高中数学选修2-2：1.7.1定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)

1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
考纲定位
重难突破
1.体会定积分在解决几何问题 重点：利用定积分求平面图形
中的作用．
的面积．
2．会通过定积分求由两条或 难点：准确认识平面图形的面
多条曲线围成的图形的面积. 积与定积分的关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
曲边梯形的面积等于 曲边梯形上、下两个边界所表示的函数的差 的定积分．
三、常见平面图形的面积计算 1．求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
bf(x)dx
图①中，f(x)>0，bf(x)dx>0，因此面积 S＝ a;0，bf(x)dx<0，因此面积 a
怎样求由多条曲线围成的较为复杂的图形的面积？ 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方 和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将 积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在 每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取 x 运算较为复杂，可以 选 y 为积分变量，这时 y 为自变量，x 是函数，故应把函数表达式变形成用 y 表示 x 的形式．
图④中，f(x)>g(x)>0，面积 S＝
a
；
bf(x)dx＋b|g(x)|dx
图⑤中，f(x)>0，g(x)<0，面积 S＝
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
[双基自测]
1.用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是( )
A.cf(x)dx a
B.cfxdx
a
C.bf(x)dx＋cf(x)dx
[解析] 如图所示，由yy＝ ＝xx＋ 2－32，x＋3 得 x1＝0， x2＝3.
从而所求图形的面积为
S＝3(x＋3)dx－3(x2－2x＋3)dx
0
0
＝3[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx 0
＝03(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x230 ＝92.
求“不分割型”图形面积的一般步骤：
课时作业
[自主梳理]
一、利用定积分求曲边多边形的面积
1．在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地
确定出 被积函数及积分的上、下限 ．
2．若一平面图形是由 y＝f1(x)，y＝f2(x)及 x＝a，x＝b(a<b)所围成，并且在[a，b]上
f1(x)≤f2(x)，则该平面图形的面积 S＝
3．由 y＝x2，y＝14x2 及 x＝1 围成的图形的面积 S＝______.
解析：图形如图所示：
S＝1x2dx－114x2dx
0
0
＝134x2dx＝14x310 ＝14. 0
答案：14
探究一 求“不分割型”平面图形的面积 [典例 1] 计算由曲线 y＝x2－2x＋3 与直线 y＝x＋3 所围成图形的面积．
-1
-1
＝3x＋x2－13x33－1
＝3×3＋32－13×33－
－1×3＋－12－13×－13
＝9＋2－13＝332.
探究二 求“分割型”平面图形的面积 [典例 2] 求直线 y＝x，y＝2x，以及曲线 y＝x2 所围成的平面图形的面积． [解析] 解法一：作出 y＝x2，y＝x 及 y＝2x 的图形如图，
1．求直线 y＝2x 与抛物线 y＝x2－3 围成平面图形的面积． 解析：由yy＝ ＝2xx2－，3 消去 y，得 x2－2x－3＝0， 解得 x1＝－1，x2＝3，这是直线与抛物线交点的横坐标，如图，直线 y＝2x 与 抛物线 y＝x2－3 围成平面图形的面积是
S＝3 [2x－(x2－3)]dx＝3 (3＋2x－x2)dx
b[f2(x)－f1(x)]dx
a
.
二、曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系
a[f(x)－g(x)]dx
1．如图①，阴影部分的面积为 S＝－ag(x)dx＋af(x)dx＝
0
.
0
0
b[f(x)－g(x)]dx a[f(x)－c(x)]dx
2．如图②，阴影部分的面积为
S＝
0
＋
b
.所以，
＝2
1
22x 2 dx＝2
2×23x
3 2
20
＝136，
0
S2＝8[4－x－(－ 2x)]dx 2
＝(4x－12x2＋2
3
2 x
3 2
) 82
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
S＝abfxdx＝
－bf(x)dx a
；
图③中，当 a≤x≤c 时，f(x)<0，c≤x≤b 时，f(x)>0，因此面积 S＝b|f(x)|dx＝c[－f(x)]dx
a
a
＋bf(x)dx. c
2．求由两条曲线 f(x)和 g(x)，直线 x＝a，x＝b(a<b)所围成平面图形的面积 S.
b[f(x)－g(x)]dx
解法二：若选积分变量为 y，则由图知三个函数分别为 x＝ y，x＝y，x＝12y.
交点为(0,0)，(1,1)，(2,4)．
所以 S＝01y－12ydy＋14 y－12ydy
＝14y2 10
＋23y
3 2
－14y241
＝14＋23×4
3 2
－14×42－23＋14
＝14＋136－4－23＋14＝76.
2．求抛物线 y2＝2x 与直线 y＝4－x 围成的平面图形的面积． 解析：由方程组yy2＝＝42－x x 解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．
选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2， 由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
所以 S1＝2[ 2x－(－ 2x)]dx 0
a
b
D.cf(x)dx－bf(x)dx
b
a
解析：由图可知，x 轴上方阴影部分的面积为cf(x)dx，x 轴下方阴影部分的面 b
积为－bf(x)dx，故 D 正确． a
答案：D
2．图中阴影部分的面积等于________．
解析：根据积分应用可知所求面积为13x2dx＝x3|10＝1. 0
答案：1
解方程组yy＝ ＝2xx2，，
得xy＝＝00，，
x＝2， y＝4，
解方程组yy＝ ＝xx， 2，
得xy＝＝00，，
x＝1， y＝1.
所以所求面积为 S＝1(2x－x)dx＋2(2x－x2)dx
0
1
＝1xdx＋2(2x－x2)dx
0
1
＝12x210 ＋x2－13x321 ＝76.
∴此平面图形的面积为76.