[初二数学 第3讲 多边形及其内角和]讲义教师版

多边形及其内角和
1.掌握多边形的相关概念；
2.掌握多边形对角线的计算公式及其推导过程；
3.熟练应用多边形的内角和、外角和进行相关计算；
4.会利用多边形的特点处理镶嵌问题.
1.多边形的内角和、外角和及对角线的相关计算；
2.多边形的镶嵌问题.
多边形及其相关概念
1、多边形的相关概念
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
（5）多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
2、多边形的分类
多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边
所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧；①每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
3、多边形的对角线
（1）定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）多边形条数的计算：n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出
发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：
()3
2
n n-
（n≥3，且
n为整数）.
例1.如图，下列图形是多边形的有（填序号）．
【答案】①①
【解析】解：下列图形是多边形的有①①，故答案为：①①．
练习1.如图所示的图形中，属于多边形的有（）个．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【解析】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．故选A．
熟悉多边形的概念，边为直线段，而不是曲线.
例2.下列图中不是凸多边形的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选A．
练习1.如图，下列图形不是凸多边形的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：选项A、B、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有C不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选C．
明确多边形的定义及判定方法，初中阶段常说的多边形一般指凸多边形.
例3.下列图形中，是正多边形的是（）
A．等腰三角形B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形
【答案】C
【解析】解：正方形四个角相等，四条边都相等，故选：C．
练习1.下列说法正确的有（）
（1）由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形；
（2）各边都相等的多边形是正多边形；
（3）各角都相等的多边形一定是正多边形．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【解析】解：（1）在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，故此选项错误；
（2）各边都相等的多边形是正多边形，错误，例如菱形；
（3）各角都相等的多边形一定是正多边形，错误，例如矩形．
故选：A．
明确正多边形的定义：边、角都相等的多边形才是正多边形，只有边相等或者只有角相等一个条件并不能判断，这一点需要特别注意，并且要能够举出反例来说明.初三学到圆的时候还会学到正多边形，那部分知识主要是针对多边形进行计算.
例4.下列图形中具有稳定性有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解析】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然（2）、（4）、（5）三个．故选B．
练习1.要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】解：如图需至少添加2条对角线．
故选：B．
练习2.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．
A．6B．5C．8D．7
【答案】B
【解析】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2=5个三角形．故选：B．
三角形具有稳定性，若想要多边形也具有稳定性，只需将多边形变成三角形即可，根据这一
原理即可进行划分.
例5.若从多边形的一个顶点可以引出七条对角线，则这个多边形是（）
A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形
【答案】D
【解析】解：设这个多边形有n条边，由题意得：n﹣3=7，解得：n=10，故选：D．
练习1.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【解析】解：设多边形有n条边，则n﹣3=6，解得n=9．故选：D．
练习2.将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（）
A．6B．8C．12D．14
【答案】D
【解析】解：①六边形ABCDEF有6个顶点，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，①只能通过同一个顶点作三条对角线（如图1），这种分法有6种，
也从一个顶点作两条对角线（如图2），这种分法有2种，
如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种，
故各种不同的剖分方法有14种．
故选D．
首先明确多边形对角线的精确定义，根据多边形对角线的定义逐点计算多边形对角线的条数，理解多边形对角线总条数公式的推导过程，体会推导思想.
例6.一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（）
A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7
【答案】D
【解析】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选：D．
练习1.四边形剪掉一个角后，变为（）边形．
A．3B．4C．5D．3或4或5
【答案】D
【解析】解：如下图所示：
观察图形可知，四边形减掉一个角后，剩下的图形可能为五边形，可能为四边形，可能为三角形，故选D．
练习2.将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（）
A．3个B．4个C．5个D．3个或4个或5个
【答案】D
【解析】解：正方形桌面砍下一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，如下图所示：
因而还剩下3个或4个或5个角．故选D．
多边形截角问题主要考查学生的图形想象力和分类讨论思想.明确截角的不同情况对多边形边数的影响.
多边形的内角和、外角和及其应用
1、多边形内角和定理：()2180n -⋅（n≥3且n 为整数）
注：此公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n ﹣3）条对角线，将n 边形分割为（n ﹣2）个三角形，这（n ﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和． 2、多边形的外角和等于360°
（1）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
（2）借助多边形的内角和公式及邻补角的概念共同推导出以下结论：
外角和()1802180360n n =︒--⋅︒=︒
例1.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）
A ．6
B ．12
C ．16
D ．18
【答案】B
【解析】解：设多边形为n 边形，由题意，得（n ﹣2）•180°=150n ，解得n=12，故选：B ． 练习1.内角为108°的正多边形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】解：外角是：180°﹣108°=72（度），360÷72=5， 则这个多边形是正五边形，故选B ．
练习2.一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ） A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
【答案】C
【解析】解：（n ﹣2）•180°＜1999°，n ＜+2=+2
①n 为正整数，①n 的最大值是13．故答案为C ．
练习3.把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了720°，则x的值为（）
A．4B．6C．5D．3
【答案】A
【解析】解：多边形的边数增加1，它的内角和增加180度，720°÷180°=4，
①x=4，故选A．
明确多边形内角和的计算公式，体会多边形内角和与边数之间的关系.
例2.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6
【答案】C
【解析】解：①多边形外角和=360°，①这个正多边形的边数是360°÷45°=8．故选C．
练习1.正五边形的每个外角等于（）
A．36°B．60°C．72° D．108°
【答案】C
【解析】解：360°÷5=72°．故正五边形的每个外角等于72°．故选：C．
练习2.一个多边形的每个外角都相等且都小于45°，则这个多边形的边数最少是（）A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】解：设多边形的边数为n，
①多边形的外角和是360°，且多边形的每一个外角都相等，①根据题意得，＜45，①45n＞360，n＞，n＞8，
由于n是整数，①n的最小值为9，故选：C．
明确多边形的外角和，理解多边形的外角和与边数之间的关系.
例3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
【答案】C
【解析】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°=360°×2，解得n=6．
则这个多边形是六边形．故选：C．
练习1.如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【答案】A
【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故选A．
熟练掌握多边形的内、外角和公式，能够通过边的数量将两公式进行灵活转化.
例4.一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角度数为（）A．120°B．130°C．135°D．150°
【答案】B
【解析】解：设这个内角度数为x°，边数为n，
则（n﹣2）×180﹣x=2570，180•n=2930+x，①n=，
①n为正整数，0°＜x＜180°，①n=17，
①这个内角度数为180°×（17﹣2）﹣2570°=130°．故选B．
练习1.看图回答问题：
（1）内角和为2016°，佳佳为什么说不可能？
（2）音音求的是几边形的内角和？
【答案】解：（1）①n边形的内角和是（n﹣2）•180°，①内角和一定是180度的倍数，
①2016÷180=11余36，①内角和为2016°不可能；
（2）设漏加的内角为x，依题意有（n﹣2）•180=2016+x，①x=180n﹣2376，
①90＜x＜180，①90＜180n﹣2376＜180，解得13.7＜n＜14.2，
因而多边形的边数是14，故音音求的是十四边形的内角和．
【解析】（1）根据n边形的内角和一定是180度的倍数，进行判断即可；（2）设漏加的内角为x，得出方程（n﹣2）•180=2016+x，求得x=180n﹣2376，再根据90＜x＜180，得到90＜180n﹣2376＜180，最后求得n的范围即可．
练习2.一个多边形的内角和除去一个内角后为1720°，试问这个多边形是几边形？它的对角线有多少条？
【答案】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1720°，解得n=11…100，
①除去了一个内角，①边数是11+1=12，
故这个多边形的边数为12，它的对角线的条数==54．
答：这个多边形是十二边形，共有54条对角线．
【解析】据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用1720°÷180°所得商的整数部分加1就是（n﹣2）的值；n边形的对角线公式为．
在计算多边形内角和时少加一个内角问题，是多边形的角度计算中比较难的一个问题，需要注意的是少算一个角，不能直接把边数减1，而要根据凸多边形的内角的取值范围进行讨论，所以此类题型的条件比较隐晦，需要考虑到在没有特殊说明的情况下，初中阶段所说的多边形就是指的凸多边形，其内角的取值范围是0°~180°.此类例题选讲.
多边形的边、角、对角线综合计算
1、多边形边、角及对角线计算的本质都是通过计算公式转化成多边形的边的数量（或者顶点的数量），较复杂的综合计算问题，就需要将几种公式结合使用.
2、多边形的内角和的计算常会与圆的面积或者周长相结合，其本质关系是多边形的内角和为圆的面积、周长提供了度数这一关键数据.
3、凹多边形（如：五角星等）的内角和的计算是对三角形外角性质的一个典型应用.
例1.一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（）
A．42条B．54条C．66条D．78条
【答案】B
【解析】解：①一个凸多边形的每一个内角都等于150°，
①此多边形的每一个外角是180°﹣150°=30°，
①任意多边形的外角和是：360°，
①此多边形边数是：360°÷30°=12，
①这个多边形所有对角线的条数是：n（n﹣3）÷2=12×（12﹣3）÷2=54．
故选B．
练习1.若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7B．10C．35D．70
【答案】C
【解析】解：①一个正n边形的每个内角为144°，
①144n=180×（n﹣2），解得：n=10．
这个正n边形的所有对角线的条数是：==35．
故选C．
多边形边、角及对角线计算的本质都是通过计算公式转化成多边形的边的数量（或者顶点的数量），较复杂的综合计算问题，就需要将几种公式结合使用.
例2.（选讲）如图所示，分别在三角形、四边形、五边形广场各角修建半径为R的扇形草坪．
（1）图1中草坪的面积为．
（2）图2中草坪的面积为．
（3）图3中草坪的面积为．
（4）如果多边形边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为．
【答案】，πR2，，
【解析】解：（1）三个角的和是：180°，则面积是：=；
（2）四个内角的和是：360°，则面积是：=πR2；
（3）五个内角的和是：540°，则面积是：=；
（4）多边形边数为n，则内角和是：（n﹣2）•180°，则面积是：=．
故答案是：，πR2，，．
练习1.如图所示，分别在三角形．四边形的广场各角向内或向外修建半径为R的扇形草坪（阴影部分）．求：
（1）图a中草坪的面积．
（2）图b中草坪的面积．
（3）图c中草坪的面积．
【答案】解：（1）因为半径为1的圆面积为πR2，故该草坪形成的内角和度数为180°，所以a草坪的面积为πR2；
（2）因为半径为1的圆面积为πR2，故b草坪的面积为4πR2﹣πR2=3πR2；
（3）因为四边形外角和为360°，因此c草坪的面积为πR2．
【解析】①因为半径为R的圆面积为π．图1的草坪形成的内角和度数为180°，为一个半圆，所以草坪的面积为πR2．①图b中草坪的面积为4个圆的面积减去1个圆的面积；①图c 中草坪的面积是1个圆的面积．
多边形的内角和的计算常会与圆的面积或者周长相结合，其本质关系是多边形的内角和为圆的面积、周长提供了度数这一关键数据.
例3.如图，求证：①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=180°．
【答案】解：如图所示，①A+①B=①1，①C+①D=①2，①E+①2=①3，①F+①G=①4，
①①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=①1+①3+①4，
①三角形的内角和等于180°，①①1+①3+①4=180°，
①①A+①B+①C+①D+①E+①F+①G=180°．
【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和把这六个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于180°解答．
练习1.如图，以四边形ABCD各顶点及各边延长线上的点构成①AEF、①BGH、①CMN、①DPQ，求①E+①F+①G+①H+①M+①N+①P+①Q的度数．
【答案】解：由三角形外角的性质可得：
①FAB=①E+①F，①HBC=①G+①H，①DCN=①M+①N，①QDA=①P+①Q，
①四边形的外角和为360°，①①FAB+①HBC+①DCN+①QDA=360°，
①①E+①F+①G+①H+①M+①N+①P+①Q=360°．
【解析】首先根据外角的性质可得：①FAB=①E+①F，①HBC=①G+①H，①DCN=①M+①N，①QDA=①P+①Q，根据四边形的外角和为360°，所以①FAB+①HBC+①DCN+①QDA=360°，即可解答．
练习2.（1）如图①，你知道①BOC=①B+①C+①A的奥秘吗？请你用学过的知识予以证明；（2）如图①﹣1，则①A+①B+①C+①D+①E=°；
如图①﹣2，则①A+①B+①C+①D+①E=°；
如图①﹣3，则①A+①B+①C+①D+①E=°；
（3）如图①，下图是一个六角星，其中①BOD=70°，则①A+①B+①C+①D+①E+①F=°．
【答案】解：（1）如下图①，延长BO交AC于点D，
①BOC=①BDC+①C，
又①①BDC=①A+①B，①①BOC=①B+①C+①A．
（2）如下图①，
，
根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，
①①1+①2+①E=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．
如下图③，
，
根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，
①①1+①2+①E=180°，①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．
如下图④，延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，
，
根据外角的性质，可得①GFC=①D+①E，①FGC=①A+①B，①①GFC+①FGC+①C=180°，
①x=①A+①B+①C+①D+①E=180°．
（3）如下图⑤，
，
①①BOD=70°，①①A+①C+①E=70°，
①①B+①D+①F=70°，
①①A+①B+①C+①D+①E+①F=70°+70°=140°．
故答案为：180、180、180、140．
【解析】（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=①BDC+①C，然后根据①BDC=①A+①B，判断出①BOC=①B+①C+①A即可．（2）a、首先根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，然后根据①1+①2+①E=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180，据此解答即可．b、首先根据外角的性质，可得①1=①A+①B，①2=①C+①D，然后根据①1+①2+①E=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180，据此解答即可．c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得①GFC=①D+①E，①FGC=①A+①B，再根据①GFC+①FGC+①C=180°，可得x=①A+①B+①C+①D+①E=180°，据此解答即可．（3）根据①BOD=70°，可得①A+①C+①E=70°，①B+①D+①F=70°，据此求出①A+①B+①C+①D+①E+①F 的度数是多少即可．
凹多边形（如：五角星等）的内角和的计算是对三角形外角性质的一个典型应用.
多边形的镶嵌问题
利用正多边形进行镶嵌问题的基本原理是同一个顶点处的角能够凑成360°，才能实现密铺.无论由多少种几何图形进行镶嵌，其本质思想都是不变的.
例1.下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是（）
A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形
【答案】B
【解析】解：A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；
B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
C、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
D、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．
故选B．
练习1.在下列正多边形的地板瓷砖中，单独用其中一种能够铺满地面的是（）
A．正方形B．正五边形C．正八边形D．正十边形
【答案】A
【解析】解：A、正方形每个内角是90°，能整除360°，能密铺；
B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
C、正八边形每个内角为180°﹣360÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；
D、正十边形每个内角为180°﹣360÷10=144°，不能整除360°，不能密铺；
故选A．
由同一种正多边形进行镶嵌，只需要保证该正多边形的内角的度数是360°的因数即可.
例2.在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（）
A．正八边形和正方形B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形D．正三角形和正方形
【答案】B
【解析】解：A、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，由于90°+2×135°=360°，故能铺满；
B、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
C、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于60×4+120=360，故能铺满；
D、正三角形、正方形内角分别为60°、90°，由于60×3+90×2=360，故能铺满．
故选B．
练习1.用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（）
A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形
【答案】C
【解析】解：A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°．
①3×60°+2×90°=360°，①正方形能匹配；
B、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60度．
①2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360°，①正六边形能匹配；
C、正三角形的每个内角是60°，正八边形内角为135°，显然不能构成360°的周角，故不能匹配．
D、正三角形的每个内角是60°，正十二边形的每个内角是180°﹣360°÷12=150°，
①60°+2×150°=360°，①正十二边形能匹配；
故选C．
练习2.用正四边形和正八边形镶嵌成一个平面，则在某一个顶点处，正四边形和正八边形的个数分别为（）
A．2个和1个B．1个和2个C．3个和1个D．1个和3个
【答案】B
【解析】解：正八边形内角为135°，（360﹣90）÷135=2，所以一个顶点周围应该有两个正八边形，一个正四角形．故选B．
由多种正多边形进行镶嵌，问题相对来说比较复杂，需要进行讨论，保证同一个顶点处几个多边形的内角能够凑成360°.
本次课的重点内容是对多边形的处理，包括多边形的内角和、外角和及对角线的相关计算，对相关公式的充分理解及是学习本章内容的首要条件.。