常用离散分布

该定理表明，在前m次试验中A没有出现的条件下，则 在接下去的n 次试验中A仍没出现的概率只与n有关，而 与以前的m次试验无关，似乎忘记前m次试验结果，这 就是无记忆性。
25
负二项分布（巴斯卡分布）
在事件A发生的概率为p的贝努利试验中，若以记A 第r次出现时的试验次数，则为随机变量，它可能取的 值为r,r+1,…，其的概率分布为巴斯卡分布。
n(n
1)(n
k
1)
n
k 1
n
nk
k!
n n
kn
1
1
1
2
1
k
1 1
n
nk
k! n n n n
由 于 对 固 定 的k有
lim
n
kn
k , lim1
n
n
n
nk
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e
及
lim1 1 1 2 1 k 1 1
n n n
n
因此
lim b(k; n, p) k e .
二项分布的数学期望
12
n
E(X 2) k2
n!
pk (1 p)nk
k1 k!(n k)!
n
k n!
pk (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
n
(k 11)n! pk (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
n
(k 1)n! pk (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
n
2、某产品的不合格率为0.05，则首次查到不合格品的
检查次数 X ~ Ge(0.05)
24
几何分布的期望和方差 利用逐项微分可得
几何分布的无记忆性
E(X ) 1 p
Var( X ) 1 p p2
定理：设X ~ Ge( p)，则对任意的n有 p( X m n | X m) p( X n)
在事件A发生的概率为p的贝努利试验中，若以X记A
首次出现时的试验次数，则X为随机变量，它的可能取
值为1,2,3…，其概率分布为几何分布。记为X ~ Ge( p)
其分布列为
P{X=k}=qk-1p, k=1,2, … 比如：
其中q=1-p
1、某射手的命中率为0.8，则首次击中目标的射击次数
X ~ Ge(0.8)
16
Poisson分布的数学期望和方差
E(X )
k
k
e
e
k 1
;
k0 k!
k1 (k 1)!
E( X 2 )
k2
k
e
k
k
e
k 0
k!
k 1 (k 1)!
[(k 1) 1]
k
e
k 1
(k 1)!
k
(k 1)
e
k
e
k 1
(k 1)!
k 1 (k 1)!
j0
n(n 1) p2 np
D( X ) n(n 1) p2 np n2 p2 np(1 p)
14
4、泊松分布 Poisson Distribution
设随机变量X所有可能取的值为0，1，2，…，而取各个值
的概率为
P{X k} k e , k 0,1,2,,
k!
其中>0是常数。则称X服从参数为的泊松分布，记为X～
n
k!
19
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布
讲解P96 EX7 保费
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超几何分布 Hypergeometric Distribution
对某批N件产品进行不放回抽样检查，若这批产品 中有M件次品，现从整批产品中随机抽出n件产品，则 在这n件产品中出现的次品数X是随机变量，它取值0， 1，2，…，r，其概率分布为超几何分布。记X为~ h(n, N, M )
记为X ~ b(n, p).或X ~ b(k;n, p)
特别，当n 1时二项分布化为 P{X k} pk q1k , k 0,1.
这就是(0 1)分布。
5
例:从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通 岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.
2.4 常用离散分布
1、退化分布 若随机变量X只取常数值c，即 P{x=c}=1
这时分布函数为
0, x c FX (x) 1, x c
E(X)=c Var(X)=0
1
2、二点分布（0—1）分布
若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，即X只可 能取0与1两个值，它的分布列是
P{X＝k}＝pk(1一p)1-k，k＝0，1 (0<p<1)， 则称X服从(0—1)分布或两点分布，记为b(1，p)。
定理(普阿松) 在n重贝努利试验中，以pn代表事件A 在试验中出现的概率，它与试验总数n有关，如果当n → ∞时，有npn → ，则
b(k; n,
pn
)
k
k!
e
b(k ; n,
p)
C
k n
p k (1
p)nk
(n p) k k!
e np
18
证明：
b(k; n,
pn )
n k
pnk (1
pn )nk
X
0
1
也可写成
pk
1-p
p
E( X ) 0 (1 p) 1 p p EX 2 p Var( X ) EX 2 (EX )2 p p 2 p(1 p)
2
关于（0—1）分布
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元
素，即S={w1，w2}，我们总能在S上定义一个服从(0一1)分 布的随机变量
因为(n+1)p不一定是正整数，所以存在正整数m，使得 当k= k 0时达到极大值。
7
由此可知，二项分布的分布
PX k
先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着 k 的增大而减少．这个使得
PX k
达到其最大值的k0称为该二项分布的最可能次数。 结论： 如果(n+1)p不是整数，则k0=[(n+1)p]; 如果(n+1)p是整数，则k0=(n+1)p， 或k0=(n+1)p-1.
则称X服从参数为n，p的二项分布，记为 X ~ b(n, p)
4
说明：
非负性显然；其次通过下式可以看到，规范性成立
n
n
p( X k) Cnk pk (1 p)nk ( p (1 p))n 1
k 0
k 0
注意到
n k
p
k
q
nk刚好是二项式(
p
q)
n
的展开式中出现p
k的
那一项，故我们称随机变量X服从参数为n, p的二项分布，
X
X (w)
0,当w 1,当w
w1 w2
, .
来描述这个随机试验的结果。
例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量 是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷以及 “抛硬币” 试验等都可以用(0—1)分布的随机变量来描述。(0一1)分 布是经常遇到的一种分布。
3
3、二项分布 Binomial Distribution 定理:在n重贝努里试验中，若事件A发生的概率为p，
P() 。
易知，P{X=k)≥0，k=0，1，2，…，且有
P{X k} k e e k e e 1
k 0
k0 k!
k0 k!
满足离散随机变量分布列的性质。
15
关于泊松分布
历史上泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国 数学家Poisson引入的，近数十年来，泊松分布日益显示其重 要性，成了概率论中最重要的几个分布之一。它常与单位时间 （或单位面积、单位产品等）上的计数过程相联系。
C
k M
C
nk NM
C
n N
C
k n
pk (1
p)nk
k e
k!
.
这里，第一个等式要求n/N较小，取p=M/N即成立。 第二个等式要求n很大，p较小时成立。实际使用时， n≥20即可，当n≥50时，效果更好。而泊松分布可通 过查表计算，比较简单。P421 Poisson表
23
几何分布 Geometric Distribution
在实际应用中许多随机现象服从泊松分布。这种情况特别 集中在两个领域中。一是社会生活，对服务的各种要求：诸如 在单位时间内，电话交换台中来到的呼叫数，公共汽车站来到 的乘客数等等都近似地服从泊松分布，因此在运筹学及管理科 学中普阿松分布占有很突出的地位；另一领域是物理学，放射 性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某 区域中的血球或微生物的数目等等都服从泊松分布。 因此泊 松分布的应用十分广泛。
8
二项分布中使概率P(=k)取最大值的k，
证明：称为二项分布的最可能值，记为k0
若P(=k0 )为最大，则
P( k0) P( k0 1) (1)
P( k0) P( k0 1) (2) 由(1)式
n!
p q k0 nk0
n!
p q k0 1 nk0 1
k0 !(n k0 )!
(k0 1)!(n k0 1)!
P{
k
}
k r
11
p
r
q
k
r
,
k
r, r 1,
n
E(X) k
n!
pk (1 p)nk
k0 k!(n k)!
n
n!
pk (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
k 0.1,...n
n
np
(n 1)! pk1(1 p)n1(k1)
k1 (k 1)!(n k)!
n1
令l k 1 np Cnl 1 pl (1 p)n1l l0
np
n!
pk (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
13
n
n!
pk (1 p)nk
k2 (k 2)!(n k)!
n
n!
pk (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
n2
n(n 1)Cnl 2 pl2 (1 p)n2l l 0
二项分布的方差
n1
nCnj1 p j1(1 p)n1 j
则事件A恰好发生k次的概率为
C P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0,1,...,n) n
其中随机变量X为n重贝努里试验中事件A成功的次数。
定义: 设随机变量X的可能取值为0，1，…，n ， 并且取这些值的概率分别为
C P{X k} k pk (1 p)nk ,(k 0,1,...,n) n
P{X
k}
M k
N n
M k
,
k
0,1,, r
N n
where r min{ n, M }
验证规范性，利用
r
k 0
M k
N n
M k
N n
(见习题1.2)
21
超几何分布的期望和方差 P98
E(X ) n M N
理解
Var( X ) nM (N M )(N n) N 2 (N 1)
由于对0<p<1,
因此
b(k;n, p) (n k 1) p 1 (n 1) p k
b(k 1;n, p)
kq
kq
当k<(n+1)p时，b(k;n,p)>b(k-1;n,p)
当k=(n+1)p时，b(k;n,p)=b(k-1;n,p)
当k>(n+1)p时，b(k;n,p)<b(k-1;n,p)
(n 1)p或(n 1)p-1 当(n 1)p是整数时
k0
[(n 1)p]
其它
其中[(n+1)p]表示(n+1)p的整数部分。
10
从图中可以看出，对于固定的n及p，当k增加时， b(k;n,p)险随之增加并达到某极大值，以后又下降。此 外，当概率p越与1/2接近时，分布越接近对称。
11
若 X ~ b(n, p) P{X k} Cnk pk (1 p)nk
超几何分布的二项近似
当 n
N 时，
每次抽取后，不合格品率改变很小，所以 不放回抽样可近似看成放回抽样，这时超
几何分布可用二项分布近似！
M N M
k
n k
N n
n k
p
k
(1
p)nk
, where
p
M N
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超几何分布、二项分布和普阿松分布之间的关系
超几何分布、二项分布和泊松分布都是重要的离散 型随机变量的概率分布。有时，他们的概率计算会十分 繁冗。当试验次数n很大时，可以推导出这三个分布间 有一种近似关系式
解:(1)由题意, X ~ b于(6是, 1,)X的分布律为: 3
P{X
k}
C6k
1 3
k
2 6k
3
k 0,1,...,6
(2) P{X 5} P{X 5} P{X 6}
C65
1 5
3
2 3
1 6
3
13 729
6
二项分布的分布形态
若 X ~ b(，n,则p) 固定n和p，当k取何值时，b(k;n,p)取最大值？
2e
k 2
e
k 1
k 2 (k 2)!
k 2 (k 1)!
2
所以，Var( X ) E( X 2 ) (E( X ))2
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二项分布的 poisson近似
在很多应用问题中，我们常常这样的贝努利试验， 其中，相对地说，n大，p小，而乘积=np大小适中。 在这种情况下，有一个便于使用的近似公式。
化简得 (n k0 1)p k0q k0 (n 1)p
9
由(2)式
n!
p q k0 nk0
n!
p q k0＋1 nk0 1
k0 !(n k0 )!
(k0 1)!(n k0 1)!
化简得 (k0 1)q (n k0)p k0 (n 1)p 1
所以 (n 1)p 1 k0 (n 1)p 即