常用离散分布
2.3几种重要的离散型分布
C
n N
.
规范性： k
pk
k
C C k nk M NM
C
n N
k
C C k nk M NM
C
n N
C
n N
C
n N
1.
例2.13 N件产品，含M件是次品，随机地从这Ｎ
件产品中抽取n件产品，求恰有k 件次品的概率。
15
注：我们用符号(n︱c )表示：随机抽取了n件
产品，其中的次品数≤c的方案。
9
例2.10 某城市每天发生火灾的次数 X ~ P 1 ,
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率．
2
解 P X 3 1 P X 3 1 P X k k0
对立事件公式 1 2 1k e1 1 0.920 0.08.
k0 k !
查泊松分布 表（附表1）
10
泊松分布有一个非常实用的特性——二项分
10 1k e1
k3 k !
0.0803.
二项分布的泊松 近似
查泊松分布 表（附表1）
它与例2.9的结果相比较，近似效果是良好的．
如果p较大，那么二项分布不宜转化泊松 分布，该如何办的问题将在§5.3中回答．
13
例2.12 某出租汽车公司共有出租汽车500辆， 设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.01，试求 一天内出现故障的出租汽车不超过10辆的概率．
布的泊松近似．具体地讲，设 X ~ Bn, p , Y ~ P , 其中 n 较大，p 很小，而 np,
如果要计算
PX
k
C
k n
pk
1
p nk ,
那么可近似计算 P Y k k e . 即
k!
常见离散型分布
刘妍丽主讲
一、单点分布（退化分布）
分布列 P（X=a）=1 期望 EX=a 方差 VarX=0
一次实验中事件A发生的次数X ~ b(1, p)
二、两点分布（0-1分布）EX p VarX pq
分布列 X P
0
1
1-p
p
P( X k) C1k p k (1 p)1k k 0,1
EX
r
k
C
k M
C nk N M
k 0
C
n N
r
M k 1 (n1)(k 1) k k C C M 1 ( N 1)(M 1)
k 1
N n
C n1 N 1
nM N
~ h(n 1, N 1, M 1)
VarX n M N M N n N N N 1
EX 2 VarX (EX )2
•超几何分布的近似分布
5、二项分布的近似分布 图2.4.1
X ~ P() np
n充分大，p很小 泊松定理
X ~ N (, 2 ) np 2 npq np 5 nq 5 极限定理
例2.4.1 例2.4.2 例2.4.3
四、泊松分布 X ~ P() EX VarX
分布列 正则性
P(X k) k e
X ~ h(n, N, M ) X ~ b(n, p)
p M n N N
EX 2
r
k2
C
k M
C
nk N M
r
(k(k
1)
k)
C
k M
C nk N M
r
(k(k
1))
M k
(M 1) (k 1)
C C k 2 (n2)(k 2) M 2 (N 2)(M 2)
常用离散分布
1. （0 – 1）分布，其分布律为 P X 0 1 p, P X 1 p 解： E ( X ) 0 ( 1 p ) 1 p p
E( X ) 0 (1 p ) 1 p p
2 2 2
D ( X ) E ( X ) E ( X ) p p p (1 p )
2
2
2
故
D ( X ) E ( X ) E ( X )
常用离散分布的数学期望
0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np
几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p
泊松分布 P() 的数学期望 =
常用离散分布的方差
2 2 2
2
二项分布 设 X 服从参数为 n、p 的二项分布，其分布律为
n k n k P X k p (1 p ) , k k 0 , 1 ,, n
有
E ( X ) np , D ( 数为 的泊松分布，其分布律为
例2.4.1 设X ~ b(2, p)， Y ~ b(4, p)，
已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1). 解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2， 从而解得: p = 2/3.
由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0)
泊松定理
定理2.4.1 (二项分布的泊松近似)
在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中 成功的概率. 若 npn ，则
k n k n k e pn (1 pn ) k! k
上面我们提到
常用离散分布
重点：常用离散分布；连续型随机变量的分布函 数、区间概率、密度函数及其联系和区别。 难点：同上 提示：教材中第32页的分布函数概念放到后面第 三节讲授。 作业：下次上课时交作业4，第15—16页
第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数
2.概率函数的性质
i
1非负性： p x 0
n
i 1,2,, n,;
⑵和必然：若随机变量X 只能取有限个值 x1 , x2 ,, xn , 则
p( x ) 1. p( x ) 1.
i 1 i
i 1 i
3.概率函数的分布（表示方法） （ 1）公式列举法：对于随 机变量X的所有值x1 , x2 ,, xn ,, 其概率函数依次为： p x1 , p x2 ,, p xn ,,
第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数Байду номын сангаас
n ：C N ；事件X x : 取出n件产品有x件次品，即 x n x CM CN M P( X x) n CN
(2)超几何分布在生产实际中应用广泛，但由于其计算
第四讲 常用离散分布与连续变量的分布函数
回顾：随机变量概念 1.三个特点 （1）随机变量是实数，（ 2）随机变量是随机事件， （3）随机变量的全体构成了样本空间： ｛x1 , x 2 , , x n , ｝ 预备知识：离散型随机变量的概率函数
1.定义：
p xi 称为离散型随机变量X 的概率函数或分布律（列）。
则概率函数的表格形式称为概率分布表。又叫列举法。 概率分布（表）
X
P X xi
23 常用的离散型分布.
Poisson分布的数字特征
期望： 方差：
EX
DX
Poisson分布的应用
Poisson分布应用极为广泛. 如银行收到的 存款次数；保险公司收到的索赔单数;放射 粒子的数目（著名的Rutherford等人利用云 雾实验室观察镭说发射出的 粒子数目试 验）；一定时间内发生的灾害数目；……
故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.
例 设有同类型设备90台，每台工作相互独立， 每台设备发生故障的概率都是 0.01. 在通常 情况下，一台设备发生故障可由一个人独立 维修，每人同时也只能维修一台设备.
(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
因为{X k}表示前 k 1中 A 恰好发生了r 1 次, 而第 k 次 A 发生，故
P{X
k}
C r1 k 1
p r 1q
k
r
p
C r1 k 1
p r q k r
,
k
r, r 1,,
亦可记为 P{X k} f (k; r, p).
一般地，若随机变量 X 的概率分布由上式给
例 某厂产品不合格率为0.03, 现将产品 装箱, 若要以不小于 90%的概率保证每箱 中至少有 100 个合格品, 则每箱至少应装 多少个产品？
解 设每箱至少应装100 + n 个, 每箱的不 合格品个数为X , 则X ~ B ( 100 + n , 0.03 )
n
由题意 P(X n) P100n (k) 0.9 k 0
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5
概率论常用的离散分布
目 录
• 引言 • 二项分布 • 泊松分布 • 超几何分布 • 几何分布 • 负二项分布
01 引言
离散分布的定义
离散分布：离散随机变量所有可能取 值的概率分布。
离散分布描述了随机变量取各个可能 值时所对应的概率。
离散分布的应用场景
统计学研究
离散分布在统计学中有着广泛的应用，如人口普 效之 前所经历的试验次数。
02
在生物统计学中，负二项分布可以用于描述在一定时间内捕获
猎物的数量或者在一定时间内发生的事件次数。
在金融领域，负二项分布可以用于描述股票价格在一定时间内
03
上涨或下跌的次数。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
它以法国数学家西莫恩·德尼·泊松的名字命名，他在19世纪中叶首次研究了这种 分布。
泊松分布的性质
泊松分布具有离散性和随机性， 适用于描述在一定范围内随机 事件的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数决定：均值和方差。
当随机事件的概率保持不变且 相互独立时，泊松分布成立。
泊松分布在现实生活中的应用
泊松分布在统计学、物理学、 生物学、经济学等领域有广 泛应用。
在网络请求中，直到得到响应所需要的请求次数可以服从几何分布。
自然选择与遗传
在生物进化过程中，自然选择对某一性状的选择压力可以用几何分 布来描述。
06 负二项分布
负二项分布的定义
负二项分布是一种离散概率分布，描 述了在成功达到某一目标之前需要进 行的独立、同分布的伯努利试验次数。
负二项分布的概率质量函数为 P(X=k) = (n+1) choose k * p^k * (1p)^(n+1-k)，其中 X 表示试验次数， k 表示成功次数，n 表示试验次数上 限，p 表示每次试验成功的概率。
常用的离散分布
pq
n 1
几何分布：X
n ... 其中 n 1 2 ... 0 p 1, pq P p pq pq ... q 1 p p 2 n 1 p pq pq ... pq ... 1 q 1
n1
1
2
3
...
n 1 2 n 1 p 2 pq 3 pq ... npq ... n pq EX
0 1 即为0—1分布. 当 x1 1, x2 0 时， X ~ p 1 p 此时 EX p DX p(1 p)
也称X是参数为p的 伯努利随机变量.
X ~ 1 1 1 ... n n n 1 1 1 1 EX x1 x2 ... xn x1 x2 ... xn x n n n n 2 2 DX E X EX E X x 1 1 1 2 2 2 ( x1 x ) ( x2 x ) ... ( xn x ) n n n
1 P X i 1
i 0
4
i i 20i C 0.3 0.7 20
4
i 0
例 在四舍五入时,每个加数的取整误差 服从 [0.5, 0.5 ] 上的均匀分布,今有n个加数,计算它们中 至少有3个的 绝对误差小于 0.3 的概率. 解 设 X 表示一个加数的取整误差 X ~ U [ 0.5, 0.5 ] 每个加数的绝对误差小于0.3 的概率为:
0.3 0.3
设 Y 为n个加数中 绝对误差小于0.3的个数. y f ( x) 1 Y ~ b( n, 0.6 ) 至少有3个加数的绝对误差 0.5 0.5 小于 0.3 的概率为:
P Y 3 1 P Y 3 1 P Y 0 P Y 1 P Y 2 1 n 1 2 n1 n2 2 C 0.6 1 0.4 C 0.4 0.4 n n 0.6
3种常用离散型分布的公式
3种常用离散型分布的公式嘿，咱们来聊聊 3 种常用的离散型分布公式。
先来说说二项分布。
这二项分布啊，就好比你扔硬币。
假设你扔 10 次硬币，每次都只有正面和反面两种可能，而且每次扔硬币正面朝上的概率都一样。
那在这10 次中，出现正面的次数就可能符合二项分布。
我记得之前教过一个学生，他特别纠结这个二项分布的公式。
我就跟他说：“你就想象成你去抽奖，每次抽奖中奖的概率是固定的，抽了特定的次数，算一下总共中奖几次的可能性。
”他还是一脸懵。
于是我就给他举了个例子，假设抽奖中奖概率是 0.2，一共抽 5 次，那中奖 2次的概率咋算呢？这时候二项分布公式就派上用场啦。
二项分布的公式是：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) 。
这里的 n 就是试验次数，k 就是成功的次数，p 是每次试验成功的概率。
再讲讲泊松分布。
泊松分布就像是在一段时间或者一个区域内，某种事件发生的次数。
比如说，在一个小时内，某个路口发生交通事故的次数。
我曾经观察过我们学校门口的交通情况。
有一天，我特意在那站了一个小时，想看看大概会有多少起小的交通摩擦。
结果发现，差不多平均下来，一个小时会有那么两三起。
这其实就有点像泊松分布的情况。
泊松分布的公式是：P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! ，这里的λ是单位时间或者单位面积内事件发生的平均次数。
最后说说几何分布。
几何分布就好像是你不断尝试做一件事，直到第一次成功为止，所需要的尝试次数。
有次我陪我家孩子玩猜谜语，他一直猜不对，我就告诉他，你猜猜看，平均几次能猜对一个。
这其实就和几何分布有点关系。
几何分布的公式是：P(X = k) = (1 - p)^(k - 1) * p ，其中 p 是每次试验成功的概率。
总之，这三种离散型分布公式在生活和学习中都有很多用处。
咱们多观察、多思考，就能更好地理解和运用它们啦！。
2.3常用的离散型分布
P { X m } q k 1 p q m q j 1 p q m
k m 1
j 1
同理 有
P{Xmn}qmn P{Xn}qn 于是得
P { X m n |X m } q q m m n q n P { X n } 说明
pn(注意这与试验的次数n有关) 如果n时 npn (0为常
数) 则对任意给定的k 有 k l n b i ( k ; n m , p n ) k ! e
( 2 6 3 )
说明
由该定理 我们可以将二项分布用泊松分布来近似 当二
项分布b(n p)的参数n很大 而p很小时 可以将它用参数为
说明
设X表 示 投 掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 出 现 的 点 数 此 时 {1 2
6} 令
X()
则 X服 从 {1 2 6}上 的 均 匀 分 布
四、二项分布
二项分布
如 果 一 个 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 为
P {Xk}C k npk(1p)nk k0 1 2, n
式(254)通常称为几何分布的无记忆性 意指几何分布对 过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中 不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布为
P { X k } C k N 1 C n N 2 k ,0 k n C n N
如果X只取0 1两个值 其概率分布为
P{X1}p P{X0}1p 0p1
(239)
则称X服从参数为p的01分布 也称X是参数为p的伯努利随机
常用离散分布-二项分布
(一)常用离散分布这里将给出三个常用的离散分布：二项分布、泊松分布与超几何分布。
1 .二项分布我们来考察由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件：⑴重复进行n次随机试验。
比如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，对一个目标连续射击n次等。
2 2) n次试验间相互独立，即任何一次试验结果不会对其他次试验结果产生影响。
⑶每次试验仅有两个可能的结果，比如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败工(4)每次试验成功的概率均为p,失败的概率均为1-p。
在上述四个条件下，设X表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然X是可以取0,1,..., n等n+1个值的离散随机变量，且它的概率函数为：n= x) = /(1一。
)1 , x=O,l,…3(1.2-4)W'G这个分布称为二项分布，记为父乩，)，其中是从n个不同元素中取出/个的蛆合数，它的计算公式为：\X)G、_ n\㈤%!(« - x)!二项分布的均值、方差与标准差分别为：E(X) = npVar{X}-4>(1 - p)—=加(1-0)特例：n=i的二项分布称为二点分布。
它的概率函数为：产= —, x = O,l或列表如下：x | 0 1 ____________P P它的均值、方差与标准差分别为跃© = P，gr(X) = Hl-⑼，6X)=［pQ-p)［例1.2-10］在一个制造过程中，不合格品率为0.1，如今从成品中随机取出6个，记X为6个成品中的不合格品数，则x服从二项分布8(6 ,0.1),简记为X〜堆，0.1) o现研究如下几个问题：(1)恰有1个不合格品的概率是多少?这里规定抽到不合格品为“成功” > 则事件XE的概率为：P{X = 1) = x0.1x(l-0.1)6-i = 6x0.1x0.95 =0.3543Uz这表明, 6个成品中恰有一个不合格品的概率为0. 3543-类似可计算X=0 , X=1 ,…'X=6的概率，计算结果可列出一张分布列，具体如下：X 0 1 2 3 4 5 6P 0.5314~0.3543 0.0984 0.0146 0.0012 0.0001 0.0000这里0. 0000表示X=6的概率取前4位小数的有效数字为零,实际上，它的概率为P 0(=6)=0. 000001 ,并不严格为零。
2.3常用的离散型分布
(k 0,1, 2,..., n)
其中0 p 1, 则称X服从参数为n, p的二项分布, 记为 X ~ b(n, p). 注 二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型;
其中n是试验独立重复的次数, p是每一次基本试验“成功”的概率. 随机变量X指n次试验中“成功”出现的次数.
当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1，此时X服从
六. 超几何分布 1 引例 一个袋子中装有N个球，其中N1个白 球，N2个黑球（N=N1+N2），从中不放回地抽取 n个球，X表示取到白球数目，则
P{X k} C C
k N1
n k N2
/ C (0 k n)
n N
规定C 0(b a)
b a
称X服从超几何 分布
注：超几何分布的极限分布是二项分布。即
EX=(x1+x2+…+xn)/n x
1 n 2 D( X ) ( xi x ) n i 1
五.几何分布
1. 定义 若X的概率分布为：
k 1
P( X k ) (1 p)
p, k 1, 2,,
则称 X 服从参数为p 的几何分布。 注：无记忆性： P{X>m+n|X>m}= P{X>n} 2. EX=1/p DX=(1-p)/p2
4. Possion定理 设当 n , npn 0, 则对任意k
k! k 0,1, 2, Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 np 适中, 则可以用近似公式 k k k nk Cn p (1 p ) e , k 0,1, 2, k!
常用离散分布
C P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0,1,...,n) n
其中随机变量X为n重贝努里试验中事件A成功的次数。
定义: 设随机变量X的可能取值为0，1，…，n ， 并且取这些值的概率分别为
C P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0,1,...,n) n
2.4 常用离散分布
1、退化分布 若随机变量X只取常数值c，即 P{x=c}=1
这时分布函数为
0, x c FX (x) 1, x c
E(X)=c Var(X)=0
1
2、二点分布（0—1）分布
若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，即X只可 能取0与1两个值，它的分布列是
P{X＝k}＝pk(1一p)1-k，k＝0，1 (0<p<1)， 则称X服从(0—1)分布或两点分布，记为b(1，p)。
P{X
k}
M k
N n
M k
,
k
0,1,, r
N n
where r min{ n, M }
验证规范性，利用r源自k 0M kN n
M k
N n
(见习题1.2)
21
超几何分布的期望和方差 P98
E(X ) n M N
理解
Var( X ) nM (N M )(N n) N 2 (N 1)
(n 1)p或(n 1)p-1 当(n 1)p是整数时
k0
[(n 1)p]
其它
其中[(n+1)p]表示(n+1)p的整数部分。
10
从图中可以看出，对于固定的n及p，当k增加时， b(k;n,p)险随之增加并达到某极大值，以后又下降。此 外，当概率p越与1/2接近时，分布越接近对称。
2-3常见的离散型分布
是确定最小的 N , 使得 P{ X N } 0.99.
由泊松定理，X 近似服从参数 =300 0.01 3的泊
松分布,故 P{ X N } N 3k e3 , k0 k!
故有
N 3k e3 0.99,
k0 k!
查表可求得满足此式最 小的N是8. 故至少需配置8
个工人,才干确保设备发生故障但不能及时维修旳 概率不大于0.01.
P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 0.018316 0.9817
启示：小概率事件虽不易发生，但反复次数
多了，就成大约率事件.
6. 几何分布
（1）概率分布 记作X ~ G( p )
P{ X k} qk1 p, k 1, 2, (q 1 p)
（2）应用背景：描述伯努利试验序列中，
解 设X为800个纺锭在这段时间内发生断头的次数,
则X ~ b(800, 0.005),它近似服从参数 =800 0.005 4的泊
松分布, 故
2
2
P{0 X 2} P{ X k} b(k;800, 0.005)
k0
k0
2 4k e4 0.2381
k0 k !
P{ X 2} 1 P{0 X 2} 1 0.2381 0.7619
1 n
,i
1, 2,
n.
P{ X
xi }
P{i }
1 n
,
i 1, 2, n.
实例 抛掷骰子并记出现旳点数为随机变量 X,
则有 X 1 2 3 4 5 6
1 1 11 11
P 6 6 66 66
4. 二项分布
（1）概率分布
记作X ~ b(n, p) (0 p 1)
P{ X
常用的离散分布(课件)
这个演讲将介绍离散概率分布的主要内容，包括二项分布、泊松分布、几何 分布、超几何分布、负二项分布、多项式分布等。
离散概率分布的概念介绍
介绍离散概率分布的基本概念，包括随机变量、概率密度函数和累积概率函 数等。
二项分布的定义及其特点
详细介绍二项分布的定义、特点和应用场景，以及二项分布与其他概率分布 的关系。
负二项分布的定义及其特点
深入探讨负二项分布的定义、特点和应用场景，以及如何计算期望值和方差。
多项式分布的介绍和实际应用
介绍多项式分布的特点和实际应用，以及与其他离散分布的关系和区别。本概念、性质和应用，提供期望值和方差的计算方法。
泊松分布的基本概念和应用场景
探讨泊松分布的基本概念，讲解它在实际应用中的场景和特点，以及如何计算期望值和方差。
几何分布的定义及其概率密度函数
介绍几何分布的定义、概率密度函数和应用情景，以及与其他概率分布的联系和区别。
超几何分布的基本概念和公式推导
详细讲解超几何分布的基本概念和公式推导过程，提供实际应用案例分析。
2.4常用的离散分布
•n重伯努利试验：将伯努利试验，独立 重复进行了n 次。
• 以X表示n重贝伯努利试验中事件A发生的次 数，则称X服从参数为n,p的二项分布。 • 记作X ～ B（n,p) [p+(1-p)] 分布律为： 展开式的第k+1项
n
P{X = k} = Cn pk (1− p)n−k , (k = 0,1,..., n)
k n C M C N− kM − P( X = k ) = n CN
k = 0,1, L
当抽取个数n《 产品总量N时，每次抽取完，不合 格品率p=M/N改变甚微，不放回抽样可以看做为 放回抽样，因此超几何分布可以看做二项分布。
离散型 b(n,p) p(λ) λ Ge(p) Nb(p)
期望 np λ 1/p r/p
方差 np(1-p) λ 1-p/p2 r(1-p)/p2
范围 n重伯努利试验 事件A发生的次数 单位时间(体积) 的计数 事件A首次发生(伯努利) A ( ) 事件A第r次发生（伯努 利） 不放回抽样
h(n,N,M) nM/N
Var(X)=np(1-p)
例3 已知X～ b(2,p) Y～b(3,p)；若p(X≥1)=5/9 求 ～ ～ p(Y≥1) • 解： p(X≥1)=1-p(X=0)=5/9
• 得 • 即
5 1 − C P (1 − P) = 9
0 2 0 2
4 (1 − P) = 9
2
0 3 0 3
2 3 19 p (Y ≥ 1) = 1 − P (Y = 0) = 1 − C P (1 − P) = 1 − ( ) = 3 27
• X：投保人中的一年死亡人数; np=10 • 项目收入2000 000 支付 X*100 000 • 1）p(X>20)=1-p(X≤20) • =1-0.998=0.002
常用离散分布
常⽤离散分布⼆项分布⼆项分布就是重复 n 次独⽴的伯努利试验，在每次试验中只有两种可能的结果，⽽且两种结果发⽣与否互相对⽴，并且相互独⽴，与其它各次试验结果⽆关，事件发⽣与否的概率在每⼀次独⽴试验中都保持不变。
即⼀枚硬币扔 n 次，扔出正⾯概率为 p ，得到 k 次正⾯的概率：P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n这个分布称为⼆项分布，记为 X\sim b(n,p) .n=1 时的⼆项分布 b(1,p) 称为⼆点分布，或称0-1分布，或称伯努利分布，其分布列为P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x}, x=0,1.⼆项分布的数学期望和⽅差设随机变量 X\sim b(n,p) ，则\begin{aligned} E(X) &=\sum_{k=0}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}=n p \sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{l} n-1 \\ k-1 \end{array}\right) p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)} \\ &=n p[p+(1-p)]^{n-1}=n p \end{aligned}⼜因为\begin{aligned} E\left(X^{2}\right) &=\sum_{k=0}^{n} k^{2}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum_{k=1}^{n}(k-1+1) k\left(\begin{array}{l} n \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k(k-1)\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}+\sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=2}^{n} k(k-1)\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}+n p \\ &=n(n-1) p^{2} \sum_{k=2}^{n}\left(\begin{array}{l} n-2 \\ k-2\end{array}\right) p^{k-2}(1-p)^{(n-2)-(k-2)}+n p \\ &=n(n-1) p^{2}+n p \end{aligned}由此得 X 的⽅差为\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-(E(X))^{2}=n(n-1) p^{2}+n p-(n p)^{2}=n p(1-p)泊松分布泊松分布的概率分布列是P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}, k=0,1,2, \cdots其中参数 \lambda>0 ,记为 X\sim P(\lambda) .泊松分布的数学期望和⽅差设随机变量 X\sim P(\lambda) ,则E(X)=\sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !}=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda} \mathrm{e}^{\lambda}=\lambda⼜因为\begin{aligned} E\left(X^{2}\right) &=\sum_{k=0}^{\infty} k^{2} \frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}=\sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^{k}}{(k-1) !} \mathrm{e}^{-\lambda} \\ &=\sum_{k=1}^{\infty}[(k-1)+1] \frac{\lambda^{k}}{(k-1) !} \mathrm{e}^{-\lambda} \\ &=\lambda^{2} \mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2) !}+\lambda\mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !} \\ &=\lambda^{2}+\lambda \end{aligned}由此得 X 的⽅差为\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-(E(X))^{2}=\lambda^{2}+\lambda-\lambda^{2}=\lambda⼆项分布的泊松近似(泊松定理) 在 n 重伯努利试验中,记事件 A 在⼀次试验中发⽣的概率为 p_n (与试验次数 n 有关),如果当 b\to\infty 时,有 np_n\to\lambda , 则\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}证明： 记 np_n=\lambda_n , 可得\begin{aligned} \left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k} &=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !}\left(\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n-k} \\ &=\frac{\lambda_{n}^{k}}{k !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n-k} \end{aligned}对固定的 k 有\lim _{n \rightarrow \infty} \lambda_{n}=\lambda\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n-k}=\mathrm{e}^{-\lambda}\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)=1从⽽\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}对任意的 k=0,1,\cdots 成⽴.定理得证.由于泊松定理是在条件 np_n\to\lambda 下得到的,故在计算⼆项分布 b(n,p) 时,当 n 很⼤, p 很⼩,⽽ \lambda=np ⼤⼩适中时,可以⽤泊松公式近似,即\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k} \approx \frac{(n p)^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-n p}, k=0,1,2, \cdotsLoading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js通常当 n\geqslant20,p\leqslant0.05 时，就可以⽤泊松公式近似得计算。
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(n 1)p或(n 1)p-1 当(n 1)p是整数时
k0
[(n 1)p]
其它
其中[(n+1)p]表示(n+1)p的整数部分。
10
从图中可以看出，对于固定的n及p，当k增加时， b(k;n,p)险随之增加并达到某极大值，以后又下降。此 外，当概率p越与1/2接近时，分布越接近对称。
11
若 X ~ b(n, p) P{X k} Cnk pk (1 p)nk
n(n
1)(n
k
1)
n
k 1
n
nk
k!
n n
kn
1
1
1
2
1
k
1 1
n
nk
k! n n n n
由 于 对 固 定 的k有
lim
n
kn
k , lim1
n
n
n
nk
e
及
lim1 1 1 2 1 k 1 1
n n n
n
因此
lim b(k; n, p) k e .
P{
k
}
k r
11
p
r
q
k
r
,
k
r, r 1,
在事件A发生的概率为p的贝努利试验中，若以X记A
首次出现时的试验次数，则X为随机变量，它的可能取
值为1,2,3…，其概率分布为几何分布。记为X ~ Ge( p)
其分布列为
P{X=k}=qk-1p, k=1,2, … 比如：
其中q=1-p
1、某射手的命中率为0.8，则首次击中目标的射击次数
X ~ Ge(0.8)
n!
pk (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
13
n
n!
pk (1 p)nk
k2 (k 2)!(n k)!
n
n!
pk (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
n2
n(n 1)Cnl 2 pl2 (1 p)n2l l 0
二项分布的方差
n1
nCnj1 p j1(1 p)n1 j
j0
n(n 1) p2 np
D( X ) n(n 1) p2 np n2 p2 np(1 p)
14
4、泊松分布 Poisson Distribution
设随机变量X所有可能取的值为0，1，2，…，而取各个值
的概率为
P{X k} k e , k 0,1,2,,
k!
其中>0是常数。则称X服从参数为的泊松分布，记为X～
P{X
k}
M k
N n
M k
,
k
0,1,, r
N n
where r min{ n, M }
验证规范性，利用
r
k 0
M k
N n
M k
N n
(见习题1.2)
21
超几何分布的期望和方差 P98
E(X ) n M N
理解
Var( X ) nM (N M )(N n) N 2 (N 1)
16
Poisson分布的数学期望和方差
E(X )
k
k
e
e
k 1
;
k0 k!
k1 (k 1)!
E( X 2 )
k2
k
e
k
k
e
k 0
k!
k 1 (k 1)!
[(k 1) 1]
k
e
k 1
(k 1)!
k
(k 1)
e
k
e
k 1
(k 1)!
k 1 (k 1)!
则称X服从参数为n，p的二项分布，记为 X ~ b(n, p)
4
说明：
非负性显然；其次通过下式可以看到，规范性成立
n
n
p( X k) Cnk pk (1 p)nk ( p (1 p))n 1
k 0
k 0
注意到
n k
p
k
q
nk刚好是二项式(
p
q)
n
的展开式中出现p
k的
那一项，故我们称随机变量X服从参数为n, p的二项分布，
X
X (w)
0,当w 1,当w
w1 w2
, .
来描述这个随机试验的结果。
例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量 是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷以及 “抛硬币” 试验等都可以用(0—1)分布的随机变量来描述。(0一1)分 布是经常遇到的一种分布。
3
3、二项分布 Binomial Distribution 定理:在n重贝努里试验中，若事件A发生的概率为p，
因为(n+1)p不一定是正整数，所以存在正整数m，使得 当k= k 0时达到极大值。
7
由此可知，二项分布的分布
PX k
先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着 k 的增大而减少．这个使得
PX k
达到其最大值的k0称为该二项分布的最可能次数。 结论： 如果(n+1)p不是整数，则k0=[(n+1)p]; 如果(n+1)p是整数，则k0=(n+1)p， 或k0=(n+1)p-1.
记为X ~ b(n, p).或X ~ b(k;n, p)
特别，当n 1时二项分布化为 P{X k} pk q1k , k 0,1.
这就是(0 1)分布。
5
例:从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通 岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途pk (1 p)nk
k0 k!(n k)!
n
n!
pk (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
k 0.1,...n
n
np
(n 1)! pk1(1 p)n1(k1)
k1 (k 1)!(n k)!
n1
令l k 1 np Cnl 1 pl (1 p)n1l l0
np
该定理表明，在前m次试验中A没有出现的条件下，则 在接下去的n 次试验中A仍没出现的概率只与n有关，而 与以前的m次试验无关，似乎忘记前m次试验结果，这 就是无记忆性。
25
负二项分布（巴斯卡分布）
在事件A发生的概率为p的贝努利试验中，若以记A 第r次出现时的试验次数，则为随机变量，它可能取的 值为r,r+1,…，其的概率分布为巴斯卡分布。
2、某产品的不合格率为0.05，则首次查到不合格品的
检查次数 X ~ Ge(0.05)
24
几何分布的期望和方差 利用逐项微分可得
几何分布的无记忆性
E(X ) 1 p
Var( X ) 1 p p2
定理：设X ~ Ge( p)，则对任意的n有 p( X m n | X m) p( X n)
n
k!
19
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布
讲解P96 EX7 保费
20
超几何分布 Hypergeometric Distribution
对某批N件产品进行不放回抽样检查，若这批产品 中有M件次品，现从整批产品中随机抽出n件产品，则 在这n件产品中出现的次品数X是随机变量，它取值0， 1，2，…，r，其概率分布为超几何分布。记X为~ h(n, N, M )
则事件A恰好发生k次的概率为
C P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0,1,...,n) n
其中随机变量X为n重贝努里试验中事件A成功的次数。
定义: 设随机变量X的可能取值为0，1，…，n ， 并且取这些值的概率分别为
C P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0,1,...,n) n
在实际应用中许多随机现象服从泊松分布。这种情况特别 集中在两个领域中。一是社会生活，对服务的各种要求：诸如 在单位时间内，电话交换台中来到的呼叫数，公共汽车站来到 的乘客数等等都近似地服从泊松分布，因此在运筹学及管理科 学中普阿松分布占有很突出的地位；另一领域是物理学，放射 性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某 区域中的血球或微生物的数目等等都服从泊松分布。 因此泊 松分布的应用十分广泛。
X
0
1
也可写成
pk
1-p
p
E( X ) 0 (1 p) 1 p p EX 2 p Var( X ) EX 2 (EX )2 p p 2 p(1 p)
2
关于（0—1）分布
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元
素，即S={w1，w2}，我们总能在S上定义一个服从(0一1)分 布的随机变量
8
二项分布中使概率P(=k)取最大值的k，
证明：称为二项分布的最可能值，记为k0
若P(=k0 )为最大，则
P( k0) P( k0 1) (1)
P( k0) P( k0 1) (2) 由(1)式
n!
p q k0 nk0
n!
p q k0 1 nk0 1
k0 !(n k0 )!
(k0 1)!(n k0 1)!
超几何分布的二项近似
当 n
N 时，
每次抽取后，不合格品率改变很小，所以 不放回抽样可近似看成放回抽样，这时超
几何分布可用二项分布近似！
M N M
k
n k
N n
n k
p
k
(1
p)nk
, where
p
M N
22
超几何分布、二项分布和普阿松分布之间的关系
超几何分布、二项分布和泊松分布都是重要的离散 型随机变量的概率分布。有时，他们的概率计算会十分 繁冗。当试验次数n很大时，可以推导出这三个分布间 有一种近似关系式