空间向量的夹角ppt课件(自制)
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立体几何中的向量方法求夹角PPT课件
D
第27页/共35页
A x
By
【典例剖析】
例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，
侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= 3，在线段BC
上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。
z P
A
D x
By E
C
第28页/共35页
第23页/共35页
又因为Ca2，0，0， 所以C→M＝－34a， 43a，0， 所以cos〈A→C1，C→M〉＝|AA→→CC11|··|CC→→MM|＝ －3·342a32a2＝－12， ∴AC1与平面ABB1A1所成角为30°.
第24页/共35页
例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
第26页/共35页
NN C11
CC
D11
DD y
【典例剖析】 例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平
行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知ABC 450
AB=2，BC= 2 2 ，SA=SB= 3 .
(1)求证 SA BC.
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。 z
S
C
O
设平面SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD,得：
x
y 2
0
y 2
z
0
x
z
y 2 y 2
任取n2 (1,2,1)
cos
n1,
n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3
第12页/共35页
1.4空间向量的应用 -1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课件
步骤总结
20
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、 直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间 距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）
第一章 空间向量与立体几何
1.4空间向量的应用
教师：XXX
2 1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题
课程引入
3
立体几何中包括哪些距离问题？
两点之间的距离 点到直线的距离 点到平面的距离 两条平行直线的距离 两个平行平面的距离 异面直线间的距离等
如何用空间向量解决这些距离问题呢？
复习旧知
量为n,且AP与n不共线,能否用AP与n表示d ?
分析：过P作PQ 于Q，连结QA,
P
n
则d QP AP cosAPO,
QP , n ,QP // n.
A Q
cosAPO cos AP,n .
新知探究
13
四、点到平面的距离
P n
A Q
思考2：若法向量为单位 向量，则d=？
平面外一点到平面的距离等于连接此点与平面上的任 一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的 投影的绝对值.
4
1. 空间两点之间的距离
设P1(x1, y1, z1)，P2 (x2 , y2 , z2 )
P1P2 (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
将两点距离问题转化为 求向量模长问题
| P1P2 | P1P2 P1P2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
用空间向量计算夹角问题PPT课件
2021/5/25 DB1 平面ACD1
25
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谢谢您的观看！
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A1
E1 B1
B(1,1, 0)
,
E1 1 ,
3 4
, 1
,
D
O
A
x
Cy
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1 , 1 ,
0)
0
,
1 4
, 1
,
2021/5/25
15
第15页/共26页
例1 如图，在正方体
，求 与
D1F1
A1B1 4
AB中C，D A1B1C1D1
n2
n1
cos | cos n1, n2 |
cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
2021/5/25 •引入
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
7
第7页/共26页
题型二：二面角
例三 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD与面SBA 2
2021/5/25
5
第5页/共26页
题型一：线线角
练习： 在长方体 ABCD 中A，1B1C1D1
AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM.
z
（2）求AD与平面ANM所成的角. A1 B1 M
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1(共27张PPT)
4
3
D. 2
B.
答案:B
解析:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O
∴=(0,1,0),1 =(-1,0,1).
设 n=(1,y,z)是平面 ABC1D1 的一个法向量,
· = = 0,
则
解得 y=0,z=1,∴n=(1,0,1).
1 · = -1 + = 0,
点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
当堂检测
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量
n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(
)
3
2
A.
B.
2
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析： 根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一
点到另一个平面的距离,即点面距.
(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,
设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),
则向量在直线 l 上的投影向量=(a·μ)μ.点 P 到直线 l 的距离为
PQ= 2 -(·)2 .
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,
则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,
3
D. 2
B.
答案:B
解析:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O
∴=(0,1,0),1 =(-1,0,1).
设 n=(1,y,z)是平面 ABC1D1 的一个法向量,
· = = 0,
则
解得 y=0,z=1,∴n=(1,0,1).
1 · = -1 + = 0,
点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
当堂检测
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量
n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(
)
3
2
A.
B.
2
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析： 根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一
点到另一个平面的距离,即点面距.
(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,
设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),
则向量在直线 l 上的投影向量=(a·μ)μ.点 P 到直线 l 的距离为
PQ= 2 -(·)2 .
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,
则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,
空间向量的夹角说课课件
平面内两个向量的夹角公式：
问题2：是否可以将上述夹角公式推广到空间?公式 的形式有什么变化？
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
已知平面内两个非零向量，
求下列两个向量夹角的余弦值 （1） ， （2） .
设计意图
知识运用
小结作业
创设情境
建构数学
教学程序
值得注意的： 将求空间点的坐标转化为平面内点的坐标； 理解异面直线夹角与空间向量夹角的区别； 选择恰当的方法求夹角，向量法并不是求 夹角的唯一途径，不是最佳途径.
反馈评价
值得肯定的： 勇于思考、积极探索； 分工协作、合作交流.
知识运用
小结作业
情感目标： 激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位； 感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.
能力目标： 培养学生观察分析、类比转化的能力； 体验从 “定性” 推理到“定量” 计算的转化，提高分析 问题、解决问题的能力.
教材分析
教学目标
方法手段
教学程序
教学评价
教学方法：启发式讲解 互动式讨论 研究式探索 反馈式评价
创设情境
建构数学
教学程序
（1）空间向量的夹角公式及其坐标表示; （2）异面直线的夹角与向量的夹角的区别; （3）恰当选择几何法或向量法求两条异面直线的夹 角. （4）掌握类比猜想的方法,将平面向量的夹角公式推 广到空间,将几何问题转化为代数问题,提高类比 转化的能力.
A
C
B
C1
B1
A1
探究•拓展：利用向量法是否可以求直线与平面所成的角，二面角,点到平面的距离，两异面直线的距离等其它空间夹角或距离的问题?
知识运用
1.4空间向量的应用 -1.4.2用空间向量研究夹角问题课件
|=
||||
||||
2、直线与平面的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
|=
||||
||||
3、平面与平面的夹角 0，2
| ∙ |
= | < , > | =
||||
∠CBA=∠DBC=120°.求:
(1)直线AD与直线BC所成角的大小;
(2)直线AD 与平面BCD所成角的大小;
(3)平面ABD 和平面BDC的夹角的余弦值.
14
15
课堂小结
u
1、直线与直线的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
||||
n1
n2
思考：面面角与二面角
的区别？
0，
11
例题讲解
∘
例8 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=CB=2, AA1=3 ,∠=90 ，P 为B
C 的中点，点Q, R 分别在AA1, BB1上，A1Q =2AQ， BR =2RB1.
求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
l
v
1
l2
u A
n
B
C
n
n2 1
1.4.2用空间向量研究夹角问题
谢
谢
听
THANKS
FOR聆YOUR
WATCHING
求异面直线AC’与B’D’所成角的余弦值.
D'
C'
A'
B'
D
||||
||||
2、直线与平面的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
|=
||||
||||
3、平面与平面的夹角 0，2
| ∙ |
= | < , > | =
||||
∠CBA=∠DBC=120°.求:
(1)直线AD与直线BC所成角的大小;
(2)直线AD 与平面BCD所成角的大小;
(3)平面ABD 和平面BDC的夹角的余弦值.
14
15
课堂小结
u
1、直线与直线的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
||||
n1
n2
思考：面面角与二面角
的区别？
0，
11
例题讲解
∘
例8 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=CB=2, AA1=3 ,∠=90 ，P 为B
C 的中点，点Q, R 分别在AA1, BB1上，A1Q =2AQ， BR =2RB1.
求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
l
v
1
l2
u A
n
B
C
n
n2 1
1.4.2用空间向量研究夹角问题
谢
谢
听
THANKS
FOR聆YOUR
WATCHING
求异面直线AC’与B’D’所成角的余弦值.
D'
C'
A'
B'
D
用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角PPT优秀课件
探究3：夹角 (0 )
2
线线夹角 l,m的夹角为 ，cos
|
a
b|
| a||b |
线面夹角 l,的夹角为 ， sin |au|
|a||u|
面面夹角 ,的夹角为 ，cos |uv|
|u||v|
三、简单应用
练习1：设直线l，m的方向向量分别
,的夹角为 ，cos |uv|
|u||v|
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]
128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
用空间向量研究夹角问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
Ԧ
向量夹角<,
Ԧ >的区别与联系是什么？
θ
θ
θ
Ԧ
a, b
本质：两直线所
成角就是它们的
方向向量所成角
或其补角。
cos cos a, b
Ԧ
a, b
cos cos( a, b ) cos a, b
cos cos a, b
4，
3).
C1
N
D( x , y, z ) ,则
y
B
C
6 x 2 y 6z 0
,取y 3,则z 4,x 3,∴n (3, 3, 4)， x
4 y 3z 0
| AD n |
24
3 34
.
设AD与平面AMN 所成的角为 ,则 sin | cos AD,n |
| a b |
| a || b |
新知探究
2.直线与平面所成角
思考3：若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面
Ԧ
所成角与向量夹角<,
Ԧ >的区别与联系是什么？
a
α
A
θ
B
C
直线与平面所成角范围：
∈ [，
新知探究
2.直线与平面所成角
思考3：若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面
Ԧ >|=
|∙|
||∙||
|∙|
||∙||
3、平面与平面的夹角： = | < , > | =
∈ [0, ]
2
|∙|
||∙||
二面角：先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角，添加正负号
向量夹角<,
Ԧ >的区别与联系是什么？
θ
θ
θ
Ԧ
a, b
本质：两直线所
成角就是它们的
方向向量所成角
或其补角。
cos cos a, b
Ԧ
a, b
cos cos( a, b ) cos a, b
cos cos a, b
4，
3).
C1
N
D( x , y, z ) ,则
y
B
C
6 x 2 y 6z 0
,取y 3,则z 4,x 3,∴n (3, 3, 4)， x
4 y 3z 0
| AD n |
24
3 34
.
设AD与平面AMN 所成的角为 ,则 sin | cos AD,n |
| a b |
| a || b |
新知探究
2.直线与平面所成角
思考3：若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面
Ԧ
所成角与向量夹角<,
Ԧ >的区别与联系是什么？
a
α
A
θ
B
C
直线与平面所成角范围：
∈ [，
新知探究
2.直线与平面所成角
思考3：若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面
Ԧ >|=
|∙|
||∙||
|∙|
||∙||
3、平面与平面的夹角： = | < , > | =
∈ [0, ]
2
|∙|
||∙||
二面角：先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角，添加正负号
1.4.2用空间向量研究夹角问题课件-2024-2025学年高中数学人教A选择性必修第一册
因为△SAB与△SAC均为等边三角形， 所以AB＝AC. 连接OA，则OA⊥BC. 以O为坐标原点，OB，OA，OS所在直线分别为x轴、 y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设 B(1，0，0)，则 C(－1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1). 设 SC 的中点为 M，连接 OM，AM，则 M－12，0，21， 所故以M→OM→＝O·S12→，C＝0，0，－M→21A，·S→M→CA＝＝0，12，1，－21，S→C＝(－1，0，－1)，
则n1·A→M＝0，即－12x＋12z＝0， n1·A→N＝0， －21x＋12y＝0，
令 x＝1，解得 y＝1，z＝1，于是 n1＝(1，1，1).
同理可求得平面 BMN 的一个法向量
所以 cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|＝
－1 3×
n2＝(1，－1，－1)， 3＝－31.
设平面 MNA 与平面 MNB 的夹角为 θ，
A.α＝θ C.cos θ＝|cos α|
B.α＝π－θ
√D.cos α＝|cos θ|
α＝θ 或 α＝π－θ，且 α∈0，π2， 因而 cos α＝|cos θ|.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2.设直线 l 与平面 α 相交，且 l 的方向向量为 a，α 的法向量为 n
70 70
C.2 7070
D.
70 70
建立如图所示的空间直角坐标系，则 D10，0，32， B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， 所所以以B|c→Dos1〈＝B→－D21，，A－→C2〉，|＝32，|B|B→→AD→DC11|＝··|A→A→C(C－||＝2，0，2，0)， 即 AC 与 BD1 所成角的余弦值为 0.
设 B(1，0，0)，则 C(－1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1). 设 SC 的中点为 M，连接 OM，AM，则 M－12，0，21， 所故以M→OM→＝O·S12→，C＝0，0，－M→21A，·S→M→CA＝＝0，12，1，－21，S→C＝(－1，0，－1)，
则n1·A→M＝0，即－12x＋12z＝0， n1·A→N＝0， －21x＋12y＝0，
令 x＝1，解得 y＝1，z＝1，于是 n1＝(1，1，1).
同理可求得平面 BMN 的一个法向量
所以 cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|＝
－1 3×
n2＝(1，－1，－1)， 3＝－31.
设平面 MNA 与平面 MNB 的夹角为 θ，
A.α＝θ C.cos θ＝|cos α|
B.α＝π－θ
√D.cos α＝|cos θ|
α＝θ 或 α＝π－θ，且 α∈0，π2， 因而 cos α＝|cos θ|.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2.设直线 l 与平面 α 相交，且 l 的方向向量为 a，α 的法向量为 n
70 70
C.2 7070
D.
70 70
建立如图所示的空间直角坐标系，则 D10，0，32， B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， 所所以以B|c→Dos1〈＝B→－D21，，A－→C2〉，|＝32，|B|B→→AD→DC11|＝··|A→A→C(C－||＝2，0，2，0)， 即 AC 与 BD1 所成角的余弦值为 0.
《用空间向量研究夹角问题》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
追问2：角度是度量方向差异的量，那么决定平面方向的是什么？
答案：在空间向量里，通过一个点和法向量可以确定唯一的平面.
课堂探究
两相交平面所成角
问题5：两个平面的法向量夹角与两个面夹角的关系？
答案：若平面与平面的法向量为n1，n2，则平面与平面的夹角即为向
量为n1,n2的夹角或其补角.
课堂探究
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0o.直线与平面
π
所成角的范围: θ [0, ]
2
课堂探究
直线与平面所成角
已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角.
追问：你能根据定义做出线面角吗？
答案：过直线上一点A，做平面α的垂线交平
面α于点C，联接BC，∠ABC即为直线AB与平
4
2
4
2
2
2
2
1 1 1 1 1
2 8 4 8 2
而 ABC和ACD 都是正三角形，所以 MA CN
（回到图形问题）
2
所以，直线 AM 和 CN 夹角的余弦值为 .
3
B
D
M
C
CN MA
3
，所以， cos
2
CN MA
1
2
3
3
2
2
2
，
3
课堂探究
n的夹角<u,n>表示直线AB与平面α所成的角的大小.
课堂探究
直线与平面所成角
已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角.
追问：如何借助直线的方向向量u与平面的法向量n
求直线和平面的夹角？
答案：因为 θ u,n
答案：在空间向量里，通过一个点和法向量可以确定唯一的平面.
课堂探究
两相交平面所成角
问题5：两个平面的法向量夹角与两个面夹角的关系？
答案：若平面与平面的法向量为n1，n2，则平面与平面的夹角即为向
量为n1,n2的夹角或其补角.
课堂探究
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0o.直线与平面
π
所成角的范围: θ [0, ]
2
课堂探究
直线与平面所成角
已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角.
追问：你能根据定义做出线面角吗？
答案：过直线上一点A，做平面α的垂线交平
面α于点C，联接BC，∠ABC即为直线AB与平
4
2
4
2
2
2
2
1 1 1 1 1
2 8 4 8 2
而 ABC和ACD 都是正三角形，所以 MA CN
（回到图形问题）
2
所以，直线 AM 和 CN 夹角的余弦值为 .
3
B
D
M
C
CN MA
3
，所以， cos
2
CN MA
1
2
3
3
2
2
2
，
3
课堂探究
n的夹角<u,n>表示直线AB与平面α所成的角的大小.
课堂探究
直线与平面所成角
已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角.
追问：如何借助直线的方向向量u与平面的法向量n
求直线和平面的夹角？
答案：因为 θ u,n
用空间向量研究夹角问题(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
例8如图示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中 ，AC=CB=2,AA₁=3,∠ACB=90°,P 为BC的中点，点Q,R分别在棱AA₁
,BB₁ 上，A₁Q=2AQ,BR=2RB₁ . 求平面PQR与平面A₁B₁C₁ 夹角的余弦值。
∴平面PQR的一个法向量为n=(3,4,2). 又平面A₁B₁C₁的一个法向量为m=(0,0,1).
∴平面AA₁B与平面A₁BC,夹角的余弦值为
设平面AA₁B与平面A₁BC₁的夹角为θ,则
(P38练习4).如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120°. 求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
设二面角α-l-β的平面角为θ0,则有θ₀=0或θ₀=π-θ.
夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ,则
解：如图示，以C₁ 为原点建立空间直角坐标系，则有P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1).∴PQ=(2,-1,-1),PR=(-2,2,-1).设平面PQR的一个法向量为n=(x,y,z), 则,取x=3,则y=4,z=2.
例7如图示，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形 )ABCD中 ，M,N 分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN
夹角的余弦值.解：设CA=a,CB=b,CD=c,则有
2.线面角(直线与平面所成的角)类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的 方向向量与平面的法向量的夹角.如图示，直线AB 与平 面α相交于点B, 设 直 线AB与平面α所成的角为θ,直线 AB 的方向向量ū,平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.类似于两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分 别是n₁和n₂, 则平面α与平面β的夹角即为向量n₁和 n₂的
,BB₁ 上，A₁Q=2AQ,BR=2RB₁ . 求平面PQR与平面A₁B₁C₁ 夹角的余弦值。
∴平面PQR的一个法向量为n=(3,4,2). 又平面A₁B₁C₁的一个法向量为m=(0,0,1).
∴平面AA₁B与平面A₁BC,夹角的余弦值为
设平面AA₁B与平面A₁BC₁的夹角为θ,则
(P38练习4).如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120°. 求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
设二面角α-l-β的平面角为θ0,则有θ₀=0或θ₀=π-θ.
夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ,则
解：如图示，以C₁ 为原点建立空间直角坐标系，则有P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1).∴PQ=(2,-1,-1),PR=(-2,2,-1).设平面PQR的一个法向量为n=(x,y,z), 则,取x=3,则y=4,z=2.
例7如图示，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形 )ABCD中 ，M,N 分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN
夹角的余弦值.解：设CA=a,CB=b,CD=c,则有
2.线面角(直线与平面所成的角)类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的 方向向量与平面的法向量的夹角.如图示，直线AB 与平 面α相交于点B, 设 直 线AB与平面α所成的角为θ,直线 AB 的方向向量ū,平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.类似于两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分 别是n₁和n₂, 则平面α与平面β的夹角即为向量n₁和 n₂的
1.4.2用空间向量研究夹角问题问题课件-高二上学期数学人教A版选择性【01】
两向量夹角的补角，即 cos | cos u 1 ，u 2 |.
2、用向量法求线面角
设直线AB与平面α相交于点B，直线AB与平面α所成角为θ (0 ) ，
2 直线AB的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则
sin | cos u，n | | u n |
| u || n | n Au
向量求法
图形语言
设二面角α－l－β的平面角 面面角 为θ，平面α、β的法向量为
n 1 ，n 2 ，则| cos | | n 1 n 2 |
| n1 || n2 |
n1
α
n2
θ
β
n 1 ，n 2
n2 n1
α θ
β
n 1 ，n 2
Байду номын сангаас
(1)求证：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值． (2)如图，作 PH⊥EF，垂足为 H. 由(1)得，PH⊥平面 ABFD. 以 H 为坐标原点，―H→F 的方向为 y 轴正方向，|4|为单位长，建立如图所 示的空间直角坐标系 Hxyz.
练习巩固
5. 如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求
[解] (1)证明：由已知可得 BF⊥PF，BF⊥EF， 又 PF∩EF＝F， 所以 BF⊥平面 PEF. 又 BF⊂平面 ABFD， 所以平面 PEF⊥平面 ABFD.
[典例 2] 如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点， 以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF.
（1）求直线MN与直线AC的夹角余弦值 （2）求直线EN与平面MNB的夹角余弦值
求直线与平面的夹角的方法与步骤
2、用向量法求线面角
设直线AB与平面α相交于点B，直线AB与平面α所成角为θ (0 ) ，
2 直线AB的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则
sin | cos u，n | | u n |
| u || n | n Au
向量求法
图形语言
设二面角α－l－β的平面角 面面角 为θ，平面α、β的法向量为
n 1 ，n 2 ，则| cos | | n 1 n 2 |
| n1 || n2 |
n1
α
n2
θ
β
n 1 ，n 2
n2 n1
α θ
β
n 1 ，n 2
Байду номын сангаас
(1)求证：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值． (2)如图，作 PH⊥EF，垂足为 H. 由(1)得，PH⊥平面 ABFD. 以 H 为坐标原点，―H→F 的方向为 y 轴正方向，|4|为单位长，建立如图所 示的空间直角坐标系 Hxyz.
练习巩固
5. 如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求
[解] (1)证明：由已知可得 BF⊥PF，BF⊥EF， 又 PF∩EF＝F， 所以 BF⊥平面 PEF. 又 BF⊂平面 ABFD， 所以平面 PEF⊥平面 ABFD.
[典例 2] 如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点， 以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF.
（1）求直线MN与直线AC的夹角余弦值 （2）求直线EN与平面MNB的夹角余弦值
求直线与平面的夹角的方法与步骤
1.4.2.2 用空间向量研究夹角问题课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2
4
2
4
1 1 1 1 1
= − + − = .
2 8 4 8 2
A
N
B
D
M
C
求直线
夹角的余弦值——坐标法
z E
取中点，过作⊥平面，
A
以为原点，，，所在直线为
轴、轴、轴，建立如图所示的空间直
N
角坐标系.
B
请同学们课后完成！
O
M
x
C
y
D
用向量法求线面角
Q
1 × 29
C1
则cos = cos 1 ，2
A1
x
取 2 = (3，4，2),
1B∙ 2
=
|1 | ∙ |2 |
P
R
2 29
=
.
29
B1 y
2 29
=
.
29
2 29
即平面 与平面111 夹角的余弦值 .
29
为
小 结
向量求法
图形语言
设两异面直线所成的角为θ，
线线角 它们的方向向量为 u ，u ，
)，
2
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
分析： 直线与平面所成的角
A
N
向量与平面的法向量的夹角
B
D
C
问：如何表示平面法向量？
建立空间直角坐标系
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
3 1
6
3
( ，0，0)， ( ， ， )，
12 4
6
2
n= (0，0，1)为平面的法向量.
l
| u 1 || u 2 |
l
1
1
u1
4
2
4
1 1 1 1 1
= − + − = .
2 8 4 8 2
A
N
B
D
M
C
求直线
夹角的余弦值——坐标法
z E
取中点，过作⊥平面，
A
以为原点，，，所在直线为
轴、轴、轴，建立如图所示的空间直
N
角坐标系.
B
请同学们课后完成！
O
M
x
C
y
D
用向量法求线面角
Q
1 × 29
C1
则cos = cos 1 ，2
A1
x
取 2 = (3，4，2),
1B∙ 2
=
|1 | ∙ |2 |
P
R
2 29
=
.
29
B1 y
2 29
=
.
29
2 29
即平面 与平面111 夹角的余弦值 .
29
为
小 结
向量求法
图形语言
设两异面直线所成的角为θ，
线线角 它们的方向向量为 u ，u ，
)，
2
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
分析： 直线与平面所成的角
A
N
向量与平面的法向量的夹角
B
D
C
问：如何表示平面法向量？
建立空间直角坐标系
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
3 1
6
3
( ，0，0)， ( ， ， )，
12 4
6
2
n= (0，0，1)为平面的法向量.
l
| u 1 || u 2 |
l
1
1
u1
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《空间向量的夹角》教学说明
z
D1 F
C1
A1
E1 B1
E
D
A
x
Cy B
《空间向量的夹角》教学说明
教教方教教 材学法学学 分目手程评 析标段序价
《空间向量的夹角》教学说明 地位作用
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
知识基础：平面向量的数量积公式、夹角公式，空 间向量的坐标表示,空间向量的数量积.
理
E,F 分 别 是 A1D1,D1C1 的 中 点 ， 求 异 面 直 线 BE 与
解 掌 握
A1F所成的角．
D1
C1
D1
F
C1
巩 固
A1
B1
E A1
B1
提
D
C
高
C
A
B
B
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
设 ➢鼓励学生选择不同的解题方法，培养
计
学生创新思维；
角. （4）掌握类比猜想的方法,将平面向量的夹角公式推
广到空间,将几何问题转化为代数问题,提高类比 转化的能力.
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
感受•理解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与 D1N所成角的正弦值.
动活生学
求下列两个向量夹角的余弦值
（1）a ( 2 ， 3 ， 3 ) ， b ( 1 ， 0 ， 0 ) ， （2）a ( 1 ， 1 ， 1 ) ， b ( 1 ， 0 ， 1 ) .
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
例
题 讲
例1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
意 ➢为学习能力不同的学生提供广阔的空
图
间；
➢体现学生的主体地位，发展学生的个性；
➢培养学生分工协作的能力，善于分析， 乐于探索的钻研精神.
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
值得肯定的：
反 ➢勇于思考、积极探索；
馈 评
➢分工协作、合作交流.
价 值得注意的：
➢将求空间点的坐标转化为平面内点的坐标；
以问题为载体，学生活动为主线 探索、类比、猜想、发现并获得新知
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
习复
-
动活生学
情境：如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D中，
B1E1
D1F1
1 4A1B1
,
求证DF1与BE1垂直.
D1
F1
C1
A1
B1
ED A
C B
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
问题1：如图，若将E点在AA1，A1B1上移动，若移 至A1B1的E1处，又将如何确定DF1与BE1的夹角?
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
比类
-
动活生学
平面内两个向量的夹角公式：
已知平面内两个非零向量，a (x 1 ， y 1 ) ， b (x 2 ， y 2 ) ， c o s < a ， b> =ab x1x2y1y2 ab x12y12 x22y22
《空间向量的夹角》教学说明
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
✓教学中，以问题为载体，学生活动为主线; ✓将复杂的几何问题转化为代数问题,具有相当的优 越性,恰当选择,合理运用;
✓通过学生参加活动是否积极主动,能否与他人合作 探索,对学生的学习过程评价; ✓通过学生对方法的选择,对学生的学习能力评价; ✓通过题组练习、课后作业,对学生的学习效果评价.
19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
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例 题
题组练习一
讲 解
如 图 , 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , M 是 AB 的 中 点 , 求 对 角 线 DB1 与 CM 所
理 解 掌
成方角的余弦值.
法
D1
C1
握
小
巩 固 提
① 几结何法
A1
D
B1 C
问题2：是否可以将上述夹角公式推广到空间?公式 的形式有什么变化？
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创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
时及
-
已 知 空 间 内 两 个 非 零 向 量 ，a(x1， y1， z 1)， b(x2， y2， z2)，ababcosa， b，
从 而 有
c o s < a ， b > = a b x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 ab x 1 2 y 1 2 z 1 2 x 2 2 y 2 2 z 2 2
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
解
理 解
B1E1 D1F1 14A1B1，求BE1与DF1所成角 的余弦值.
掌
握
D1
F1
C1
巩 固
A1
E1 B1
提 高
D
C
A
B
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创设情境
例
题
讲 解
D1
理
A1
解
掌
握
D
建构数学
F1
C1
E1 B1
C
知识运用 小结作业
方 法 小 ① 几结何法
巩
固A
B
提
高
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例 题组练习二
题
讲 必做题：
解 1.设点O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0,0,1)异 面
理
直线OA与BC夹角为θ，则θ的值为 （ ）
解
掌 A.60º B.120º C.-60º D.240º
握
巩 2. 已 知 正 方 体 ABCD-
D1
C1
固 提 高
A1B1C1D1, 请 用 恰 当 的 方 法 求 异 面 直 线 AC 与 BD1
A1
所成的角.
D
B1 C
A
B
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例 题组练习二
题
讲 解
选做题：沿着正方体ABCD -A1B1C1D1对角面A1BCD1 去截正方体,得到一个新的几何体D1CC1-A1BB1，
82.成为一个成功者最重要的条件， 就是每 天精力 充沛的 努力工 作，不 虚掷光 阴。― ―[威廉 ·戴恩·飞利浦] 83.人生成功的秘诀是，当机会来到 时，立 刻抓住 它。― ―[班杰 明·戴 瑞斯李] 84.不停的专心工作，就会成功。― ―[查尔 斯·修 瓦夫]
40.你要确实的掌握每一个问题的核 心，将 工作分 段，并 且适当 的分配 时间。[富兰克 林] 85.每一年，我都更加相信生命的浪 费是在 于：我 们没有 献出爱 ，我们 没有使 用力量 ，我们 表现出 自私的 谨慎， 不去冒 险，避 开痛苦 ，也失 去了快 乐。― ―[约翰 ·B·塔 布]
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴 里哼着 歌儿。 倘使你 不会唱 歌，吹 吹口哨 或用鼻 子哼一 哼也可 。如此 一来， 你想让 自己烦 恼都不 可能。 ――[戴 尔·卡 内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石 工人在 他的石 头上， 敲击了 上百次 ，而不 见任何 裂痕出 现。但 在第一 百零一 次时， 石头被 劈成两 半。我 体会到 ，并非 那一击 ，而是 前面的 敲打使 它裂开 。――[贾柯·瑞斯]
高
② 向量法
A
B
M
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例 题 讲
例2.如图，在几何体B1-A1BC1，已知E、F分别是A1B 和BC1的中点，求异面直线B1E与A1F的夹角.
解 问题4：如何放置几何体，可以构建恰当的空间
理
直角坐标系？
解
掌
握
巩 固 提 高
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
2)选择恰当方法求两异面直线的夹角.
教学难点：
1)两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹 角之间的区别； 2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出
z
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C1
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E
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教教方教教 材学法学学 分目手程评 析标段序价
《空间向量的夹角》教学说明 地位作用
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
知识基础：平面向量的数量积公式、夹角公式，空 间向量的坐标表示,空间向量的数量积.
理
E,F 分 别 是 A1D1,D1C1 的 中 点 ， 求 异 面 直 线 BE 与
解 掌 握
A1F所成的角．
D1
C1
D1
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巩 固
A1
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E A1
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提
D
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B
B
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设 ➢鼓励学生选择不同的解题方法，培养
计
学生创新思维；
角. （4）掌握类比猜想的方法,将平面向量的夹角公式推
广到空间,将几何问题转化为代数问题,提高类比 转化的能力.
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感受•理解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与 D1N所成角的正弦值.
动活生学
求下列两个向量夹角的余弦值
（1）a ( 2 ， 3 ， 3 ) ， b ( 1 ， 0 ， 0 ) ， （2）a ( 1 ， 1 ， 1 ) ， b ( 1 ， 0 ， 1 ) .
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例
题 讲
例1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
意 ➢为学习能力不同的学生提供广阔的空
图
间；
➢体现学生的主体地位，发展学生的个性；
➢培养学生分工协作的能力，善于分析， 乐于探索的钻研精神.
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值得肯定的：
反 ➢勇于思考、积极探索；
馈 评
➢分工协作、合作交流.
价 值得注意的：
➢将求空间点的坐标转化为平面内点的坐标；
以问题为载体，学生活动为主线 探索、类比、猜想、发现并获得新知
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习复
-
动活生学
情境：如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D中，
B1E1
D1F1
1 4A1B1
,
求证DF1与BE1垂直.
D1
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问题1：如图，若将E点在AA1，A1B1上移动，若移 至A1B1的E1处，又将如何确定DF1与BE1的夹角?
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比类
-
动活生学
平面内两个向量的夹角公式：
已知平面内两个非零向量，a (x 1 ， y 1 ) ， b (x 2 ， y 2 ) ， c o s < a ， b> =ab x1x2y1y2 ab x12y12 x22y22
《空间向量的夹角》教学说明
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
✓教学中，以问题为载体，学生活动为主线; ✓将复杂的几何问题转化为代数问题,具有相当的优 越性,恰当选择,合理运用;
✓通过学生参加活动是否积极主动,能否与他人合作 探索,对学生的学习过程评价; ✓通过学生对方法的选择,对学生的学习能力评价; ✓通过题组练习、课后作业,对学生的学习效果评价.
19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
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例 题
题组练习一
讲 解
如 图 , 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , M 是 AB 的 中 点 , 求 对 角 线 DB1 与 CM 所
理 解 掌
成方角的余弦值.
法
D1
C1
握
小
巩 固 提
① 几结何法
A1
D
B1 C
问题2：是否可以将上述夹角公式推广到空间?公式 的形式有什么变化？
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
时及
-
已 知 空 间 内 两 个 非 零 向 量 ，a(x1， y1， z 1)， b(x2， y2， z2)，ababcosa， b，
从 而 有
c o s < a ， b > = a b x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 ab x 1 2 y 1 2 z 1 2 x 2 2 y 2 2 z 2 2
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
解
理 解
B1E1 D1F1 14A1B1，求BE1与DF1所成角 的余弦值.
掌
握
D1
F1
C1
巩 固
A1
E1 B1
提 高
D
C
A
B
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创设情境
例
题
讲 解
D1
理
A1
解
掌
握
D
建构数学
F1
C1
E1 B1
C
知识运用 小结作业
方 法 小 ① 几结何法
巩
固A
B
提
高
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例 题组练习二
题
讲 必做题：
解 1.设点O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0,0,1)异 面
理
直线OA与BC夹角为θ，则θ的值为 （ ）
解
掌 A.60º B.120º C.-60º D.240º
握
巩 2. 已 知 正 方 体 ABCD-
D1
C1
固 提 高
A1B1C1D1, 请 用 恰 当 的 方 法 求 异 面 直 线 AC 与 BD1
A1
所成的角.
D
B1 C
A
B
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例 题组练习二
题
讲 解
选做题：沿着正方体ABCD -A1B1C1D1对角面A1BCD1 去截正方体,得到一个新的几何体D1CC1-A1BB1，
82.成为一个成功者最重要的条件， 就是每 天精力 充沛的 努力工 作，不 虚掷光 阴。― ―[威廉 ·戴恩·飞利浦] 83.人生成功的秘诀是，当机会来到 时，立 刻抓住 它。― ―[班杰 明·戴 瑞斯李] 84.不停的专心工作，就会成功。― ―[查尔 斯·修 瓦夫]
40.你要确实的掌握每一个问题的核 心，将 工作分 段，并 且适当 的分配 时间。[富兰克 林] 85.每一年，我都更加相信生命的浪 费是在 于：我 们没有 献出爱 ，我们 没有使 用力量 ，我们 表现出 自私的 谨慎， 不去冒 险，避 开痛苦 ，也失 去了快 乐。― ―[约翰 ·B·塔 布]
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴 里哼着 歌儿。 倘使你 不会唱 歌，吹 吹口哨 或用鼻 子哼一 哼也可 。如此 一来， 你想让 自己烦 恼都不 可能。 ――[戴 尔·卡 内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石 工人在 他的石 头上， 敲击了 上百次 ，而不 见任何 裂痕出 现。但 在第一 百零一 次时， 石头被 劈成两 半。我 体会到 ，并非 那一击 ，而是 前面的 敲打使 它裂开 。――[贾柯·瑞斯]
高
② 向量法
A
B
M
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例 题 讲
例2.如图，在几何体B1-A1BC1，已知E、F分别是A1B 和BC1的中点，求异面直线B1E与A1F的夹角.
解 问题4：如何放置几何体，可以构建恰当的空间
理
直角坐标系？
解
掌
握
巩 固 提 高
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
2)选择恰当方法求两异面直线的夹角.
教学难点：
1)两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹 角之间的区别； 2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出