5 氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程及其解ppt课件

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§1-5氢原子类氢离子解的讨论-结构化学课件.

ˆ M z n ,l , m m n ,l ,m
MZ m , m 0, 1, 2, 3,
§1-5
氢原子、类氢离子解的讨论
1) 决定角动量在磁场方向分量 M Z 大小，和角动量的方向量子化给定 l ，角动量在磁场方向有 2l 1种取向，称为角动量的方向量子化如 l 2, M 6 ，在空间5种取向，取向的方向由 M Z 的大小决定（在Z轴上的投影） M z 0, , 2
氢原子、类氢离子解的讨论
l 决定轨道磁矩的大小；
e M, 2me c e 称为磁旋比 2me c
e l (l 1) l (l 1)uB 2me c
e 24 B 9.274 10 J / T , 称为玻尔磁子。 2me c
4)
l 在多电子原子中也决定了轨道的能量
关系：
n l 1;
l m
§1-5
2. 主量子数n
氢原子、类氢离子解的讨论
(1) n决定氢原子和类氢离子体系的能量
Z2 Z2 En R 2 2 13.6eV n n n 1, 2,3,
仅限于氢原子和类氢离子。
2S，2P能量相同，为1s态的四分之一 3S，3P能量相同，为1s态的九分之一
§1-5
4．磁量子数m
氢原子、类氢离子解的讨论
ˆ M z
( x y ) i i y x
ˆ M z n ,l , m i
Rn ,l (r ) l ,m ( ) m ( )
1 im Rn ,l (r ) l ,m ( ) i ( e ) 2 m Rn ,l (r ) l ,m ( ) m ( )

原子的结构--氢原子PPT课件

原子轨道(波函数)的空间图示与径向分布
1s 3s
0
2s
0.2
0.1
3d
r
0
-0.1
3p
r
3s
2s
2p
3p
3d
4d
节面数（n-l-1）
空间图示与径向分布图的比较
3p概率密度（电子云）图示
2pz
3pz
氢原子轨道的zx等值线图
氢原子轨道的zx等值线图
最概然半径
电子出现概率最大的球壳半径
dD 0 dr
Yl,m(θ,φ)较 Y2l,m(θ,φ)： ➢无正、负号。 ➢更瘦小。
原子轨道电子云界面 p轨道图 l=1
角度节面数目为l
s轨道
l=0
d轨道
l=2
空间分布图
电子云图：以黑点的疏密表示空间各点概率密
度ψ2的大小。
1s
2s
3s
1s、2s、3s电子云的剖面示意
f z3 3 zr2 5
(
E
Ze2 ) R(r) Y ( , ) 4 0r
0
r2
两边同乘以
，整理得：
R(r) Y ( , )
1
Rr
r
r2
r
Rr
2mr 2
2
E
2m Ze 2
4 0 2
r
Y
1
,
1
sin
sin
1
sin2
2
2
Y
,
只含r
1 R(r)
r
(r2
R(r) ) r
mZe 2
2 02
r
2m 2
D
l相同

氢原子薛定谔方程的解05

2. 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩在外磁场方向上
的投影为 Lz m l ，当角量子数l=2时，Lz的可能取值为
3. 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为，当主量子数n=3时，电子动量矩的可能取值为 .
.
光的波
光电效应
当光照在金属时，金属板将释放电子即光电子的现象。 1 mV02 eK eU a 实验规律 2 1 mV02 h W 爱因斯坦方程
2
当 E K m0 c 2 上式分母中， 2 2 E m c 2 EK K 0
2 E K m0 c 2 可略去．
得
hc / E K
波函数量子力学小结
波函数归一化条件

2
dV 1
2 d 2 ( x) 定态薛定谔方程： V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx 一维无限深方势阱薛定谔方程的应用：氢原子四个量子数的物理意义
量子性题: 1. 波长为的单色光照射某金属M 表面发生光电效应，发射的光电子 (电荷绝对值为e，质量为m) 经狭缝 S 后垂直进入磁感应强度为的均匀磁场(如图示)，今已测出电子在该磁场中作圆运动的最大半径为R．求 (1) 金属材料的逸出功A； (2) 遏止电势差U．
x r sin cos ,
在球坐标系下： y r sin sin ,
z

z r cos ,
在球坐标系下的薛定谔方程：

y
x
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程求解，即设 R(r )( )( ) 代入上式得：
方程（1）的解为: ( ) Aeiml

B

《薛定谔方程》课件

波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影到能量本征态上，得到粒子的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质，如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是位置向量，t是时间。
02
波函数的性质

氢原子和类氢离子(一)氢原子的定态schrdinger方程及其解

得 R(r ) 方程
1 2 8 2 mr 2 Ze 2 [r R ( r )] [ E] k 2 R ( r ) r r h 4 0 r
Y ( , )
1 1 1 2 方程 Y ( , ) [ sin (sin ) sin 2 2 ]Y ( , ) k
1-3 氢原子和类氢离子
（一）氢原子的定态Schrö dinger方程及其解
（二）量子数的物理意义（三）波函数和电子云图示
（四）平均动能和平均位能
（一）氢原子的定态Schrö dinger方程及其解
电子和核合在一起是双粒子运动，简化为质心运动+粒子相对运动
mr r M 所以
M 1836.1m
4 0 r

0
2 e2 Z2 Ze 2 2 2 2 2 )( 2 ) 2 E n ( ) | R | r dr | | sin d | | d ( 0 0 4 0 a 0 n 4 0 r
T En V En
V 2
0
virial 定理:
m 一般表达式为 V ar
T
m
1
V 2
Ze 2 a 4 0
T V 2
氢原子体系 m 1
Ze 2 即V ar 4 0 r
内层电子 V （负值）增大， T （正值）也增大，互相平衡.
氢原子体系同样得到：
能量量子化，零点能（动能）和电子在空间概率分布
（四）平均动能和平均位能
1 e2 Z 2 ( )( E 总能量 n 有确定值 2 4 0 a 0 n )
En T V
V Ze
2

多媒体课件- POWERPOINT

（2）光为一束以光速C行进的光子流。
（3）光子不但有能量，还有质量M。
（4）既然光子有质量，就必有动量。
ph/
(光源打开后,电流表指针偏转)
（5）光子与电子碰撞时服从能量守恒与动量守恒定律。
“光子说”表明了——光不仅有波动性，且有微粒性，
这就是光的波粒二象性思想。
ppt课件
7
一、三个著名实验导致“量子”概念的引入和应用
ppt课件
1
按照经典物理学, 原子是不稳定的,如下示意图
但事实上,原子是稳定的,如下示意图
表明：在原子内，电子与核之间的各种吸引与排斥作用，与宏观质点的
运动有质的差异，单用经典物理学的规律无法说明，必须以一种新的力学
理论(量子力学)来加以研究。 ppt课件
2
§1-1 经典物理学的困难和量子论的诞生 §1-2 实物微粒运动状态的表示法及态叠加原理 §1-3 实物微粒的运动规律—— 薛定谔方程 §1-4 定态薛定谔方程的算符表达式： §1-5 氢原子与类氢离子的薛定谔方程及其解
h
ph/ 德布罗意关系式
物质波的实验证明:
(1)戴维逊—革末实验：电子束在镍单晶上反射 (2)汤姆逊电子衍射实验
ppt课件
11
二. 实物微粒的波动性
戴维逊—革末实验
他发现当一束 50eV的来最多的电子数。且实验结果与德布罗意关系式结论很好符合。
+e
E 1 2m 2 v(4e2 0 r) 8 m 0 h 4 2e n 1 2n 1 2R
11
h En2 En1 R(n1 2n2 2)
~ R( 1 1)
c hcn12 n22
ppt课件
10
二. 实物微粒的波动性德布罗意假设:

物理-氢原子和类氢原子

r
驻波
计算表明径向波函数
的节点数
通常把节点数为零（
）的“态”，称为
圆轨道，例如：1s, 2p, 3d, …，它们极大值的位
置：
，其中是第一玻尔轨道半径。
§2. 量子力学对（类）氢原子的描述
➢电子的几率密度随角度的变化
电子在附近的立体角内的几率：
Y0,0 ( ,)
1
4
Y2,0 ( ,)
1 (3 cos2 1) 4
Y1,0 ( ,)
1 cos 4
Y2,1 ( ,)
1 sin cos ei 4
Y1,1 ( ,)
1
4
sin ei
Y2,2 ( ,)
1 sin2 ei2 4
§2. 量子力学对（类）氢原子的描述
粒子概率分布随角度的变化|Ylm|2，与φ角无关
Y00 2
Y10 2
实验数据和理论结果之差异可以通过考虑原子核的质量得
到消除。即把电子质量m用约化质量 = mM/(m+M)替代。
对类氢离子（He+, Li++, Be+++等），结果都适用。只需把核电荷+e换为+Ze（Z为核所带正电荷数）。
§2. 量子力学对（类）氢原子的描述
2）氢原子的几个光谱线系
赖曼（Lyman,1914）系：
Y11 2
Y20 2
Y21 2
Y22 2
Y30 2
Y31 2
Y32 2
Y33 2
§2. 量子力学对（类）氢原子的描述
概率密度: 2 Rnl (r)Ylm ( ,) 2 Rnl2 (r) Ylm ( ,) 2 “电子（几率）云”图象

氢原子和类氢离子一氢原子的定态schrdinger方程及其解

(sin
)
1 sin 2
2
2
]Y
(
,)
k2Y
(
,)
Mˆ 2Y(,) l(l 1)2Y(,) k l(l 1)
其中 Y ( , ) l,m ( ) m ( )
的解归一化条件的解
2 0
m ( )* m' ( )d
mm'
0
l,m ( )* l'm ( ) sin d
ll '
2。角向分布图
（四）平均动能和平均位能
总能量 En
有确定值
1 2
e2 (
4 0 a 0
)(
Z n
)2
En T V
T 和V 都没有确定值，可求平均值
V Ze 2
4 0 r
V
n,l ,m
(r,
,
)(
Ze2
4 0r
)
n,l ,m
(r,
,
)r
2
sin
drdd
)(Zn22
)
1 ( e2
2 40a0
)(Z )2 n
Å a0
0h2 me2
0.529
级数终止某一项（引入量子数n ）条件是
l n 1 (n 1,2,3, l 1)
Rn,l
(r)
[c1
(
Zr a0
)l
c2
(
Zr a0
) l 1
cnl
(
Zr a0
) n1 ]e Zr
na0
nl i 1
Zr ci ( a0
)
是里德堡常数
RH
简并度为n 2
n 1
g (2l 1) n 2 l0

5 氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程及其解

0
5. ()方程的解：
()方程是：
求解该方程的条件: 边界条件? 无
d 2 2 m 0 2 d
合格波函数的条件: 单值?有;连续,有限 ? 求得方程的解为： Φ
m
( ) Ae
im
式中A是归一化系数，如何求得？
归一化求A：

2
0
d
* m m
2
0
A2 e im e im d 1 1 e im 2
1 ( m m ) 2 1 ( m m ) i 2 1

1
cos m si nm

可以证明组合得到的实函数是归一化的,如:
1 1 [ 2 ( m m )]* [ 2 ( m m )]d 1 { m m d m m d 2 1 m m d m m d } 2 {1 0 0 1} 1

Zr a0
e E Z 2 2 8 0 h
2
Z2 e2 ( ) 13.6 Z 2 (e V) 2 4 0 a0
4. 将偏微分方程化为常微分方程 ——分离变量法
一般来说，偏微分方程化为常微分方程后才能求解。
令： (r , , ) R(r )Y ( , ) R(r ) ( ) ( ) 代入薛定谔方程, 先将径向部分(只与r有关) 和角度部分分开, 分别移到方程的两边. 这样该方程两边应等于同一个常数 . 然后在将角度部分分离成只含一个变量的两个常微分方程 , 就将偏微分方程分离成了三个常微分方程。
6. ()方程的解:
1 d d m2 (sin ) k 0 2 sin d d sin

5 氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程及其解ppt课件

14
用导数表示的连属勒让德函数的形式为:
P l,m ( ) C
|m| (cos )
l
C [ 2l 1 (l | m |)!]12 是归一化常数 2 (l | m |)!
P|m| (cos l
)
1 2l
l!
(1
cos2
|m|
)2
d l |m|
d cos l |m|
(cos2
1)l
Y
(x,y)
4
球坐标中拉普拉斯算符为：
2 1 (r2 ) 1 (sin ) 1 2
r2 r r r2 sin
r2 sin2 2
球坐标中氢原子及类氢离子的薛定谔方程为：
1 {r2
r
(r 2
) r
1
r 2 sin
(sin
)
1
r 2 sin2
2
2
}
2
2
(E
Ze2 ) 4 0r
1 2
r2
2
两粒子之间相对运动所对应的方程为:
( 2 2 Ze2 ) E
2
4 r
0
即:
{ 2 ( 2 2 2 ) Ze2 } ( x, y, z) E ( x, y, z) 2 x2 y2 z2 4 0r
上式中:
M N me 称为约化(折合)质量, r x 2 y2 z2
C r2
m2
r1
m1 R
m2 m2r
m1 m2
, r2
R
m1r m1 m2
x
y
Ekin
1 2
m1r12
1 2
m2r22
两粒子体系示意图

氢原子和类氢离子薛定谔方程的直角坐标表示式

pxx h

pyy h

pzz h

h
t

为满足归一化
A

h3 2
分别对x、y、z进行两次偏导，得：
p h2 2
2
42 2
x
p h2 2
2
42 y2
y
p h2 2
2
42 z2
z
三式相加，并乘以m/2
p p p h2
2d*sin
入射束
衍射束的方向性
p h/

衍射束

p 2mE
晶体
二. 实物微粒的波动性
汤姆逊电子衍射图 (示意)
n 2d sin 2
汤姆逊使用了能量较大的电子，结果也得到了类似X射线衍射的花纹，从而也证明了德布罗意波的存在。
三、玻恩的“统计解释”:
(1) 电子的干涉作用并非两个电子的相互作用,而是其波动本性决定.
ψ3(x) +
n=3
-+
E3
n=2
ψ2(x)
+
n=1 -
E2
ψ1(x)
+
E1
n=4 n=3 n=2 n=1
ψ42(x)
ψ32(x) ψ22(x) ψ12(x)
图 1-3.3 一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度
波函数的正交归一性：
l 0m
n
dx

0 1
mn mn
例题
几率大小。
而不能确定粒子何时出现于何地。
几率大小正比于波强度。
因此：可用描述波的方法可以得到微观粒子运动的描述。我们用波函数（Ψ）概念来代替“轨迹”，以表示微粒

第一章第六节氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程

3）、 m e 近似：电子和核实际上是绕原子的质量中心运动，这种内部运动的动能全部是转动能。若核不动，且为坐标原点，则有： 2 2 Ze 2 Mm H Hamilton算符： 4 0 r M m 2
由于 m ，则折合质量 m M 直角坐标表示的薛定谔方程
第六节
氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程
公元前五世纪，希腊科学家德谟克利特等人认为：万物都是由大量的不可分割的微粒构成，形成了欧洲最早的朴素唯物主义的原子论。
Δημόκριτος
19世纪初，英国科学家道尔顿提出原子学说，认为化学元素由不可分的微粒原子构成，它在一切化学变化中是不可再分的最小单位；同种元素的原子性质和质量都相同，不同元素原子的性质和质量各不相同，原子质量是元素基本特征之一；不同元素化合时，原子以简单整数比结合。
类氢离子：
r
e
ze
2、采取的近似.
1）、非相对论近似光总是必须用相对论处理，但速度不太高的电子可用非相对论处理电子总是具有 c 和非零的静质量 me 2）、近似 (Born Oppenheimer)定核近似思想依据：由于 M 核 me 所以 e N ,借用经典方法，在电子运动数周时间内原子核的空所间坐标几乎改变，即可忽略掉核动能。
3、球极坐标
Z
z

r
y
0
x
X

Y
二、单电子原子体系的Schrö dinger方程的变数分离
三、Φ方程的解及磁量子数
四、Θ方程的解及角量子数l
五、R方程的解及主量子数n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
六、解的综合：
JohnDalton

第二章原子构与性质§21氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其

第二章原子结构与性质§2.1.氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其解 2.1.1.单电子原子的薛定谔方程H 原子和He +、Li 2+ 等类氢离子是单原子，它们的核电荷数为Z ，若把原子的质量中心放在坐标原点上，绕核运动的电子离核的距离为r ，电子的电荷为-e ，其静电作用势能为：r Ze V 024πε-=将势能代入薛定谔方程：得 0)(22282=ψ++ψ∇rZe h mE π或ψ=ψ-∇-E rZe mh ][22228π为了解题方便，将x 、y 、z 变量换成极坐标变量r 、θ、φ。

其关系：φθcos sin r x = φθsin sin r y =φcos r z =2222z y x r++=21)/(cos 222z y x Z ++=θx y tg /=φ})(sin )({2222sin 1sin 1212φθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=∇r rr r 代入薛定谔方程：)()(sin )(2222222228sin 11sin 1121=ψ++++∂∂∂ψ∂∂∂∂∂∂∂rZe h mr r r rr E r πφθθθθθ2.1.2.分离变量§法：上述的方程是含三个度量的偏微分方程，要解这个方程可用度数分离法将其化为三个分别只含一个度量的常微分方程求解。

含：)()()(),,(φθθΦΘ=Φψr R r 代入方程：并乘以ΘΦR r θ22sin 移项可得：)(sin )(sin )(228sin 2sin 122222V E r r hu d d d ddr dR drdR d d ----=ΘΘΦΦθθπθθθθφ左边不含r 、θ，右边不含φ，欲左右两边相等必等于同一个常数（-m 2 ）Φ-=Φ222m d d φ, 而右边可为：（除以sin θ）)(sin )()(sin1sin 8212222θθθθπθd d d d m hur dr dR drdR V E r ΘΘ-=-+ 则有：K d d d d m =-ΘΘ)(sin sin1sin 22θθθθθK E r rZe hur dr dR drdR =++)()(2222821π2.1.3.方程解的结果 2.1.3.1.Φ（φ）方程的解0222=Φ+Φm d d φ这是一个常系数二阶齐次线性方程，有两个复函数的独立解。

结构化学第二章1

3d xy
4。原子核外出现电子的概率密度。
峰数=n －l
节面
5。原子轨道轮廓图

原子轨道轮廓图, 它可定性地反映原子波函数在3维空间大小，正负及分布情况，节面情况。
6。原子轨道等值线图

原子轨道Ψ是γ, θ, φ的函数, 它在原子核周围空间各点数值随γ, θ, φ变化, 将计算获得的数值相等的点用曲线连接起来, 就形成3维的等值线图

或以径向部分R（r），角度部分Y，分别作图如氢原子的1S原子轨道
径向部分：
R r 2
1 r / a0 3 e a0
r 0
1 R0 2 3 a0
r
R 0
角度部分：
Y ,
1 4π
Ψ 1s r , , 是一种球形对称分布
z y x
第三节波函数和电子云图形

波函数（，原子轨道）和电子云（2在空间的分布）是三维空间坐标的函数，将它们用图形表示出来，使抽象的数学表达式成为具体的图象，对于了解原子的结构和性质，了解原子化合为分子的过程都具有重要的意义．这两种图形一般只用来表示S轨道的分布，因为S态的波函数只与r有关，而与θ，φ无关。而要全面了解原子轨道图形，则要将波函数分解成：径向部分和角度部分来讨论。

e2 4 0 r
( r , , )
Er , ,
二.
变数分离法解方程
(r , , ) R(r )( )( )
R(r ) Y ( , ) R(r ) 径向部分
1. 变数分离法 : 把一个偏微分方程化成若干个只含有一个变量的常微分方程
Y ( , ) ( )( )
３．角度分布图

结构化学原子结构-S1

将 ②式代入 ①式，各项通除 ψ ( r ) = Ne
dψ (r ) = − N α e −α r dr
2 2
ψ (r ) = Ne
−α r
d 2ψ (r ) 2 −α r = − Nα e 2 dr
−α r
2 2
②
2α 8π m 8π mZe 1 α − . =0 + 2 E+ 2 r h 4πε 0 h r
r = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 + ( z1 − z2 ) 2 ②这种坐标体系下，
∧
∧
∧
∧
∧
涉及到两个粒子的坐标，使方程无法分离变量。
第一章
量子力学基础
§1.5 氢原子和类氢离子的薛定谔方程
1.5.2 求解薛定谔方程 1 玻恩-奥本海默近似（核固定近似）假定在研究电子运动状态时，核固定不动。于是把核放在坐标原点，氢核的动能部分就不考虑了。
1 ∂ ⎛ ∂ψ ⎞ + 2 sin θ ⎟ ⎜ ∂θ ⎠ r sin θ ∂θ ⎝
1 ∂ 2ψ 8π 2 m ⎞ + 2 ( E − V )ψ = 0 ⎟+ 2 2 2 h ⎠ r sin θ ∂φ
1.5.3 基态的解 ψ 1s 1 基态
ψ 1s 的特点
∂ψ =0 ∂φ
ψ 1s = ψ ( r )
E = −Z 2 R
第一章
量子力学基础
− Z r a0
§1.5 氢原子和类氢离子的薛定谔方程
ψ (r ) = Ne
2
利用归一化条件求N
2
2 Zr ∫τ ψ 1s dτ = N ∫ exp(− a0 )dτ = 1
∫τ ψ

第四节氢原子和类氢离子

可得
π mZe α = ε 0h E = − me 8ε
2 2 4 2 0
Z h
2 2
ε 0h2 a0 = = 52.9 Pm 2 πme
Z α = a0 2 则 E = − Z R Z − ψ = N .e a 0
R =
me
2
4 2
8ε 0 h
1 ∂ ∂R (r ) 2 π mze (r 2 )+ R (r ) ∂r ∂r ε 0h 2
2
8π 2 m 2 r+ r E = k K K (1 ) 2 h
1 1 ∂ ∂ 1 ∂2 − [ (sin θ ) + ]Υ ( θ , ϕ ) = k 2 2 Υ ( θ, ϕ ) sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
…………(3)
上述①②③三个方程分别叫做R(r)方程，Θ(θ)方程和 Φ(φ)方程。此时波函数被分为三部分，分别求解。注意三个方程的变量的变化范围。
五、 Φ方程的解
d 2Φ 2 +m Φ =0 2 dφ
此为二阶常系数齐次线性方程，有两个复数形式的独立特解：
Φ m = Ae
imφ
m =±m
2π
常数A可由归一化条件得出： A
= 13 . 6 ev
a 0为玻尔半径
r
2. 求N值
2Zr ∫ψ dτ = N ∫ exp − a0 dτ = 1
2 2
dτ = r sinθ drdθ dϕ
2
0 ≤ r p ∞,0 ≤ θ ≤ π ,0 ≤ ϕ ≤ 2π
∫ Ψ dτ = N ∫
2 1s 2
2π
0
2Zr 2 dϕ∫ sinθdθ ∫ exp − r dr =1 0 0 a0

薛定谔方程求解氢原子

§3.6 (类)氢原子的量子力学处理 (r,,)
一、氢原子的薛定谔方程
电子在原子核的库仑场中运动：
U Ze2
4 0r
定态薛定谔方程：
[ 2 2
e2
]
(r )

E
(r )
2 4 0r
氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：
x r sin cos y r sin sin z r cos
l 动量，但是大小是非连续取值的！角量子数来自于薛定谔方程求解
过程条件限制的必然结果！ ~ l 0,1,2,3, , , , , , n 1
L l l 1
名字s.p.d. f .g.h.i. j.k
对于同一个总能级量子数第n个轨道,会有对应的n
个亚轨道，这些亚轨道对应的总能量大致相等，
亚轨道l=0,取名s轨道，对应的角动量L=0，亚轨道l=1,取名p轨道角
动量大小L= 2 ！l=2,取名d轨道，L= 6 ；l=3,取名f 轨道，
L= 12 ！
其实，不同的角动量大小对能级的能量值有细微影响
1926年，海森堡解得氢原子的
能量 En,l为

En,l

13.6 n2
L 转动惯量I 角速度 mr2 mvr
但是电子绕原子核运动形成角动量的方向并不是跟宏观一样，
方向只能取特定值！（方向量子化）而且这些特定值跟l有关,可能存在的方向为2l+1个！
比如，n=1，亚能级只有一个，对应的
轨道量子数l=0,取名s亚能级，对应的角动量L=0！所以不存在方向问题！对应的能量值为[-13.6-ΔE(1,0) ]eV
L l l 1

5 氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程及其解ppt课件

§1-5氢原子类氢离子解的讨论-结构化学课件.

原子的结构--氢原子PPT课件

氢原子薛定谔方程的解05

《薛定谔方程》课件

氢原子和类氢离子(一)氢原子的定态schrdinger方程及其解

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物理-氢原子和类氢原子

氢原子和类氢离子一氢原子的定态schrdinger方程及其解

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氢原子和类氢离子薛定谔方程的直角坐标表示式

第一章第六节氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程

第二章原子构与性质§21氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其

结构化学第二章1

结构化学 原子结构-S1

第四节 氢原子和类氢离子

薛定谔方程求解氢原子

结构化学原子结构-S1

第四节氢原子和类氢离子