2012学业水平考高中数学考试(含答案版)

2012年上海市普通高中学业水平考试

数学试卷

一、填空题：（本答题满分36分）

1．已知集合{}=1,2A ，{}2,B a =．若{}1,2,3A B =，则a = ．

2．函数()2

1f x x =-的定义域为 ．

3．满足不等式

01

x

x <+的x 的取值范围是 ． 4．若球的体积为36π，则球的半径为 ．

5．若直线220x my ++=与直线4610x y +-=平行，则m = ．

6．若向量a 与b 的夹角为60°，2a =，1b =，则a b ⋅= ．

7．在△ABC 中，角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、．若45A =，30C =，2c =

，则a = ．

8．若无穷等比数列{}()

n a n N *

∈的首项为l 、公比为

1

3

，则该数列各项的和为 ． 9．在6

1x x ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的二项展开式中，常数项的值为 ．

10．若12i +（i 为虚数单位）是关于x 的方程2

30x mx ++=的根，则实数m = ．

11．执行右图所示算法，输出的结果是 ．

12．已知圆n O ：()2

2

2

1x y n N n

*

+=

∈与圆C ：()2211x y -+=．设圆n O 与y 轴正半轴的交点为n R ，圆n O 与圆C 在x 轴上方的交点为n Q ，直线n n R Q 交x 轴于点n P ．当n 趋向于无穷大时，

点n P 无限趋近于定点

P ，定点P 的横坐标为 ． 二、选择题：（本大题满分36分）

13．若矩阵12a b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

是线性方程组3

21x y x y -=⎧⎨-=⎩，

的系数矩阵，则（ ）． A ．11a b ==-，； B ．11a b ==，； C ．11a b =-=，； D ．11a b =-=-，．

14．函数()21x

f x =+的反函数是（ ）．

A ．()12log 1f x x -=+；

B ．()1log 21x f x -=+；

C ．()()12log 1f x x -=-；

D ．()12log 1f x x -=-．

15．抛物线2

4y x =的焦点到其准线的距离是（ ）．

A ．1；

B ．2；

C ．4；

D ．8．

16．某校高一、高二、高三分别有学生400名、300名、300名．为了解他们课外活动情况，用分层抽样的方法

从中抽取50名学生进行调查，应抽取高二学生人数为（ ）．

A ．50；

B ．30；

C ．20；

D ．15． 17．函数()3

2f x x x =+（ ）．

A ．是奇函数且为增函数；

B ．是偶函数且为增函数；

C ．是奇函数且为减函数；

D ．是偶函数且为减函数．

18．已知扇形的圆心角为

3

π

，半径为3，该扇形的面积为（ ）． A ．3π； B ．32π； C ．π； D ．2

π

．

19．函数()sin 3cos 1f x x x =++的最大值是（ ）．

A ．1-；

B ．2；

C ．3；

D ．23+． 20．函数1

2

x y =

的大致图象是（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．

21．若椭圆22

1164

x y +=与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（ ）． A ．240x y +-=； B ．240x y --=； C ．240x y -+=； D ．240x y ++=． 22．设1l 、2l 是空间两条直线．“1l 、2l 没有公共点”是“1l 、2l 为异面直线”的（ ）．

A ．充分但非必要条件；

B ．必要但非充分条件；

C ．充分必要条件；

D ．既非充分又非必要条件．

23．从17名男同学和21名女同学中随机抽取3名，组成环保志愿者小组，这个小组中必有男同学的概率（精确到0.001）为（ ）．

A ． 0.141；

B ． 0.335；

C ． 0.423；

D ．0.842．

24．实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2

a b

+、ab 按一定顺序构成的数列（ ）． A ．可能是等差数列，也可能是等比数列； B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列；

C ．不可能是筹差数列，但可能是等比数列；

D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列． 三、解答题：（本大题满分48分）．

25．（本题满分7分）

已知3cos 3α=

，化简并求值：()21tan 2cos 2cos 233ππααα⎡⎤⎛⎫⎛

⎫+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎣⎦．

26．（本题满分7分）

如图所示，正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，表面积为32，求异面直线1DA 与11B C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

27．（本题满分7分）

已知等比数列{}(

)n a n N *

∈满足1

2a

=，454a =，等差数列{}n b ()n N

*

∈满足1

1

b a =，3

2b

a =．求数

列{}n b 的前n 项和n S ．

28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分．

己知双曲线C 的两个焦点分别为()

130F -，

、(

)

230F ，，渐近线方程为2y x =±．

（1）求双曲线C 的方程；

（2）若过点()

130F -，的直线l 与双曲线C 的左支有两个交点，且点()01M ，到l 的距离小于1，求直线l 的倾

斜角的范围．

29．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．

设函数()f x 、()g x 有相同的定义域D ．对任意x D ∈，过点(),0x 并垂直于x 轴的直线与()f x 、()g x 的图像分别交于点A 、B ，向量OA 、OB 满足OA OB ⊥（O 为坐标原点）． （1）若()1f x x =-+，()1x ∈∞，，求()g x 的解析式，并作出其大致图像；

（2）若()[](]22log 62,46346x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨-++∈⎪⎩，，

，，

，求()g x 的最大值和最小值．

参考答案： 一、填空题

1. 3；

2. [1,1]-；

3. (1,0)-；

4. 3；

5. 3；

6. 1；

7. 2；

8.

3

2

； 9. 20； 10. 2-； 11. 31； 12. 4； 二、选择题

13. A ； 14. C ； 15. B ； 16. D ； 17. A ； 18. B ； 19. C ； 20. C ； 21. A ； 22. B ； 23. D ； 24. D ； 三、解答题 25. 3-；

26. 3arctan

2

； 27. (1)n n ⋅+；

28. （1）2

2

12

y x -=； （2）(arctan 2,arctan 3)；

29. （1）2

(),(1)1

x g x x x =

>-，图略（NIKE 函数，最低点是(2,4)，分别以直线1x =和直线1y x =+为渐近线）；

（2）max ()4g x =，min ()12g x =-