求二元函数极限的几种方法
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2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论
例8 求 解: 因为 是无穷小量， 是有界量 ， 故可知 ， 例9 求 解 原式= 因为 是有界量，又 是无穷小量， 所以 ， .
虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有
界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .
2.6利用变量替换法
2.11 利用取对数法
这一方法适合于指数函数求极限.对于二元指数函数，也可以像一元 函数那样，先取对数，然后再求极限.
例20 求 解: 设 ，则 ，而 ，令 ，知 ， 故原式=；
2.12运用洛必达法则求二元函数的极限
例21 求． 解: 由第一章定理7洛必达法则可知
2.13利用定义求二元函数极限
例22 用定义验证：． 解:
= =， 限定，则 从而
， ． 故 ． 为任意正数，取，则当时，就有． 和一元函数一样，在使用函数定义求极限的时候，也伴随有放 缩，这时要注意是对两个自变量的同时限制． 在二元函数的定义中，要求任意方式趋于时，函数都无限接近于． 因此，很容易得到：若在的定义域内存在两条不同的连续曲线，且当 时，，但函数式沿着这两条曲线逼近时的极限却不同，或者一个存在， 另一个不存在，则二元函数在此点不存在极限． 就这样，一道题有几种解法，哪个方法比较简单，比较合适就用哪个方 法.
在点处连续，所以
例2 求极限． 解： 因函数在点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即
=．
2.2 利用恒等变形法
将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 解： 例4 ． 解： 原式
．
2.3 利用等价无穷小代换
一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中
常见的等价无穷小，有 ； ； ；；； ；；；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.
上式均趋于0，但不能下结论说
=0.事实上
不存在，这只让沿着任意方向趋于定点(0,0)，此时
. =在运用此方法时注意，经过初等变换后的函数满足用迫敛性得函
数的极限为；若化简后的函数为，但对于某个固定的，仍不能判断函数 的极限为.
2.10 利用累次极限法
一般情况下，累次极限存在并不能保证二重极限存在，但二元函 数满足定理2的条件，就可以利用累次极限来计算极限.
1.二元函数极限概念分析
定义1 设函数在上有定义，是的聚点，是一个确定的实数.如果对于任 意给定的正数，总存在某正数,使得时，都有
, 则称在上当时，以为极限，记. 上述极限又称为二重极限.
2．二元函数极限的求法
2.1 利用二元函数的连续性
命题 若函数在点处连续，则. 例1 求
在点的极限. 解： 因为
例5 求 解： 当 ，时，有.，所以
这个例子wk.baidu.com可以用恒等变形法计算，如：
2.4 利用两个重要极限
， 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广. 例6 求极限 . 解： 先把已知极限化为
，而 当 时，所以 故原式=
例7 求 极限. 解： 因为 ，当时，，所以 ，再利用极限四则运算可得： ·1=. 这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如： 当 ，时， ，. 所以，
解：令
又
显然满足定理的条件，则
2.7 利用夹逼准则
二元函数的夹逼准则：设在点的领域内有，且 （常数），则 . 但 要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩．
例12 求
解: 因为 ，由夹逼准则，得 .
例13 求极限．
解:
，
又
， 故
=0．
2.8 先估计后证明法
此方法的运用往往是先通过观察推断出函数的极限，然后用定义 证明.
例14 求函数在点处的极限. 解: 此例分2部考虑： 先令，考虑沿时的极限， .因为路径为特殊方向，因此我们还不能判断出极限为.所以下面用定义 检验极限是否为： 因为 于是，取且=，所以. 例15.求在的极限. 解：若函数中动点沿直线趋于原点， 则 即函数中动点沿着无穷多个方向趋于原点时，它的极限为；但根据这个 我们不能说它的极限为；由于动点沿着其它的路径，比如沿抛物线趋于 原点时，其极限为从而判断出不存在；通过例子我们得出任意方向不能 代表任意路径，也就是说，我们沿动点不仅任何路径而且还必须任意方 向；
定理2 若在点存在重极限与两个累次极限 ，则它们必相等.
例18 求极限 解: ，对任意一致的成立；而对存在，根据定理1，得 . 这道题也可以用上述所说的先估计后证明法和极坐标法来计算，如：
（1） 用先估计后证明法： 解: 通过观察可知极限中的二元函数分子是分母的高阶无穷小 量，故极限应为，定义证明： 因为 ，故要使 ，则， 故. （2）用极坐标法 解 令 ，因为 ，，由夹逼准则得，， 所以，. 例19求函数=的极限. 解： 当，以为常数时， 不存在，从而得原函数极限不存在;很显然， 这种计算法是错的； 因为中，当时，为无穷小量；时，为有界量， 从而得 ，同样；所以； 此例题我们推出：如果不熟重极限与累次极限的定义反而混乱它们 的存在性，所以应该要注意下列三点： 一）若累次极限存在且相等，而重极限不一定存在； 例：中：但不存在。 二）虽然重极限存在，但不一定两累次极限存在； 例：中，，两都不存在； 三）两累次极限和重极限中有一个或两个存在不能保证其它的极限的存 在性；
2.9 利用极坐标法
当二元函数中含有项时，考虑用极坐标变换：通过综合运用恒等变 换，不等式放缩等方法将二元函数转化为只含有参量的函数，进而求二 元函数的极限.
例16 计算 解: 极限中的二元函数含有，令，使得 ，，由夹逼准则得， 所以，.
例17 求极限
. 解：若令t为变量，使
且
，则，当
时，t
0.对任意固定的
通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来 计算，从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定 理。
定理：函数点的取心领域内有定义的且、沿向量的方向余弦，若二 元函数的极限,则
若的值与、无关，则； 若的值与、有关，则不存在； 例10 求 解 因 时， ，令 ，显然满足定理的条件，则，所以 ， . 例11 求极限
例8 求 解: 因为 是无穷小量， 是有界量 ， 故可知 ， 例9 求 解 原式= 因为 是有界量，又 是无穷小量， 所以 ， .
虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有
界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .
2.6利用变量替换法
2.11 利用取对数法
这一方法适合于指数函数求极限.对于二元指数函数，也可以像一元 函数那样，先取对数，然后再求极限.
例20 求 解: 设 ，则 ，而 ，令 ，知 ， 故原式=；
2.12运用洛必达法则求二元函数的极限
例21 求． 解: 由第一章定理7洛必达法则可知
2.13利用定义求二元函数极限
例22 用定义验证：． 解:
= =， 限定，则 从而
， ． 故 ． 为任意正数，取，则当时，就有． 和一元函数一样，在使用函数定义求极限的时候，也伴随有放 缩，这时要注意是对两个自变量的同时限制． 在二元函数的定义中，要求任意方式趋于时，函数都无限接近于． 因此，很容易得到：若在的定义域内存在两条不同的连续曲线，且当 时，，但函数式沿着这两条曲线逼近时的极限却不同，或者一个存在， 另一个不存在，则二元函数在此点不存在极限． 就这样，一道题有几种解法，哪个方法比较简单，比较合适就用哪个方 法.
在点处连续，所以
例2 求极限． 解： 因函数在点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即
=．
2.2 利用恒等变形法
将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 解： 例4 ． 解： 原式
．
2.3 利用等价无穷小代换
一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中
常见的等价无穷小，有 ； ； ；；； ；；；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.
上式均趋于0，但不能下结论说
=0.事实上
不存在，这只让沿着任意方向趋于定点(0,0)，此时
. =在运用此方法时注意，经过初等变换后的函数满足用迫敛性得函
数的极限为；若化简后的函数为，但对于某个固定的，仍不能判断函数 的极限为.
2.10 利用累次极限法
一般情况下，累次极限存在并不能保证二重极限存在，但二元函 数满足定理2的条件，就可以利用累次极限来计算极限.
1.二元函数极限概念分析
定义1 设函数在上有定义，是的聚点，是一个确定的实数.如果对于任 意给定的正数，总存在某正数,使得时，都有
, 则称在上当时，以为极限，记. 上述极限又称为二重极限.
2．二元函数极限的求法
2.1 利用二元函数的连续性
命题 若函数在点处连续，则. 例1 求
在点的极限. 解： 因为
例5 求 解： 当 ，时，有.，所以
这个例子wk.baidu.com可以用恒等变形法计算，如：
2.4 利用两个重要极限
， 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广. 例6 求极限 . 解： 先把已知极限化为
，而 当 时，所以 故原式=
例7 求 极限. 解： 因为 ，当时，，所以 ，再利用极限四则运算可得： ·1=. 这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如： 当 ，时， ，. 所以，
解：令
又
显然满足定理的条件，则
2.7 利用夹逼准则
二元函数的夹逼准则：设在点的领域内有，且 （常数），则 . 但 要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩．
例12 求
解: 因为 ，由夹逼准则，得 .
例13 求极限．
解:
，
又
， 故
=0．
2.8 先估计后证明法
此方法的运用往往是先通过观察推断出函数的极限，然后用定义 证明.
例14 求函数在点处的极限. 解: 此例分2部考虑： 先令，考虑沿时的极限， .因为路径为特殊方向，因此我们还不能判断出极限为.所以下面用定义 检验极限是否为： 因为 于是，取且=，所以. 例15.求在的极限. 解：若函数中动点沿直线趋于原点， 则 即函数中动点沿着无穷多个方向趋于原点时，它的极限为；但根据这个 我们不能说它的极限为；由于动点沿着其它的路径，比如沿抛物线趋于 原点时，其极限为从而判断出不存在；通过例子我们得出任意方向不能 代表任意路径，也就是说，我们沿动点不仅任何路径而且还必须任意方 向；
定理2 若在点存在重极限与两个累次极限 ，则它们必相等.
例18 求极限 解: ，对任意一致的成立；而对存在，根据定理1，得 . 这道题也可以用上述所说的先估计后证明法和极坐标法来计算，如：
（1） 用先估计后证明法： 解: 通过观察可知极限中的二元函数分子是分母的高阶无穷小 量，故极限应为，定义证明： 因为 ，故要使 ，则， 故. （2）用极坐标法 解 令 ，因为 ，，由夹逼准则得，， 所以，. 例19求函数=的极限. 解： 当，以为常数时， 不存在，从而得原函数极限不存在;很显然， 这种计算法是错的； 因为中，当时，为无穷小量；时，为有界量， 从而得 ，同样；所以； 此例题我们推出：如果不熟重极限与累次极限的定义反而混乱它们 的存在性，所以应该要注意下列三点： 一）若累次极限存在且相等，而重极限不一定存在； 例：中：但不存在。 二）虽然重极限存在，但不一定两累次极限存在； 例：中，，两都不存在； 三）两累次极限和重极限中有一个或两个存在不能保证其它的极限的存 在性；
2.9 利用极坐标法
当二元函数中含有项时，考虑用极坐标变换：通过综合运用恒等变 换，不等式放缩等方法将二元函数转化为只含有参量的函数，进而求二 元函数的极限.
例16 计算 解: 极限中的二元函数含有，令，使得 ，，由夹逼准则得， 所以，.
例17 求极限
. 解：若令t为变量，使
且
，则，当
时，t
0.对任意固定的
通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来 计算，从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定 理。
定理：函数点的取心领域内有定义的且、沿向量的方向余弦，若二 元函数的极限,则
若的值与、无关，则； 若的值与、有关，则不存在； 例10 求 解 因 时， ，令 ，显然满足定理的条件，则，所以 ， . 例11 求极限