高考数学一轮复习专题：古典概型

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等．

3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n .

4．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数

基本事件的总数.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( × )

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × ) (3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( × )

(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为1

3

.( √ )

(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( √ )

(6)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，且集合A 中的元素个数为n ，所有的基本事件构成

集合I ，且集合I 中元素个数为m ，则事件A 的概率为n

m

.( √ )

1．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.16

答案 B

解析 基本事件的总数为6，

构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2， 所以所求概率P ＝26＝1

3

，故选B.

2．(2016·北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925 答案 B

解析 从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为4

10＝

25

. 3．(2015·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A.310 B.15 C.110 D.120 答案 C

解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有C 35＝10(个)不同的结果，其中勾股数只有一组，故所求概率为P ＝110

. 4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________． 答案 35

解析 取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝3

5.

5．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．

答案 56

解析 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有

6个，所以点数不同的概率P ＝1－66×6＝5

6

.

题型一 基本事件与古典概型的判断

例1 (1)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出： ①试验的基本事件；

②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件； ③事件“出现点数相等”包含的基本事件．

(2)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球． ①有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ ②若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？

解 (1)①这个试验的基本事件为 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．

②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为 (1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．

③事件“出现点数相等”包含的基本事件为 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．

(2)①由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．

又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．

②由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A ：“摸到白球”，B ：“摸到黑球”，C ：“摸到红球”，

又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为1

11

，而白球有5个，

故一次摸球摸到白球的可能性为5

11，

同理可知摸到黑球、红球的可能性均为3

11，

显然这三个基本事件出现的可能性不相等，

所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．

思维升华 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．

下列试验中，古典概型的个数为( )

①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； ②向正方形ABCD 内，任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合； ③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率； ④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B

解析 ①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件， 所以不是古典概型；

②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型； ③符合古典概型的特点，是古典概型． 题型二 古典概型的求法

例2 (1)(2015·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.521 B.1021 C.11

21

D ．1 (2)(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

(3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 发生的概率为________． 答案 (1)B (2)56 (3)112

解析 (1)从袋中任取2个球共有C 215＝105(种)取法，其中恰好1个白球1个红球共有C 110C 1

5＝50(种)取法，

所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.

(2)基本事件共有C 24＝6(种)， 设取出两只球颜色不同为事件A ，