理论力学第12章
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MO O s
α (a)
例题2-4
解： 取鼓轮、绳索和物体 A 组成的系统为研究对象。 系统从静止开始运动的，初动能 T1 = 0。在
W2 a M0 v W1 FOy O
FOx
重物上升的单向路程为 s 时，系统的动能 T2 可计
算如下。 用 v 表示这时物体的速度大小，则鼓轮的角 速度大小=v/r，从而有
式中 1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
δW F dr Ft ds Ft Rd
由
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
M z Ft R
W M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
F 的功为
W12 M z d
（1）平移刚体的动能
1 2 1 2 T mi vi vC mi 2 2
1 2 即 T mvC 2
（2）定轴转动刚体的动能
1 1 1 2 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri 2 2 2 1 2 即 T J z 2
（3）平面运动刚体的动能 速度瞬源自文库为P
v 2M O W2 sin f cos rgs W1 2 W2 r 2
根号内必须为正值，故当满足MO≥W2r(sin+f cos )时，卷扬机才能开始工作。
● 物体 A 的加速度
2 MO v2 W W 0 W sin fW cos s 1 2 2 2 2 2g r r
W
由 得
12
mi g ( z i1 z i 2 )
mzC mi zi
W12 mg ( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
2、弹性力的功
弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力
F k (r l0 )er
A2
弹性力的功为
W12
A1
m h Ⅰ
即对质点从开始下落至弹簧压缩到最大
值的过程应用功能定理。
Ⅱ
在这一过程的始末位置质点的动能 都等于零。在这一过程中，重力作的功 为 mg(h+smax) ，弹簧力作的功同上， 于是有
mg F
smax
Ⅲ
k 2 0 0 mg (h smax ) smax 2
解得的结果与前面所得相同。
1 1 2 T J p ( J C md 2 ) 2 2 2 1 2 1 得 T mvC J C 2 2 2
即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和.
上面结论也适用于刚体的任意运动.
§12-3
1、质点的动能定理
动能定理
d 将 m F 两端点乘 dt dr , dt 得 m d F dr 1 2 由于 m d d( m ), F dr W 2 1 2 因此 d( m ) W 2
smax
Ⅲ
度系数为 k 。求弹簧的最大
压缩量。
例题2-3
解： 取物体为研究对象。
物体从位置Ⅰ落到板上时是自由落体运
m Ⅰ
动，速度由0增到v1，动能由0变为
mg
1 2 mv1 。 2
h Ⅱ smax
在这段过程中，重力作的功为 mgh。 应用动能定理
T1T2 = ∑W
Ⅲ
得
1 2 mv1 0 mgh 2
v1 2 gh
物体继续向下运动，弹簧被压缩，物
m h
体速度逐渐减小。当速度等于零时，弹簧
Ⅰ
被压缩到最大值 smax 。 在这段过程中重力作的功为 mgsmax ，弹 簧力作的功为
Ⅱ
mg F
smax
Ⅲ
1 2 。 k 0 smax 2
应用功能定理得
1 2 1 2 0 mv1 mgsmax ksmax 2 2
其中:FR 为力系主失, M C 为力系对质心的主矩.
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
~ 2 时,力系的功为
W12
C2
C1
2 FR drC M C d
1
即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代数和, 也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和.
第十二章
动能定理
§12-1 力的功
一、常力在直线运动中的功
W F cos s F s
功是代数量 单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m
二、变力在曲线运动中的功
元功
δW F cos ds
δW F dr
记
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
O s M0 B M0 O
FOy FOx
m1g
s
A
vA
FN P
rA
P θ
ωA
A m2g Fs
θ
思考题
若将重 W2 的物体 A 改变成半径为rA的匀质滚子，且绳子缠绕在滚子 上，试求滚子A 沿斜面上升距离 s 时物体 A的速度和加速度。 ω
O FOy
动能:
FOx
T2
1 1 W2 2 1 2 J O 2 v A J A A 2 2 g 2
1
2
若
M z 常量 M z ( 2 1 )
则 W12
由 vi vC viC 两端乘dt,有
4. 平面运动刚体上力系的功
作用在 Mi 点的力 Fi 的元功为 δWi F i dri Fi drC Fi driC
柔索等约束的约束力作功等于零.
称约束力作功等于零的约束为理想约束.
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.
内力作功之和不一定等于零.
思考：
当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？
m h
例题 质量为 m 的物体，
Ⅰ
自高处自由落下 ，落到下
面有弹簧支持的板上 ，如
Ⅱ
图所示。设板和弹簧的质 量都忽略不计 ，弹簧的刚
质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作 用在质点上力的元功。
积分之,有
1 1 2 2 m 2 m1 W12 2 2
质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过程中,质 点动能的改变量等于作用于质点的力作的功.
2、质点系的动能定理
1 2 由 d ( mii ) Wi 2 1 2 求和 d ( mii ) Wi 2
例题 运送重物用的卷扬机如图 (a) 所示。已知鼓轮重 W1 ,半径是 r,对
转轴 O 的回转半径是 。在鼓轮上作用着常值转矩 MO ,使重 W2 的物体 A 沿倾角为 的直线轨道向上运动。已知物体 A 与斜面间的动摩擦系数 是 f 。假设系统从静止开始运动，绳的倾斜段与斜面平行，绳的质量和轴 承 O 的摩擦都忽略不计。试求物体 A 沿斜面上升距离 s 时物体 A的速度 和加速度。
M0 W2 a v
FOy O W1
FOx
根据T2 T1=∑W，有
2
W MO W2 sin s F s s M O W2 sin s W2 f cos s r
F
FN (b)
MO v2 W W 0 W sin fW cos s 1 2 2 2 2 2g r r ● 由此求出物体 A 的速度
1 1 2 0 mv12 mgsmax ksmax 2 2
m h Ⅰ
求得
smax
Ⅱ
mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k
mg F
smax
Ⅲ
由于弹簧的压缩量必定是正值，因此答 案取正号，即
smax
mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k
讨论
同时也可把上两段合在一起考虑，
说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用;
2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立;
3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运动, f, 初静止。 求:O走过S路程时力的功。
解：
可将力系向点O 简化，即
S W ( F FT Fd )S ( FT R Fd R) R
T2 1 1 W2 2 1 W1 2 v 2 1 W2 2 v J O 2 v ( )( ) 2 g r 2 g 2 2 g
F
FN (b)
v2 2 ( 2 W1 W2 ) 2g r
v2 2 T2 ( 2 W1 W2 ) T1 = 0 , 2g r 在物体 A 上升 s 路程中，作用在系统上的力的总功为
力 F 在 M1 ~ M 2 路程上的功为 M2 M2 W12 M1 δW M1 F ·dr
W Fx dx Fy dy Fz dz
三、几种常见力的功 1、重力的功 质点
Fx Fy 0 Fz mg
质点系
2 W12 z z1 mgdz mg ( z1 z2 )
FOy
O M0 m1g
动能:
FOx
s
ωA
A m2g Fs
vA
FN P θ
a
T2
1 1 W2 2 1 2 J O 2 v A J A A 2 2 g 2
力的功:
vA vA , A rA r
W M
O
W2 sin s
s , r
思考题
若将重 W2 的物体 A 改变成半径为rA的匀质滚子，且绳子缠绕在滚子 上，试求滚子A 沿斜面上升距离 s 时物体 A的速度和加速度。 ω
A2
F dr
k (r l0 )er dr
A1
因 得
1 r 1 er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
W12 k (r l0 )dr
r2 r1
即
k 2 2 W12 ( 1 2 ) 2
思考题 若将重 W2 的物体 A 改变成半径为rA的匀质滚子，试求滚子A 沿斜面 上升距离 s 时物体 A的速度和加速度。 ω
s A O M0 A P θ m2g Fs FOy O M0 m1g FOx
ωA
vA
FN P θ
a
rA
思考题 若将重 W2 的物体 A 改变成半径为rA的匀质滚子，试求滚子A 沿斜面 上升距离 s 时物体 A的速度和加速度。 ω
dri drC driC
其中 F dr F cos MC d M ( F )d i iC i C i
力系全部力的元功之和为
W Wi
Fi drC M C ( Fi )d
drC M C d FR
FS 2 Fd S
FS 2mg fs
不作功的力可不考虑,因此亦可如下计算:
S W ( F Fd )S Fd R R FS 2Fd S
§12-2
1、质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T m 2
单位：J（焦耳）
2、质点系的动能
1 2 T mii 2
M0 W2 a v W1 FOy O FOx
M O W2 sin f cos a rg 2 2 W1 W2 r
F
FN
思考题
如何求绳子拉力和物体A与斜面间的摩擦力？ a
A m2g Fs FT
O M0
A θ
θ
FN
m2a=FT － Fs － mgsin θ
0=FN－m2g cosθ
(1)
把式(1)中的s看作变值，并求两端对时间 t 的导数，有
2v dv 2 M ds ( 2 W1 W2 ) ( O W2 sin fW2 cos ) 2 g dt r r dt
考虑到在直线运动中 dv / dt = a，ds / dt = v，故 物体 A 的加速度
得
d T Wi
质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量，等于作
用于质点系全部力所作的元功的和.
积分之,有
T2 T1 Wi
质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过程 中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部力
在这段过程中所作功的和.
3、理想约束
光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的
α (a)
例题2-4
解： 取鼓轮、绳索和物体 A 组成的系统为研究对象。 系统从静止开始运动的，初动能 T1 = 0。在
W2 a M0 v W1 FOy O
FOx
重物上升的单向路程为 s 时，系统的动能 T2 可计
算如下。 用 v 表示这时物体的速度大小，则鼓轮的角 速度大小=v/r，从而有
式中 1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
δW F dr Ft ds Ft Rd
由
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
M z Ft R
W M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
F 的功为
W12 M z d
（1）平移刚体的动能
1 2 1 2 T mi vi vC mi 2 2
1 2 即 T mvC 2
（2）定轴转动刚体的动能
1 1 1 2 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri 2 2 2 1 2 即 T J z 2
（3）平面运动刚体的动能 速度瞬源自文库为P
v 2M O W2 sin f cos rgs W1 2 W2 r 2
根号内必须为正值，故当满足MO≥W2r(sin+f cos )时，卷扬机才能开始工作。
● 物体 A 的加速度
2 MO v2 W W 0 W sin fW cos s 1 2 2 2 2 2g r r
W
由 得
12
mi g ( z i1 z i 2 )
mzC mi zi
W12 mg ( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
2、弹性力的功
弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力
F k (r l0 )er
A2
弹性力的功为
W12
A1
m h Ⅰ
即对质点从开始下落至弹簧压缩到最大
值的过程应用功能定理。
Ⅱ
在这一过程的始末位置质点的动能 都等于零。在这一过程中，重力作的功 为 mg(h+smax) ，弹簧力作的功同上， 于是有
mg F
smax
Ⅲ
k 2 0 0 mg (h smax ) smax 2
解得的结果与前面所得相同。
1 1 2 T J p ( J C md 2 ) 2 2 2 1 2 1 得 T mvC J C 2 2 2
即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和.
上面结论也适用于刚体的任意运动.
§12-3
1、质点的动能定理
动能定理
d 将 m F 两端点乘 dt dr , dt 得 m d F dr 1 2 由于 m d d( m ), F dr W 2 1 2 因此 d( m ) W 2
smax
Ⅲ
度系数为 k 。求弹簧的最大
压缩量。
例题2-3
解： 取物体为研究对象。
物体从位置Ⅰ落到板上时是自由落体运
m Ⅰ
动，速度由0增到v1，动能由0变为
mg
1 2 mv1 。 2
h Ⅱ smax
在这段过程中，重力作的功为 mgh。 应用动能定理
T1T2 = ∑W
Ⅲ
得
1 2 mv1 0 mgh 2
v1 2 gh
物体继续向下运动，弹簧被压缩，物
m h
体速度逐渐减小。当速度等于零时，弹簧
Ⅰ
被压缩到最大值 smax 。 在这段过程中重力作的功为 mgsmax ，弹 簧力作的功为
Ⅱ
mg F
smax
Ⅲ
1 2 。 k 0 smax 2
应用功能定理得
1 2 1 2 0 mv1 mgsmax ksmax 2 2
其中:FR 为力系主失, M C 为力系对质心的主矩.
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
~ 2 时,力系的功为
W12
C2
C1
2 FR drC M C d
1
即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代数和, 也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和.
第十二章
动能定理
§12-1 力的功
一、常力在直线运动中的功
W F cos s F s
功是代数量 单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m
二、变力在曲线运动中的功
元功
δW F cos ds
δW F dr
记
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
O s M0 B M0 O
FOy FOx
m1g
s
A
vA
FN P
rA
P θ
ωA
A m2g Fs
θ
思考题
若将重 W2 的物体 A 改变成半径为rA的匀质滚子，且绳子缠绕在滚子 上，试求滚子A 沿斜面上升距离 s 时物体 A的速度和加速度。 ω
O FOy
动能:
FOx
T2
1 1 W2 2 1 2 J O 2 v A J A A 2 2 g 2
1
2
若
M z 常量 M z ( 2 1 )
则 W12
由 vi vC viC 两端乘dt,有
4. 平面运动刚体上力系的功
作用在 Mi 点的力 Fi 的元功为 δWi F i dri Fi drC Fi driC
柔索等约束的约束力作功等于零.
称约束力作功等于零的约束为理想约束.
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.
内力作功之和不一定等于零.
思考：
当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？
m h
例题 质量为 m 的物体，
Ⅰ
自高处自由落下 ，落到下
面有弹簧支持的板上 ，如
Ⅱ
图所示。设板和弹簧的质 量都忽略不计 ，弹簧的刚
质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作 用在质点上力的元功。
积分之,有
1 1 2 2 m 2 m1 W12 2 2
质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过程中,质 点动能的改变量等于作用于质点的力作的功.
2、质点系的动能定理
1 2 由 d ( mii ) Wi 2 1 2 求和 d ( mii ) Wi 2
例题 运送重物用的卷扬机如图 (a) 所示。已知鼓轮重 W1 ,半径是 r,对
转轴 O 的回转半径是 。在鼓轮上作用着常值转矩 MO ,使重 W2 的物体 A 沿倾角为 的直线轨道向上运动。已知物体 A 与斜面间的动摩擦系数 是 f 。假设系统从静止开始运动，绳的倾斜段与斜面平行，绳的质量和轴 承 O 的摩擦都忽略不计。试求物体 A 沿斜面上升距离 s 时物体 A的速度 和加速度。
M0 W2 a v
FOy O W1
FOx
根据T2 T1=∑W，有
2
W MO W2 sin s F s s M O W2 sin s W2 f cos s r
F
FN (b)
MO v2 W W 0 W sin fW cos s 1 2 2 2 2 2g r r ● 由此求出物体 A 的速度
1 1 2 0 mv12 mgsmax ksmax 2 2
m h Ⅰ
求得
smax
Ⅱ
mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k
mg F
smax
Ⅲ
由于弹簧的压缩量必定是正值，因此答 案取正号，即
smax
mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k
讨论
同时也可把上两段合在一起考虑，
说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用;
2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立;
3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运动, f, 初静止。 求:O走过S路程时力的功。
解：
可将力系向点O 简化，即
S W ( F FT Fd )S ( FT R Fd R) R
T2 1 1 W2 2 1 W1 2 v 2 1 W2 2 v J O 2 v ( )( ) 2 g r 2 g 2 2 g
F
FN (b)
v2 2 ( 2 W1 W2 ) 2g r
v2 2 T2 ( 2 W1 W2 ) T1 = 0 , 2g r 在物体 A 上升 s 路程中，作用在系统上的力的总功为
力 F 在 M1 ~ M 2 路程上的功为 M2 M2 W12 M1 δW M1 F ·dr
W Fx dx Fy dy Fz dz
三、几种常见力的功 1、重力的功 质点
Fx Fy 0 Fz mg
质点系
2 W12 z z1 mgdz mg ( z1 z2 )
FOy
O M0 m1g
动能:
FOx
s
ωA
A m2g Fs
vA
FN P θ
a
T2
1 1 W2 2 1 2 J O 2 v A J A A 2 2 g 2
力的功:
vA vA , A rA r
W M
O
W2 sin s
s , r
思考题
若将重 W2 的物体 A 改变成半径为rA的匀质滚子，且绳子缠绕在滚子 上，试求滚子A 沿斜面上升距离 s 时物体 A的速度和加速度。 ω
A2
F dr
k (r l0 )er dr
A1
因 得
1 r 1 er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
W12 k (r l0 )dr
r2 r1
即
k 2 2 W12 ( 1 2 ) 2
思考题 若将重 W2 的物体 A 改变成半径为rA的匀质滚子，试求滚子A 沿斜面 上升距离 s 时物体 A的速度和加速度。 ω
s A O M0 A P θ m2g Fs FOy O M0 m1g FOx
ωA
vA
FN P θ
a
rA
思考题 若将重 W2 的物体 A 改变成半径为rA的匀质滚子，试求滚子A 沿斜面 上升距离 s 时物体 A的速度和加速度。 ω
dri drC driC
其中 F dr F cos MC d M ( F )d i iC i C i
力系全部力的元功之和为
W Wi
Fi drC M C ( Fi )d
drC M C d FR
FS 2 Fd S
FS 2mg fs
不作功的力可不考虑,因此亦可如下计算:
S W ( F Fd )S Fd R R FS 2Fd S
§12-2
1、质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T m 2
单位：J（焦耳）
2、质点系的动能
1 2 T mii 2
M0 W2 a v W1 FOy O FOx
M O W2 sin f cos a rg 2 2 W1 W2 r
F
FN
思考题
如何求绳子拉力和物体A与斜面间的摩擦力？ a
A m2g Fs FT
O M0
A θ
θ
FN
m2a=FT － Fs － mgsin θ
0=FN－m2g cosθ
(1)
把式(1)中的s看作变值，并求两端对时间 t 的导数，有
2v dv 2 M ds ( 2 W1 W2 ) ( O W2 sin fW2 cos ) 2 g dt r r dt
考虑到在直线运动中 dv / dt = a，ds / dt = v，故 物体 A 的加速度
得
d T Wi
质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量，等于作
用于质点系全部力所作的元功的和.
积分之,有
T2 T1 Wi
质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过程 中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部力
在这段过程中所作功的和.
3、理想约束
光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的