垂径定理的应用
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2 2
A
O · D C
B
例3 1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱 是圆弧形，它的跨度（弧所对是弦的长）为 37.4 米，拱高（弧 的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径（精 确到0.1米）.
赵 州 桥
赵州桥的历史 赵州桥位于石家庄东南约40多公里的赵县境内，当地俗称为大 石桥。该桥建于隋代大业元年至十一年（605~616），是工匠李 春设计建造的，距今已有1400年，是中国现存最著名的一座古 代石拱桥。 赵州桥以历史悠久而闻名于世，被誉为“华北四宝之一”。 在桥两端的石拱上，辟有两个券洞，这种结构叫“敞肩拱”， 是世界桥梁中的首创。
赵州桥的主要特点： 1、全长64.4米，全桥只有一个大拱，像一张弓；跨度为 37.4 米， 拱高为7.2米;
2、大拱的两肩上各有两个小拱，增加过水量，减轻桥身重量；
3、拼成大拱的二十八道拱圈都能独立支撑重量； 4、全桥形式优美，结构坚固，历史悠久，雕刻古朴美观，。
拱顶
拱 7 . 2m 高 拱 脚Hale Waihona Puke Baidu 平 线
⑴d + h = r
⑵
a 2 2 2 r = d +( ) 2
A
O · D C
B
1.课本：P69 15、16
2.课堂5分钟练习：垂径定理（3）
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
7.2
A
D
B
R
OA2 = AD2 + OD 2 , 即R 2 = 18.7 2 + ( R - 7.2) 2 .
解得 R≈27.9（米）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9米.
O
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所 示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. （200mm）
跨 度3 7 . 4 m
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为R米， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
AB
据垂径定理，D是AB的中点，C是
由题设
AB
的中点，CD就是拱高.
37.4
C
AB = 37.4, CD = 7.2, 1 1 AD = AB = 37.4 = 18.7, 2 2 OD = OC - DC = R - 7.2.
⊙O的半径 OA为5 cm
4、如图，在弓形ACB中，AB＝16cm，弓形的高CD 为4cm，求弓形所在的圆的半径。
解：设弓形的圆心为O，则O在CD的延长线上 连结OA，设OA= x cm
C
2
OA 在 RtAOD 中， 2 = OD 2 + AD 2
∴ x = ( x - 4) + 8
2 2
A
D
1 ED = CE = CD A 2 在Rt OED中，依题意知：
2 2
C
E O
D
B
OD＝ 米，OE＝2.5 - 2＝2.5米 1.3 ED ＝ （ ）（0.5）＝7.2米 1.3 CD＝2ED ＝2.4米 2.3米 这辆卡车能通过通道。
1、初步懂得用数学模型把实际问题转变成一个数学问题来解决. 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想 来解决问题. 3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另 外两个量，如图有：
A
O ø650 ┌ E
D
600
B
如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半 圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2米， 半径为1.3米，现有一辆高2.5米，宽2.3米的送家具的卡车，问 这辆卡车能否通过通道，请说明理由。
解：如图，用半圆O表示通道上面的 半圆，AB为直径，弦CD平行AB， 过O作于E，连结OD，据垂径定理 知：
A D O
B
C
3、解：设OA= x cm ,则OD=（x-2)cm, A C为 AB中点，且OC过圆心 OC AB 1 1 AD＝BD＝ AB＝ ×8＝4 cm
D O
B
2
2
在 RtAOD 中 OA 2 = OD 2 + AD 2 x 2 = ( x - 2) 2 + 4 2 2 = x 2 - 4 x + 16 x x = 5 cm
九年级上册
垂径定理及其推论
（1）过圆心； （2）垂直于弦；
C
（3）平分弦；
（4）平分优弧；
知二得三
A
O E B D
（5）平分劣弧； *平行弦所夹的弧相等
1、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，
OC AB
C
于D，AB = 8cm ，OD = 3cm. 求⊙O 的半径OA. ( 5cm )
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦， OC交 AB 于D 且D为AB 的中点，AB = 8cm ，OA = 5cm. 求CD. ( 2cm ) 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 ⌒ AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 2cm. 求 ⊙O的半径OA .
B
x 2 = x 2 - 8 x + 16 + 64
∴ x = 10 (cm) ∴ 弓形所在的圆的半径为10cm O
小结：对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、 弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求 出另外两个量，如图有：
⑴d+h=r
⑵
a 2 r = d +( ) 2
A
O · D C
B
例3 1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱 是圆弧形，它的跨度（弧所对是弦的长）为 37.4 米，拱高（弧 的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径（精 确到0.1米）.
赵 州 桥
赵州桥的历史 赵州桥位于石家庄东南约40多公里的赵县境内，当地俗称为大 石桥。该桥建于隋代大业元年至十一年（605~616），是工匠李 春设计建造的，距今已有1400年，是中国现存最著名的一座古 代石拱桥。 赵州桥以历史悠久而闻名于世，被誉为“华北四宝之一”。 在桥两端的石拱上，辟有两个券洞，这种结构叫“敞肩拱”， 是世界桥梁中的首创。
赵州桥的主要特点： 1、全长64.4米，全桥只有一个大拱，像一张弓；跨度为 37.4 米， 拱高为7.2米;
2、大拱的两肩上各有两个小拱，增加过水量，减轻桥身重量；
3、拼成大拱的二十八道拱圈都能独立支撑重量； 4、全桥形式优美，结构坚固，历史悠久，雕刻古朴美观，。
拱顶
拱 7 . 2m 高 拱 脚Hale Waihona Puke Baidu 平 线
⑴d + h = r
⑵
a 2 2 2 r = d +( ) 2
A
O · D C
B
1.课本：P69 15、16
2.课堂5分钟练习：垂径定理（3）
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
7.2
A
D
B
R
OA2 = AD2 + OD 2 , 即R 2 = 18.7 2 + ( R - 7.2) 2 .
解得 R≈27.9（米）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9米.
O
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所 示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. （200mm）
跨 度3 7 . 4 m
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为R米， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
AB
据垂径定理，D是AB的中点，C是
由题设
AB
的中点，CD就是拱高.
37.4
C
AB = 37.4, CD = 7.2, 1 1 AD = AB = 37.4 = 18.7, 2 2 OD = OC - DC = R - 7.2.
⊙O的半径 OA为5 cm
4、如图，在弓形ACB中，AB＝16cm，弓形的高CD 为4cm，求弓形所在的圆的半径。
解：设弓形的圆心为O，则O在CD的延长线上 连结OA，设OA= x cm
C
2
OA 在 RtAOD 中， 2 = OD 2 + AD 2
∴ x = ( x - 4) + 8
2 2
A
D
1 ED = CE = CD A 2 在Rt OED中，依题意知：
2 2
C
E O
D
B
OD＝ 米，OE＝2.5 - 2＝2.5米 1.3 ED ＝ （ ）（0.5）＝7.2米 1.3 CD＝2ED ＝2.4米 2.3米 这辆卡车能通过通道。
1、初步懂得用数学模型把实际问题转变成一个数学问题来解决. 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想 来解决问题. 3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另 外两个量，如图有：
A
O ø650 ┌ E
D
600
B
如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半 圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2米， 半径为1.3米，现有一辆高2.5米，宽2.3米的送家具的卡车，问 这辆卡车能否通过通道，请说明理由。
解：如图，用半圆O表示通道上面的 半圆，AB为直径，弦CD平行AB， 过O作于E，连结OD，据垂径定理 知：
A D O
B
C
3、解：设OA= x cm ,则OD=（x-2)cm, A C为 AB中点，且OC过圆心 OC AB 1 1 AD＝BD＝ AB＝ ×8＝4 cm
D O
B
2
2
在 RtAOD 中 OA 2 = OD 2 + AD 2 x 2 = ( x - 2) 2 + 4 2 2 = x 2 - 4 x + 16 x x = 5 cm
九年级上册
垂径定理及其推论
（1）过圆心； （2）垂直于弦；
C
（3）平分弦；
（4）平分优弧；
知二得三
A
O E B D
（5）平分劣弧； *平行弦所夹的弧相等
1、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，
OC AB
C
于D，AB = 8cm ，OD = 3cm. 求⊙O 的半径OA. ( 5cm )
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦， OC交 AB 于D 且D为AB 的中点，AB = 8cm ，OA = 5cm. 求CD. ( 2cm ) 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 ⌒ AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 2cm. 求 ⊙O的半径OA .
B
x 2 = x 2 - 8 x + 16 + 64
∴ x = 10 (cm) ∴ 弓形所在的圆的半径为10cm O
小结：对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、 弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求 出另外两个量，如图有：
⑴d+h=r
⑵
a 2 r = d +( ) 2