1.1.1函数的平均变化率-1.1.2瞬时速度与导数

[课前自测]
1.在平均变化率中，函数值的增量为正值.( × ) 2.瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量.( × ) 3.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.( √ )
课内探究
类型一 函数的平均变化率
命题角度 1 求函数的平均变化率 例 1 求函数 y＝f(x)＝x2 在 x＝1,2,3 附近的平均变化率，取 Δx 都为13，哪 一点附近的平均变化率最大？
(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Δx取值 越小，越能准确体现函数的变化情况.
乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是
A.v甲>v乙
√B.v甲<v乙
C.v甲＝v乙
D.大小关系不确定
解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义 知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率 v乙＝kBC.因为kAC<kBC，所以v甲<v乙.
2.若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0＝(2t0＋1)＋Δt. Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
当堂检测
1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为
√A.2.1
B.1.1
C.2
D.0
解析 ΔΔyx＝f11.1.1－－1f1＝00..211＝2.1.
2.物体运动方程为 s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若 v＝
Δy Δx.
(2)瞬时变化率的变形形式
Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0＝Δlixm→0fx0－－ΔxΔ－x fx0＝Δlixm→0fx0＋nnΔΔxx－fx0 ＝Δlixm→0fx0＋Δx2－Δxfx0－Δx＝f′(x0).
跟踪训练4 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0. 解 ∵f′(x0)＝Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0 ＝Δlixm→03x0＋ΔΔxx2－3x20＝Δlixm→0(6x0＋3Δx)＝6x0，
类型二 求瞬时速度
例3 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝
t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
解 ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1
＝
Δt
＝3＋Δt，
∴Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(3＋Δt)＝3.
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]， [x3，x4]上平均变化率分别为 fxx22－－fx1x1，fxx33－－fx2x2，fxx44－－fx3x3，结合图 象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
5.一物体的运动方程为s(t)＝7t2－13t＋8，则t0＝_1_时该物体的瞬时速度为1.
由函数 f(x)的图象知，f(x)＝x＋2 3，－1≤x≤1， x＋1，1<x≤3.
所以函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f22－－0f0＝3－2 32＝34.
命题角度2 平均变化率的几何意义 例2 过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线， 已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值. 解 割线 PQ 的斜率即为函数 f(x)从 1 到 1＋Δx 的平均变化率ΔΔyx. ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2， ∴割线 PQ 的斜率 k＝ΔΔyx＝1＋Δx. 又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.
Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→01＋1＋1Δx＝2，
所以 f′(1)＝2，即函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数为 2.
反思与感悟 (1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②求平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
③求极限 lim Δx→0
反思与感悟 函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率的实质是函数 y＝f(x) 图象上两点 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线 P1P2 的斜率，即
k p1p2 ＝ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1.
跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间
t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、
跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率. ∵质点M在t＝2附近的平均变化率为 ΔΔst＝s2＋ΔΔtt－s2＝a2＋ΔΔtt2－4a＝4a＋aΔt， ∴Δlit→m0ΔΔst＝4a＝8，即 a＝2.
Δx
解析 ΔΔyx＝f－1＋ΔΔxx－f－1
－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6
＝
Δx
＝Δx.
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化
1
3
率为__2_；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为_4__.
解析 函数 f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为f11－－－f－11＝2－2 1＝12.
解 在x＝1附近的平均变化率为
f1＋Δx－f1 1＋Δx2－1
k1＝
Δx
＝ Δx ＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
f2＋Δx－f2 2＋Δx2－22
k2＝
Δx
＝ Δx ＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
f3＋Δx－f3 3＋Δx2－32
k3＝
Δx
＝ Δx ＝6＋Δx.
当 Δx＝13时，k1＝2＋13＝73， k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝139. 由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大.
第一章 §1.1 变化率与导数
1.1.1 函数的变化率问题-1.1.2 瞬时速度与导数
学习目标
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
课前预习
知识点一 函数的平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图 所示平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山 路线用函数y＝f(x)表示. 自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝ f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2). 思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？ 答案 自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记 作Δy.
知识点三 函数在某点处的导数
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0，我们称
它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y' |xx0 ，即 f′(x0)＝
Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0.
解析
st0＋Δt－st0
lim
Δt→0
Δt
＝Δlit→m07t0＋Δt2－13t0＋ΔΔtt＋8－7t20－13t0＋8
＝lim(14t0－13＋7Δt) Δt→0
＝14t0－13＝1，得t0＝1.
理解平均变化率要注意以下几点：
规律与方法
(1)平均变化率fxx22－－fx1x1表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲 线陡峭程度的“数量化”. (2)为求点 x0 附近的平均变化率，上述表达式常写为fx0＋ΔΔxx－fx0的形式.
反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导 致无从下手解答本类题的常见错误. (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤 ①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； ②求平均速度 v ＝ΔΔst； ③求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于的常数 v 即为瞬时 速度，即 v＝Δlit→m0ΔΔst.
反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
跟踪训练1 (1)已知函数y＝f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6) 及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则 Δy＝_Δ__x_.
梳理 瞬时速度 (1)物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度. (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内
的平均速度为ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0.如果 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于 某个常数 v，我们就说当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔst的 极限 是 v，这时 v 就是物体 在时刻 t＝t0 时的瞬时速度，即瞬时速度 v＝Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0st0＋ΔΔtt－st0.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
引申探究 1.若例3中的条件不变，试求物体的初速度. 解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
∵ΔΔst＝s0＋ΔΔtt－s0
0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1
＝
Δt
＝1＋Δt，
∴lim(1＋Δt)＝1. Δt→0
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.
s3＋Δt－s3
lim
Δt→0
Δt
＝18 m/s，则下列说法中正确的是
A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B.18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
√C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
点，则平均变化率 ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1 表示割线P1P2的 斜率 .
知识点二 瞬时速度
思考1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段 时间内的平均速度. 答案 Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2， v ＝ΔΔst＝10＋5Δt. 思考2 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一 速度？ 答案 当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于 10，这时的平均速度即为当 t＝1 时的 瞬时速度.
3.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于
A.2
B.－2
C.－3
√D.3
f1＋Δx－f1
解析 因为 f′(1)＝lim Δx→0
Δx
a1＋Δx＋3－a＋3
＝ lim Δx→0
Δx
＝a.
因为f′(1)＝3，所以a＝3.
4.如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变 化率最大的一个区间是____[x_3_，__x.4]
思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案 对山路 AB 来说，用ΔΔyx＝xy22－－xy11可近似地刻画其陡峭程度.
梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1. (2)实质： 函数值 的增量与 自变量 的增量之比.
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两
类型三 导数定义的应用
f1－Δx－f1
例 4 (1)若函数 f(x)可导，则lim Δx→0
2Δx
等于
A.－2f′(1)
B.12f′(1)
√C.－12f′(1)
D.f′12
f1－Δx－f1
解析 lim Δx→0
2Δx
＝－12Δlixm→0f [1＋－－ΔΔxx]－f1＝－12f′(1).
(2)求函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数. 解 因为 Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11＝Δx＋1＋ΔxΔx， 所以ΔΔyx＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx.