理论力学 第1章 矢量力学

南京大学物理学院2012-2013学年第二学期

理论力学

Theoretical Mechanics

⏹§1.1 质点运动学⏹§1.2 质点动力学基本定律⏹§1.3 非惯性参照系⏹§1.4 质点动力学运动定理⏹

§1.5 质点系动力学

第一章

矢量力学

运动的描述方法：

一、参考系与坐标系

1.参照系：为研究物体的运动需要选定某物作为参考标准

（参照物），在其上作不共面的三条直线为一框架与参

照物固连，这框架可代表参考物——称参考系（立场）。

注：①参照物是有限大小，但定上框架后，框架可延长到无穷远，可见参照系可理解为参照物固连的整个空间；

②观察者是站在参照系的观察点上；

③不特别说明都以地球为参照系。

2．坐标系：参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于用数学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。

3．质点及位置的描述：

(1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽略，物体作平动）

(2) 位置描述：

①质点相对某参照系的位置，可由位矢r 确定;

②坐标描述。

二、运动方程与轨道1. 位置矢量（位矢）

cos y

z

r r

2. 运动学方程与轨道

分量式(,,)0

f x y z 123()()

()

x f t y f t z f t

从中消去参数

得轨迹方程t 2. 运动学方程不涉及物体运动状态变化的原因（力）.x

y

z

x

(,,)

P x y z O i

j

k

r

y

z

注意：1. 运动学方程包含了质点运动的全部信息。单值连续

轨道：位置矢量矢端随时间的演化曲线

位移：

设质点作曲线运动

在 t 时间内，位矢的变化量（即A 到B 的有向线段）称为位移。

r

z y

x

o r

B

A r A

AB

r r r A B

注意：位移是矢量；位移与路径不同.

A r

t 时刻位于A 点，位矢B

r

t+ t 时刻位于B 点，位矢

速度：

——反映质点运动的快慢和方向的物理量

速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。

反映速度变化的物理量

记为或a ()

a t

1.1.2 直角坐标系基矢：

速度：

加速度：

[例1] 设椭圆规尺沿直线导槽

以匀速度

因B点坐标为

v

小结1：

1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度

i

v O

P

C

r

j r ri

基矢：i j

位矢：

径向基矢, 沿径向；横向基矢,垂直于径向并指向θ增加的方向.

注意：

的方向是随时间变化的,i j

与直角坐标系不同的是，矢量

沿质点所在位置的基矢“就地”进行正交分解.

i j y dj

v ri j

r v r

v r

径向速度

横向速度

dr 单位矢量随时间的变化率

速度：

r dt

21()

d a r r dt

2r a r r

径向加速度

横向加速度

加速度：

[例2] 某质点运动方程为

式中b

22

b c r

r z

v

a 加速度：

[例3] 设质点运动，试求速度、加速度及轨道的曲率半径.1616x y 2.5

n a

[解2]

2sin

在质点的运动轨迹上，任取一点o作为坐标的原点。

j

i

s o

P

j

i

Q

s

路程：自然坐标之差

Q P

s

s s 取切线和法线两正交方向为坐标轴的方向。基矢：

i

切向基矢, 沿轨道切线并指向s增加的方向；法向基矢, 沿轨道上该点的法线并指向s的内侧

从原点o到轨迹曲线上任意一点P的弧长定义为P点的坐标s 。

速度：加速度：

i

v ri

r j j

i

i

j j

j

j

i i

i

1.4 非惯性参照系

r

r

r M

傅科摆在南半球时运动

⏹

§1.1 质点运动学⏹

§1.3 非惯性参照系⏹

§1.2 质点动力学基本定律⏹

§1.4 质点动力学运动定理⏹§1.5 质点系动力学

第一章

矢量力学

二、相对性原理

惯性参照系：牛顿定律能成立的参照系叫做惯性（参照）系; 反之，叫做非惯性（参照）系。

判断一个参照系是否为惯性系只能依靠观察和实验。

相对于惯性系作匀速直线运动的一切参照系都是惯性系。

对于不同的惯性系，牛顿力学的规律都具有相同的形式。因此，

在一惯性系内部所作的任何力学实验，都不能确定该惯性系相对于

其他惯性系是否在运动。这就是力学相对性原理或伽利略相对性原理。

爱因斯坦相对性原理：一切惯性系对所有的物理过程（包括电磁的、光学的）都是等价的。