王淑华固体物理章3

E max 4 J 2 a 2 k 2 E max h2 2m t
k 2 *
m t* 式中
h2 8 J a
2 2
为能带顶部电子的有效质量， 因为
J 0 ，故 m t* 0 ，即能带顶部电子的有效质量为负值。
6.6 设二维正三角形晶格中原子间距为a，只计最近临电子间的
1 1 E k E k E k v k k E k i j k h h k x k y k z 于是 1 E k E k E k v k i j k h k x k y k z
2cos2 π ak x 2e i π ak x cos 3 π ak y E0 A J 2e i π ak x cos 3 π ak y
3k y )
E 0 A 2 J cos 2 ak x 2 cos ak x cos 3 ak x
E k E 0 A
最近邻
e
Rn
i 2 k Rn R s
J sn
(1)
式中 R s 和 R n 分别代表参考原子及其最近邻的位矢。 在一维原
R 子链中，只有两个最近邻。选取参考原子为坐标原点， s 0，
则两个最近邻的位矢可分别记为 Rn a , a ，此处a为原子间距。 由于交迭积分 J sn 对两个最近邻是相等的，记为 J ，便得

E k k z
代入(2)式，有
1 E k E k E k v k i j k h k x k y k z
对比(1)式，即得
v k v k
sin ak x sin 3 ak y

4 3 2 a 2 J h
2
6.7 试根据5.10题的结果，求面心立方晶格中能带底附近电子
的有效质量。
解： 能带底即 E k 的最小值对应的 k 为 0,0,0 ， 可得在能带 s 底处电子的有效质量为



m xx
2 2E s k 2 xx
(1)




(2)
因此 因为能量 E k 是波矢 k 的偶函数， E k E k ， 即
E k k x E k k x
E k k y

E k k y
E k k z
2 2J s a 2
E max E 0 A 2 J
这就是能带顶的数值，故能带宽度
E E max E min 4 J
sin 在能带底附近，k值很小， ka ka ， (2)式可写成
E k E min 4 J ka E min
2
h2k 2
* 2m b
此处




其次，由公式
1 m ij

1
2
2E
h k i k j
可求得有效质量各分量为
1 m xx 4 2 a 2 J h
2
2 cos 2ak
x
cos ak x cos 3 ak y

1 m yy
1 m xy


12 2 a 2 J h
1 m yx
2
cos ak x cos 3 ak y
式中 R s
和
Rn
分别是参考原子及其各个最近邻的位矢。 在二维
正三角形晶格中，有6个最近邻(如图)。 如选取参考原子为坐标
原点， R s 0 ， 即 6个最近邻
的坐标分别为
y
a 3a a,0 , a,0 , , 2 2 a 3a a 3a , , , , 2 2 2 2 a 3a , 2 2
解： （1）由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当


k x k y k z 0 时，E s 取最小值，即 k k k 0 x y z 2 2 是能带底，电子有效质量为 m xx 2E 2J s a 2 s k 2 x k 0
联合(1)(3)两式，即得
m m
*
为电子的有效质量。
Fe Fe F L
6.4 证明：对于能带中的电子， 状态和 k 状态的速度大小 k
相等，方向相反，即
v k v k
并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。
证明： k 态的电子速度为
式中 a 是晶格常数。试求 （1）能带的宽度； （2）电子在波矢 k 的状态时的速度；
（3）能带底部和顶部电子的有效质量。
解： （1）能带宽度为 ΔE E max E min 由极值条件
dE k dk
0
得
sinka
1 4
sin2ka sinka
1 2
sinkacoska 0
的相互作用，
(1)证明其s态电子的能带为
2 1 E k E min 4 J sin ak 2
E 式中， min 为能带底部的能量；J为交迭积分.
(2)求能带的宽度及能带底部和顶部附近的电子的有效质量。 证明：（1）在一维情况下，用紧束缚近似讨论晶体电子的能量， 结果可写成
E k E 0 A J e i 2ka e i 2ka


E 0 A 2 J cos 2ka
E 0 A 2 J 4 J sin 2 ka E min 4 J sin 2 ka
式中E min E 0 A 2 J 代表能带底的数值。 （2）从上式可知，当 k 1 / 2a 时，能量取最大值 (2)
上式的唯一解是 sinka 0 的解， 此式在第一布里渊区内的 解为
k 0,
π a
E 当 k 0 时， k 取极小值 E min ， 且有
E min E 0 0
E 当 k 0 时， k 取极大值 E max ， wk.baidu.com有
E max
π 2 2 E a ma 2
* mb
h2 8 J 2 a 2
为能带底部电子的有效质量。
* 显然， m b 0 ，即能带底部电子的有效质量为正值。
在能带顶附近， k 勒级数公式展开，得
1 2a
k , k 0 ，代入(2)式，并应用泰
E k E 0 A 2 J cos 2 a k E 0 A 2 J cos 2 a k
1 m


1 2E k
2 2
分别为
m
π k a
2 2 E k 2
1 1 m coska cos2ka 2 k π
a

π k a
2 3
m
m
k 0
2 2 E k 2
i
同理可得
m yy
2 2J s a 2
, m zz
2 2J s a 2
其他交叉项的倒数全为零。 而在布里渊区边界上的
2π 2π 2π ,0,0 , 0, ,0 , 0,0, a a a
处是能带顶，电子的有效质量为
电子占有某个状态的几率只同该状态的能量有关。 因为
E k E k ，电子占有 k 状态和 k 状态的几率相同。
而由 v k v k 知道，这两个状态的电子电流互相抵消，
因此，无外场时，晶体中总电流为零。
6.5 应用紧束缚方法于一维单原子链，如只计及最近邻原子间
m
xx
m
yy
m
zz

2 2
2J s a
其他交叉项的倒数也全为零。
在能带底部 k x k y k z 0 时 （2）
m
xx
m
yy
m
zz
2 2J s a 2
E k x
当k y k z 0 时
E sat A 8J E sat A 8J
v k x 4Jasin
at s
kxa 2
kxa 2
2π a
4Ja

2π a a
0
4Ja
2π a
kx
E k x E A 8Jcos
它们的曲线如图所示。
π π a 2π a
kx
6.2 已知一维晶体的电子能带可写成
2 Ek ma 2

1 7 coska cos2ka 8 8
1 1 m coska cos2ka 2 k 0
2m
k 0
6.3 设晶格势场对电子的作用力为 F L ，电子受到的外场力为
F e ，证明：
m m

Fe Fe F L
证明： 因为 p mv 为电子的动量， 所以有
m
dv dt
由以上可得能带宽度为
ΔE E max - E min
（2）由 v k 0
2 2 ma 2
1
k E k
0
式，可得电子的速度
v
1 dE k dk
1 sinka sin2ka ma 4
式， 可求得带顶和带底电子的有效质量
由 （3）
对于s态电子，各个最近邻 的交迭积分皆相等， 令 J sn J ，则得
o a
x
e i2 π ak x e i2 π ak x e i π a(k x 3 k y ) E k E 0 A J e i π a(k x 3 k y ) e i π a(k x 3 k y ) e i π a(k x
相互作用试根据紧束缚近似的结果，求出能量 E k 的表达式， 并计算相应的电子速度 v k 和有效质量各个分量 m ij 。

解：若只计及最近邻的相互作用，用紧束缚近似法处理晶体中
s态电子的能量 ，其结果是
最近邻 i 2k Rn Rs E k E 0 A e J sn Rn
至于速度 v k ，可按如下方法求得



vx
1 E h k x

4 aJ h
sin 2ak
x
sin ak x cos 3 ak y
vy
1 E h k y

4 3 aJ h
cos ak x sin 3 ak y
4 π aJ sin2 π ak x sin π ak x cos 3 π ak y i 所以 v k h 3 cos π ak x sin 3 π ak y j
第六章 晶体中电子的输运性质
6.1 用紧束缚方法可以导出体心立方晶体s态电子的能带为
k ya kz a kxa at E k E s A 8J cos cos cos 2 2 2
（1）试求能带顶部和底部的电子有效质量；

E （2）试画出沿 k x方向 k y k z 0 ， k x 和v k x 的曲线。
F总 Fe F L
(1)
另一方面，加速度
a
而速度 v
dv dt

dv dk dk dt
(2)
1 dE h dk
代入(2)式，并应用关系式 h
dk dt
Fe
可得
dv dt

1 d 2E h
2
dk
2
Fe
Fe m*
(3)
d 2E 式中 m * h 2 / dk 2