2015年学而思杯综合能力测评【四年级】数学答案详解

1 2
年级____________________
线 内
6
8 13
艾迪、薇儿和大宽分练习册，艾迪得到了总数的一半，薇儿得到了余下的一半少1本，大宽得到了 9 本，这些 练习册共有________本． 【解析】倒推法：大宽得到余下的一半多1个，那么剩下的一半是 8 个，因此总数是 8 2 2 32 ． 【答案】 32 ．
学校____________________
2.
答 题
【解析】根据毕克定理，面积= N 【答案】 32
L 1 1 ，内点个数是 18，线上点的个数是 31，面积就是 32 2 2
3.
禁 止
一块由一个正方形和一个平行四边形组成的玉米地，形状如下图所示（单位：厘米） ，它的面积是________ 平方厘米．
11. 四个数的和为 256，如果把第一个数乘 7，第二个数除以 7，第三个数加 7，第四个数减 7 ，得到的数相同，
那么这四个数中最大的数减最小的数为________． 【解析】设得到的相同的数字为 x ,那么第一个数字为 x 7 ,第二个数字为 7 x ,第三个数字 x 7 ,第四个数字为
绝密※启用前 2015 年学而思综合能力测评（深圳） 四年级 数学
座位号____________________
【解析】对折一次: 2 2 1 3 段，对折二次: 4 2 3 5 段，对折三次: 8 2 7 9 段． 【答案】9 段． 二、 填空题Ⅱ（每题 6 分，共 30 分，将答案填在下面的空格处） 7. 右图中，相邻两个格点的距离为 1，那么图中这只羊的面积是_________．
17 10 3 4 15 11
第六行的第 9 个数是 ． 【解析】可以发现，每个数都是其左侧以及左上方两个数之和．以第三组第 4 个数字为例，8 4 4 ．这样就可以 逐渐推出相应的数字．第六行第 9 个数为 247 ． 【答案】 247 ．
密 封
14. 右图中三个正方形的边长从左到右依次减半，小正方形的边长为 3 ，那么图中阴影部分的面积是________．
考 生 须 知
1．本试卷共 4 页，20 题 2．本试卷满分 150 分，考试时间 90 分钟 3．在试卷密封线内填写姓名、年级、学校、座位号
一、 填空题Ⅰ（每题 5 分，共 30 分，将答案填在下面的空格处） 1. 计算 1 2 3 4 99= ________． 【解析】等差数列求和． 【答案】4950． 十个连续的自然数，其中质数至多有________个． 【解析】2、3、5、7、11． 【答案】5 个．
9.
密
4.
最少的时间为 4 20 4 28 分钟．
姓名____________________
5.
右图中，共有______Baidu Nhomakorabea__个三角形．
【答案】28 分钟．
10. 甲、乙两人分别以每小时 6 千米和每小时 4 千米的速度从相距 30 千米的两地向对方的出发地前进．当两人第
二次相距 15 千米时，他们共走了________小时． 【解析】第一次距离是 15 千米时，两人未曾相遇；第二次距离是 15 千米时，两人已相遇；甲乙两人和走了 45 千 米，速度和是 10 千米每小时，时间 4.5 小时． 【答案】 4.5 ． 【解析】分类计数,单个三角形： 5 个；两个三角形拼合： 4 个；三个三角形拼合：1 个；合计： 10 个． 【答案】 10 ．
16. 观察下列数表
第3页 共6页
a b A
座位号____________________
a+1
a+2
a b A
a+1
a+2
a+2
a+1
a b 2b+1
79 12 91 13 7 (10 3)(10 3) 10 2 32
8 个完全平方数各不相同，满足要求，和为： 12 22 32 52 62 72 82 102 288 ． 【答案】 （ 17 ， 18 ） （ 19 ， 20 ） （ 23 ， 22 ） （ 79 ， 12 ） ；288．
2015 10001 2014 2014 10001 2015 2015 2015 【答案】 2015 ．
线 内 禁 止 答 题
18. 艾迪和薇儿在公园里沿着周长为 30 米的圆形花坛边玩相遇与追及的游戏，艾迪的跑步速度为 6 米/秒，薇儿的
跑步速度为 4 米/秒，两人约定：如果两人迎面相遇，那么艾迪就立即回头；如果艾迪从后面追上薇儿，那么 薇儿就立即回头．两人从花坛周围的某一点 A 同时背向出发，所有转身的时间都忽略不计，且无论两人迎面 相遇还是同向追及，都认为是一次“相遇”. （1） 第 1 次“相遇”点距离出发点 A 在花坛代表的圆上最短的距离为多少米？ （2） 第 2 次“相遇”点距离出发点 A 在花坛代表的圆上最短的距离为多少米？ （3） 如果两人持续地跑下去，第 2014 次“ 相遇”点距离出发点 A 在花坛代表的圆上最短的距离为多少米？ 【解析】分析跑步的过程，⑴相遇运动，相遇时间： 30 (6 4) 3 秒，相遇点距离 A 点 3 4 12 米，之后艾迪回 头进入追及过程；⑵追及时间： 30 (6 4) 15 秒，薇儿一直未改变方向，路程： 4 (15 3) 72 米， 72 30 212 ，相遇点距离 A 点 12 米，之后薇儿回头，两人进入相遇过程，⑶⑷过程与⑴⑵过程除了 方向相反，其他都完全相同，所以第三次相遇点为出发点 A ，第四次相遇点仍然是出发点 A ，因此每四 次相遇构成一个周期，与出发点 A 的距离依次是 12 ，12 ， 0 ， 0 ， 2014 4 5032 ，第 2014 次相遇时 每个周期中的第二次，与出发点 A 的距离为 12 米． 【答案】12 米，12 米，12 米． 五、 解答题Ⅱ（每题 15 分，共 30 分，写出必要步骤，否则不得分） 各区域边长关系已在图中标出． 现仅知区域 A 的周长是 30 厘 19. 如图，6 个长方形区域构成了一把手枪的示意图． 米． （1） A 处的面积最大是多少平方厘米？ （2） 以 a 1 为长， b 为宽的长方形的面积最大是多少平方厘米？ （3） 扳机处阴影区域的面积最大为多少平方厘米？
9
5 15
x
9
5 16
四、 解答题Ⅰ（每题 10 分，共 20 分，写出必要步骤，否则不得分） ： 17. 计算（写出主要计算步骤，每小题 5 分） a 5 15 a 3a ， ⑴ 47 2.8 72 4.7 【解析】 在 3 阶幻方中， 每条直线上三个数字之和为幻和， 幻和为中心数的 3 倍， 设中心数为 ， 那么： a 10 30 x 30 9 5 16 那么 ，幻和为 ，因此 ．给出填出后的幻方． 【解析】原式 =4.7 28+72 4.7= 28 72 4.7=470 ． 【答案】 16 ． 【答案】 470 ． 13. 在 1 ~ 100 这 100 个自然数中，能被 2 或者 5 整除的数共有________个． ⑵ 20152015 2014 20142013 2015 【解析】 能被 2 整除的数有 100 2 50 个； 能被 5 整除的数有 100 5 20 个； 同时被 2 与 5 整除的数即被 10 整除， 这样的数有 100 10 10 个；那么能被 2 或 5 整除的数有 50 20 10 60 个． 【解析】原式 20152015 2014 (20142014 1) 2015 20152015 2014 20142014 2015 2015 【答案】 60
答 题
20. 今有 A 、 B 两组数． A 组： 17 ， 19 ， 23 ， 79 ； B 组： 12 ， 18 ， 20 ， 22 ．每组各选一个数相加，所得的和
可以用两个完全平方数的差表示．例如： 12 17 29 152 142 ． （1） 请写出三组类似 12 17 29 152 142 的式子 （2） 选择四次后，要求两组数不重复地全部用完，可以找到 8 个完全平方数．请构造一种配对方式，使这 8 个完全平方数互不相同且总和最小．并求出这个总和． 【解析】 （1）答案正确均可给分（2） 为使和比较小，那么 8 个完全平方数要尽可能小；⑵ 设从两组中各取一个 数后相加得 S ，S a 2 b 2 (a b)(a b ) ，另设 a b m ，a b n ，为使 m 尽可能小，则 n 尽可能大， 由于质数只能分解为1乘本身，如果 S 是质数，那么和将比较大，因此优先满足得到的和为合数：所有配 对之和为合数的情况如下：
三、 填空题Ⅲ（每题 8 分，共 40 分，将答案填在下面的空格处） 12. 在幻方中，每行、每列和每条对角线上数的和都相同，那么在下图所示的未完成的幻方中， x 应是________．
第一行 1 2 3 4
5
6
第二行 1 2 4 7 11 16 第三行 1 2 4 8 15 26 第四行 1 2 4 8 16 31 第五行 1 2 4 8 16 32
第2页 共6页
6.
一根绳子对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根绳子一共被剪成了________段．
第1页 共6页
x 7 ．得到方程： x 7 7 x x 7 x 7 256 ，解之得： x 28 ．那么这四个数字依次为： 4 、 196 ， 21 ， 35 ．最大数减最小数为： 196 4 192 ． 【答案】 192 ．
8.
封
【解析】 8 8 13 6 142 ． 【答案】 142 ． 设 a 、 b 为自然数，定义 a b 4a b 2 ，那么 3 2 ________． 【解析】原式 4 3 2 2 13 ． 【答案】 13 ．
博士晚上要自己做饭， 每道工序的时间如下： 洗米 4 分钟， 电饭煲煮熟饭 20 分钟， 洗菜 10 分钟， 切菜 5 分钟， 准备洗锅 2 分钟， 烧热锅1分钟， 烧热油 2 分钟， 炒菜 4 分钟， 那么博士最少要过________分钟才能吃上晚饭． 【解析】洗米之后才能煮饭，洗菜之后才能切菜，洗锅，烧热锅，烧热油，炒菜也是顺承关系，且只有煮饭才能 与其他过程并行．因此工序如下图所示：
2b+1
2b+1
3b+2
3b+2
3b+2
【解析】 （1）和一定，差小积大，周长是 30， a b 15 ，当 a b 时， ab 的乘积最大， abmax 7.5 7.5 56.25 平
abmax 8 8 64 a b 16 ， ab 的乘积最大， 方厘米． （2） 和一定， 差小积大， 周长是 30 2=32 ， 当 a b 时，
学校____________________
禁 止 线 内 密 封
平方厘米． （3）将手枪补成长方形后并向右翻折一次．此时形成的大长方形长为 6a 6 ，宽为 6b 3 ，即 长 宽 和 为 6a 6 6b 3 6( a b) 9 6 15 9 99 是 一 个 定 值 ， 即 大 长 方 形 面 积 最 大 为 2 ．而阴影区域面积为大长方形面积的十八分之一，即最大为 （99 2） =2450.25 （ 平 方 厘 米 ） 2450.25 18=136.125 平方厘米． 【答案】 56.25 平方厘米， 64 平方厘米， 136.125 平方厘米．
平均分是 94 分，英语和自然的平均分是 95 分，数学和英语的平均分是 96 分，且自然比英语高 2 分，那么艾 迪考分第二高的科目的成绩是________分． 【解析】 从自然英语的平均分为 95 以及自然比英语高 2 分， 可知自然 96 分， 英语 94 分； 数学英语平均分为 96 分， 进一步得到数学考 98 分；语文数学平均分 94 可得语文 90 分；由全部科目的平均分进一步得到历史的考 分为 97 分；因此艾迪考第二高的科目是历史，考分为 97 分． 【答案】 97 ．
第4页 共6页
【解析】连结大正方形的对角线,那么图中浅色的阴影部分可以转换为深色的阴影部分,深色部分的三角形底为中 等正方形与小正方形的边长之和,高为小正方形的边长． 3 3 2 9 ； 9 3 2 13.5 ．因此阴影部分的 面积为 13.5 ． 【答案】 13.5 ．
15. 艾迪参加期末考试，考试分五科，语文、数学、英语、自然、历史．所有科目的平均分是 95 ，语文和数学的