβ=，则()[()]()b af x dx f t t dt βαϕϕ'=⎰⎰，这种方法叫做换元积分法，使用换元积分法关键是恰当选择变换函数()x t ϕ=，且需注意换元必换限．此法没有一般规律可循，但被积函数中含有根式时，而通过代换又可以消除根式的情况下，可采用换元积分法．例10ln I -=⎰．解令t =21ln(1)2x t =-，当0x =时，0t =；当ln 2x =-时，t =则I 021t dt t -=⋅-220111t dt t -+=-⎰11(ln21tt t+=-+-1122+=ln(2=++．例2求10x ⎰．解设cos x t =，有sin dx tdt =-，当0x =时，2t π=；当1x =时，0t =，则10x⎰222sin cos t tdt π=-⎰2201sin 24tdt π=⎰201(1cos 4)8t dt π=-⎰201sin 4()84tt π=-16π=．例3 求2sin 1cos x xJ dx xπ=+⎰．解因为20sin 1cos x x dx x π+⎰22202sin sin 1cos 1cos x x x x dx dx x xπππ=+++⎰⎰，对等号右端第二个积分进行换元，设x t π=-，dx dt =-，当2x π=时，2t π=；当x π=时，0t =，则22sin 1cos x x dx x ππ+⎰022()sin()1cos ()t t dt t ππππ--=-+-⎰220()sin 1cos t t dt t ππ-=+⎰ 222200sin sin 1cos 1cos t t t dt dt tt πππ=-++⎰⎰，于是20sin 1cos x x dx xπ+⎰22202sin sin 1cos 1cos x x x x dx dx x x πππ=+++⎰⎰ 222222000sin sin sin 1cos 1cos 1cos x x t t t dx dt dt xt t ππππ=+-+++⎰⎰⎰ 22sin 1cos tdt tππ=+⎰ 22(cos )1cos d t tππ=-+⎰ 20arctan(cos )t ππ=-24π=．例4求21⎰．解令6x t=(0)t>，先求不定积分，于是5346tdtt t=+⎰261tdtt=+⎰16(1)1t dtt=-++⎰2366ln|1|t t t C=-+++6ln|1C=++，所以21⎰216ln(1=+3=+．第2章计算定积分的特殊方法求定积分的方法很多，对某些特殊定积分的情形，完全可以不使用一般性的解题方法．随着社会的不断发展，新方法也会越来越多，但是要对具体问题具体分析，灵活的选用恰当的方法，才能准确的计算出定积分的值．第1节利用奇偶性计算定积分函数的奇偶性在定积分的计算中有着重要应用，为定积分的计算带来方便．性质1 若()f x 是奇函数（即()()f x f x =--），那么对于任意的常数a ，在闭区间[,]a a -上，()0a af x dx -=⎰．性质2 若()f x 是偶函数（即()()f x f x =-），那么对于任意的常数a ，在闭区间[,]a a -上，0()2()a aaf x dx f x dx -=⎰⎰．例1 求2221min{,}||x dx x -⎰．解因为21min{,}||x x 是偶函数，所以2221min{,}||x dx x -⎰2212min{,}||x dx x =⎰ 1220112x dx dx x=+⎰⎰（） 3120112ln 3x x =+（）12ln 23=+（）．例2 求32222(sin sin )cos x x xdx ππ-+⎰．解32222(sin sin )cos x x xdx ππ-+⎰32222222sin cos sin cos x xdx x xdx ππππ--=+⎰⎰，其中被积函数32sin cos x x 为奇函数，被积函数22sin cos x x 为偶函数，故有32222(sinsin )cos x x xdx ππ-+⎰22202sin cos x xdx π=⎰201sin 22xdx π=⎰201sin 2(2)4xd x π=⎰201(cos 2)4x π=-11(cos cos 0)42π=-+=．例3 设函数11,1211(),2211,12x x f x x x x x ⎧---≤≤-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，试求定积分11()sin f x xdx π-⎰．解因为()f x 是奇函数，所以()sin f x x π是偶函数，于是1102()sin 2I f x xdx I π==⎰．而1I 112102()sin ()sin f x xdx f x xdx ππ=+⎰⎰112102sin (1)sin x xdx x xdx ππ=+-⎰⎰，对于第二个积分，令1t x =-，当12x =时，12t =；当1x =时，0t =，有 112(1)sin x xdx π-⎰12sin (1)t t dt π=--⎰120sin t tdt π=⎰，则1I 1202sin x xdx π=⎰1202(cos )xd x ππ=-⎰1122002[cos cos ]x xxdx πππ=--⎰12021sin xπππ=⋅22π=，所以24I π=．此外，若积分区间不关于原点对称时，我们可以将被积函数通过换元或适当的拆项等方法转化后，再运用上述结论简化计算．第2节利用建立方程或方程组法计算定积分定积分的计算中会遇到有些积分很难直接用基本方法计算出来，但是如果能构造另外一个定积分，再利用代数的方法，就很容易解出．此方法往往和带参变量方法联用，先建立方程，再求解．运用时，要注意初始条件，以便确定通解的任意常数．例1 设[0,]f C a ∈，0a >．在[0,]a 上，()()1f x f a x -=，计算01()adxI f x =+⎰．解令t a x =-，当0x =时，t a =；当x a =时，0t =，则01()adx I f x =+⎰0()1()a d a t f a t -=+-⎰01()a dxf a x =+-⎰，因此有0021()1()a a dx dx I f x f a x =+++-⎰⎰011[]1()1()a dx f x f a x =+++-⎰ 02()()[1()][1()]a f x f a x dx f x f a x ++-=++-⎰02()()2()()a f x f a x dx a f x f a x ++-==++-⎰，即2a I =．例2 求20cos 2x e xdx π⎰．解先计算不定积分cos 2xe xdx ⎰cos2x xde =⎰ cos 2(cos 2)x x e x e d x =-⎰ cos 22sin 2x x e x e xdx =+⎰，对于上式的第二项再使用分部积分法，得cos 2xe xdx ⎰e cos 22sin 2()x x x xd e =+⎰ e cos22[sin 2(sin 2)]x x x x e x e d x =+-⎰ e cos 22sin 24cos 2x x x x e x e xdx =+-⎰，所以5cos 2x e xdx ⎰e cos 22sin 2x x x e x =+，cos 2xe xdx ⎰1=e (cos 22sin 2)5x x x C ++，则20cos 2xe xdx π⎰201=e (cos 22sin 2)5xx x π+21=(e 1)5π-+．例3 求2sin sin cos xdx x xπ+⎰．解令210sin sin cos x I dx x x π=+⎰，220cos sin cos xI dx x xπ=+⎰，由12I I +2200sin cos sin cos sin cos x x dx dx x x x x ππ=+++⎰⎰2012dx ππ==⎰， 21I I -2200cos sin sin cos sin cos x xdx dx x xx x ππ=-++⎰⎰21(sin cos )sin cos d x x x xπ=++⎰20ln |sin cos |x x π=+0=，所以122120I I I I π⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解方程组得14I π=，所以2sin sin cos 4x dx x x ππ=+⎰．第3节利用级数的性质计算定积分这种方法是利用一元无穷级数，并且用级数的展开形式代替被积函数来求定积分，既简便，又易计算．定理1 设()n u x 在[,]a b 上一致收敛于()S x ，又每一项()n u x 都在[,][,]a b αβ⊂上连续，则11()()()n n n n u x dx u x dx S x dx βββααα+∞+∞====∑∑⎰⎰⎰．定理2 设幂级数00()n n x x +∞=-∑的收敛半径为R ，其和为()S x ，又x ∈00(,)x R x R -+，则10000()()()1x xnn nn x x n n a S x dx a x x dx x x n +∞+∞+===-=-+∑∑⎰⎰．定理3 设()f x 在[,]ππ-上是逐段连续的函数，且其Fourier 级数为01(cos sin )2n n n a a nx b nx +∞=++∑，又设1x 和2x 是(,)ππ-上任意两点，则()221102111()()cos sin 2x x n n x x n f x dx a x x a nx b nx dx +∞==-++∑⎰⎰．定理4 设级数1()n n u x +∞=∑的各项()n u x 在[,]a b 上是（常义）可积的，且级数一致收敛，又()g x 在[,]a b 上是绝对可积的函数，则级数1()()n n u x g x +∞=∑可以逐项积分．例1 计算420cos 2ln(16cos )I mx x dx π=⋅⎰．解在区间(,)ππ-内，函数()ln(2cos )2xf x =按余弦形式展开的三角级数为11cos ln(2cos )(1)2n n x nxn +∞-==-∑(,)x ππ∈-，由此得4ln(16cos )x 24ln(2cos )2x =11cos 24(1)n n nxn +∞-==-∑(,)22x ππ∈-，因而由定理4知40cos 2ln(16cos )mx x dx μ⋅⎰211001cos 2cos 2cos 24(1)4(1)n m n nx mx mx dx dx n m μμ+∞--=⋅=-+-∑⎰⎰(,)22ππμ∈-，右边的级数对于[0,]2π上的μ一致收敛，故当02πμ→-时，上式可逐项取极限420cos 2ln(16cos )I mx x dx π=⋅⎰2120cos 24(1)m mx dx mπ-=-⎰(1)m m π=-．例2 求03(1)x dxx e π+∞-⎰．解令1u x =，21dx du u=-．当0x =时，u =+∞；当x =+∞时，0u =，则 03(1)x dxx e π+∞-⎰20311(1)udu u e uπ+∞-=-⎰1u udu e π+∞=-⎰01uuue du e ππ-+∞-=-⎰，因为0u >时，01ueπ-<<，由基本展式：011n n x x+∞==-∑，||1x <，所以1u u ue du e ππ-+∞--⎰(1)00n u n u e du π+∞+∞-+==∑⎰(1)00n un ue du π+∞+∞-+==∑⎰ (1)001()(1)n un ud en ππ+∞+∞-+==-+∑⎰(1)02201(1)n u n e n ππ+∞-++∞=-=+∑22011(1)n n π+∞==+∑16=（因为22116n nπ+∞==∑）．例3 求222220ln(cos sin )a x b x dx π+⎰．解 222220ln(cos sin )a x b x dx π+⎰222222200ln ln[1]b ab dx cos x dx bππ-=+-⎰⎰ 2222201()ln (cos )nn n b a b x dx nb ππ∞=-=-∑⎰22121(21)!!ln ()22!!n n n b a n b n b ππ∞=--=-∑，因为||1x <11(21)!!12!!n n n nx n ∞=-=+∑，从而有1x111(21)!!122!!nnnnxn∞-=-=+∑，（1）（1）式右端在区间(1,1)-内一致连续，故222111(21)!!1()22!!b annbnnx dxn∞--=-+∑⎰22121(21)!!()2!!nnnb ann b∞=--=∑．另一方面2221)b ab dxx--⎰=2ln2a bb+=-，从而有22121(21)!!()2!!nnnb ann b∞=--∑2ln2a bb+=-，因此22222ln(cos sin)a xb x dxπ+⎰ln2a bbπ+=．第4节利用概率理论计算定积分利用概率理论求定积分既简化了定积分的计算过程，又将积分与概率联系到一起，其思路就是运用概率公式，再用“凑微分法”，即直接凑成已知积分，用这种“凑微分法”可大大简化计算结果，提高计算速度．定理5若X服从正态分布，其概率密度为22()2()xp xμσ--=()x-∞<<+∞，则22()2xEX dxμσμ--+∞-∞==⎰，22()222xDX dxμσσ--+∞-∞==⎰．定理6若X服从指数分布，其概率密度为,0()0,0xe xp xxλλ-⎧>=⎨≤⎩，则1xEX xe dxλλλ+∞-==⎰，2211()xDX x e dxλλλλ+∞-=-=⎰．定理7 若X 服从Γ-分布，其概率密度为11,0()(1)0,0x x e x p x x αβαβα-+⎧≥⎪=Γ+⎨⎪<⎩，其中1α>-，0β>为常数，则1+101(1)(+1)xEX x e dx αβαβαβα-+∞+==+Γ⎰，222()(1)DX EX EX βα=-=+．定理8 若X 服从T -分布，其概率密度为1221()2()(1)()2n n x p x n n +-+Γ=+，n 为正整数，则0EX =（当1n >时）， 2nDX n =-（当2n >时）．例1 求222(3)x x edx +∞--⎰．解利用正态分布，由于222(3)x x e --是偶函数，故有222(3)x x edx +∞--⎰2221(3)2x x e dx +∞--∞=-⎰22221322x x dx dx ---∞-∞=-⎰⎰2()22EX p x dx +∞-∞=-⎰2()DX EX ⎤=--⎦=例2求205)e dx +∞+⎰．解利用指数分布，则205)edx +∞+⎰20edx dx =+⎰20()EX p x dx +∞=+⎰2()DX EX =+22+=．例3 求222(6)x x x e dx +∞--⎰．解利用Γ-分布，则2220(6)x x x e dx +∞--⎰6422224126(6)2()242(1)2x x x e dx +∞-+-=ΓΓ+⎰6262()2DX =Γ⋅8212=⋅⋅192=．例4 求223(21)(1)5x x dx +∞--∞++⎰．解利用T -分布，则223(21)(1)5x x dx +∞--∞++⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞--∞+∞--+++++=dxx dx x x dx x x 3232322)51()51(4)51(451222551()()224(1)5155()()22x x dx ++∞--∞+Γ=⋅⋅⋅++Γ⎰5122551()()22(1)5155()()22x dx ++∞--∞+Γ+⋅⋅++Γ⎰255()()224()(3)(3)EX x dx +∞-∞=⋅+ΓΓΓ⎰55()()224(3)(3)DX =⋅+ΓΓ55()()5224(3)52(3)=⋅⋅+Γ-Γ8π=⋅．第5节利用二重积分和特殊积分计算定积分二重积分一般是通过转化为累次积分即两个定积分来计算的，但从逆向思维的角度来看，有些定积分问题也可以转化为二重积分进行计算．对于某些特殊结构的被积函数而言，可先将定积分设法化为二重积分，再用二重积分的性质进行计算．另外可利用欧拉积分，椭圆积分，勒让德积分，通常将所求积分转化成某种特殊积分（如果可以转化的话），利用其特性查表求得其值．例1 求310ln x xI dx x-=⎰．解由3ln x x x -在(0,1)内连续，且30lim 0ln x x xx +→-=，31lim 2ln x x x x -→-=，故310ln x x dx x -⎰有意义．又由331ln y x x x dy x-=⎰，因此有310ln x xI dx x-=⎰1301y dx x dy =⎰⎰311y dy x dx =⎰⎰3111dy y =+⎰ln 2=．例2 求10ln b ax x I dx x-=⎰，0a >，0b >．解由于ln b a x x x -ln ln ln b x a xe e x-=ln b t x a e dt =⎰，则有 10ln b ax x I dx x -=⎰1ln 0()b t x a e dt dx =⎰⎰1ln 0()bt xaedx dt =⎰⎰110[()]1t ba x dt t +=+⎰1b adt t =+⎰1ln ||1b a +=+．例3求10I =⎰．解由于arctan xx 122011dy x y=+⎰1021arctan y y x xy x ===，则有1I =⎰110dx =⎰⎰，令cos x t =，则sin dx tdt =-．当0x =时，2t π=；当1x =时，0t =，则110I dx =⎰⎰122201cos dtdy y tπ=+⎰⎰122220111tan cos dy dt y t t π=⋅++⎰⎰10dy =⎰12π=⎰10ln(2y π=+ln(12π=+．例4求1220=I ⎰．解 ⎰--=2102224111412dx x x xI 12022dx =-⎰，令sin x ϕ=，则cos dx d ϕϕ=．当0x =时，0ϕ=；当12x =时，6πϕ=，则120-⎰⎰6=πϕϕ-⎰⎰11(,)(,)2626F E ππ=-．故有12=I ⎰112(,)2(,)2626F E ππ=-，其中1(,)26F π，1(,)26E π分别为勒让德第一类，第二类椭圆积分，经查表1(,)0.529426F π=，5179.0)6,21(=πE ，故有 ()20.52940.517920.01150.023I =⨯-=⨯=．例5求0π⎰(01)k <<．解令tan22t x =，则有tan 22x t =．利用三角恒等式可得 cos cos 1cos t k x k t -=-，211cos 1cos k k x k t-+=-，1cos dx dt k t =-，将其带入原式，得π⎰0π=⎰ 111422304(1)sincos 22(1)k t t dt k π--=+⎰11142223042(1)sincos 22(1)k t tdt k π--=+⎰，其中11222sincos 22t t dt π-⎰113(,)244B =11()(1)144132()44ΓΓ-=Γ+ 12sin 4ππ==从而有π⎰34(1)k =+．对某些特殊定积分的情形，完全可以不使用一般性的解题方法，而是要具体问题具体分析，有时还有比常规方法更简捷的方法，如上述例题中讨论的，这样可减少计算量，提高解题效率．结论本文主要研究了数学分析中定积分的计算，定积分的计算有很强的灵活性，形式多样，对具体函数的积分，我们不能只停留在常规的方法上，具体问题具体分析，只有通过积极尝试，才能寻求到简便方法，提高定积分的解题技能．定积分的计算方法与技巧丰富多样，除用定积分的定义、性质、基本公式、换元积分法与分部积分法等方法外，我们还可以巧用对称区间、概率公式、几何意义等方法和技巧来求定积分．本文介绍了一些定积分的计算方法及特殊技巧，以提高我们对于定积分的计算能力．但是求定积分的方法还有很多，需要我们不断地去探究，使这些特殊的定积分的计算大大简化．通过对定积分方法及技巧的研究，引导我们积极思考问题，提高我们的分析问题和解决问题的能力．参考文献[1] 同济大学数学系，高等数学（上册）[M]，北京：高等教育出版社，(2002)：96-97[2] 刘玉琏，傅沛仁，数学分析讲义[M]，北京：高等教育出版社，(2008)：428-430[3] 梁之舜，概率论及数理统计[M]，北京：高等教育出版社，(1998)：188-191[4] 杨传林，数学分析解题思想与方法[M]，杭州：浙江大学出版社，(2008)：97-102[5] 范培华，研究生入学考试微积分[M]，北京：北京大学出版社，(2002)：139-140[6] 刘亚琴，定积分的几种解法归类[J]，中国商界，2010，9(2)：187-188[7] 罗威，定积分计算中的若干技巧[J]，沈阳师范大学学报，2010，28(2)：165-168[8] 刘坤林，谭泽光，微积分通用辅导讲义[M]，北京：清华大学出版社，(2008)：145-146[9] 于新凯，金少华，微积分典型问题分析与习题精选[M]，天津：天津大学出版社，(2009)：93-96[10] 张景中，直来直去的微积分[M]，北京：科学出版社，(2010)：123-125[11] 魏宗舒，概率论与数理统计教程[M]，北京：高等教育出版社，(2008)：112-142[12] 陈文灯，黄先开，高等数学复习指导—思路、方法与技巧[M]，北京：清华大学出版社，(2003)：454-461致谢通过这一阶段的努力，我的毕业论文《计算定积分的若干方法》终于完成了，这意味着大学生活即将结束．在本文的撰写过程中，张姮妤老师作为我的指导老师，她治学严谨，学识渊博，视野广阔，为我营造了一种良好的学术氛围．置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了明确的学术目标，领会了基本的思考方式，掌握了通用的研究方法，而且还明白了许多待人接物与为人处世的道理．张老师严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力，与无微不至、感人至深的人文关怀，令人如沐春风，倍感温馨．正是由于她在百忙之中多次审阅全文，对细节进行修改，并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见，本文才得以成型．值此论文完成之际，谨向关心、帮助、支持和鼓励我的张姮妤老师致以最真诚的谢意和最衷心的祝福！向她无可挑剔的敬业精神、严谨认真的治学态度、深厚的专业修养和平易近人的待人方式表示深深的敬意！。

定积分的计算方法

定积分的计算⽅法定积分的计算⽅法摘要定积分是积分学中的⼀个基本问题，计算⽅法有很多，常⽤的计算⽅法有四种：（1）定义法、（2）⽜顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法。

以及其他特殊⽅法和技巧。

本论⽂通过经典例题分析探讨定积分计算⽅法，并在系统总结中简化计算⽅法！并注重在解题中⽤的⽅法和技巧。

关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法Calculation method of definite integralAbstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method,(2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills.Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method⽬录⽬录 (2)1绪论 (3)1.1定积分的定义 (3)1.2定积分的性质 (4)2 常⽤计算⽅法 (5)2.1定义法 (5)2.2⽜顿-莱布尼茨公式 (6)2.3定积分的分部积分法 (7)2.4定积分的换元积分法 (7)3 简化计算⽅法............................................................................................. 错误！未定义书签。

定积分思想的总结

定积分思想的总结定积分是微积分中的重要概念之一，它是对无穷小量的累加求和的一种推广，能够解决许多实际问题。

在学习定积分的过程中，我深刻体会到了其思想的重要性和广泛应用的价值。

定积分的思想可以概括为“分割、求和、取极限”。

它的核心思想是将一个区间分割成无穷多个无穷小的小区间，然后对每个小区间上的函数值进行求和，最后取极限得到定积分的值。

这个思想的重要性在于，它使得我们能够通过有限的计算一步步逼近无穷的过程，从而解决实际问题。

定积分使我们能够计算曲线下的面积、求解平均值等，广泛应用于物理、经济、生物等领域。

在定积分的思想中，分割是关键的一步。

通过将一个区间分割成无限多个小区间，可以使得问题更易于处理。

在分割的过程中，我们需要选择适当的分割方式，可以是等距分割、等差分割等。

分割后，每个小区间的长度趋近于零，也即取极限得到“无穷小”。

这种分割的思想使得我们能够处理连续变化的问题，将其离散化从而能够进行计算。

求和是定积分思想的另一个重要环节。

在分割后的每个小区间中，我们要对函数的值进行求和。

这个求和过程需要运用数学知识，包括加法和乘法的运算规则等。

通过将每个小区间上的函数值进行求和，我们可以得到一个近似值，这个近似值越来越接近真实值。

取极限是定积分思想的最后一步。

当我们分割越来越多的小区间，并对这些小区间上的函数值进行求和后，我们要取极限得到定积分的值。

这个极限是对无穷过程的一种抽象，它使得我们能够掌握无穷大和无穷小的概念，从而能够进行精确的计算。

在取极限的过程中，我们需要运用数理逻辑的知识，包括极限的定义和性质等。

定积分思想的应用非常广泛。

在几何学中，我们可以通过定积分计算曲线下的面积。

在物理学中，我们可以通过定积分求解质量、力、功等问题。

在经济学中，我们可以通过定积分计算消费和生产的成本、利润等。

在生物学中，我们可以通过定积分计算生物种群的增长情况等。

这些应用都是基于定积分的思想，通过将实际问题离散化，进行有限的计算后，再取极限得到结果。

定积分的总结

定积分的总结
《定积分的总结》
嘿，大家好呀！今天咱来唠唠定积分这玩意儿。

就说有一次我去买巧克力，那巧克力可真是诱人啊！我站在那柜台前，眼睛直勾勾地盯着那些各式各样的巧克力。

然后我就想啊，这每一块巧克力的大小、形状都不太一样，但要是我想知道这一整堆巧克力总的价值，该咋整呢？这时候我就突然想到了定积分！
定积分不就像是把这一堆巧克力分成好多好多小份，然后每一小份都去计算它的价值，最后加起来不就是总的价值嘛！就好像把那柜台的巧克力从这头到那头，一点点地去分析，去计算。

哎呀，当时我那个脑子啊，一下子就通透了！
你看，定积分就是这么神奇，它能把一个看起来很复杂的东西，通过细分再求和的方式给弄清楚。

就像我们生活中的很多事情，乍一看很麻烦很混乱，但要是我们用定积分的这种思路，一点一点地去剖析，去归纳，最后总能找到答案。

所以啊，以后再遇到什么难题，我就想想那堆巧克力，告诉自己，嘿，用定积分的办法，肯定能搞定！这就是我对定积分的总结啦，是不是还挺有意思的呀！哈哈！。

定积分的计算方法研究毕业论文【范本模板】

编号2013110110 研究类型理论研究分类号O17学士学位论文Bachelor’s Thesis论文题目定积分的计算方法研究作者姓名施莉学号2009111010110所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称许绍元教授论文答辩时间2013年5月25日湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书目录1。

定积分的产生背景及定义 (3)1。

1曲边梯形面积 (3)1。

2定义1 (3)1。

3定义2 (3)2.定积分的几种计算方法 (4)2。

1定义法 (4)2。

2换元法求定积分 (4)2。

3牛顿莱布尼兹公式 (8)2。

4利用对称原理求定积分 (10)2.5利用奇偶性求函数积分 (12)2。

6利用分部积分法计算定积分 (14)2.7欧拉积分在求解定积分中的应用 (15)3。

结论 (19)4。

参考文献 (19)定积分的计算技巧研究施莉(指导老师：许绍元）(湖北师范学院数学与统计学院中国黄石 435002)内容摘要：定积分在微积分中占有极为重要的位置，它与微分相比，难度大、方法灵活﹒如果单纯的按照积分的定义来计算定积分，那将是十分困难的﹒因此,我们要研究定积分的计算方法﹒常用的方法有定义法、莱布尼兹公式法、分步积分法、换元法以及其他的特殊方法﹒下面我们将探讨一下定积分的计算技巧﹒本文主要根据定积分的定义、性质、被积函数的奇偶性和对称性、以及某些具有特征的函数总结了牛顿莱布尼兹公式、换元法、分部积分、凑微分﹒目前，对于定积分的求法和应用的研究是比较全面和完善的﹒我们要学会总结归纳定积分的一般性求法以及具有特殊特征的函数的求法﹒同时,将定积分应用于数学问题的求解中以及物理学和经济学的实际问题中是非常必要的﹒关键词：定积分；求法;应用定积分的计算技巧研究1.定积分的产生背景及定义1.1曲边梯形面积设f 为闭区间上的连续函数,且由曲线直线以及轴所围成的平面图形，成为曲边梯形11()()i i i ni x x i i i S f x x ξ=-=≈∆∆=-∑变力做功:11()()i i i ni x x i i i W f x x ξ=-==∆∆=-∑定积分的意义:定义1：设闭区间上有1n -个点，依次为：0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，它们把[],a b 分成n 个小区间i ∆=[]1,i i x x -，1,2,3,,i n =﹒这些分点或者这些闭子区间构成[],a b 的一个分割,记为:{}011,,,,n n T x x x x -=或者{}12,,,n ∆∆∆，小区间i ∆的长度记为i x ∆=i x -1i x -,并记：T =max {}i x ∆,称为T 的模﹒注:由于i x ∆≤T ，1,2,3,,i n =,因此T 可用来反映[],a b 被分割的细密程度﹒另外，分割一旦给出,T 就随之而确定;但是,具有同一细度的分割却有无限多﹒ 1.2定义1设f 是定义在[],a b 上的一个函数，对于[],a b 的一个分割{}12,,,n T =∆∆∆，任取i i ξ∈∆，1,2,3,,i n =，并作和式1()i i ni x i f ξ==∆∑，称此和式为f 在上的积分和，也是黎曼和﹒显然积分既和分割T 有关,又与所选的点集{}i ξ有关﹒ 1。

定积分的计算方法研究毕业论文

定积分的计算方法研究毕业论文
一、研究背景
积分作为一种货币形式存在，可以用在零售、旅游、金融、教育等行
业领域，支持企业客户的关系管理和客户价值增长。

企业积分计算方法不
仅可以帮助企业构建客户的长期关系，还可以保持企业的竞争力，并赋予
客户价值。

近年来，各行各业均采用积分计算方法。

随着科技的发展和技
术的进步，企业的积分计算方法也发生了很大的变化，这也体现在企业积
分计算方法的实现上。

企业积分系统的研究有助于提高企业客户关系的管
理效率，提高客户满意度，实现客户管理的长期发展目标。

二、研究内容
1、确定企业积分计算方法的发展状况。

企业积分计算方法是根据客户实际情况确定的，一般包括客户的属性、行为、环境、关系等。

企业可以考虑采用多种计算方法，比如购买、贡献、参与、奖励等；也可以考虑采用多种客户定位方法，如投资能力、消费意
愿等来定位客户，从而确定客户的积分数量。

2、研究企业积分计算方法的实现过程。

企业积分计算方法的实现过程首先要确定企业计算积分的目的，然后
确定企业积分计算的方法，接着确定企业客户的数量和分级客户的积分标准，最后对企业积分计算方法进行评价。

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结论文标题：定积分的计算方法总结摘要：定积分是微积分学中的重要内容，该文通过总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、利用定积分计算面积和体积、变量替换求解定积分等方面的知识，探讨了定积分在实际问题中的应用，总结了定积分的计算方法，为读者提供了一种关于定积分计算的综合信息。

关键词：定积分；计算方法；面积；体积；变量替换1.引言定积分是微积分学中的重要工具，用于求解一条曲线所围成的面积、计算一些曲面的体积等。

在物理、经济学和工程学等领域，定积分的应用广泛。

本文主要总结并归纳定积分的计算方法，以及定积分在实际问题中的应用。

2.定积分的基本计算方法2.1基本不定积分首先，我们需要了解基本不定积分的常用公式，如幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等。

基本不定积分是求解定积分的基础，需要熟练掌握。

2.2基本定积分的计算基本定积分的计算可以通过牛顿-莱布尼茨公式进行求解，即通过求解不定积分的差来得到定积分的值。

此外，还可以通过分部积分法等方法来简化计算。

3.利用定积分计算面积和体积3.1曲线围成的面积通过定积分的计算方法，可以求解一条曲线所围成的面积。

常见的曲线有直线、抛物线、三角函数曲线等。

通过将曲线用函数表达式表示，并确定积分上下限，可以通过定积分的计算求解面积值。

3.2曲面的体积利用定积分的计算方法，可以计算曲面围成的体积。

例如，通过确定边界曲线的函数表达式，设置积分上下限，可以通过定积分计算出曲面体积的值。

4.变量替换求解定积分变量替换是定积分计算中常用的方法之一，可以将复杂的定积分转化为简单的形式。

通过选择适当的变量替换，使被积函数形式简单化，从而更容易计算定积分。

5.定积分的应用定积分在实际问题中有广泛的应用，如物体质量、质心的计算、平均值的求解、几何问题的解决等。

本文还介绍了一些实际问题，并利用定积分的计算方法得到解答。

6.结论本文总结了定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、利用定积分计算面积和体积、变量替换求解定积分等方面的知识。

定积分的应用（论文）

定积分的应用中文摘要：本文简要的讨论了定积分在数学、物理学的基本应用。

数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积；物理方面包括应用定积分去求变力对物体所做的功以及求电场的场强。

此外定积分在求数列极限、证明不等式、求和以及因式分解等方面也有广泛的应用；本文在阐述定积分的应用时，充分使用了“微元法”这一基本思路，它是我们解决许多实际问题的核心。

关键词：微元法定积分电场强度数列极限Abstract: This paper discussed the definite integral in mathematics, physics of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph, Physical aspects including application of definite integral to change to the object force and the work done for electric field. Besides definite integral in the beg sequence limit, proof, inequality summation factoring decomposition and has a wide application in, Based on the expatiation of the definite integral of application, make full use of the "micro element method" the basic idea, it is we solve many practical problems at the core.Key W ords: Micro element method definite integral electric intensity sequence limit引言：恩格斯曾经指出，微积分是变量数学最重要的部分，微积分是数学的一个重要的分支，它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具；如复杂图形的研究，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，从而使物理学得到了长足的发展，如：气象、弹道的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用得到微积分。

定积分法求面积探究毕业论文

定积分法求面积的探究教学系：专业：年级：姓名：学号：导师及职称：摘要定积分是数学中十分重要的工具，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想就是切割求和，在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。

本文介绍了几种运用定积分来求面积的方法，其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。

同时利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一。

如何灵活地运用定积分的定义及有关公式,巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题就是一大关键，本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解策略。

从而充分的体现数形结合的数学思想方法。

关键词：定积分；封闭图形；曲面域；对称性Research of square in definite integralABSTRACTA definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics area is one of its application, its thought is to cut and, under different coordinate systems can use specific method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we can use the definite integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the definite integral to solve some practical problems.At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geometry. How to flexibly use definite integral is defined and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivalent transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, introduces several commonly used transformation method and solution strategy. In order to fully reflect the combination of the mathematical thought and method.Keywords: definite integral; closed graph; surface area; symmetry目录一、引言 (5)二、相关概念 (5)1.1 定积分的定义 (5)1.2 定积分的常用计算方法 (5)1.2.1 直接利用公式及性质计算 (5)1.2.2 利用定积分的区间可加性计算 (6)三、定积分在面积问题中的应用 (6)3.1 直角坐标系下求面积 (6)3.1.1 平面面积 (6)3.1.2 曲面面积 (9)3.2 极坐标 (10)3.3 求旋转曲面的面积 (11)四、常见方法 (10)4.1 巧选积分变量 (14)4.2 巧用对称性 (15)4.3 巧用分割计算 (15)五、结束语 (16)参考文献 (17)致 (13)一、引言积分在自然科学、工程技术、经济管理中有着广泛的应用，比如利用积分求平面图形的面积、变力做功等都是微积分中定积分的应用问题，在数学分析中占据了重要地位。

定积分心得范文

【一】:定积分总结定积分讲义总结内容一定积分概念一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点ax0x1x2将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为x（xxi1xixnbba），在每个小区间xi1,xi上取一点nii1,2,,n，作和式Snf(i)xi1i1nnbaf(i) n如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。

记为Sbaf(x)dx其中f(x)成为被积函数，x叫做积分变量，[a,b]为积分区间，b积分上限，a积分下限。

说明（1）定积分baf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n时）称为f(x)dx，而不是Sn．ab（2）用定义求定积分的一般方法是①分割n等分区间a,b；②近似代替取点ixi1,xi；③求和nbbaba；④取极限 f()f(x)dxlimfiiannni1i1n例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力Fxkx（k为常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功．分析利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．解将物体用常力F沿力的方向移动距离x，则所作的功为WFx． 1．分割在区间0,b上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间 0,n1bbb2b，，，,b ,nnnn,n)，其长度为xibi1bbnnn记第i个区间为i1bib,(i1,2,nn把在分段0,n1bbb2b，，，,b上所作的功分别记作W1，W2，，Wn ,nnnn （2）近似代替定积分心得。

i1bbi1b有条件知WiF (i1,2,n, )xknnn（3）求和nnWnWii1i1i1bbkb2k=012n定积分心得。

nn2kb2nn1kb21n11 n222nkb21从而得到W的近似值 WWn1kb21kb2（4）取极限WlimWnlimWilim 1nnn2n2i1nkb2所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为2内容二定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分abf(x)dx表示由直线xa,xb(ab),y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分abf(x)dx的几何意义。

定积分的证明小论文

定积分的证明（等式与不等式）论文一．总结与归纳：一．定积分的性质两个特殊的定积分（1）如果()f x 在x a =点有意义，则()0aaf x dx =⎰；（2）如果()f x 在[],a b 上可积，则()abf x dx =⎰-()baf x dx ⎰。

.定积分的线性性设函数()f x 和()g x 在[],a b 上都可积，k 是常数，则()kf x 和()f x +()g x 都可积，并且（1）()bakf x dx ⎰=()bak f x dx ⎰;(2) ()()ba f x g x dx +⎡⎤⎣⎦⎰=()ba f x dx ⎰+()ba g x dx ⎰ (3)()()b a f x g x dx -⎡⎤⎣⎦⎰=()b a f x dx ⎰-()ba g x dx ⎰. 性质 1 定积分对于积分区间的可加性设()f x 在区间上可积，且a ，b 和c 都是区间内的点，则不论a ，b 和c 的相对位置如何，都有()caf x dx ⎰=()b af x dx ⎰+()cbf x dx ⎰。

性质 2 如果在区间[],a b 上()f x ≡1，则1badx ⎰=badx ⎰=b a -。

性质 3 如果在区间[],a b 上()f x ≥0,则()baf x dx ⎰≥0()a b <。

推论1 定积分的可比性如果在区间[],a b 上，()f x ≤()g x ，则()ba f x dx ⎰≤()bag x dx ⎰，()baf x dx ⎰≤()baf x dx ⎰。

性质 4 积分的有界性如果()f x 在[],a b 上连续，且对任意的x ∈[],a b ，都有m ≤()f x M ≤，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰。

性质 5 积分中值定理如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则在积分区间[],a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()baf x dx ⎰=()f ξ()b a -，且()f ξ=1b a-()baf x dx ⎰称为函数()f x 在区间[],a b 上的平均值。

数学分析定积分范文

数学分析定积分范文首先，让我们从定积分的定义开始。

给定一个函数f(x)，在闭区间[a,b]上的定积分表示为：∫[a,b] f(x) dx其中，f(x)是定义在[a, b]上的连续函数。

在这个表达式中，∫是积分号，a和b是积分区间的上下限，f(x)是被积函数，dx表示在x轴上的微小长度。

定积分可以被理解为曲线f(x)与x轴之间的面积。

然而，定积分的原始定义是通过将积分区间划分为无穷多个小的子区间来求得。

定积分的定义如下：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ(1→n) f(xi)Δx其中，xi是子区间中的一些点，Δx是子区间的长度。

通过令子区间的数量趋向无穷大，我们可以得到准确的定积分值。

接下来，让我们来讨论一些定积分的基本性质。

首先，定积分具有线性性质。

也就是说，对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及任意的实数a和b，有以下性质成立：∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a,b] f(x) dx + b∫[a,b] g(x) dx其次，定积分的区间可以进行换元。

例如，设x的取值范围是[a,b]，而y是x的函数y=g(x)，那么有以下等式成立：∫[a,b] f(g(x))g'(x) dx = ∫[g(a),g(b)] f(y) dy这个性质被称为变量替换法则。

另外，定积分满足区间可加性。

也就是说，如果把积分区间[a,b]划分为两个子区间[a,c]和[c,b]，那么有以下等式成立：∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,c] f(x) dx + ∫[c,b] f(x) dx这个性质是基于定积分的定义，通过对两个子区间分别进行积分，然后将结果相加得到的。

最后，我们来讨论一些常见的定积分的求解方法。

首先，最简单的情况是当被积函数是一个多项式的时候。

对于这种情况，我们可以使用幂的积分公式进行求解。

例如，对于函数f(x)=x^n，其中n是一个正整数，有以下公式成立：∫ x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C其中C是常数。

数学定积分论文

数学定积分论文----------------------------知识改变生活精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------班级:10金融2班姓名:陈永槟学号:10311071数学定积分论文【摘要】定积分是微积分学中的主要概念之一,它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念,它是函数的一种特定结构和式的极限。

这种特定结构的和式的极限,不仅是计算区域面积或度量几何体的数学工具,而且是计算许多实际问题的重要工具。

我们可以应用定积分来计算一些常见的几何量和物理量。

【关键词】定积分、面积、体积【正文】定积分是分布在区间上的整体量,因为整体是由局部组成的,所以将实际问题抽象为定积分,必须从整体着眼,从局部入手。

具体做法是,首先将区间上的整体量化成区间上每一点的微分,亦称微元,这是“化整为零”,其次,对区间上每一点的微分无限累加,连续作和,这是“积零为整”,就得到了欲求的定积分。

为了能更好的了解定积分在计算图形面积、立体图形体积上的应用,请看以下例题,例题、计算一块材料的面积,图1阴影部分的面积即为所求面积,易知,抛物线方程,直线方程为:图1----------------------------知识改变生活精品word文档值得下载值得拥有--------------------------------------------------------------------------知识改变生活精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------以上是定积分在图形面积上的应用,用类似求图形面积的思想也可以求一个立体图形的体积。

常用的方法是我们将此物体划分成血多基本的小块横截面积,则可以算出此小块的体积,再将所有的小块加起来,便可以算出其体积。

例题,求椭圆面所为立体的体积从这两个例题,让我学到了如何用定积分去求一个物体的面积、体积,它们所用的方法基本是一致的，因此定积分在实际应用中,存在很重要的地位。

定积分的数值计算方法[文献综述]

毕业论文文献综述信息与计算科学定积分的数值计算方法一、前言部分在科学与工程计算中，经常要计算定积分()()().baI f f x dx a b =-∞≤≤≤∞⎰ （1．1）这个积分的计算似乎很简单，只要求出f 的原函数F 就可以得出积分（1．1）的值，即()()().I f F b F a =- （1．2）如果原函数F 非常简单又便于使用，那么式（1．2）就提供了计算起来最快的积分法．但是，积分过程往往将导出新的超越函数，例如，简单积分1dx x ⎰可引出对数函数，它已不是代数函数了；而积分2x edx -⎰，将引出一个无法用有限个代数运算、对数运算或指数运算组合表示的函数．有些积分虽然容易求解，并且原函数仍然是一个初等函数，但可能过于复杂，以致于人们采用（1．2）来计算之前还得三思而行[1]．例如411dx C x =++⎰，（1．3）采用式（1．3）这种“精确”表达式时，所需运算次数是个根本问题．由式（1．3）看出，需计算对数和反正切，因此只能计算到一定的近似程度．因此可以看出，这类表面上是“精确”的方法，实际上也是近似的．因此，我们常常需要探讨一些近似计算定积分的数值方法[2]．通过人们的研究和发现，得出了很多数值计算的方法，比如利用牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等来解决定积分的数值计算问题．构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式．特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式．但它们的精度较差．龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式．当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分[3]．二、主题部分2．1 牛顿-科茨求积公式[4]2．1．1 公式的一般形式[4]将积分（1．1）中的积分区间[],a b 分成n 等分，其节点k x 为1,()k x a kh h b a n=+=- (0,1,,)k n =L ．对于给定的函数f ，在节点k x (0,1,,)k n =L 上的值()k f x 为已知．那么f 在n+1个节点01,,,n x x x L 上的n 次代数插值多项式为00()().n nj n kk j k j j k x x p x f x x x ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ 如果记x a th =+，则上式可以写为00()().n nn kk j j k t j p x f x k j ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ （2．1）在积分（1．1）中的被积函数f 用其n+1个节点的代数插值多项式()n p x 来代替，可得 ()()()()bbn n aaI f f x dx I f p x dx =≈=⎰⎰．多项式的积分是容易求出的，因此把上式写为()()()nn n k k I f I f A f x =≈=∑，（2．2）其中 ()00(),n n n k k j j kb a t j A dt b ac n k j=≠--==--∏⎰ (2．3) ()00(1)().!()!n kn n n kj j kct j dt k n k n -=≠-=--∏⎰ (2．4) 公式（2．2）称为牛顿-科茨求积公式或称为等距节点求积公式，k A 称为求积公式系数，()n k c 称为科茨求积系数．牛顿-科茨求积公式的误差估计()n E f ()()n I f I f =-，由下面定理给出定理2．1 (1) 如果n 为偶数，(2)n f +在[],a b 上连续，则有[]3(2)()(),,n n n n E f c hf a b ηη++=∈，（2．5）其中 201(1)(2)()(2)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ． (2) 如果n 为奇数，(1)n f+在[],a b 上连续，则有[]2(1)()(),,n n n n E f c h f a b ηη++=∈，（2．6）其中 01(1)(2)()(1)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ．定义2．1 如果求积公式()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰对所有次数不高于n 的代数多项式等式精确成立，但存在n+1次的代数多项式使等式不成立，则称上式求积公式具有n 次代数精度．由定理2．1可知，牛顿-科茨求积公式（2．2）的代数精度至少是n 次，而当n 是偶数时，（2．2）的代数精度可达n+1次．2．1．2 梯形公式[5]在牛顿-科茨公式（2．2）中，取n=1时(1)(1)011,2c c ==所以有 []1()()()().2b aI f I f f a f b -≈=+ （2．7）公式（2．7）称为梯形公式，如果用连接(),()a f a 和(),()b f b 的直线来逼近f ，并对这线性函数进行积分可得到1()I f ．再用1()I f 来逼近()I f ．定理 2．2 若[]2,f Ca b ∈，则梯形公式（2．7）的误差为[]3111()()()()''(),,.12E f I f I f b a f a b ηη=-=--∈ 2．1．3 辛普森公式[6]在牛顿-科茨公式（2．2）中,取n=2，则有220011(1)(2),46c t t dt =--=⎰221014(2),26c t t dt =--=⎰ 222011(1),46c t t dt =-=⎰有此得到2()()()4()().32h a b I f I f f a f f b +⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦（2．8）其中1()2h b a =-．式（2．8）称为辛普森公式．定理2．3 若[]4,f Ca b ∈，则辛普森公式（2．8）的误差为[]5(4)221()()()(),,.90E f I f I f h f a b ηη=-=-∈2．2 复化求积公式[7]上面已经给出了计算积分()()baI f f x dx =⎰的3个基本的求积公式：梯形公式，辛普森公式，牛顿-科茨公式，并给出了它们误差的表达式．由这些表达式可知其截断误差依赖于求积区间的长度．若积分区间的长度是小量的话，则这些求积公式的截断误差是该长度的高阶小量．但若积分区间的长度比较大，直接使用这些公式，则精度难以保证．为了提高计算积分的精度，可把积分区间分为若干个小区间，()I f 等于这些小区间上的积分和，然后对每个小区间上的积分应用上述求积公式，并把每个小区间上的结果累加，所得到的求积公式称为复化求积公式．将积分区间[],a b 作n 等分，并记,,0,1,,k b ah x a kh k n n-==+=L ，于是 11()()k kn x x k I f f x dx +-==∑⎰．2．2．1 复化梯形求积公式[8]如果需要求出一个已知函数()f x 在一个很大区间[],a b 上的积分，那么我们可以把区间分成n 个长度为x h ∆=的小区间，对每一个小区间用梯形法则，然后再把这些小区间上的积分值相加．于是就得到了计算定积分的复化梯形公式：1101210()()(222)22n bi i n n ai h hf x dx f f f f f f f -+-=≈+=+++++∑⎰L (2．9)整体积分误差等于n 个小区间上的积分误差之和：整体误差= []312''()''()''()12n h f f f ξξξ-+++L ，其中i ξ是第i 个小区间上的某一点．如果''()f x 在区间[],a b 上连续，那么由连续函数的性质可知，在区间[],a b 上存在点ξ使得''()i f ξ的平均值等于()f ξ．于是由于nh b a =-,有整体误差= 322''()''()()1212nh b a f h f O h ξξ--=-=，局部误差是3()O h ，整体误差是2()O h ．2.2.2 复化辛普森求积公式[9]对于积分()baf x dx ⎰，将[],a b 等分，每个小区间长度b ah n-=，节点记为 (0,1,2,,)k x a kh k n =+=L ，第k 个小区间记为[]1,(1,2,,)k k x x k n -=L ．记[]1,k k x x -的中点为1121()2k k k xx x --=+，则复化辛普森公式为 1112()()()4()()6n bk k ak k h f x dx S h f x f x f x --=⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦∑⎰．2．3 龙贝格积分[10]现在要介绍用龙贝格（Romberg ）命名的一个算法，龙贝格首先给出了这种算法的递推形式，假设需要积分()baI f x dx =⎰ （2．10）的近似值．在讨论过程中函数()f x 和区间[],a b 将保持不变．2．3．1 递推梯形法则[10]设()T n 表示在长度是()/h b a n =-的n 个子区间上积分I 的梯形法则．根据()''()nbai f x dx h f a ih =≈+∑⎰，我们有 00()()''()''()nn n i i b a b a T h f a ih f a i n n ==--=+=+∑∑，（2．11）这里求和符号中的两撇表示和式中第一项和最后一项减半． 2．3．2 龙贝格算法[10]在龙贝格算法中使用上述公式．设(,0)R n 表示具有2n个子区间的梯形估计，我们有[]1211(0,0)()()()21(,0)(1,0)((21))2n n n i R b a f a f b R n R n hf a i h -=⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++-⎪⎩∑ ，（2．12）对于一个适度的M 值，计算(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)R R R R M L ，并且其中没有重复的函数值的计算．在龙贝格算法的其余部分中，还要计算附加值(,)R n m ．所有这些都可以被理解为积分I 的估计．计算出(,0)R M 后，不再需要被积函数f 值的计算．根据公式[]1(,)(,1)(,1)(1,1)41m R n m R n m R n m R n m =-+-----，（2．13）对于1n ≥和1m ≥构造R 阵列的各列．定理 2．4（龙贝格算法收敛性定理）[10]若[],f C a b ∈，则龙贝格阵列中每一列都收敛于f 的积分．因此，对每个m ，lim (,)()baR n m f x dx =⎰．2．4高斯求积[11]前面研究的求积公式都是事先确定了n 个节点，然后按使求积公式阶数达到最大的原则选取最佳权．由于自由参数为n 个，所以阶数一般为n-1，但如果节点的位置也自由选择，则自由参数的个数将变为2n ，因此求积公式的阶数可达到2n-1．高斯求积公式就是通过选择最佳的节点和权，使求积公式的阶数最大化．一般地，对每个n ，n 点高斯公式都是唯一的，而且阶数为2n-1．因而，对一定的节点个数，高斯求积公式的精度是最高的．但它的求得比牛顿—柯特斯公式要困难得多．虽然它的节点和权也可由待定系数法确定，但得到的方程是非线性的．2．4．1 高斯求积公式[11]为说明高斯求积公式，推导区间[]1,1-上的两点公式1112221()()()()()I f f x dx w f x w f x G f -=≈+=⎰，其中的节点1x 、2x 及权1w 、2w 按使求积公式阶数最大化的原则选取．令公式对前四个单项式精确成立，得力矩方程组112111122112221122113331122112,0,2,30.w w dx w x w x xdx w x w x x dx w x w x x dx ----⎧+==⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪+==⎪⎪+==⎪⎩⎰⎰⎰⎰这个非线性方程组的一个解为12121,1,x x w w =-===另一个解可通过改变1x ，2x 的符号而得到．这样，两点高斯求积公式为2()(G f f f =-+，阶数为3．另外，高斯求积公式的节点也可以由正交多项式得到．若p 是n 次多项式，且满足()0,0,,1,bk ap x x dx k n ==-⎰L 则p 与[],a b 区间上所有次数小于n 的多项式正交，容易证明：1． p 的n 个零点都是实的、单的，且位于开区间(,)a b ．2．区间[],a b 上以p 的零点为节点的n 点插值型求积公式的阶数为2n-1，是唯一的n 点高斯公式．定义2．2[12] 如果1n +个节点的求积公式()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰（2．14）的代数精度达到21n +，则称式（2．14）为高斯型求积公式，此时称节点k x 为高斯点，系数k A 称为高斯系数．定理2．5[12] 以01,,,n x x x L 为高斯点的插值型求积公式具有21n +次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式101()()()()n n x x x x x x x ω+=---L与任意次数不超过n 的多项式()p x 带权()x ρ均在区间[],a b 上正交，即1()()()0bn ax p x x dx ρω+=⎰．（2．14）定理2．6 高斯公式()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑⎰（2．15）的求积系数k A 全为正，且 2()(),0,1,,bbk k k aaA l x dx l x dx k n ===⎰⎰L ．（2．16）定理2．7 对于高斯公式（2．14），其余项为 (22)211()()()()(22)!b n n a R f f x x dx n ξρω++=+⎰ ，（2．17）其中[]101,,()()()().n n a b x x x x x x x ξω+∈=---L2．4．2 高斯—勒让德（Gauss-Legendre ）公式[13] 对于任意求积区间[],a b ，通过变换22a b b ax t +-=+，可化为区间[]1,1-，这时11()()222bab a a b b af x dx f t dt --+-=+⎰⎰．因此，不失一般性，可取1,1a b =-=，考查区间[]1,1-上的高斯公式 11()()ni i i f x dx A f x -==∑⎰．（4．5）我们知道，勒让德多项式1211111()(1)2(1)!n n n n n d L x x n dx+++++⎡⎤=-⎣⎦+，（4．6）是区间[]1,1-上的正交多项式，因此，1()n L x +的n+1个零点就是高斯公式（4．5）的n+1个节点．特别地，称1()n L x +的零点为高斯点，形如（4．5）的高斯公式称为高斯—勒让德公式．以上这些公式中的节点和求积系数可查表得到． 2．4．3 高斯—哈米特求积公式（Gauss-Hermite ）[14] Gauss-Hermite 求积公式2()0()()nx n k k k ef x dx f x ω∞--∞=≈∑⎰，（4．7）其余项为(22)1(().2(22)!n n n n R f f n ξ+++=+ （4．8）2．4．4 高斯—切比雪夫（Gauss-Chebyshev ）求积公式[15] 区间为[]1,1-，权函数()x ρ=Gauss 型求积公式，其节点k x 是Chebyshev多项式1()n T x +的零点，即21cos (0,1,,)2(1)k k x k n n π⎡⎤+==⎢⎥+⎣⎦L ，而(0,1,,)1k A k n n π==+L于是得到1021cos 12(1)nk k f n n ππ-=⎡⎤+≈⎢⎥++⎣⎦∑⎰（4．9）称为Gauss-Chebyshev 求积公式，公式的余项为 (22)2(1)2()(),(1,1)2(22)!n n n R f f n πηη++=∈-+ ，（4．10）这种求积公式可用于计算奇异积分．2．5 递推型高斯求积[10]高斯求积公式不具有递推性：当节点个数一定时，如果自由选择所有的节点和权以达到最高的阶数，则节点个数不同的公式一般没有公共节点，这意味着与一组节点对应的积分值，在用另外一组节点计算积分值时不能被利用．Kronrod 求积公式避免了这种工作量的增加，这类公式是对称的，n 点高斯公式n G 与2n+1个点Kronrod 公式21n K +对应．21n K +节点的约束条件为：以n G 的节点作为21n K +的节点，按求积公式达到最高阶数的要求确定21n K +中剩下的n+1个节点及2n+1个权（其中包括n G 的节点的权）．这样，求积公式的阶数可达到3n+1，而真正2n+1个点高斯公式应该是4n+1阶的，所以精度和效率是一对矛盾．使用两个节点个数不同的求积公式的主要原因是可以用它们的差估计积分近似值的误差．使用Gauss-Kronrod 公式对时，若以21n K +的值作为积分的近似值，则一半基于理论，一半基于经验，可以得到关于误差的保守估计： 1.521(200)n n G K +-．Gauss-Kronrod 公式不仅有效地提供了较高的精度，还给出了可靠误差估计，所以它被认为是最有效的求积公式之一，并且构成了主要软件库中求积程序的基础，特别地，公式715(,)G K 已被普遍使用．三、总结部分因为一些定积分的求解比较复杂，所以数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题．各种定积分的数值计算方法的出现和发展，加快和简化了求解定积分的效率和步骤．以上主要介绍了各种数值积分的方法——牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式等．每种方法都有各自的优缺点，针对不同的积分函数采用不同的方法，所以在实际计算时，要做适当的采取．相信随着理论分析和研究的日益深入，求定积分的数值计算方法将更加简单和完善，为我们的计算带来前所未有的方便，在数学领域也将会更上一层楼．四、参考文献[1] 孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初．计算方法与实习（第4版）[M]．南京：东南大学出版社，2009,(2)： 128~129．[2]Micheal T ．Heath ．张威，贺华，冷爱萍译．科学计算导论（第2版）[M]．北京：清华大学出版社，2005，(10)： 396~297．[3]李桂成．计算方法[M]．北京：电子工业出版社，2005，(10)：186．[4] 现代应用数学手册编委会．现代应用数学手册——计算与数值分析卷[M]．北京：清华大学出版社，2005，(1)： 163~168．[5] 林成森．数值计算方法（上）[M]．北京：科学出版社，2004，(5)： 220~221．[6]冯康．数值计算方法[M]．北京：国防工业出版社，1978，(12)： 45~47．[7]孙志忠，袁慰平，闻震初．数值分析（第2版）[M]．南京：东南大学出版社，2002，(1)： 191~194．[8] （美）柯蒂斯F ．杰拉尔德帕特里克O ．惠特莱．应用数值分析（第7版）[M]．北京：机械工业出版社，2006，(8)： 222~225．[9]夏爱生，胡宝安，孙利民，夏凌辉．复化Simpson 数值求积公式的外推算法[J]．军事交通学院学报．2006，第8卷（第1期）： 66~68．[10]（美）David Kincaid, Ward Cheney ．王国荣，俞耀明，徐兆亮译．数值分析（原书第三版）[M]．北京：机械工业出版社，2005，(9)： 400~403．[11]M．T．Heath． Scientific Computing:An Introductory Survey, Sscond Edition[M]．清华大学出版社．英文影印版． 2001，(10)： 351~355．[12]封建湖，车刚明，聂玉．数值分析原理[M]．北京：科学出版社，2001，(9)： 111~114．[13]杨大地，涂光裕．数值分析[M]．重庆：重庆大学出版社,，2006，(9)： 139~142．[14] 黄明游，刘播，徐涛．数值计算方法[M]．北京：科学出版社，2005，(8)：137~138．[15]Jeffery J．Leader． Numerical Analysis and Scientific Computation[M]．英文影印本．北京：清华大学出版社，2005，(8)： 342~349。

定积分的计算范文

定积分的计算范文定积分是定义在闭区间上的一类函数的积分，它是求解曲线下方面积的一种方法。

本文将重点介绍定积分的计算方法。

在开始之前，我们需要先了解一些基本概念。

首先，我们来回顾一下导数的定义。

对于函数$f(x)$，它的导数$f'(x)$表示函数在其中一点$x$处的变化率。

具体来说，$f'(x)$表示函数曲线在$x$处的切线斜率。

导数函数是函数$f(x)$的变化率的函数，它是$f(x)$的导数。

那么，定积分的本质是什么呢？其实，定积分可以看作是一个累积的过程。

首先我们将积分区间进行离散化，将积分区间分割成许多小的子区间。

然后，在每个子区间上，我们可以用一个矩形的面积来逼近曲线下的面积。

当我们将子区间的数量无限增加时，这些小的矩形的面积之和的极限就是定积分的值。

具体来说，对于一个函数$f(x)$和闭区间$[a,b]$，我们将区间划分成$n$个小的子区间。

每个子区间的宽度为$\Delta x=(b-a)/n$。

然后，在每个子区间$[x_{i-1},x_i]$上，我们可以用$f(x_i)$来逼近曲线的高度。

这样，我们可以将每个子区间上的面积近似为$\DeltaA_i=f(x_i)\Delta x$。

然后，我们将所有子区间上的面积相加，得到定积分的近似值$S_n$，即$S_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x$。

当我们将$n$趋近于无穷大时，即$\Delta x$趋近于0时，$S_n$的极限就是定积分的值。

下面，我们将介绍定积分的计算方法。

1.几何法：几何法是最直观的一种计算定积分的方法。

它通过几何图形的面积来计算定积分。

具体来说，我们可以将定义在闭区间上的函数曲线与$x$轴之间的面积进行分割，然后用一些简单的几何形状（如矩形、梯形或三角形）来逼近这些小区间上的面积，最后将这些小面积相加，得到定积分的值。

2. 分部积分法：分部积分法是一种通过递推进行积分的方法。

它适用于一些由两个函数的乘积构成的积分。