角平分线习题课PPT课件
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角平分线的性质教学课件
三角形中的角平分线与相对边 成比例，这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质，可以解决与三 角形相关的问题，例如求边长 、角度等。
此外，三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面，可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构，使其更加美观和 稳固。
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角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条射线，使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案： $AB = AC$
解析：由于$AD$是$angle BAC$的角平分线，且$BD = CD$，根据等 腰三角形的性质，我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$（ SAS），所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3：
02
答案： AC是$angle BCD$的角平分线。
角平分线ppt课件
5．如图，△ABC的两外角的平分线CF，BF相交于点F， 连结AF，则下列结论正确的是( B ) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
6．如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供 大家休息，要求凉亭到草坪三条边的距离都相等，则 凉亭的位置应选在( D ) A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC三条高所在直线的交点 C．△ABC三条边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点
【答案】120°
9．【中考·大庆】如图，∠B＝∠C＝90°，点M是BC的 中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则 ∠MAB＝( B ) A．30° B．35° C．45° D．60°
10．【2020·鄂州】如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC ＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°.连结AC，BD交 于点M，连结OM.下列结论： ①∠AMB＝36°；②AC＝BD； ③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD. 其中正确的结论有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.即∠AOC＝∠BOD.
∴△AOC≌△BOD.∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故②正确． 在△AOC 和△BOD 中，O∠AA＝OOC＝B，∠BOD，
OC＝OD， 如图，设AM与OB交于点E，
∵∠AEO＝∠BEM，∴∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB.
13．如图，AE∥CF，AG，CG分别平分∠EAC和∠FCA， 过点G的直线BD⊥AE，交AE于点B，交CF于点D. 求证：AB＋CD＝AC.
证明：如图，过点G作GH⊥AC于点H. ∵AE∥CF，BD⊥AE，交CF于点D，∴GD⊥CF. ∵AG平分∠EAC，∴BG＝HG. 在 Rt△AGH 和 Rt△AGB 中，AHGG＝＝ABGG，， ∴Rt△AGH≌Rt△AGB(H.L.)， ∴AH＝AB.同理可得CD＝CH，∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
1.4角平分线课件
（1）如图，∵AD平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC
∴PE = PF（角平分线上的点到这个角的
两边距离相等） （对）
（2）如图，∵ PE = PF
∴ AD平分∠BAC （到角两边距离相等的
点在 这个角的平分线上）
（错）
（3）如图，∵ 点P在∠BAC 的平分线上 ∴ PE = PF（角平分线上的点到 这个角的两边距离相等）（错）
第1课时
角平分线
复习旧知
1、什么叫角平分线？ 如果一条射线把一个角分成两个相等的角， 那么这条射线叫角的平分线。
2、你还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎 样得到的？
角平分线上的点到角的两边的距离相等
条件：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
你能证明这一结论吗?
已知：如图OC是∠AOB的平分线，点P在
的一半）
随堂练习 1
如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线 外角平分线,它们有什么关系?
C E
D
B
老师期望:
你能说出结论并能证明它.
A
F
课堂小结
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理： 在角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，在这个 角平分线上。
3.性质定理和判定定理的关系
点在角平分线上
点到角两边的距离相等
4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等 的新途径.角平分线的判定定理是证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一.
布置作业
6：作业布置 课堂作业：习题1.9第1，2，3,4题．
家庭作课业堂：学作习业之：友习p1题5-116.9第1，2，3,4题 ． 家庭作业：学习之友p15-16
第2课时 角平分线的判定【习题课件】八年级上册人教版数学
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第2课时
角平分线的判定
能力突破
基础通关
素养达标
9. 如图所示，直线 l1， l2， l3表示三条公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(
D
)
第9题图
A. 一处
B. 两处
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C. 三处
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D. 四处
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第2课时
角平分线的判定
第十二章
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时
角平分线的判定
第2课时
角平分线的判定
基础通关
能力突破
素养达标
角的平分线的判定
1. (2023·石家庄第40中学期末)如图，用一把长方形直尺的一边压住射
线 OB ，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线 OA ，两把直尺的
另一边交于点 P ，则射线 OP 就是∠ AOB 的平分线的依据是( C )
F ， DM ⊥ AC 于点 M ， AB ＝16 cm， AF ＝10 cm， AC ＝14 cm，动点
E 以2 cm/s的速度从点 A 向点 F 运动，同时动点 G 以1 cm/s的速度从点 C
向点 A 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动
时间为 t (s).
(1)求 S△ ABD ∶ S△ ACD ；
F . 若 PE ＝ PF ，且∠ AOC ＝50°，则∠ EOP 的度数为(
A
)
第2题图
A. 65°
B. 60°
《12.3角的平分线的性质》课件
问题1
以往的学习中在已知一个角，怎样得到这个角的平分线？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
追问1 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这
些方法是否一定可行呢？
学习与探究
下图是一个平分角的仪器，其中 = ， = ，
1
将点 放在角的顶点；
2
和 沿着角的两边放下；
3
沿 画一条射线 () ；
4
() 是∠ 的平分线.
你能说明它的道理吗?
学习与探究
已知： = ， = .
求证： 平分∠.
证明：在△ 与△ 中，
= ，
= ，
= ，
∴ △ ≌ △
∴ ∠ = ∠.
SSS .
即 平分∠.
人教版八年级上册
角的平分线的性质
第一课时
风筝
风筝一般都用什么结构？图中的
风筝包含哪些基本的几何图形？
为什么要用这样的图形?
观察与思考
年度工作概述
如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，
工作完成情况
BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB
成功项目展示
的角平分线，你知道其中的道理吗？
工作存在不足
感悟与实践
操作测量：取点P的几个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.他们的长度都相等吗？
A
D
C
P
O
E
B
PD=PE
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2. 猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：__________
分析与证明
角平分线的性质教学课件
解析
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一 点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两 个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交 点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平 分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质， 我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根 据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一 点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两 个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交 点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平 分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质， 我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根 据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。
角平分线的性质 课件
05
角平分线的习题与解析
基础习题
1 3
基础习题1
已知角平分线AD，点E在AD上，若∠BAC=50°， ∠CAD=25°，求∠BCA的度数。
基础习题2
2
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠B=40°，∠C=70°，
求∠BAD的度数。
基础习题3
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC=120°， ∠C=30°，求∠BAD的度数。
03
角平分线将一个多边形分成面积相等的两部分。
02
角平分线的性质证明
性质1的证明
总结词
角平分线将相对边分成两段相等 的线段
详细描述
根据角平分线的定义，我们知道 角平分线将一个角分为两个相等 的子角。因此，相对边被角平分 线分成两段相等的线段。
性质2的证明
总结词
角平分线上的点到角的两边距离相等
详细描述
总结词
基于角平分线定理，我们可以推导出 一些重要的推论，这些推论在解决几 何问题时非常有用。
详细描述
推论一，若AD为角BAC的角平分线，则有 AB/BD = AC/CD。这个推论可以直接从角平 分线定理得出。推论二，若AD为角BAC的角平 分线，且在点D上作线段DE平行于AB交AC于 点E，则有AE =EB。这个推论可以用于证明线 段的等分。
角平分线定理的应用
要点一
总结词
角平分线定理在实际问题中有着广泛的应用，它可以用于 解决各种与角度和线段比例相关的几何问题。
要点二
详细描述
应用一，在建筑设计时，可以利用角平分线定理来确定建 筑物的位置和角度，以确保建筑物的美观和功能性。应用 二，在地图绘制时，可以利用角平分线定理来确定道路、 河流等地理要素的走向和分布，以保证地图的准确性和实 用性。应用三，在土地测量时，可以利用角平分线定理来 确定土地的边界和面积，以确保土地测量的准确性和公正性。
角平分线的性质课件
角平分线的定义
从一个角的顶点引出一条射线 ，把这个角分成两个相等的角 ，这条射线叫做这个角的平分 线。
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等。
角平分线的性质定理的推 论
角的内部到角的两边距离相等 的点在角的平分线上。
课后作业布置
作业1
阅读教材，复习本节课所学内容，并 完成教材上的练习题。
05
角平分线在几何变换中作 用
旋转对称中心确定方法
旋转对称中心定义
若一个平面图形绕着某一点旋转一定角度后 能与自身重合，则该点称为旋转对称中心。
利用角平分线确定旋转对 称中心
在角的两边上分别取两点，连接这两点的线 段的中点即为该角的旋转对称中心。
轴对称图形判断依据
轴对称图形定义
若一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形称为轴对 称图形。
根据角平分线的性质，角平分线将相对边按照两邻边的比 例分割。因此，我们可以通过作平行线和利用相似三角形 的性质来证明此结论。
解析
根据角平分线的性质，角平分线是到角的两边距离相等的 点的集合。因此，我们可以通过证明三角形ABD和三角 形ACD全等，从而得出AB=AC。
课堂小结与知识点回顾
课堂小结
本节课我们学习了角平分线的 性质，包括角平分线的定义、 性质定理和性质定理的推论。 通过典型例题的解析，我们加 深了对角平分线性质的理解和 应用。
应用举例
例题1
例题3
已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线 ，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且 DE=DF。求证：△ABD≌△ACD。
已知△ABC中，∠B=2∠C，AD是 ∠BAC的平分线。求证：AC=AB+BD 。
角平分线的性质PPT课件
∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
应用这个性质所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：证明两条线段相等.
证明的书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
三者缺一不可，否
则不可证明两线段
相等
5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）
6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
情景导入
旧知回顾
判定三角形全
SSS：三边分别相等的两个三角形全等
等的基本事实
SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
有哪些？
ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
求证：BD＝DF.
点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在
的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有
一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，
这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴DE＝DC.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
F
E
B
D
C
新知探究
2.角平分线的性质的应用
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC
于点P，若PC＝4，AB=14.
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
应用这个性质所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：证明两条线段相等.
证明的书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
三者缺一不可，否
则不可证明两线段
相等
5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）
6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
情景导入
旧知回顾
判定三角形全
SSS：三边分别相等的两个三角形全等
等的基本事实
SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
有哪些？
ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
求证：BD＝DF.
点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在
的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有
一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，
这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴DE＝DC.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
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新知探究
2.角平分线的性质的应用
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC
于点P，若PC＝4，AB=14.
八年级数学下册第一章角平分线第2课时三角形的角平分线作业pptx课件新版北师大版
两条直角边分别与OA，OB相交于点E，F.
（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），小明
发现PE与PF仍然相等；
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证明：（2）当PE⊥OA时，如图①，
∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，
∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，
且∠PEO＋∠EPF＋∠EOF＋∠PFO＝360°，
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7.【2023·北京海淀区期中】如图，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，AD平分∠BAC交BC于点D.
（1）若BC＝8，BD＝5，求点D到AB的距离.
解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝BC－BD＝8－5＝3，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
B.S1＋S2＜S3
C.S1＋S2＞S3
D.无法确定
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点拨：过点I分别向边AB，BC，AC作垂线，垂足分别为
D，E，F，如图，
根据角平分线的性质，得ID＝IE＝IF，
设ID＝IE＝IF＝h，则S1＝
h，
S2＝ h，S3＝ h，
∵AC＋AB＞BC，∴S1＋S2＞S3.
∵∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB＋
∠EPF＋∠PFG＋∠OEP＝360°，∴∠PFG＋
∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝
PF，∴PE＝PF.
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（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），小明
发现PE与PF仍然相等；
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证明：（2）当PE⊥OA时，如图①，
∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，
∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，
且∠PEO＋∠EPF＋∠EOF＋∠PFO＝360°，
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7.【2023·北京海淀区期中】如图，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，AD平分∠BAC交BC于点D.
（1）若BC＝8，BD＝5，求点D到AB的距离.
解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝BC－BD＝8－5＝3，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
B.S1＋S2＜S3
C.S1＋S2＞S3
D.无法确定
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点拨：过点I分别向边AB，BC，AC作垂线，垂足分别为
D，E，F，如图，
根据角平分线的性质，得ID＝IE＝IF，
设ID＝IE＝IF＝h，则S1＝
h，
S2＝ h，S3＝ h，
∵AC＋AB＞BC，∴S1＋S2＞S3.
∵∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB＋
∠EPF＋∠PFG＋∠OEP＝360°，∴∠PFG＋
∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝
PF，∴PE＝PF.
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角平分线的性质1PPT演示课件
方法二
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形 面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三 角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三 角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关 系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出 。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积 之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分 线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角 平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离 相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设 计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的 性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的 问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形 面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三 角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三 角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关 系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出 。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积 之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分 线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角 平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离 相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设 计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的 性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的 问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件
只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
《角平分线的判定》课件
应用举例
在几何证明题中，常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或 角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的 点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明，假 设点不在角平分线上，通 过构造反例来证明假设不 成立。
应用举例
在解题过程中，可以利用 这个推论来寻找角平分线 上的点，从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分， 且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角 ，这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF。求证：EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF，EF平行于BC。求证：EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平 分线，E、F分别是AB、AC上的点， 且DE=DF。EF交AD于G。求证： EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线，可以证明面积分割定理，从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线，可以方便地计算三角形的面积，进一步用于解
决实际问题。
在几何证明题中，常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或 角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的 点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明，假 设点不在角平分线上，通 过构造反例来证明假设不 成立。
应用举例
在解题过程中，可以利用 这个推论来寻找角平分线 上的点，从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分， 且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角 ，这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF。求证：EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF，EF平行于BC。求证：EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平 分线，E、F分别是AB、AC上的点， 且DE=DF。EF交AD于G。求证： EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线，可以证明面积分割定理，从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线，可以方便地计算三角形的面积，进一步用于解
决实际问题。
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性质定理
角平分线复习
角平分线
逆定理
三 角 形
三个内角平分线的性质定理
文字语言：
三角形的三条 角平分线相交于一 点，并且这一点到 三条边的距离相等 B
A
符号语言：
D N
P
∵△ABC的角平分线BM、
M CN相交于点P，垂足分别 F 是E、D、F ，PD⊥AB,
PE⊥BC, PF⊥AC
E
C ∴PD=PE=PF
.
证明线段相等
角平分线复习
练习 下列过程是否正确？
错误.
∵ PD=PE,
∴点P在∠AOB的平分线上.
O
（在一个角的内部且到角的两边距离 相等的点，在这个角的平分线上）.
DA P
EB
角平分线复习 例题赏析
【例1】已知:如图, 点P是∠AOB内部的一点,
M
C
C
1
A
若PCP⊥C=OPAD,，P∠D⊥1+O∠B 2，=1垂8足00.分别为点C和点D. O
∠1＝∠2，下列结论不正确的是（ D ）
A.PC=PD B.OC=OD C.∠DPO=∠CPO
CA
1
O
P
D.OD＝OP D B
角平分线复习
2.如图所示，点P是∠CAB的平分线AD 上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝5cm，
A
则点P到AB的距离是__5_c_m___.
C E
PD
FB
角平分线复习
5. 如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角
A
１于N．
Ｍ
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于
Ｃ
1 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB 2 的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
Ｂ
Ｎ
O
则射线ＯＣ即为所求．
角平分线复习
性质定理
角平分线
逆定理
文字语言：
角的平分线上的
点到角的两边的
距离相等.
O
文字语言：
D
A 在一个角的内部，且到角的
点P落在什么特殊的位置上？为什么？
由角平分线的逆定理可得点P在∠BOA的角平分线上.
D E A
G
P
O
B
FC
角平分线复习 规律总结
当缺少运用角平分线的定理及逆定理的 基本图形时，要添置辅助线构造运用它们的基本图形. 角平分线 ---- 点向两边作垂线段
角平分线复习
达标测试
1.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
两边距离相等的点，在这个 P 角的平分线上.
符号语言：
EB
符号语言：
∵ OP 是∠AOB 的平分线 PD⊥OA , PE⊥OB ∴PD=PE
∵ PD=PE PD⊥OA , PE⊥OB
∴OP 是∠AOB 的平分线
证明两条线段相等的根据之一. 温馨提示: 证明一个点是否在角平分线上，
从而推出两个角相等.
板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分
别与OA、OB相较于点C、D,
则PC与PD相等吗？试说明理由.
A
M
P E
C
0
NDB
线段垂直平分线与角平分线复习
请同学们谈谈自己的收获吧！
.
14
角平分线复习
定义 性质
逆定理
尺规作图
角
平
三角形角平分
分
线
线的应用
角平分线复习
如图,在一个三角形的小岛上，小动
物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，
角平分线复习课
.
1
角平分线复习
如图,在一个三角形的小岛上，小动
物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，
要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边
的路线，分别跑到小岛三边.为公平起见，
要求起点到小岛三边的距离相等，你能
帮它们确定起点吗？
B
A C
角平分线复习
尺规作图
已知：∠AOB
求作：∠AOB 的角平分线. 作法：
P
（那21么）点你若P能O在P添平∠加分AO一∠B个的AO条平B，件分你，线能使上得点吗出P？在什∠么A结OB论的？平分线上吗？ DN
答：点P在∠AOB的平分线上.
DB
理由：过点P作PM⊥OA,PN⊥OB.垂足分别为M、N. ∵∠1+∠2=180°，∠PDN+∠2=180° ∴ ∠1 =∠PDN
又∵ ∠PMC= ∠PND=90°，PC=PD ∴△PMC≌△PND(AAS) ∴PM=PN 又 ∵ PM⊥OA,PN⊥OB ∴ 点P在∠AOB的平分线上.
要求三队从小岛内一点，分别跑到三角
形三个顶点.为公平起见，要求起点到三
角形三个顶点距离相等，你能帮它们确
定起点吗？
B
A C
布置作业
课本52页 第7题.
.
17
角平分线复习 例题赏析
【变式】已知:如图, OP是∠AOB的平分线, OD>OC, PD=PC ，垂足分别为点C和点D. O
求证：∠1+∠2=180°.
M
C
C
1
A
P
DN DB
角平分线复习
【例2】已知：如图，在△AOB中，AP、BP分别平分外角∠DAB 和∠CBA，PE、PF 分别垂直于AD、BC，垂足为E、F.